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2007年全国数学竞赛(浙江赛区)初赛试题

发布时间:2013-11-29 08:30:00  

2007年全国数学竞赛(浙江赛区)初赛试题

(2007年3月11日 上午9∶00-11∶00)

班级__________学号__________姓名______________得分______________

一、选择题(共有8小题,每小题5分,满分40分)

1

1. 函数y=-图象的大致形状是 (

(A)

(B)

(C) (D)

2. 老王家到单位的路程是3 500米,老王每天早上7∶30离家步行去上班,在8∶10(含8∶

10至8∶20)之间到达单位,如果设老王步行的速度为x米/分,则老王步行的速度范围是

( )

(A)70≤x≤87.5 (B)x≤70或x≥87.5 (C)x≤70 (D)x≥87.5 3. 如图,AB是半圆的直径,弦AD,BC相交于P,已

知∠DPB=60o,D是BC的中点,则tan∠ADC等于 ( )

13(A) (B)2 (C)3 (D) 23

4. 抛物线y=x2+x+p(p≠0)的图象与x轴一个交点的横坐标是p,那么该抛物线的顶点坐

标是

1919

(B)() (C)(-,

2424

5. 如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36o,CD是角平分线,

(A)(0,-2)

则△DBC的面积与△ABC面积的比值是 (A)

( )

19

(D)(-)

24

( )

5-25-2

(B) D233-3-5(C) (D)B23

6. 直线l:y=px(p是不等于0的整数)与直线y=x+10的交点恰好是格点(横坐标和纵坐

标都是整数),那么满足条件的直线l有 (A)6条

(B)7条

(C)8条

(D)无数条

( )

7. 把三个边续的正整数a,b,c按任意次序(次序不同视为不同组)填入□x2+□x+□=0

的三个方框中,作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,使所得方程至少有一个整数根的a,b,c (A)不存在

(B)有一组

(C)有两组

(D)多于两组

3 3 2 1

5

1

( )

8. 六个面上分别标有1,1,2,3,3,5六个数字的均匀立方体的

表现展开图如图所示,掷这个立方体一次,记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标,朝下一面的数为该点的纵坐标.按照这样的规定,每掷一次该小立方体,就得到平面内一个点的坐标.已知小明前两次掷得的两个点确定一条直线l,且这条直线经过点P(4,7),那么他第三次掷得的点也在直线l上的概率是

2(A)3

第 1 页

( )

1(B)

2

1(C)3

1(D)

6

二、填空题(有6小题,每小题5分,共30分)

9. 若a是一个完全平方数,则比a大的最小完全平方数是____________.

10.按如图所示,把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分,则中

间小正方形(阴影部分)的周长为____________.

11.在锐角三角形ABC中,∠A=50o,AB>BC,则∠B的取值范围是

_________________.

12.设正△ABC的边长为a,将△ABC绕它的中心(正△ABC外接圆的圆心)旋转60o得到对应

的△A′B′C′,则A,B′两点间的距离等于______________.

13.如图,在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD.已知AD=3,AO

=8,OC=5,若点P在梯形内,且S△PAD=S△POC,S△PAO=S△PCD,那么

点P的坐标是______________.

14.已知A,B,C,D四人的体重均为整数千克,其中A最轻,其次是B,C,

D,以他们中的两人为一组称得的体重如下(单位:千克):

45, 49, 54, 55, 60, 64.

则D的体重为__________千克.

三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分)

15.已知b-a=17,2a2+a=1b4,求aa的值.

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16.现有a根长度相同的火柴棒,按如图1摆放可摆成m个正方形,按如图2摆放时可摆成2n

个正方形.

(图1) (图2) (图3)

(1)用含n的代数式表示m;

(2)当这a根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时,求a的最小值.

17.如图,已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与AB和BC边相切于点D和E,与AC边

相交于点F和G,求∠DEF的度数.

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18.已知抛物线l1:y=ax2-2amx+am2+2m+1(a>0,m>0)的顶点为A,抛物线l2的顶点B

在y轴上,且抛物线l1和抛物线l2关于点P(1,3)成中心对称.

(1)当a=1时,求l2的解析式和m的值;

(2)设l2与x轴正半轴的交点是C,当△ABC为等腰三角形时,求a的值.

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