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1997年全国初中数学联合竞赛试题及解答

发布时间:2013-11-29 10:01:26  

1997年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1.下述四个命题

(1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1;

(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;

2(3)a的平方根是?a;

(4)大于直角的角一定是钝角.

其中错误的命题有( )

A. 1个 B. 2个

【答】C.

(1)、(2)、(4)是错误的命题,故选C.

2.已知 C.3个 D.4个 4

3?2?x?4

?3,那么满足上述不等式的整数x的个数是( )

A.4. B.5. C.6. D.7.

【答】C.

原不等式可化为:4(?2)?x?2(?3)

可估算得:1.27??x?7.3?,所以选C.

3.若实数a,b,c满足a?b?c?9,代数式(a?b)?(b?c)?(c?a)的最大值( )

A.27. B.18. C.15. D.12.

【答】A.

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca

=3(a2+b2+c2)-( a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca)

=27-(a+b+c)2≤27

1

222222

4.给定平面上n个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n的最小可能值是( )

A.4. B.5. C.6. D.7.

【答】D.

因为上述任意三个边长都不能构成同一个三角形的三条边长,所以至少要有7个点.

5.在梯形ABCD中,AD=DC,∠B=30°,∠C=60° ,E,M,F,N分别为AB,BC,CD,DA的中点,已知BC=7,MN=3,则EF之值为( )

A.4. B.4

【答】 A.

延长BA,CD交于点H,

∵ ∠B=30°,∠C=60°

∴ ∠BHC=90°,

1. C.5. D.6. 2易证在Rt△BHC中,M,N,H三点共线 ∵M、N为BC、AD的中点 B71∴HM=,HN= 22

1∴AN=, 2

∴AD=1

∴EF=1(AD+BC)=4. 2

6.如图,已知∠A=∠B,AA1,PP1,BB1均垂直于A1B1, AA1=17, PP1=16, BB1=20, A1B1=12,则AP+PB等于( )

A.12. B.13. C.14. D.15.

P'

A'D

11

1 111

2

【答】B

如图,延长BP交AA1于A’,过P作PP’∥A1B1交AA1于P’,过A’作A’D∥A1B1交BB1于D.

∵∠A=∠B=∠A A’P,

∴AP= A’P.

∴AP’=P’A’

∵AP’= AA1-PP1=17-16=1

∴A A’=2×1=2

∴BD=BB1-A’A1=20-(17-2)=5. 由勾股定理A'B?

即AP+PB=13.

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 .

【答】 273. A1B1?BD2?2?52?13. 2

设该三角形的边长为a,由题意可得:1?3?5?

解得:a?6, a 2

所以S??32a??36?3?273. 44

2.当a取遍0到5的所有实数值时,满足3b?a(3a?8)的整数b的个数是____________.

【答】13. 由已知条件可得:b?a?28416a?(a?)2?, 339

又f(0)?0,f(5)?11, ∴?2310516≤b≤, 99

b可取到的整数值为-1,0,1,…,11共有13个.

3

3.若a,b满足3a

?5b?7,则S?3b的取值范围是____________________. 【答】?2114≤S≤. 53

由 3a?5b?7, ①

2a?3b?S. ②

①×3+②×5,得 19a?21?5S,

①×2-②×3,得 19b?14?3S.

21, 5

14 14-3S≥0得 S≤. 3

1412故 ?≤S≤. ③ 35由 21+5S≥0得 S≥?

反之,若S满足③,易知有满足①②的a,b存在,所以

?1412≤S≤. 35

4.若正整数x, y满足x2+y2=1997,则x+y等于 .

【答】 63.

不妨设x为奇数,y为偶数,因为x2+y2的个位数字是7,因此x2,y2的个位数字必是1,6.所以x的各位数字为1或9,y的个位数字必是4或6.

又1997?1(mod4),则x?1(mod4),y?0(mod4).

由x2<1997知x<45,因此x可能值为1、9、21、29、41.

经检验,仅当x=29时,有y=34,使 292+342=1997,所以x+y=29+34=63.

第二试

一、(本题满分20分)设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点, PE垂直AC于点F, PF垂直BC于点F, PG垂直EF于点G, 延长GP并在其延长线上取一点D, 使得PD=PC,试证:BC⊥BD,且BC=BD.

4

证明 易证∠EPG=∠EFP=∠CPF

故∠DPB=∠APG=45°+∠EPG

=45°+∠CPF

=∠BPF+∠CPF

=∠BPC

又∵PC=PD,PB为公共边,

∴△PDB≌△PCB(SAS)

∴BC=BD,∠PBD=∠PBC=45°

∴∠CBD=90°

∴BC⊥BD

2CABD

二.(本题满分25分)已知a,b为整数,且a?b,方程3x?3(a?b)x?4ab?0的两个

根?,?满足关系式?(??1)??(??1)?(??1)(??1)试求所有的整数点对(a,b). 解 根据韦达定理,由方程3x?3(a?b)x?4ab?0

得 2?????(a?b),???ab, ① 4

3

从条件?(??1)??(??1)?(??1)(??1),

得 (???)?3???1. ②

将①代入②,有 (a?b)?4ab?1, ③

即(a?b)?1,

因为a?b,故 a?b?1. ④

由判别式△≥0得 3(a?b)?16ab. ⑤

将③代入⑤,有 (a?b)?4. ⑥

将④代入⑥,有 (2b?1)?4. ⑦

由④, ⑦可知,满足条件的(a,b)只能是(1,0)或(0,-1).

5

222222

三.(本题满分25分)已知定理:“若三个大于3的质数,a,b,c满足关系式2a+5b=c,则a+b+c是整数n的倍数”.试问:上述定理中的整数n的最大可能值是多少?并证明你的结论.

解 n的最大可能值是9.

先证a+b+c能被3整除.

事实上,a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b),

故a+b+c是3的倍数.

设a,b被3除后的余数分别为ra和rb,则ra≠0,rb≠0.

若ra≠rb,则ra=1,rb =2或者ra=2,rb =1,此时,2a+5b必是3的倍数,即c为合数,矛盾.

故ra= rb,则ra= rb=1或者ra= rb=2,此时a+2b必为3的倍数,从而a+b+c是9的倍数.

再证9是最大的.

令a=11,b=5,则c=47,符合题意,此时a+b+c=11+5+47=63.

令a=13,b=7,则c=61,符合题意,此时a+b+c=13+7+61=81.

而(63,81)=9.

因此,9是最大可能的值.

6

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