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小学奥数六年级举一反三21-25

发布时间:2013-11-29 11:36:24  

第二十一周 抓“不变量”解题

专题简析:

一些分数的分子与分母被施行了加减变化,解答时关键要分析哪些量变了,哪些量没有变。抓住分子或分母,或分子、分母的差,或分子、分母的和等等不变量进行分析后,再转化并解答。

例1.

将437,求所加的这个数。 619

解法一:因为分数的分子与分母加上了一个数,所以分数的分子与分母的差不变,仍是18,所以,原题转化成了

7一各简单的分数问题:“一个分数的分子比分母少18,切分子是分母的 ,由此可求出新分数的分子和分母。” 9

7分母:(61-43)÷(1-)=81 9

7分子:81=63 9

81-61=20或63-43=20

4377解法二:的分母比分子多18的分母比分子多2,因为分数的 与分母的差不变,所以将 的分子、分母同6199

时扩大(18÷2=)9倍。

7① 的分子、分母应扩大:(61-43)÷(9-7)=9(倍) 9

777×963② 约分后所得的 在约分前是: = = 999×981

③ 所加的数是81-61=20 答:所加的数是20。

练习1:

9721、 ,那么减去的数是多少? 1815

132、 ,那么同加的这个数是多少? 135

3、 35 的分子、分母加上同一个数并约分后得 ,那么加上的数是多少? 197

5824、 将这个分数的分子、分母都减去同一个数,新的分数约分后是 ,那么减去的数是多少? 793

例2:

42将一个分数的分母减去2得,如果将它的分母加上1,则得 ,求这个分数。 53

4解法一:因为两次都是改变分数的分母,所以分数的分子没有变化,由“它的分母减去2”可知,分母比分子5

523倍还多2。由“分母加1”可知,分母比分子的 倍少1,从而将原题转化成一个盈亏问题。 432

35分子:(2+1- )=12 24

3分母:12=17 2

解法二:两个新分数在未约分时,分子相同。

2412412① 将两个分数化成分子相同的分数,且使分母相差3。= == 3618515

② 原分数的分母是:

1218-1=17或15+2=17 。 17

练习2:

1、

2、

3、

4、

例3: 73将一个分数的分母加上2得 ,分母加上3得。原来的分数是多少? 9434将一个分数的分母加上2得 ,分母加上2得。原来的分数是多少? 4534将一个分数的分母加上5得 ,分母加上4得。原来的分数是多少? 7957将一个分数的分母减去9得 ,分母减去6得。原来的分数是多少? 84

51在一个最简分数的分子上加一个数,这个分数就等于 ,求72

原来的最简分数是多少。

51017解法一:两个新分数在未约分时,分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数,即 =,。根据题意,714214

107两个新分数分子的差应为2和 的分子和分母再乘以2。所以 1414

510201714= , = 7142821428

17故原来的最简分数是。 28

解法二:根据题意,两个新分数的和等于原分数的2倍。所以

511717 (+)÷2= 答:原来的最简分数是 。 722828

练习3:

51、 一个最简分数,在它的分子上加一个数,这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数,这个分数就8

1等于 ,求这个分数。 2

62、 一个最简分数,在它的分子上加一个数,这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数,这个分数就7

1等于 ,求这个分数。 3

733、 一个分数,在它的分子上加一个数,这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数,这个分数就等于,95

求这个分数。

例4:

73将一个分数的分母加3得 ,分母加5得 。原分数是多少? 94

721321解法一:两个新分数在未约分时,分子相同。将两个分数化成分子相同的分数,即 =, 。根据题意,927428

2121721423两个新分数的分母应相差2,而现在只相差1,所以分别将 和的分子和分母再同乘以2。则 =2728927544

214242=。所以,原分数的分母是(54-3=)51。原分数是 。 285651

94解法二:因为分子没有变,所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的 ,分母加5后是分子的 ,因此,原73

4942分数的分子是(5-3)÷( )=42。原分数的分母是42÷7×9-3=51,原分数是 。 3751

练习4:

541、 一个分数,将它的分母加5得 ,加8,原来的分数是多少?(用两种方法) 65

672、 将一个分数的分母减去3,约分后得 ;若将它的分母减去5,。原来的分数是多少?(用两种方法做) 78

353、 把一个分数的分母减去2,约分后等于。如果给原分数的分母加上9,约分后等于 。求原分数。 47

例5:

11有一个分数,如果分子加1,这个分数等于 ;如果分母加1,这个分数就等于 ,这个分数是多少? 23

11根据“分子加1,这个分数等于 ”可知,分母比分子的2倍多2;根据“分母加1这个分数就等于”可知,分23

3母比分子的3倍少1。所以,这个分数的分子是(1+2)÷(3-2)=3,分母是3×2+2=8。 8

练习5:

111、 一个分数,如果分子加3,这个分数等于 ,如果分母加上1,这个分数等于 ,这个分数是多少? 23

112、 一个分数,如果分子加5,这个分数等于 ,如果分母减3,这个分数等于 ,这个 分数是多少? 23

113、 一个分数,如果分子减1;如果分母加11,这个分数等于,这个分数是多少? 23

答案:

练1

1、 41 2、17 3、 37 4、 16

练2

1、

练3

925311、 2、 3、164245

练4

60841651、 2、 3 67101222

练5

7791、 2、 3、20241621121220 2、 3、、 25132341

第二十二周 特殊工程问题

专题简析:

有些工程题中,工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显,这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路,如综合转化、整体思考等方法来解题。

例1:

修一条路,甲队每天修8小时,5天完成;乙队每天修10小时,6天完成。两队合作,每天工作6小时,几天可以完成?

把前两个条件综合为“甲队40小时完成”,后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则

11 1÷[ ]÷6=4(天) 5×810×6

或1÷[(11)×6]=4(天) 5×810×6

答:4天可以完成。

练习1:

1、 修一条路,甲队每天修6小时,4天可以完成;乙队每天修8小时,5天可以完成。现在让甲、乙两队合修,要求2天完成,每天应修几小时?

2、 一项工作,甲组3人8天能完成,乙组4人7天也能完成。现在由甲组2人和乙组7人合作,多少天可以完成?

3、 货场上有一堆沙子,如果用3辆卡车4天可以完成,用4辆马车5天可以运完,用20辆小板车6天可以运完。现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运两天后,全改用小 板车运,必须在两天内运完。问:后两天需要多少辆小板车?

例2:

有两个同样的仓库A和B,搬运一个仓库里的货物,甲需要10小时,乙需要12小时,丙需要15小时。甲和丙在A仓库,乙在B仓库,同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后,两个仓库同时搬完,丙帮助甲、乙各多少时间?

设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看,相当于三人共同完成工作量“2”

① 三人同时搬运了

111 2÷( + )=8(小时) 101215

② 丙帮甲搬了

11 (×8)÷ =3(小时) 1015

③ 丙帮乙搬了

8-3=5(小时) 答:丙帮甲搬了3小时,帮乙搬了5小时。

练习2:

111、 师、徒两人加工相同数量的零件,师傅每小时加工自己任务的。师、徒1015

同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助徒弟加工,直至完成任务,师傅帮徒弟加工了几小时?

2、 有两个同样的仓库A和B,搬运一个仓库里的货物,甲需要18小时,乙需要12小时,丙需要9小时。甲、乙在A仓库,丙在B仓库,同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后,两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时?

53、 甲、乙两人同时加工一批零件,完成任务时,甲做了全部零件的 ,乙每小时加工12个零件,甲单独加工这8

批零件要12小时,这批零件有多少个?

例3:

一件工作,甲独做要20天完成,乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了若干天,然后由乙继续做完,从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天?

解法一:根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答,很容易理解。

解:设甲做了x天,则乙做了(14-x)天。

11 x+ ×(14-x)=1 X=5 2012

111解法二:假设这14天都由乙来做,那么完成的工作量就是 ×14,比总工作量多了 ×14-1=,乙每天的能够12126

11111做量比甲每天的工作两哦了 - =,因此甲做了 (天) 122030630

练习3:

1、 一项工程,甲独做12天完成,乙独做4天完成。若甲先做若干天后,由乙接着做余下的工程,直至完成全部任务,这样前后共用了6天,甲先做了几天?

2、 一项工程,甲队单独做需30天完成,乙队单独做需40天完成。甲队单独做若干天后,由乙队接着做,共用35天完成了任务。甲、乙两队各做了多少天?

3、 一项工程,甲独做要50天,乙独做要75天,现在由甲、乙合作,中间乙休息几天,这样共用40天完成。求乙休息的天数。

例4:

甲、乙两人合作加工一批零件,8天可以完成。中途甲因事停工3天,因此,两人共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件,需要多少天才能完成?

解法一:先求出乙的工作效率,再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。

17① 甲、乙同时做的工作量为×(10-3)= 88

71② 乙单独做的工作量为1-= 88

11③ 乙的工作效率为 ÷3= 824

111④ 甲的工作效率为 -= 82412

1⑤ 甲单独做需要的天数为1÷=12(天) 12

解法二:从题中得知,由于甲停工3天,致使甲、乙两人多做了(10-8=)2天。由此可知,甲3天的工作量相当于这批零件的2÷8=1/4

3÷[(10-8)÷8]=12(天)或

3×[8÷(10-8)]=12(天)

答:甲单独做需要12天完成。

练习4:

1、 甲、乙两人合作某项工程需要12天。在合作中,甲因输请假5天,因此共用15天才完工。如果全部工程由甲单独去干,需要多少天才能完成?

2、 一段布,可以做30件上衣,也可做48条裤子。如果先做20件上衣后,还可以做多少条裤子?

3、 一项工程,甲、乙合作6小时可以完成,同时开工,中途甲通工了2.5小时,因此,经过7.5小时才完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时?

4、 一项工程,甲先单独做2天,然后与乙合作7天,这样才完成全工程的一半,已知甲、乙工作效率的比是3:2,如果这件工作由乙单独做,需要多少天才能完成?

例5:

放满一个水池的水,如果同时开放①②③号阀门,15小时放满;如果同时开放①③⑤号阀门,12小时可以放满;如果同时开放②④⑤号阀门,8小时可以放满。问:同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池?

11从整体入手,比较条件中各个阀门出现的次数可知,①③号阀门各出现3次,②④⑤号阀门各出现2次。 1510

111+再加一个 ,则是五个阀门各放3小时的总水量。 1288

111111 1÷[ +)÷3]=1÷[ ÷3]=6(小时) 151012882

练习5:

1、 完成一件工作,甲、乙合作需15小时,乙、丙两人合作需12小时,甲、丙合作需10小时。甲、乙丙三人合作需几小时才能完成?

2、 11一项工程,甲干3天,乙干5天可以完成,甲干5天、乙干3。甲、乙合干需几天完成? 23

3、 完成一件工作,甲、乙两人合作需20小时,乙、丙两人合作需28小时,丙、丁两人合作需30小时。甲、丁两人合作需几小时?

4、 一项工程,由一、二、三小队合干需18天完成,由二、三、四小队合干需15天完成,由一、二、四小队合干需12天完成,由一、三、四小队合干需20天完成。由第一小队单独干需要多少天?

答案:

练1

1、

2、

3、 111 +)÷2=7.5小时 4×68×5111 ×2+×7)=3天 3×84×71111(1)共同运两天后,还剩这堆黄沙的 1-( ×2+ ×5+×7)×2= 3×44×520×64

11 (2)后两天需要小板车: ×2)=15辆 420×6

练2

1、

2、 112 )-10=2小时 10151112 +)=8小时 18129

11甲帮乙:(1- ×8)÷=6小时 1218

11甲帮丙:(1- ×8)÷ =2小时 918

3、 515解法一:12×(÷ )÷(1- )=240个 8128

解法二:12÷(8-5)×5×12=240个

练3

1、

2、 111( ×6-1)÷( -)=3天 4412111甲:(1- ×35- )=15天 403040

1140-(1- ×40=25天 5075乙:35-15=20天 3、

练4

1、 5×【12÷(15-12)】=20天

2、 48-48÷30×20=16条

3、 2.5×【6÷(7.5-6)】=10小时

练5

1、

2、

3、 1111÷【( +)÷2】=8小时 151210111÷【( )÷(3+5)】=9.6天 231111 -)=21小时 203028

111114、 1÷【( + +)÷3- 】=54天 1815122015

第二十三周 周期工程问题

专题简析:

周期工程问题中,工作时工作人员(或物体)是按一定顺序轮流交替工作的。解答时,首先要弄清一个循环周期的工作量,利用周期性规律,使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间,这样才能正确解答。

例1:一项工程,甲单独做需要12小时,乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时,再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作,问完成任务时需共用多少小时?

把2小时的工作量看做一个循环,先求出循环的次数。

1136① 需循环的次数为:1÷( +)>7(次) 12185

111② 7个循环后剩下的工作量是:1-( +)×7= 121836

111③ 余下的工作两还需甲做的时间为: ÷(小时) 36123

11④ 完成任务共用的时间为:2×7+(小时) 33

1答:完成任务时需共用小时。 3

练习1:

1、 一项工程,甲单独做要6小时完成,乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙;甲、乙……的顺序交替工作,每次1小时,需要多少小时才能完成?

2、 一部书稿,甲单独打字要14小时,乙单独打字要20小时。如果先由甲打1小时,然后由乙接替甲打1小时;再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作,打完这部书稿共需用多少小时?

3、 一项工作,甲单独完成要9小时,乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙;甲、乙……的顺序轮流工作,每人每次工作1小时,完成这项工程的2/3共要多少时间?

2例2:一项工程,甲、乙合作26 天完成。如果第一天甲做,第二天乙做,这样交替轮流做,恰好用整数天完成。3

如果第一天乙做,第二天甲做,这样交替轮流做,比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成?

由题意可以推出“甲先”的轮流方式,完成时所用的天数为奇数,否则不论“甲先”还是“乙先”,两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数,两种轮流方式的情况可表示如下:

甲乙甲乙……甲乙 甲

1 乙甲乙甲……乙甲 甲 2

竖线左边做的天数为偶数,谁先做没关系。竖线右边可以看出,乙做一天等于甲做半天,即甲的工作效率是乙的2倍。

② 221甲每天能做这项工程的1÷26× 31+2401甲单独做完成的时间1÷(天) 40

答:这项工程由甲单独做需要40天才能完成。

练习2:

1、 一项工程,乙单独做20天可以完成。如果第一天甲做,第二天乙做,这样轮流交替做,也恰好用整数天完成。如果第一天乙做,第二天甲做,这样轮流交替做,比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成?

2、 一项工程,甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做,第二天乙做,这样轮流交替做,恰好也用整

1数天完成。如果第一天乙做,第二天甲做,这样轮流交替做,比上次轮流做要多 天才能完成。这项工程由甲、乙3

合作合作几天可以完成?

3、 3一项工程,甲、乙合作12小时可以完成。如果第一小时甲做,第二小时乙做,这样轮流交替做,5

1也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做,第二小时甲做,这样轮流交替做,小时才能完成。3

这项工程由甲独做几小时可以完成?

4、 蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管5小时灌满一池水,单开排水管3小时排完一池水。现在池内有半池水,如果按进水、排水;进水、排水……的顺序轮流依次各开1小时,多少小时后水池的水刚好排完?

例3:一批零件,如果第一天甲做,第二天乙做,这样交替轮流做,恰好用整数天数完成。如果第一天乙做,第二天甲做,这样交替轮流做,做到上次轮流完成时所用的天数后,还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5:3。甲、乙每天各做多少个?

由题意可以推出“甲先”的轮流方式,完成时所用的天数为奇数,否则不论“甲先”还是“乙先”,两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数,两种轮流方式的情况可表示如下:

甲乙甲乙……甲乙 甲

乙甲乙甲……乙甲 乙剩60个

竖线左边做的天数为偶数,谁先做没关系。竖线右边可以看出,剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。 甲每天做的个数为:60÷(5-3)×5=150(个)

乙每天做的个数为:60÷(5-3)×3=90(个)

答:甲每天做150个,乙每天做90个。

练习3:

1、 一批零件如果第一天师傅做,第二天徒弟做,这样交替轮流做,恰好用整数天完成。如果第一天徒弟做,第二天师傅做,这样交替轮流做,做到上次轮流完成时所用的天数后,还剩84个不能完成。已知师、徒工作效率的比是7:4。师、徒二人每天各做多少个?

2、 一项工程,如果第一天甲做,第二天乙做,这样交替轮流恰好用整数天完成。如果死一天乙做,第

25二天甲做,这样交替轮流做要多 天才能完成。如果让甲、乙二人合作,只需2 天就可以完成。现在,由乙独做58

需要几天才能完成?

3、 红星机械厂有1080个零件需要加工。如果第一小时让师傅做,第二小时让徒弟做,这样交替轮流,恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做,第二小时让师傅做,这样交替轮流,做到上次轮流完成时所用的天数后,还剩60个不能完成。如果让师、徒二人合作,只需3小时36分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个?

例4:打印一部稿件,甲单独打要12小时完成,乙单独打要15小时完成。现在,甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时,乙工作2小时;甲工作2小时,乙工作1小时;甲工作1小时,乙工作2小时……如此这样交替下去,打印这部书稿共要多少小时?

根据已知条件,我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中,甲、乙都工作了3小时。 ①

1 4

⑤ 11打印这部稿件共需的时间为:6×2+1+ =13 (小时) 44119每循环一次,他们共完成全部工程的( +)×3= 12152092总工作量里包含几个9/20:1÷ 20991甲、乙工作两个循环后,剩下全工程的1-×2= 201011111> ,所以,求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为( -)÷ 1012101215

1答:打印这部稿件共需小时。 4

练习4:

1、 一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管,24分钟能包空池灌满;单开乙管,18分钟能把空池灌满。现在,甲、乙两管轮流开放,按照甲1分钟,乙2分钟,甲2分钟,乙1分钟,甲1分钟,乙2分钟……如此交替下去,灌满一池水共需几分钟?

2、 一件工作,甲单独做,需12小时完成;乙单独做需15小时完成。现在,甲、乙两人轮流工作,甲工作2小时,乙工作1小时;甲工作1小时,乙工作2小时;甲工作2小时,乙工作1小时……如此交替下去,完成这件工作共需多少小时?

3、 一项工程,甲单独做要50天完工,乙单独做需60天完工。现在,自某年的3月2日两人一起开工,

52甲每工作3天则休息1天,乙每工作5天则休息一天,完成全部工程的 为几月几日? 75

4、 一项工程,甲工程队单独做完要150天,乙工程队单独做完需180天。两队合作时,甲队做5天,休息2天,乙队做6天,休息1天。完成这项工程要多少天?

例5:

有一项工程,由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做,恰好整数天完成呢感。如果按乙、

1丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5天;如果按丙、甲、乙次序做,比原计划多用 天。已知甲单独做13天完成。3

且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工?

由题意可以推出:按甲、乙、丙次序轮做,能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3的倍数,三种轮流方式完工的天数,必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做,用的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下:

甲乙丙,甲乙丙,……甲乙丙, 甲

1乙丙甲,乙丙甲,……乙丙甲, 乙丙 2

1丙甲乙,丙甲乙,……丙甲乙, 丙甲 3

21212从中可以退出:丙甲;由于乙=甲-丙=甲-甲×,又推出乙= 甲;与题中“三个工程队的工效各不相32323

同”矛盾。所以,按甲、乙、丙的次序轮做,用的天数必定是3的倍数余2。三种轮流方式用的天数必定如下所示: 甲乙丙,甲乙丙,……甲乙丙, 甲乙

1乙丙甲,乙丙甲,……乙丙甲, 甲 2

1丙甲乙,丙甲乙,……丙甲乙, 乙 3

12由此推出:丙= 甲,丙= 乙 23

③ 111× =13226123÷ = 263521137甲、乙、丙合作完工需要的时间为1÷( + +)=5 (天) 1326529

7答:甲、乙、丙合作要5 天完工。 9

练习5:

1、 有一项工程,由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做,恰好用整数天完成呢感。如

11天;如果按丙、甲、乙次序做,比原计划多用 天。已知甲单独做7天34

完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工?

2、 有一项工程,由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做,恰好整数天完成呢感。如果

11天;如果按丙、甲、乙次序做,比原计划多用天。已知甲单独做10天22

完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工?

3、 有一项工程,由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做,恰好整数天完成

11呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天;如果按丙、甲、乙次序做,比原计划多用 天。已知这项23

7工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作,需13天可以完成,且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲独做9

需要多少天才能完成?

4、 蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水,单开甲管需要3小时,单开丙

1管需要5小时。要排光一池水,单开乙管要4小时,单开丁管要6小时。现知池内有 池水,如果按甲、乙、丙、6

丁,甲、乙、丙、丁……的顺序轮流各开1小时,多长时间后水开始溢出水池?

答案:

练1

1、 (1)需循环的次数

1115 1 )=>3 6104

(2)3个循环后剩下的工作量

111 1 )×3= 6105

(3)最后由乙做的时间

1111 ( )÷= 小时 56103

(4)需要的总时间

11 2×3+1+=7小时 33

2、 (1)需循环的次数

11140 1 )= >8 142017

(2)3个循环后剩下的工作量

114 1 )×8=1420140

(3)最后由乙做的时间

412 ÷= 小时 140145

(4)需要的总时间

22 2×=16小时 55

3、 (1)需循环的次数

21124 ÷( )= >3 39127

(2)3个循环后剩下的工作量

2111 -( )×3=391212

(3)最后由乙做的时间

113 ÷= 小时 1294

(4)需要的总时间

33 2×3+=6小时 44

练2

1、 提示:甲的效率是乙的2倍 20÷2=10天

2、 23

1113 1×(1-)+】=3天 6365

3、 23

33 1÷(1÷12 × )=21小时 53-1+3

4、 (1)需几个周期

11115 ÷(- )×3=>3 2354

(2)3个周期后剩下的水

1111 -(- )×3=23510

(3)需要的时间

1119 2×3+1+( + =7 小时 105310

练3

1、 师傅:84÷(7-4)×7=196个 徒弟:84÷(7-4)×4=112个

232、 提示:乙的效率是甲的(1)= 55

53 1÷(1÷2 × )=7天 85-2+5

33、 3小时36分=3 小时 5

3 师、徒效率和:1080÷3 =300个 5

师傅每小时的个数:(300+60)÷2=180个 徒弟每小时的个数:(300-60)÷2=120个 练4

1、

(1) 提示:把6分钟看作一个循环 每循环一次的工作量

117()×(1+2)= 241824

(2) 7总工作量里面有几个 24

73 1=247

(3) 3个循环后剩下的工作量

71 1- ×3=248

(4) 一共需要的时间

1111 6×3+1+( -)÷ =20 分钟 824182

2、

(1) 提示:把6分钟看作一个循环 1个循环的工作量

119()×(1+2)= 121520

(2) 9总工作量里面有几个 20

92 1=209

(3) 3个循环后剩下的工作量

91 1- ×2=2010

(4) 一共需要的时间

111 6×÷ =13 小时 10125

11 说明:2个循环后,是由甲接着干2÷ 1012

3、 提示:把12天看作一个循环

12天中甲的工作量

19 ×(3+3+3)= 5050

12天中乙的工作量

11 ×(5+5)= 606

总共需要的天数

5291 ÷( +)=2 75506

(12天减去最后休息的1天)

12×2-1=23天

52 完成全部任务的 为3月24日。 75

4、 提示:把7天看作一个周期

22 1÷( ×5+ ×6)=15 33

7×15-1=104天

练5

1、 提示:按甲、乙、丙的顺序轮流做,所用的整数天数为3的倍数余2,否则与题意不符。由此推出丙的效率

23是甲的 ,丙的效率也是乙的 。 34

(1)

(2)

(3)

2、 122 × =7321238÷ 2146312817甲、乙、丙三队合做的天数1÷( + +)=2天 7216323提示:按甲、乙、丙的顺序轮流做,所用的整数天数为3的倍数余1,否则与题意矛盾。由此可以

13。 24

(1)

(2)

(3)

3、

是4:3:2。

74 1÷(1÷13×)=31天 94+3+2

4、

(1) 2提示:每四个水管轮流打开后,水池中的水不能超过 ,否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出。 32水池里的水超过 时需要几个循环 3111丙的效率 ×= 102201113乙的效率 ×(1- × )=1022401134甲、乙、丙三队合做的天数1÷( +)=4天 1020409122由题意可以推出,丙的效率是甲的= ,丙的效率是乙的 ,进而推出甲、乙、丙工作效率的比243

21111130 - )÷( - )= >4 3634567

(2) 循环5次以后,池中水占

111113 +- + )×5 634564

(3) 总共需要的时间

313 4×5+(1- )÷ =20 小时 434

第二十四周 比较大小

专题简析:

我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分数大小的方法。本周将进一步研究如何比较一些较复杂的数或式子的值的大小。

解答这种类型的题目,需要将原题进行各种形式的转化,再利用一些不等式的性质进行推理判断。如:a>b>0,

11a那么a的平方>b的平方;如果a>b>0,那么 <;如果 >1,b>0,那么a>b等等。 abb

比较大小时,如果要比较的分数都接近1时,可先用1减去原分数,再根据被减数相等(都是1),减数越小,差越大的道理判断原分数的大小。

如果两个数的倒数接近,可以先用1分别除以这两个数。再根据被除数相等,商越小,除数越大的道理判断原数的大小。

除了将比较大小转化为比差、比商等形式外,还常常要根据算式的特点将它作适当的变形后再进行判断。

例1:

777773888884比较和的大小。 777778888889

这两个分数的分子与分母各不相同,不能直接比较大小,使用通分的方法又太麻烦。由于这里的两个分数都接近1,所以我们可先用1分别减去以上分数,再比较所得差的大小,然后再判断原来分数的大小。

77777358888845因为1- = ,1-777778777778888889888889

55 > 777778888889

777773888884所以<。 777778888889

练习1:

1、

2、

3、

例2:

1111111比较和 哪个分数大? 111111111

可以先用1分别除以这两个分数,再比较所得商的大小,最后判断原分数的大小。

11111111因为1÷==10 1111111111

11111111111÷ = =10 1111111111111

1011 > 111111177777756666661比较 和 的大小。 7777777666666398765987698798将 ,, 按从小到大的顺序排列出来。 98766987798899235861652971 和 的大小。 235862652974

1111111所以< 111111111

练习2:

333331、 比较A=和B= 的大小 1666166

1111111104444444432、 和 的大小 222222221888888887

888888799999913、 比较 和的大小。 88888899999994

例3:

1234512346 比较和的大小。 9876198765

两个分数中的分子与分子、分母与分母都较为接近,可以根据通分的原理,用交叉相乘法比较分数的大小。 因为12345×98765

=12345×98761+12345×4

=12345×98761+49380

12346×98761

=12345×98761+98760

而 98761>49380

所以12346×98761>12345×98765

则1234512346 9876198765

176177比较的大小。 257259

2222144443如果A=,B=,那么A与B中较大的数是_______. 3333266665

123456712345671试比较与 的大小。 987654398765431练习3 1、 2、 3、

例4.

123473已知A×15×1 =B× ×15=C×15.2=D×14.8× 。A、B、C、D四个数中最大的是_______. 9934574

123473求A、B、C、D四个数中最大的数,就要找15×1 , ÷×15,15.2÷,14.8×中最小的。 9934574

1 15×>15 99

4 15.2>15 5

231 ÷ ×15=343

73 14.8=14.6 74

23 ÷ ×15的积最小,所以B最大。 34

练习4

2411、 已知A×1 =B×90%=C÷75%=D× =E÷1 。把A、B、C、D、E这5个数从小到大排列,第二个数是355

______.

1、 ●●●2524132、 有八个数,0.51 ,0.51 是其中的六个数,如果从小到大排列时,第四个394725

数是0.5111?,那么从大到小排列时,第四个数是哪个?

3、 在下面四个算式中,最大的得数是几?

1111 (1)( +)×20 (2)( )×30 17192429

1111 (3)( +)×40 (4)( )×50 31374147

例5.

图24-1中有两个红色的正方形,两个蓝色的正方形,它们的面积已在图中标出(单位:平方厘米)。问:红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大?

通过计算结果再比较大小自然是可以,但比较麻烦。我们可以采取间接比较的方法。

19972-1997

2 =(1997+1966)×(

1997-1996)

=3993

19932-19922 =(1993+1992)×(1993-1992)

=3985

() 因为19972-19972 >19932-19922

所以 19972+19972 >19932+19922

练习5

1、 如图24-2所示,有两个红色的圆和两个蓝色的圆。红色的两圆的直径分别是1992厘米和1949厘米,蓝色的两圆的直径分别是1990厘米和1951厘米。问:红色的两圆面积之和大,还是蓝色的两圆面积之和大?

2、 如图24-3所示,正方形被一条曲线分成了A、B两部分,如果x >y,是比较A、B两部分周长的大小。

3、

x

1357991问 ×× ×?×与 相比,哪个更大?为什么? 246810010

图24-2 图24-3

答案:

练1

1、 77777756666661 >77777776666663

989879876987652、 <<<99988987798766

2358616529713、> 235862652974

练2

1、 33333> 1666166

1111111104444444432、 222222221888888887

888888799999913、 > 88888899999994

练3

1761771、 >257259

22221444432、 <3333266665

1234567123456713、 < 987654398765431

练4

1、 C

2、 ●●●●251324六个已知的数的大到小排列是> > >0.51 >0.51> ,因为0.51是八个数从小到大排列392547

●●●的第四个,说明另外两个数一定比0.51小,所以这八个数中第四个大的数是0.51。

3、

练5

1、

2、

3、

(3)的积最大 红色两圆的面积大 B的周长大。 1357991 ×× × ×?× <。 246810010

第二十五周 最大最小问题

专题简析:

人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题,最终都表现为数学上的极值问题,即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用所学的各种知识。

例1:

a-ba和b是小于100的两个不同的自然数,求的最大值。 a+b

根据题意,应使分子尽可能大,使分母尽可能小。所以b=1;由b=1可知,分母比分子大2,也就是说,所有的分数再添两个分数单位就等于1,可见应使所求分数的分数单位尽可能小,因此a=99

a-b99-149 的最大值是 a+b99+150

a-b49 答:的最大值是 。 a+b50

练习1:

1、

2、

3、

最小值。

例2:

22有甲、乙两个两位数,甲数等于乙数的 。这两个两位数的差最多是多少? 73

22甲数:乙数= :=7:3,甲数的7份,乙数的3份。由甲是两位数可知,每份的数量最大是14,甲数与乙数相37

差4份,所以,甲、乙两数的差是14×(7-3)=56

答:这两个两位数的差最多是56。

练习2:

1、

2、 34有甲、乙两个两位数,甲数的 。这两个两位数的差最多是多少? 10551甲、乙两数都是三位数,如果甲数的恰好等于乙数的。这两个两位数的和最小是多少? 64x-y设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数,求 的最大值。 x+ya-ba和b是小于50的两个不同的自然数,且a>b,求的最小值。 a+bx+yx+y设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数,且x>y,①求的最大值; 的x-yx-y

3、 加工某种机器零件要三道工序,专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个,要使每天三道工序完成的个数相同,至少要安排多少工人?

例3:

如果两个四位数的差等于8921,就是说这两个四位数组成一个数对。问:这样的数对共有多少个?

在这些数对中,被减数最大是9999,此时减数是9999-8921=1078,被减数和剑术同时减去1后,又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数,最多可以减去78,因此,这样的数对共有78+1=79个。 答:这样的数对共有79个。

练习3

1、 两个四位数的差是8921。这两个四位数的和的最大值是多少?

2、 如果两个三位数的和是525,就说这两个三位数组成一个数对。那么这样的数对共有多少个?组成这样的数对的两个数的差最小是多少?最大是多少?

3、 如果两个四位数的差是3456,就说这两个数组成一个数对。那么,这样的数对共有多少个?组成这样的数对的两个数的和最大是多少?最小是多少?

例4.

三个连续自然数,后面两个数的积与前面两个数的积之差是114。这三个数中最小的是多少?

因为:最大数×中间数-最小数×中间数=114,即:(最大数-最小数)×中间数=114

而三个连续自然数中,最大数-最小数=2,因此,中间数是114÷2=57,最小数是57-1=56

答:最小数是56。

练习4

1、 桑连续的奇数,后两个数的积与前两个数的积之差是252。三个数中最小的数是______.

2、 a、b、c是从小到大排列的三个数,且a-b=b-c,前两个数的积与后两个数的积之差是280。如果b=35,那么c是_____。

3、 6510被分数 ,除得的结果都是整数的最小分数是______。 71421

例5.

三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是2886。求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。 因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。所以,2886÷222能得到三个数字的和。

设三个数字为a、b、c,那么6个不同的三位数的和为

abc+acb+bac+bca+cab+cba

=(a+b+c)×100×2+(a+b+c)×100×2+(a+b+c)×100×2

=(a+b+c)×222

=2886

即a+b+c=2886÷222=13

答:所有这样的6个三位数中,最小的三位数是139。

练习5

1、 有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是3108。所有这样的6个三位数中最大的一个是多少?

2、 有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是2220。所有这样的6个三位数中最小的一个是多少?

3、 用a、b、c能组成6个不同的三位数。这6个三位数相加的和是2886。已知a、b、c三个数字中,最大的数字是最小数字的2倍,这6个三位数中最小的数是多少?

答案:

练1

1、 991201 2、 3、 (1)399 (2) 10197199

练2

1、 甲、乙两数的比是8:3,甲数最大是96 ,差最大是60。

2、 甲、乙两数的比是3:10,甲数最小是102,和最小是442。

1113、 一、二、三道工序所需的工人数的比是: =14:21:24,所以至少安排14+21+24=59个工人。 483228

练3

1、 9999+(9999-8921)=11077

2、 较小的数最大是(521-1)÷2=262,100~262共有163个自然数,所以共有163对,两个数的差最大是525-100-100=325

3、 数对共有9999-3456-1000+1=5544个,两个数的和最大是9999-3456+9999=16542,两个数

的和最小是1000+3456+1000=5456

练4

1、 最大数-最小数=4 中间数=252÷4=63 最小数=63-2=61

2、 根据题意可得(a-c)×b=280,进而可以推出a-c=280÷b=280÷35=8,所以,c=35-8÷2=31

303、 所求的分数,它的分子是6,5,10的最小公倍数,分母是7,14,21的最大公约数,所以答案是。 7

练5

1、 符合题意的三个数字之和是3108÷222=14,因此,所有这样的6个三位数中最大的一个是941(三个数字不能有0,否则就不能排出6个不同的三位数)。

2、 三个数字的和是2220÷222=10,最小的一个是127。

3、 最小的数是346。

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