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小学奥数六年级举一反三31-35

发布时间:2013-11-29 11:36:21  

第三十一周 逻辑推理(一)

专题简析:

逻辑推理题不涉及数据,也没有几何图形,只涉及一些相互关联的条件。它依据逻辑汇率,从一定的前提出发,通过一系列的推理来获取某种结论。

解决这类问题常用的方法有:直接法、假设法、排除法、图解法和列表法等。

逻辑推理问题的解决,需要我们深入地理解条件和结论,分析关键所在,找到突破口,进行合情合理的推理,最后作出正确的判断。

推理的过程中往往需要交替运用“排除法”和“反正法”。要善于借助表格,把已知条件和推出的中间结论及时填入表格内。填表时,对正确的(或不正确的)结果要及时注上“√”(或“×”),也可以分别用“1”或“0”代替,以免引起遗忘或混乱,从而影响推理的速度。

推理的过程,必须要有充足的理由或重复内的根据,并常常伴随着论证、推理,论证的才能不是天生的,而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。

例题1:

星期一早晨,王老师走进教室,发现教室里的坏桌凳都修好了。传达室人员告诉他:这是班里四个住校学生中的一个做的好事。于是,王老师把许兵、李平、刘成、张明这四个住校学生找来了解。

(1)许兵说:桌凳不是我修的。

(2)李平说:桌凳是张明修的。

(3)刘成说:桌凳是李平修的。

(4)张明说:我没有修过桌凳。

后经了解,四人中只有一个人说的是真话。请问:桌凳是谁修的?

根据“两个互相否定的思想不能同真”可知:(2)、(4)不能同真,必有一假。

假设(2)说真话,则(4)为假话,即张明修过桌凳。

又根据题目条件了:只有1人说的是真话:可退知:(1)和(3)都是假话。由(1)说的可退出:桌凳是许兵修的。这样,许兵和张明都修过桌凳,这与题中“四个人中只有一个人说的是真话”相矛盾。

因此,开头假设不成立,所以,(2)李平说的为假话。由此可退知(4)张明说了真话,则许兵、刘成说了假话。所以桌凳是许兵修的。

练习1:

1、小华、小红、小明三人中,有一人在数学竞赛中得了奖。老师问他们谁是获奖者,小华说是小红,小红说不是我,小明也说不是我。如果他们当中只有一人说了真话。那么,谁是获奖者?

2、一位警察,抓获4个盗窃嫌疑犯A、B、C、D,他们的供词如下:

A说:“不是我偷的”。

B说:“是A偷的”。

C说:“不是我”。

D说:“是B偷的”。

他们4人中只有一人说的是真话。你知道谁是小偷吗?

3、有500人聚会,其中至少有一人说假话,这500人里任意两个人总有一个说真话。说真话的有多少人?说假话的有多少人?

例题2:

虹桥小学举行科技知识竞赛,同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四名学生的成绩作了如下估计:

(1)丙得第一,乙得第二。

(2)丙得第二,丁得第三。

(3)甲得第二,丁得死四。

比赛结果一公布,果然是这四名学生获得前4名。但以上三种估计,每一种只对了一半错了一半。请问他们各得第几名?

同学们的预测里有真有假。但是最后公布的结果中,他们都只预测对了一半。我们可以用假设法假设某人前半句对后半句错,如果不成立,再从相反方向思考推理。

假设(1)中“丙得第一”说错了,则(1)中“乙得第二”说对了;(1)中“乙得第二”说对了,则(2)中“丙得第二”说错了;(2)中“丙得第二”说错了,“丁得第三”说对了;(2)中“丁得第三”说对了,(3)中“丁得第四”说错了;(3)中“丁得第四”说错了,则(3)中“甲得第二”说对了,这与最初的假设相矛盾。 所以,正确答案是:丙得死一,丁得第三,甲得第二,乙得第四。

练习2:

1、甲、乙、丙、丁同时参加一次数学竞赛。赛后,他们四人预测名词的谈话如下:

甲:“丙得第一,我第三”。

乙:“我第一,丁第四”。

丙:“丁第二,我第三”。

丁:没有说话。

最后公布结果时,发现甲、乙丙三人的预测都只对了一半。请你说出这次竞赛中甲、乙、丙、丁四人的名次。

2、某小学最近举行一次田径运动会,人们对一贯刻苦锻炼的5名学生的短跑成绩作了如下的估计:

A说:“第二名是D,第三名是B”。

B说:“第二名是C,第四名是E”。

C说:“第一名是E,第五名是A”。

D说:“第三名是C,第四名是A”。

E说:“第二名是B,第五名是D”。

这5位同学每人说对了一半,请你猜一猜5位同学的名次。

3、某次考试考完后,A,B,C,D四个同学猜测他们的考试成绩。

A说:“我肯定考得最好”。

B说:“我不会是最差的”。

C说:“我没有A考得好,但也不是最差的”。

D说:“可能我考得最差”。

成绩一公布,只有一个人说错了,请你按照考试分数由高到低排出他们的顺序。

例题3:

张、王、李三个工人,在甲、乙丙三个工厂里分别当车工、钳工和电工。

①张不在甲厂,②王不在乙厂,③在甲厂的不是钳工,④在乙厂的是车工,⑤王不是电工。

这三个人分别在哪个工厂?干什么工作?

这题可用直接法解答。即直接从特殊条件出发,再结合其他条件往下推,直到推出结论为止。

通过⑤可知王不是电工,那么王必是车工或钳工;又通过②可知王不在乙厂,那么,王必在甲厂或丙厂;又由④知道在乙厂的是车工,所以王只能是钳工;又因为甲厂的不是钳工,则晚必是丙厂的钳工;张不在甲厂,必在乙厂或丙厂;王在丙厂,则张必在乙厂,是乙厂的车工,所以张是乙厂的车工。剩下的李是甲厂的电工。 练习3:

1、某大学宿舍里A,B,C,D,E,F,G七位同学,其中两位来自哈尔滨,两位来自天津,两位来自广州,还知道:

(1)D,E来自同一地方;

(2)B,G,F不是北方人;

(3)C没去过哈尔滨。

那么,A来自什么地方?

2、每个星期的七天中,甲在星期一、、二、三讲假话,其余四天都讲真话:乙在星期四、五、六讲假话,其余各天都讲真话。

今天甲说:“昨天是我说谎的日子。”乙说:“昨天也是我说谎的日子。”今天是星期几?

3、王涛、李明、江民三人在一起谈话。他们当中一位是校长,一位是老师,一位是学生家长。现在只知道:

(1)江民比家长年龄大。

(2)王涛和老师不同岁。

(3)老师比李明年龄小。

你能确定谁是校长、谁是老师,谁是家长吗?

例题4:

六年级有四个班,每个班都有正、副班长各一人。平时召开年级班长会议时,各班都只有一人参加。参加第一次回师的是小马、小张、小刘、小林;参加第二次会议的是小刘、小朱、小马、小宋;参加第三次会议的是小宋、小陈、小马、小张,小徐因有病,三次都没有参加。你知道他们哪两个是同班的吗?

将条件列在一张表格内,借助于表格进行分析、推理、根据题意,可列表如下:

由上表可知,小马三次参加会议,而小徐三次都没参加,他们是同一班级的。小张和小朱是同班的,小刘和小陈是同班的,小林和小宋是同班的。 练习4:

1、某市举行家庭普法学习竞赛,有5个家庭进入决赛(每家2名成员)。决赛时进行四项比赛,每项比赛各家出一名成员参赛,第一项参赛的是吴、孙、赵、李、王;第二项参赛的是郑、孙、吴、李、周;第三项参赛的是赵、张、吴、钱、郑;第四项参赛的是周、吴、孙、张、王。另外,刘某因故四次均未参赛。谁和谁是同一家庭呢? 2、刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹,六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定:兄、妹不许搭伴。 第一局:刘刚和小丽对李强和小英;

第二局:李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。 那么,三个男孩的妹妹分别是谁?

3、有三只小袋,一只小袋有两粒红珠,另一只小袋有两粒蓝珠,第三只小袋装有一粒蓝珠和一粒红珠。小兰不慎把小袋外面的三只标签都贴错了。请问从哪只小袋中摸出一粒珠,就可以知道三只小袋中各装有什么颜色的珠? 例题5:

已知张新、李敏、王强三位同学分别在北京、苏州、南京的大学学习化学、地理、物理。①张新不在北京学习;②李敏不在苏州学习;③在北京学习的同学不学物理;④在苏州学习的同学是学化学的;⑤李敏不学地理。三位同学各在什么城市学什么?

解答此题的关键是抓住三个人必在三地之一学习三种科目的某一种这个条件。这种逻辑推理题,须在两方面加以判定。尽管相对的问题要求增多了,但列表法仍然适用。综合两方面的交错因素,两表对立,一举两得。

由④可知:李敏不在苏州,不学化学、学物理;张新、王强不学物理。

由③“在北京学习的不学物理”的条件可知:王强在北京,张新在苏州,李敏在南京。 由④“在苏州学习的学的是化学”的条件可知,王强学习地理。

从上表可以看出,张新在苏州学化学,李敏在南京学物理,王强在北京学地理。 练习5:

1、甲、乙、丙分别在南京、苏州、西安工作,他们的职业分别是工人、农民和教师。已知:①甲不在南京工作;②乙不在苏州工作;③在苏州工作的是工人;④在南京工作的不是教师;⑤乙不是农民。三人各在什么地方工作?各是什么职业?

2、小明、小青、小菊读书的学校分别是一小、二小、三小,他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动。但究竟谁爱好哪一项运动,在哪个学校读书还不清楚,只知道:(1)小明不在一小。(2)小青不在二小。(3)爱好排球的在二小。(4)爱好游泳的在一小。(5)爱好游泳的不是小青。 请你说出他们各自就读的学校和爱好的运动项目。

3、甲、乙、丙分别是工程师、会计师和教师。他们的业余爱好分别是文学、绘画和音乐。现在知道:(1)爱好音乐、文学者和甲一起看电影。(2)爱好绘画者常请会计师讲经济学。(3)乙不爱好文学。(4)工程师常埋怨自

己对绘画和音乐一窍不通。

请问每个人的职业和爱好各是什么?

答案:

练1

1 、小明 2、 C 3、 499 1

练2

1、 乙、丁、甲、丙

2、 E、C、B、A、D

3、 B、A、C、D

练3

1、 天津

2、 星期四

3、 李明是校长 江兵是老师 王涛是家长

练4

1、 吴和刘一家,孙和钱一家,赵和周一家,李和张一家

2、 李强的妹妹是小丽,马辉的妹妹是小瑛,刘刚的妹妹是小红

3、

练5

1、 甲在苏州是工人,乙在无锡是教师,丙在南京是农民。

2、 小明在二小,爱好排球;小青在三小,爱好篮球;小菊在一小,爱好游泳。

3、 甲是教师,爱好绘画;乙是会计师,爱好音乐;丙是工程师,爱好文学。

第三十二周 逻辑推理(二)

专题简析:

解数学题,从已知条件到未知的结果需要推理,也需要计算,通常是计算与推理交替进行,而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理,而是综合运用了数学知识和专门的生活常识相结合来运用。这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生,也是小学数学竞赛中比较流行的题型。

解答综合推理问题,要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。统称从已知条件出发可以推出两个或两个以上结论,而又一时难以肯定或否定其中任何一个时,这就要善于运用排除法、反证法逐一试验。

当感到题中条件不够时,要注意生活常识、数的性质、数量关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。

例题1:

小华和甲、乙、丙、丁四个同学参加象棋比赛。每两人要比赛一盘。到现在为止,小华已经比赛了4盘。甲赛了3盘,乙赛了2盘,丁赛了1盘。丙赛了几盘?

这道题可以利用画图的方法进行推理,如图32-1所示,用5个点分别表示小华、甲、乙、丙、丁。如果两人之间已经进行了比赛,就在表示两人的点之间连一条线。现在小华赛4盘,所以小华应与其余4个点都连线……

甲赛了3盘。由于丁只赛了一盘,所以甲与丁之间没有比赛。那么,就连接甲、乙和甲、丙。这时,乙已有了两条线,与题中乙赛2盘相结合,就不再连了。所以,从图32-1中可以看出,丙与小华、甲各赛一盘。即丙赛了两盘。 练习1:

1、A,B,C,D,E五位同学一起比赛象棋,每两人都要比赛一盘。到现在为止,A已经比赛了4盘。B赛了3盘,C赛了2盘,D赛了1盘。E赛了几盘?

2、A先生和A太太以及三对夫妻举行了一次家庭晚会。规定每两人最多握手一次,但不和自己的妻子握手。握手完毕后,A先生问了每个人(包括他妻子)握手几次?令他惊讶的是每人答复的数字各不相同。那么,A太太握了几次手?

3、五位同学一起打乒乓球,两人之间最多只能打一盘。打完后,甲说:“我打了四盘”。乙说:“我打了一盘”。丙说:“我打了三盘”。丁说:“我打了四盘”。戊说:“我打了三盘”。

你能肯定其中有人说错了吗?为什么?

例题2:

图32-2是同一个标有1,2,3,4,5,6的小正方体的三种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之积是多少?

用排除法排除不符合条件的情形,最后剩下的情况就是所要的结果。

由(1)、(2)两个图可以看出,1的对面不可能为4,6,2,3,所以1的对面必为5;由(2)、(3)两个图形可以看出,3的对面不可能为1,2,4,5,所以3的对面必为6。由此可知,4的对面必定为2。上面正方体三个朝左一面的数字依次为2,5,6。所以它们的积为2×5×6=60。

练习2:

1、图32-3是同一个标有1,2,3,4,5,6的小正方体的三种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之和是多少?

2、将红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体各面上(每一面只涂一种颜色)。现有涂色方式完全一样的相同的四块小正方体,把它们拼成长方体(如图32-4所示),每个小正房体红色面的对面涂的是什么颜色?黄色对面的?黑色对面呢?

3、如图32-5所示,每个正方体的6个面分别写着数字1~6,并且任意两个相对的面上所写的两个数之和都等于

7。把这样的5个正方体一个挨一个连接起来后,金挨着的两个面上的数字之和等于8。图中写?的这个面上的数字是几?

例题3:

某班44人,从A,B,C,D,E五位候选人中选举班长。A得选票23张。B得选票占第二位,C,D得票相同,E的选票最少,只得了4票。那么B得选票多少张?

B,C,D的选票共44—23—4=17(张),C,D的选票至少各5张。如果他们的选票超过5张,那么B,C,D的选票超过6+6+6=18(张),这不可能。所以,C,D各得5票,B得17—5—5=7(张)

练习3:

1、某商品编号是一个三位数,现有5个三位数:874、765、123、364、925。其中每一个数与商品编号恰好在同一数位上有一个相同的数字,这个商品编号是多少?

2、某楼住着4个女孩和两个男孩,他们的年龄各不相同,最大的10岁,最小的4岁。最大的男孩比最小的女孩大4岁,最大的女孩比最小的男孩大4岁。最大的男孩多少岁?

3、小明将玻璃球放进大、小两种盒子中。大盒装12个玻璃球,小盒装5个玻璃球,正好装完。如果玻璃球总数为99,盒子超过10个,那么两种盒子各有多少个?

例题4:

将1,2,3,4,5,6,7,8八个数字分成两组,每组4个数,并且两组数之和相等。从A组拿一个到B组后,B组五个数之和将是A组剩下三数之和的2倍。从B组拿一个数到A组后,B组剩下的三个数之和A组五个数之和的5/7。这八个数如何分成两组?

八个数的和是1+2+3+4+5+6+7+8=26,所以每组的四个数之和是36÷2=18。从A组取出一个数到B,两组总和不变。现在A组三个数之和是36÷(1+2)=12,原来A组四个数之和是18,说明A组中取6到B组。

同样道理,从B组取一个数到A组后,现在B组三个数之和是36÷(1+5/6)×5/7=15。说明B组中取出的数为18—15=3。

除去6和3,还剩6个数。A组的另外三个数之和应是18—6=12,在剩下的6个数中只有1,4,7三个数,它们的和是12。所以

A组四个数是1,4,6,7。

B组四个数是2,3,5,8。

练习4:

1、某年的8月份有4个星期四,5个星期三。这年8月8日是星期几?

2、甲、一两个小朋友各有一袋糖,每袋糖不到20粒。如果甲给乙一定数量的糖后,甲的糖的粒数是乙的2倍;如果乙给甲同样数量的糖后,甲的糖的粒数就是乙的3倍。甲、乙两个小朋友共有糖多少粒?

3、某各家庭有四个家庭成员。他们的年龄各不相同,总和是129岁,其中有三个人的年龄是平方数。如果倒退15年,这四人中仍有三人的年龄是平方数。你知道他们各自的年龄吗?

例题5:

在一次设计联系中,小张、小王、小李各打4发子弹,全部中靶。命中的情况如下:

(1)每人4发子弹所命中的环数各不相同。(2)每人4发子弹所命中的总环数均为17槐。(3)小王有两法命中的环数分别与小张命中的两法一样;小王另两发命中的环数与小李命中的两法一样。(4)小张和小李只有一发环数相同。(5)每人每发子弹的最好成绩不超过7环。

小张、小李命中相同的环数是几环?

首先,用枚举法找出符合条件(1)、(2)、(5)的所有情况。其次,再用筛选法从这些情况中去掉不符合条件(3)、

(4)的情况。剩下的就符合要求了。 (1)1+7+3+6=17(环) (2)1+7+4+5=17(环) (3)2+6+4+5=17(环) (4)2+7+3+5=17(环) 对照条件可知(2)、(1)式和(3)式分别代表王、张、李,所以,小张和小李命中相同的环数是6环, 练习5:

1、甲、乙、丙三人玩转盘(如图32-6所示),转盘上的数字表示应得的分。 甲说:“我转8次得26分”。 乙说:“我转7次得34分”。 丙说:“我转9次得41分”。 其中有一人没说真话,他是谁?

2、将3张数字卡片(均不超过10)分给甲、乙、丙三人,各人记下所得卡片上的数再重新分。分了3次后,每人将各字记下的数相加,甲为13,乙为15,丙为23。你能西饿出三张卡片上的数吗?

3、A,B,C三个足球队进行一次比赛,每两个队赛一场。按规定每升一场得2分,平一场得1分,负一场得0分。现在已知:

(1)B对一球未进,结果得一分;

(2)C队进一球,失2球,并且胜一场;

求A队结果是得几分,并写出每场比赛的具体比分。 答案: 练1

1、 E赛了2盘

2、 A太太握了三次手

3、 肯定有人说错。画图容易得证 练2

1、 5+4+1=10

2、 红色对面为绿色,蓝色对面为黄色,黑色对面为白色 3、 A处所写的是“3” 练3 1、 724

2、 最大的男孩儿是8岁 3、 小盒15个,大盒2个 练4

1、 星期一 2、 24粒

3、 16岁、24岁、25岁、64岁 练5

1、 得分数7、4、1均是3的倍数加1,9次所得的总分应是3的倍数,因此丙没有说真话。

2、 A+B+C=(13+15+23)÷3=17 A、B、C粉笔是3、5、9。 3+3+9=15乙 5+5+3=13甲 9+9+5=23丙 3、

AA与C的比分是2:0 B与C的比分是0:1

第三十三周 行程问题(一)

专题简析:

行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。其互逆关系可用乘、除法计算,方法简单,但应注意行驶方向的变化,按所行方向的不同可分为三种:(1)相遇问题;(2)相离问题;(3)追及问题。

行 程问题的主要数量关系是:距离=速度×时间。它大致分为以下三种情况:

(1)相向而行:相遇时间=距离÷速度和

(2)相背而行:相背距离=速度和×时间。

(3)同向而行:速度慢的在前,快的在后。

追及时间=追及距离÷速度差

在环形跑道上,速度快的在前,慢的在后。

追及距离=速度差×时间。

解决行程问题时,要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来,有助于分析数量关系,有助于迅速地找到解题思路。

例题1:

两辆汽车同时从某地出发,运送一批货物到距离165千米的工地。甲车比乙车早到8分钟,当甲车到达时,乙车还距工地24千米。甲车行完全程用了多少小时?

解答本题的关键是正确理解“已知甲车比乙车早刀8分钟,当甲车到达时,乙车还距工地24千米”。这句话的实质就是:“乙48分钟行了24千米”。可以 先求乙的速度,然后根据路程求时间。也可以先求出全程165千米是24千米的多少倍,再求甲行完全程要用多少小时。

解法一:乙车速度:24÷48×60=30(千米/小时)

48甲行完全程的时间:165÷30—(小时) 60

解法二:48×(165÷24)—48=282(分钟)=4.7(小时)

答:甲车行完全程用了4.7小时。

练习1:

1、甲、乙两地之间的距离是420千米。两辆汽车同时从甲地开往乙地。第一辆每小时行42千米,第二辆汽车每小时行28千米。第一辆汽车 到乙地立即返回。两辆汽车从开出到相遇共用多少小时?

2、A、B两地相距900千米,甲车由A地到B地需15小时,乙车由B地到A地需10小时。两车同时从两地开出,相遇时甲车距B地还有多少千米?

3、甲、乙两辆汽车早上8点钟分别从A、B两城同时相向而行。到10点钟时两车相距112.5千米。继续行进到下午1时,两车相距还是112.5千米。A、B两地间的距离是多少千米?

例题2:

两辆汽车同时从东、西两站相向开出。第一次在离东站60千米的地方相遇。之后,两车继续以原来的速度前进。各自到达对方车站后都立即返回,又在距中点西侧30千米处相遇。两站相距多少千米?

东西

图33—

1

从两辆汽车同时从东、西两站相对开出到第二次相遇共行了三个全程。两辆汽车行一个全程时,从东站出发的汽车行了60千米,两车走三个全程时,这辆汽车走了3个60千米。这时这辆汽车距中点30千米,也就是说这辆汽车再行30千米的话,共行的路程相当于东、西两站路程的1.5倍。找到这个关系,东、西两这站之间的距离也就可以求出来了。所以

(60×3+30)÷1.5=140(千米)

答:东、西两站相距140千米。

练习2:

1、两辆汽车同时从南、北两站相对开出,第一次在离南站55千米的地方相遇,之后两车继续以原来的速度前进。各自到站后都立即返回,又在距中点南侧15千米处相遇。两站相距多少千米?

2、两列火车同时从甲、乙两站相向而行。第一次相遇在离甲站40千米的地方。两车仍以原速继续前进。各自到站后立即返回,又在离乙站20千米的地方相遇。两站相距多少千米?

3、甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出。第一次相遇时离A站有90千米。然后各按原速继续行驶,分别到达对方车站后立即沿原路返回。第二次相遇时在离A地的距离占A、B两站间全程的65%。A、B两站间的路程是多少千米?

例题3:

A、B两地相距960米。甲、乙两人分别从A、B两地同时出发。若相向而行,6分钟相遇;若同向行走,80分钟甲可以追上乙。甲从A地走到B地要用多少分钟?

甲、乙两人从同时同向出发到相遇,6分钟共行的路程是960米,那么每分钟共行的路程(速度和)是960÷6=160(米);甲、乙两人从同时同向出发到甲追上乙需用去80分钟,甲追乙的路程是960米,每分钟甲追乙的路程(速度差)是960÷80=12(米)。根据甲、乙速度和与差,可知甲每分钟行(160+12)÷1=86(米)。甲从A地到B

7地要用960÷86=11(分钟),列算式为 43

7960÷[(960÷6+960÷80)÷2]=11(分钟) 43

7 答:甲从A地走到B地要用1分钟。 43

练习3:

1、一条笔直的马路通过A、B两地,甲、乙两人同时从A、B两地出发,若先跟乡行走,12分钟相遇;若同向行走,8分钟甲就落在乙后面1864米。已知A、B两地相距1800米。甲、乙每分钟各行多少米?

62、父子二人在一400米长的环行跑道上散步。他俩同时从同一地点出发。若想8背而行,分钟相遇;若同向7

2而行,26 分钟父亲可以追上儿子。问:在跑道上走一圈,父子各需多少分钟? 3

3、两条公路呈十字交叉。甲从十字路口南1350米处向北直行,乙从十字路口处向东直行。同时出发10分钟后,二人离使字路口的距离相等;二人仍保持原来速度直行,又过了80分钟,这时二人离十字路口的距离又相等。求甲、乙二人的速度。

例题4:

上午8时8分,小明骑自行车从家里出发。8分钟后每爸爸骑摩托车去追他。在离家4千米的地方追上了他,然后爸爸立即回家。到家后他又立即回头去追小明。再追上他的时候,离家恰好是8千米(如图33-2所示),这时是几时几分?

4千米

小明8:08出发4千米

爸爸8:16出发

图33—2

由题意可知:爸爸第一次追上小明后,立即回家,

1到家后又回头去追小名,再追上小明时走了12千米。可见小明的速度是爸爸的速度的 。那么,小明先走8分3

钟后,爸爸只花了4分钟即可追上,这段时间爸爸走了4千米。列式为

爸爸的速度是小明的几倍:(4+8)÷4=3(倍)

爸爸走4千米所需的时间:8÷(3—1)=4(分钟)

爸爸的速度:4÷4=1(千米/分)

爸爸所用的时间:(4+4+8)÷1=16(分钟)

16+16=32(分钟)

答:这时是8时32分。

练习4:

1、A、B两地相距21千米,上午8时甲、乙分别从A、B两地出发,相向而行。甲到达B地后立即返回,乙到达A地后立即返回。上午10时他们第二次相遇。此时,甲走的路程比乙走的多9千米,甲一共行了多少千米?甲每小时走多少千米?

2、张师傅上班坐车,回家步行,路上一共要用80分钟。如果往、返都坐车,全部行程要50千米;如果往、返都步行,全部行程要多长时间?

3、当甲在60米赛跑中冲过终点线时,比乙领先10米,比丙领先20米。如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点,那么乙到达终点时将比丙领先多少米?

例题5:

甲、乙、丙三人,每分钟分别行68米、70.5米、72米。现甲、乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,丙和乙相遇后,又过2分钟与甲相遇。东、西两镇相距多少器秒年米毫 ?

图33——3西

如图33-3所示,可以看出,乙、丙两人相遇时,乙比甲多行的路程正好是后来甲、丙2分钟所行的路程和,是(68+72)×2=280(米)。而每分钟乙比甲多行70.5—68=2.5(米)可见,乙、丙相遇时间是280÷2.5=112(分钟),因此,求东、西两镇间的距离可用速度和乘以相遇时间求出。列式为

乙、丙相遇时间:(68+72)×2÷2.5=112(分钟)

东、西两镇相距的千米数:(70.5+72)×112÷1000=15.96(千米)

练习5:

1、有甲、乙、丙三人,甲每分钟行70米,乙每分钟行60米,丙每分钟行75米,甲、乙从A地去B地,丙从B地去A地,三人同时出发,丙遇到甲8分钟后,再遇到乙。A、B两地相距多少千米?

2、一只狼以每秒15米的速度追捕在它前面100米处的兔子。兔子每秒行4.5米,6秒钟后猎人向狼开了一枪。狼立即转身以每秒16.5米的速度背向兔子逃去。问:开枪多少秒后兔子与狼又相距100米?

3、甲、乙两车同时从A地开往B地,乙车6小时可以到达,甲车每小时比乙车慢8千米,因此比乙车迟一小时到达。A、B两地间的路程是多少千米?

答案

练1

1、 420×2÷(42+28)=12小时

2、 900÷15×【15-900÷(900÷15+900÷10)】=540千米

3、 甲、乙两车的速度和:112.5×2÷(13-10)=75千米

A、 B两地的距离:75×(10-8)+112.5=262.5千米

练2

1、 (55×3-15)÷1.5=100千米

2、 40×3-20=100千米

3、 90×3-(1+1-65%)=200千米

练3

1、 【1800÷12-(1864-1800)÷8】÷2=71米

【1800÷12+(1864-1800)÷8】÷2=79米

6252、 400÷【(400÷2+400÷26)÷2】=5 分 7331

622400÷【(400÷-400÷26 )÷2】=分 735

3、 速度和:1350÷10=135米/分

速度差:1350÷(10+80)=15米/分

甲速:(135+15)÷2=75米/分 乙速:(135-15)÷2=60米/分

练4

1、 甲行路程:(21×3+9)÷2=36千米 甲速:36÷2=18千米

2、 (80-50÷2)×2=110分

60-203、 丙的行程:60× =48米 乙到达重点将比丙领先的米数:60-48=12米 60-10

练5

1、 (70+75)×【(75+60)×8÷(70-60)】÷1000=15.66千米

2、 (15-4.5)×6÷(16.5+4.5)=3秒

3、 8×6×(6+1)=336千米

第三十四周 行程问题(二)

专题简析:

在行程问题中,与环行有关的行程问题的解决方法与一般的行程问题的方法类似,但有两点值得注意:一是两人同地背向运动,从第一次相遇到下次相遇共行一个全程;二是同地、同向运动时,甲追上乙时,甲比乙多行了一个全程。

例题1:

甲、乙、丙三人沿着湖边散步,同时从湖边一固定点出发。甲按顺时针方向行走,乙与丙按逆时针方向行走。甲

132第一次遇到乙后1分钟于到丙,再过3分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的,湖的周长为600米,求443

丙的速度。

13甲第一次与乙相遇后到第二西与乙相遇,刚好共行了一圈。甲、乙的速度和为600÷(1 +3)=120米/分。甲、44

2131乙的速度分别是:120÷(1+)=72(米/分),120—72=48(米/分)。甲、丙的速度和为600÷(+3 )3444

=96(米/分),这样,就可以求出丙的速度。列算式为

13甲、乙的速度和:600÷(1 )=120(米/分) 44

2甲速:120÷(1+)=72(米/分) 3

乙速:120—72=48(米/分)

131甲、丙的速度和:600÷(1 +1 )=96(米/分) 444

丙的速度:96—72=24(千米/分)

答:丙每分钟行24米。

练习1:

1、甲、乙、丙三人环湖跑步。同时从湖边一固定点出发,乙、丙两人同向,甲与乙、丙两人反向。在甲第一次

13遇到乙后分钟第一次遇到丙;再过分钟第二次遇到途。已知甲速与乙速的比为3:2,湖的周长为200044

米,求三人的速度。

2、兄、妹2人在周长为30米的圆形小池边玩。从同一地点同时背向绕水池而行。兄每秒走1.3米。妹每秒走1.2米。他们第10次相遇时,劢还要走多少米才能归到出发点?

A

3、如图图34——1

B34-1所示,A、B是圆的直径的两端,小张在A点,小王在B点,同时出发反

向而行,他们在C点第一次相遇,C点离A点80米;在D点第二次相遇,D点离B点60米。求这个圆的周长。 例题2:

甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练。他们同时从同一地点出发,沿相反方向跑。每人跑完第一圈到达

21出发点后,立即回头加速跑第二圈,跑第一圈时,乙的速度是甲的,甲跑第二圈时的速度比第一圈提高了,33

1。已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点190米。这条椭圆形跑道长多少米?

5

5图34——2

2根据题意画图34-2:甲、乙从A点出发,沿相反方向跑,他们的速度比是1:=3:2。第一次相遇时,他们所3

1行路程比是3:2,把全程平均分成5份,则他们第一次相遇点在B点。当甲A点时,乙又行了2÷3×2=1 。3

111这时甲反西肮而行,速度提高了 。甲、乙速度比为[3×(1+ ):2]=2:1,当乙到达A点时,甲反向行了(3—1 )333

1111×2=3 。这时乙反向而行,甲、乙的速度比变成了[3×(1+ )]:[2×(1+)]=5:3。这样,乙又行了(5—3 )3353×3553 =,与甲在C点相遇。B、C的路程为190米,对应的份数为3— =2。列式为 5+3888

21: =3:2 3

12÷3×2=1 3

1[3×(1+ ):2]=2:1 3

11(3—)×2=3 33

11[3×(1+ )]:[2×(1+)]=5:3 35

135(5—)×= 35+38

5190÷(3- )×5=400(米) 8

答:这条椭圆形跑道长400米。

练习2:

1、小明绕一个圆形长廊游玩。顺时针走,从A处到C处要12分钟,从B处到A处要15分钟,从C处到B处要11分钟。从A处到B处需要多少分钟(如图34-3所示)?

图34——3

图34——4

2、摩托车与小汽车同时从A地出发,沿长方形的路两边行驶,结果在B地相遇。已知B地与C地的距离是4千

2。这条长方形路的全长是多少千米(如图34-4所示)? 3

3、甲、乙两人在圆形跑道上,同时从某地出发沿相反方向跑步。甲速是乙速的3倍,他们第一次与第二次相遇地点之间的路程是100米。环形跑道有多少米?

例题3:

绕湖的一周是24千米,小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。小王以每小时4千米速度走1小时后休息5分钟,小张以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟。两人出发多少时间第一次相遇?

12+15=27,比24大,从上表可以看出,他们相遇在出发后2小时10分至3小时15分之间。出发后2小时10分,小张已走了10+5÷(50÷10)=11(千米),此时两人相距24—(8+11)=5(千米)。由于从此时到相遇以不会再休息,因此共同走完这5千米所需的时间是5÷(4+6)=0.5(小时),而2小时10分+0.5小时=2小时40分。 小张50分钟走的路程:6÷60×50=5(千米)

小张2小时10分后共行的路程:10+5÷(50÷10)=11(千米)

两人行2小时10分后相距的路程:24—(8+11)=5(千米)

两人共同行5千米所需时间:5÷(4+6)=0.5(小时)

相遇时间:2小时10分+0.5小时=2小时40分

练习3:

1、在400米环行跑道上,A,B两点相距100米。甲、乙两人分别从A,B两点同时出发,按逆时针方向跑步,甲每秒行5米,乙每秒行4米,每人跑100米都要停留10秒钟。那么甲追上乙需要多少秒?

2、一辆汽车在甲、乙两站之间行驶。往、返一次共用去4小时。汽车去时每小时行45千米,返回时每小时行驶30千米,那么甲、乙两站相距多少千米?

3、龟、兔进行10000米跑步比赛。兔每分钟跑400米,龟每分钟跑80米,兔每跑5分钟歇25分钟,谁先到达终点?

例题4:

一个游泳池长90米。甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发,游到另一端立即返回。找这样往、返游,两人游10分钟。已知甲每秒游3米,乙每秒游2米。在出发后的两分钟 内,二人相遇了几次?

设甲的速度为a,乙的速度为b,a:b的最简比为m:n,那么甲、乙在半个周期内共走m+n个全程。若m>n,且m、n都是奇数,在一个周期内甲、乙相遇了2m次;若m>n,且m为奇数(或偶数),n为偶数(或奇数),在半个周期末甲、乙同时在乙(或甲)的出发位置,一个周期内,甲、乙共相遇(2m—1)次。

甲速:乙速=3:2,由于3>2,且一奇数一偶数,一个周期 内共相遇(2×3—1=)5次,共跑了[(3+2)×2=]10个全程。

110分钟两人合跑周期的个数为:60×10÷[90÷(2+3)×10]=3(个) 3

13个周期相遇(5×3=)15(次);个周期相遇2次。 3

一共相遇:15+2=17(次) 答:二人相遇了17次。

练习4:

1、甲、乙两个运动员同时从游泳池的两端相向下水做往、返游泳训练。从池的一端到另一端甲要3分钟,乙要

3.2分钟。两人下水后连续游了48分钟,一共相遇了多少次?

2、一游泳池道长100米,甲、乙两个运动员从泳道的两端同时下水,做往、返训练15分钟,甲每分钟游81米,乙每分钟游89米。甲运动员一共从乙运动员身边经过了多少次?

3、马路上有一辆身长为15米的公共汽车,由东向西行驶,车速为 每小时18千米。马路一旁人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑,甲由东向西跑,乙由西向东跑。某一时刻,汽车追上了甲,6秒争后汽车离开了甲,半分钟后,汽车遇到迎面跑来的乙,又经过了2秒钟,汽车离开乙,再过几秒钟,甲、乙两人相遇?

例题5:

甲、乙两地相距60千米。张明8点从甲地出发去乙地,前一半时间平均速度为每分钟1千米,后一半时间平均

速度为每分钟0.8千米。张明经过多少时间到达乙地?

因为前一半时间与后一半时间相同,所以可假设为两人同时相向而行的情形,这样我们可以求出两人合走60千

1米所需的时间为[60÷(1+0.8)=]33分钟。因此,张明从甲地到乙地的时间列算式为 3

2260÷(1+0.8)×2=66 (分钟) 答:张明经过66 分钟到达乙地。 33

练习5:

1、A、B两地相距90千米。一辆汽车从A地出发去B地,前一半时间平均每小时行60千米,后一半时间平均每小时行40千米。这辆汽车经过多少时间可以到达B地?

2、甲、乙两人同时从A点背向出发,沿400米环行跑道行走。甲每分钟走80米,乙蔑分钟走50米。两人至少经过多少分钟才能在A点相遇?

3、在300米的环行跑道上,甲、乙两人同时并排起跑。甲平均每秒行5米,乙平均每秒行4.4米。两人起跑后第一次相遇在起跑线前面多少米?

答案:

练1

131、 甲、乙的速度和:2000÷(1 )=400 44

3甲速:400×=240米/分 3+2

2乙速:400×=160米/分 3+2

131甲、 丙的速度和:2000÷(+3 )=320米/分 444

丙速:320-240=80米/分

2、 兄、妹二人共行一周的时间:30÷(1.3+1.2)=12秒

第10次相遇时妹所行的圈数:1.2×10×12÷30=4.8圈 即4圈又24米

再行的米数:30-24=6米。

3、 A到D的距离:80×3=240米

A到B(半周长)距离:240-60=180米

圆的周长:180×2=360米

练2

1、 绕一圈所需的时间:(12+15+11)÷2=19分

从A到B处所需的时间:19-15=4分

3-22、 4×2÷=40千米 3+2

3、 100÷(2-1)×(3+1)=400米

练3

1、 每跑100米,乙比甲多用时间:100÷4-100÷5=5秒

甲追上乙要多跑100米需20秒,休息4次:20÷5=4次

100×4=400米

100×5=500米

停了4次,共用的时间:20×5+40=140秒

2、 45:30=3:2 4×2 ×45=72千米 3+2

3、 10000÷80=125分钟

25×(10000÷400÷5-1)+10000÷400=125分钟

练4

111、 【+)】×48-1÷2+1=16次 33.2

2、 【(81+89)×15-100】÷(100×2)+1=13次(取整数部分)

3、 甲速:(5×6-15)÷6=2.5米/秒

乙速;(15-5×20÷2=2.5米/秒

汽车离开乙时,两人相距的路程:5×(30+2)-2.5×(30+2)=80米

相遇时间:80÷(2.5+2.5)=16秒

练5

1、 90÷(60+40)×2=1.8小时

2、 400÷80=5分 400÷50=8分 5和8的最小公倍数是5×8=40

3、 甲、乙两人同时并排起跑到第一次相遇共用的时间:300÷(5-4.4)=500秒

第一次相遇时,甲共行的路程:5×500=2500米

第一次相遇在起跑线前面的距离:2500÷300=8圈……100米

第三十五周 行程问题(三)

专题简析:

本周主要讲结合分数、百分数知识相关的较为复杂抽象的行程问题。要注意:出发的时间、地点和行驶方向、速度的变化等,常常需画线段图来帮助理解题意。

例题1:

客车和货车同时从A、B两地相对开出。客车 每小时行驶50千米,货车的速度是客车的80%,相遇后客车继续行3.2小时到达B地。A、B两地相距多少千米?

客车

A

图35——1B货车

如图35-1所示,要求A、B两地相距多少千米,先要求客、货车合行全程所需的时间。客车3.2小时行了50×3.2=160(千米),货车行160千米所需的时间为:

160÷(50×80%)=4(小时)

所以(50+50×80%)×4=360(千米)

答:A、B两地相距360千米。

练习1:

51、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行,相遇点距中点320米。已知甲的速度是乙的速度的,甲6

每分钟行800米。求A、B两地的路程。

2、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行,匀速前进。如果每人按一定的速度前进,则4小时相遇;如果每人各自都比原计划每小时少走1千米,则5小时相遇。那么A、B两地的距离是多少千米?

13、甲、乙两人同时骑自行车从东、西两镇相向而行,甲、乙的速度比是3:4。已知甲行了全程的 ,离相遇地3

点还有20千米,相遇时甲比乙少行多少千米?

例题2:

从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段,各段路程之比是1:2:3,某人走这三段路所用的时间之比是4:5:6。已知他上坡时的速度为每小时2.5千米,路程全长为20千米。此人从甲地走到乙地需多长时间?

110要求从甲地走到乙地需多长时间,先求上坡时用的时间。上坡的路程为20×= (千米),上坡的时间为1+2+33

10444 ÷2.5=(小时),从甲地走到乙地所需的时间为:÷=5(小时) 3334+5+6

答:此人从甲地走到乙地需5小时。

练习2:

1、从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段,各段路程之比是2:3:5,小亮走这三段路所用的时间之比是6:5:4。已知小亮走平炉时的速度为每小时4.5千米,他从甲地走到乙地共用了5小时。问:甲、乙两地相距多少千米?

2、小明去登山,上午6点出发,走了一段平坦的路,爬上了一座山,在山顶停了1小时后按原路返回,中午11点回到家。已知他走平路的速度为每小时4千米,上坡速度为每小时3千米,下坡速度为每小时6千米。问:小

明一共走了多少千米?

3、青青从家到学校正好要翻一座小山,她上坡每分钟行50米,下坡速度比上坡快40%,从就秒到学校的路程为2800米,上学要用50分钟。从学校回家要用多少时间?

例题3:

甲、乙两人分别从A、B两地出发,相向而行,出发时他们的速度比是3:2。他们第一次相遇后,甲的速度提高了20%,乙的速度提高了30%。这样,当几B地时,乙离A地还有14千米。那么A、B两地间的距离是多少千米?

1份9

图35——3B

把A、B两地的路程平均分成5份,第一次相遇,甲走了3份的路程,乙走了2份的路程,当他们第一次相遇后,甲、乙的速度比为[3×(1+20%)]:[2×(1+30%)]=18:13。甲到达B点还需行2份的路程,这时乙行了2÷18

44×份路程,从图35-3可以看出14千米对应(5—2—1 )份 99

[3×(1+20%)]:[2×(1+30%)]=18:13 42÷18×13=1 (份) 9

455—(2+1 )(份) 99

514÷×5=45(千米) 9

答:A、B两地间的距离是45千米。

练习3:

1、甲、乙两人步行的速度比是13:11,他们分别由A、B两地同时出发相向而行,0.5小时后相遇。如果他们同向而行,那么甲追上乙需要几小时?

2、从A地到B地,甲要走2小时,乙要走1小时40分钟。若甲从A地出发8分钟后,乙从A地出发追甲。乙出发多久能追上甲?

3、甲、乙两车分别从A、B两地出发,相向而行。出发时,甲、乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米。那么,A、B两地相距多少千米? 例题4:

甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观,一辆汽车一次只能坐一个班的学生。为了尽快到达机场,两个班商定,由甲班先坐车,乙班步行,同时出发。甲班学生在中途下车步行去机场,汽车立即返回接途中步行的乙班同学。已知凉拌学生步行的速度相同,汽车的速度是步行的7倍,汽车应在距机场多少千米处返回接乙班同学,才能使两班同学同时到达机场(学生上下车及汽车换向时间不计算)?

如图35-4所示,汽车到达甲班学生下车的地方又返回到与乙班学生相遇的地点,汽车所行路程应为乙班不行的7倍,即比乙班学生多走6倍,因此汽车单程比乙班步行多(6÷2)=3(倍)。

汽车返回与乙班相遇时,乙班步行的路程与甲班学生步行到机场的路程相等。由此得出汽车送甲班学生下车地点

到几长的距离为学校到机场的距离的1/5。列算式为

24÷(1+3+1)=4.8(千米)

答:汽车应在距飞机场4.8千米处返回接乙班学生,才能使两班学生同时到达飞机场。

练习4:

1、红星小学有80名学生租了一辆40座的车去还边观看日出。未乘上车的学生步行,和汽车同时出发,由汽车往返接送。学校离还边48千米,汽车的速度是步行的9倍。汽车应在距还边多少千米处返回接第二批学生,才能使学生同时到达还边?

12、一辆汽车把货物从甲地云往乙地往返只用了5小时,去时所用的时间是回来的1 倍,去时每小时比回来时慢2

17千米。汽车往返共行了多少千米?

113、甲、乙两人以同样的速度,同时从A、B两地相向出发,内向遇后甲的速度提高了,用2 小时到达B地。32

1,再用多少小时可到达A地? 6

例题5:

一辆汽车从甲地开往乙地,如果把车速提高20%,可以比原定时间提前1小时到达;如果按原速行驶120千米后,再将速度提高25%,则可提前40分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米?

此题是将行程、比例、百分数三种应用题综合在了一起。解题时,我们可先求出改车按原定速度到达乙地所需的时间,再求出甲、乙两地的路程。

由车速提高20%可知,现在速度与原来速度的比是(1+20%):1=6:5,路程一定,所需时间比是速度比的反比。这样可算出原定时间为6小时。按原速行驶120千米后,速度提高25%可知,现速与原速的比是(1+25%):1=5:

214,即所需时间比为4:5,可算出行驶120千米后,还需 ÷(5—4)×5=3 (小时),这样120千米占全程的33

11(1— ×3 ),即可算出甲、乙两地的距离。 63

现速与原速的比:(1+20%):1=6:5

原定行完全程的时间:1÷(6—5)×6=6(小时)

行120千米后,加快的速度与原速的比:(1+25%):1=5:4

21行120÷(5—4)×5=3(小时) 33

11甲、乙两地的距离:120÷(1×3 )=270(千米) 63

答:甲、乙两地的距离270千米。

练习5:

1、一辆车从甲地开往乙地。如果把车速提高25%,呢么可以比原定时间提前24分钟到达;如果以原速形式80

1千米后,再将速度提高,那么可以提前10分钟到达乙地。甲、乙两地相距多少器秒年米毫 ? 3

2、一个正方形的一边减少20%,另一边增加2米,得到一个长方形。这个长方形的面积与原正方形的面积想等。原正方形面积是多少平方米?

3、客、货车同时从甲、乙两地相对开出,相遇时客、货两车所行路程的比是5:4,相遇后货车每小时比相遇前每小时多走27千米。客车仍按原速前进,结果两车同时到达对方的出发站,已知客车一共行了10小时。甲、乙两地相距多少千米?

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