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2012魏矿中学初三数学竞赛试卷答案

发布时间:2013-11-30 09:02:36  

2009年魏矿中学九年级数学竞赛试题答案

1、答:选(B)

∵ a、b是关于x的方程

?x?1?2?3(x?1)?3?0

的两个根,整理此方程,得

x2?5x?1?0,

∵ ??25?4?0,

∴ a?b??5,ab?1.

故a、b均为负数. 因此 babaa2?b2

b?a??ab?ab??ababab

2、B

3、答:选(C)

∵ a?h?0,b?h?0,

∴ ab?h,a?b?h?h?2h;

因此,结论(A)、(D)显然不正确.

设斜边为c,则有a?b?c,2222222?a?b??2abab????23. ab111(a?b)h?ch?ab,即有 222

111??, abh

因此,结论(B)也不正确.

4.答:选(B)

由DE∥AB∥FG知,△CDE∽△CAB,△CDE∽△CFG,所以 CD?CA

又由题设知S?CDE?S?CAB21?, 324FD1?,所以 FA2FD1?, AD31131FD?AD??AC?AC, 3344

FD?DC,于是

1

S?CDE?1?1????,S?CFG?8. S?CFG?2?4

因此,结论(B)是正确的.

5.答:选(D) 将y?3?x代入xy?x?0,得x?x?3x?0.

(1)当x>0时,x?x?3x?0,方程x?x?3?0无实根;

(2)当x<0时,x?x?3x?0,得方程x?x?3?0 解得x?32232233221?1?,正根舍去,从而x?. 22

1?7??. 22于是y?3?x?3?

故x?y?4?.

因此,结论(D)是在正确的.

6. B 7.C 8。

9.【答】a?0,或a??1.

解:由x?(a?x)??1,得 4

(a?1)x2?(a?1)x?1?0, 4

依题意有 ?

解得,a?0,或a??1.

10.【答】9. ?a?1?0,2???(a?1)?(a?1)?0,

解:如图,设点N是AC的中点,连接MN,则MN∥AB. 又MF//AD,

所以 ?FMN??BAD??DAC??MFN,

2

1

AB. 2

11

因此 FC?FN?NC?AB?AC?9.

22

所以 FN?MN?11.【答】12.答:5。①

时,

;②

时,易知

(第10题答案5

再由且是整数,知有5个。

①、②得符合条件的整数

13.答:30°

解:设?CAD?2?,由AB=AC知

数,段成比例,

所以

是方程的一个整数根,

;由 ,∴

?B?

1

(180??60??2?)?60???, 2

?ADB?180???B?60??60???,

由AD=AE知,?ADE?90???,

所以?EDC?180???ADE??ADB?30?. 14.答:?5

解:由a?b?x?y?2,得(a?b)(x?y)?ax?by?ay?bx?4, ∵ ax?by?5, ∴ ay?bx??1.

因而,(a?b)xy?ab(x?y)?(ay?bx)(ax?by)??5. 15.答:4或6

解:延长DA至M,使BM⊥BE. 过B作BG⊥AM,G为垂足.易知四边形BCDG为正方形, 所以BC=BG. 又?CBE??GBM,

∴ Rt△BEC≌Rt△BMG.

∴ BM=BE,?ABE??ABM?45?, ∴△ABE≌△ABM,AM=AE=10.

设CE=x,则AG=10?x,AD=12?(10?x)?2?x,DE=12?x.

2

2

2

2

3

在Rt△ADE中,AE2?AD2?DE2,

∴ 100?(x?2)?(12?x),

即x?10x?24?0,

解之,得x1?4,x2?6.

16..答案:A

解:四册教材任取两册共有6种不同的取法,取出的两册是一套教材的共有4种不同的取法,故所求概率是22242?. 63

217、解:将a?4?2b代入ab?c?1?0,得2b2+4b+c2?1=0, ?????2分

?2?6?2c2

∴ b?. ?????????????2分 2

b1?0,∵ b,c都是整数,∴ 只能取??c?1; ?1

相对应a1=4,a2=4,a3=0,a4=0.

故所求a?b?c的值有4个:5,3,?1,?3. ???????????4分

18、解:因为方程有两个不相等的实数根,所以

?b2?0, ?c??1;?2?b3??2, ?c?1;?3?b4??2,,?4分 ?c??1?4

,∴。 根据题设,有。

(1)因为

, 即。

4

由于,故。

19. 解 (1)列举所有可能出现搭档的结果如下:???(5分)

男1号与女1号,男1号与男2号,男1号与女2号,男1号与男3号,男1号与女3号,

女1号与男2号,女1号与女2号,女1号与男3号,女1号与女3号,男2号与女2号,

男2号与男3号,男2号与女3号,女2号与男3号,女2号与女3号,男3号与女3号。

(2)第(1)列举的结果共有15中,这15种结果是“等可能”的,其中同一年级男、女选手组成搭档的有“男1号与女1号”“ 男2号与女2号”“ 男3号与女3号”三种结果,所以同一年级男、女选手组成搭档的概率为3?0.2。???(8分) 15

(3)第(1)列举的结果共有15中,这15种结果是“等可能”的,高年级男选手与低年级女选手组成搭档的有“女1号与男2号”“ 女1号与男3号”“ 女2号与男3号” 三种结果,所以高年级男选手与低年级女选手组成搭档的概率为3?0.2。???(10分) 15

说明:第(1)问三种情况1分,只要第(1)问出错,第(2)(3)问不得分。

20、解:(1)令x?0,得y?b,b?0;令y?0,得x??b?0,k?0. k

所以A,B两点的坐标分别为A(?,0),B(0,b),于是,△OAB的面积为 b

k

S?

由题意,有 1bb?(?). 2k1bbb?(?)???b?3, 2kk

2b?b2

解得 k?,b?2.?????? 5分 2(b?3)

1bb(b?3)(b?2)2?7(b?2)?10? (2)由(1)知 S?b?(?)? 2kb?2b?

2

?b?2?102?7?)?7?7?2, b?2 5

当且仅当b?2?号成立.

10

时,有S?b?2?,k??1时,不等式中的等b?

2

所以,△ABC面积的最小值为7?2. ?????? 15分

12.是否存在质数p,q,使得关于x的一元二次方程px?qx?p?0有有理数根?

解:设方程有有理数根,则判别式为平方数.令??q?4p?n, 其中n是一个非负整数.则(q?n)(q?n)?4p. ?????? 5分 由于1≤q?n≤q+n,且q?n与q?n同奇偶,故同为偶数.因此,有如下几种可能情形:

2

2

2

2

2

?q?n?2,

?2

?q?n?2p,

2

?q?n?4,

?2

?q?n?p,p?q?n?, ?

p?q?n?4,p?q?n?p2,?q?n?2,

? ?

p?q?n?4.?q?n?2,

p25pp2

消去n,解得q?p?1.?????? , q?2?, q?, q?2p, q?2?

222

10分

对于第1,3种情形,p?2,从而q=5;对于第2,5种情形,p?2,从而q=4(不合题意,舍去);对于第4种情形,q是合数(不合题意,舍去).

又当p?2,q=5时,方程为2x?5x?2?0,它的根为x1?有理数.

综上所述,存在满足题设的质数?????? 15分 ★12、已知a,b为正整数,关于x的方程x

关于

2

2

1

,x2?2,它们都是2

?2ax?b?0的两个实数根为x1,x2,

的两个实数根为

y

的方程

y2?2ay?b?0

y1,y2

,且满足

x1?y1?x2?y2?2008.

求b的最小值. 另解:由韦达定理,得

x1?x2?2a, x1?x2?b;y1?y2??2a, y1?y2?b

?y1?y2??2a??(x1?x2)?(?x1)?(?x2)即? , 

(?x2)?y1?y2?b?(?x1)?

6

?y1??x1?y1??x2解得:? 或??y2??x2?y2??x1

把y1,y2的值分别代入x1?y1?x2?y2?2008

(?x1)?得x1?x2?(?x2)?2008

x2?(?x1)?2008(不成立) (?x2)?或x1?

即x22?x12?2008,(x2?x1)(x2?x1)?2008

因为x1?x2?2a?0, x1?x2?b?0

2a?2008

即a所以x1?0, x2?0 于是有

?502?1?502?2?251 因为a,b都是正整数,

?a?1?a?505?a?2?a?251所以? 或?2或?2或?2222?a?b?502?a?b?1?a?b?251?a?b?4

?a?1?a?502?a?2?a?251分别解得:? 或?或?或?2222?b?1?502?b?502?1?b?2?251?b?251?4?a?502?a?251经检验只有:?符合题意. , ?22?b?502?1?b?251?4

所以b的最小值为:b最小值

?2512?4=62997

11、如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(15,6),直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分,那么=________。 答:。直线通过点D(15,5),故BD=1。当时,直线通过

,两点,则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。

7

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