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1997年全国初中数学联合竞赛试题

发布时间:2013-11-29 10:01:29  

1997年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1.下述四个命题

(1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1;

(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;

2(3)a的平方根是?a;

(4)大于直角的角一定是钝角.

其中错误的命题有( )

A. 1个 B. 2个

2.已知 C.3个 D.4个 4

3?2?x?4

?3,那么满足上述不等式的整数x的个数是( )

A.4. B.5. C.6. D.7.

3.若实数a,b,c满足a?b?c?9,代数式(a?b)?(b?c)?(c?a)的最大值( )

A.27. B.18. C.15. D.12.

4.给定平面上n个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n的最小可能值是( )

A.4. B.5. C.6. D.7.

5.在梯形ABCD中,AD=DC,∠B=30°,∠C=60° ,E,M,F,N分别为AB,BC,CD,DA的中点,已知BC=7,MN=3,则EF之值为( )

A.4. B.42222221. C.5. D.6. 26.如图,已知∠A=∠B,AA1,PP1,BB1均垂直于A1B1, AA1=17, PP1

=16, BB1=20, A1B1=12,则AP+PB等于( )

A.12. B.13. C.14. D.15.

111 1

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 .

2.当a取遍0到5的所有实数值时,满足3b?a(3a?8)的整数b的个数是____________.

3.若a,b满足3a

?5b?7,则S?3b的取值范围是____________________.

4.若正整数x, y满足x2+y2=1997,则x+y等于 .

第二试

一、(本题满分20分)设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点, PE垂直AC于点F, PF垂直BC于点F, PG垂直EF于点G, 延长GP并在其延长线上取一点D, 使得PD=PC,试证:BC⊥BD,且BC=BD.

C

AB

D

2

二.(本题满分25分)已知a,b为整数,且a?b,方程3x2?3(a?b)x?4ab?0的两个根?,?满足关系式?(??1)??(??1)?(??1)(??1)试求所有的整数点对(a,b).

三.(本题满分25分)已知定理:“若三个大于3的质数,a,b,c满足关系式2a+5b=c,则a+b+c是整数n的倍数”.试问:上述定理中的整数n的最大可能值是多少?并证明你的结论.

3

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