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第21届希望杯初二年级组第1试试题及答案解析

发布时间:2013-12-01 09:31:19  

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第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第1试

一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内.

1.下列图案都是由字母m组合而成的,其中不是中心对称图形的是( A.

B.

C.

D.

【解析】 B.

B中5个”m”分布在正五边形上,不是中心对称图形.

2.若a2≥a3≥0,则( A【解析】 B.

C.a≥1

D.0?a?1

B∵a2≥a3≥0,∴0≤a≤1

3A.x≤2010

有意义,则x的取值范围是(

B.x≤2010,且x??2009 D.x≤2010,且x??2009

C.x≤2010且x?2009

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【解析】 B.

???2010?x≥0

??x?2009?0,解得x≤2010,且x??2009.

4.正整数a,b,c是等腰三角形三边的长,并且a?bc?b?ca?24,则这样的三角形有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【解析】 C.

a?bc?b?ca??a?b??c?1??24

∵a?b?c,a,b,c均为正整数,∴a?b≥c?1

又c?1≥2,∴c?1只能取2,3,4.

若c?1?2,即c?1,则a?b?12,于是a?b?6;

若c?1?3,即c?2,则a?b?8,于是a?b?4;

若c?1?4,即c?3,则a?b?6,于是a?b?3.

综上,这样的三角形有3个.

5.顺次连接一个凸四边形各边的中点,得到一个菱形,则这个四边形一定是( )

A.任意的四边形 B.两条对角线等长的四边形

C.矩形 D.平行四边形

【解析】 B.

顺次连接一个凸四边形各边的中点得到的四边形,每组对边都等于对应对角线长的一半. 因此若得到的四边形为菱形,则这个四边形一定是两条对角线等长的四边形.

6

.设pa,b,c,d是正实数,并且a?b?c?d?1,则 ( )

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A.p?5 B.p?5 C.p?4 D.p?5

【解析】 A.

a?1,于是p??a?1???b?1???c?1???d?1??5.

7.Given a,b,c satisfy c?b?a and ac?0,then which one is not sure to be correct in the following inequalities?( )

A.bc2

a?a B.b?a

c?0 C.ba2

c?c D.a?c

ac?0

【解析】 C.

∵a?c且ac?0,∴a?0,c?0

∵b?c,a?0,∴b

a?c

a;∵b?a,c?0,∴b?a

c?0;

∵a?c,ac?0,∴a?c

ac?0;因此只有C不一定成立.

8.某公司的员工分别住在A、B、C三个小区,A区住员工30人,B区住员工15人,C区住员工10人,三个小区在一条直线上,图1

位置如图1所示,若公司的班车只设一个停靠点,为使所有员工步行到停靠点的路程总和最短,那么停靠点的位置应在( )

A.A区 B.B区

C.C区 D.A、B、C区以外的一个位置

【解析】 A.

以A区为原点,从A区往方向为正方向建立数轴,设停靠点的坐标为x,那么所有员工步行到停靠点的路程总和为30x?15x?100?10x?300,由绝对值函数的性质易知在x?0处,该函数值最小.

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AD2

9.△ABC的内角A和B都是锐角,CD是高,若DB???AC?

?BC??,则△ABC是( )

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

【解析】 D. 2AD∵AC

BC2?ADBD,∴ACcosAACsinB

BC?BD?cosB,又由正弦定理BC?sinA, BC

∴cosAsinB

cosB?sinA,于是sin2A?sin2B,∴A?B或A?B?90?.

10.某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下,用了24秒;若他站在自动扶梯上不动,从楼上到楼下要用56秒.若扶梯停止运动,他从楼上走到楼下要用( )

A.32秒 B.38秒 C.42秒 D.48秒

【解析】 C.

设若扶梯停止运动,他从楼上走到楼下要用x秒,则1

24?1

56?1

x,解得x?42(秒).

二、A组填空题(每小题4分,共40分.)

11.四个多项式:①?a2?b2;②?x2?y2;③49x2y2?z2;④16m4?25n2p2,其中不能用平方差公式分解的是_______________.(填写序号)

【解析】 ②.

①?a2?b2??b?a??b?a?;③49x2y2?z2??7xy?z??7xy?z?;

④16m4?25n2p2??4m2?5np??4m2?5np?.

12.若a?111

1?b,b?1?c,c?1?d,则a与d的大小关系是a_______d.(填“?”、“=”或“?”) 深圳中考门户网站 深圳中考网sz.zhongkao.com

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【解析】 =.

a?1?1?1?1?d?d

1?1

1?c1?11?1?d1?dd?1?d

1?1?d?11?d

1?d

13.分式方程2x25

x?1x?1?1

2?x?1?0的解是x?______________.

【解析】 ?2.

2x2

x2?1?5

x?1?1

x?1?0

2x2?5?x?1???x?1??0

2x2?6x?4?0

x2?3x?2?0

x??1(舍去)或x??2

14.甲、乙两人从A点同时同向出发沿400米的环形跑道跑步,过一段时间后,甲在跑道上离A点200米处,而乙在离A点不到100米处正向A点跑去,若甲、乙两人的速度比是4:3,则此时乙至少跑了____________米.

【解析】 750.

假设甲的速度是4m,乙的速度是3m,题中所述情况是在开始跑步后t时刻且此时甲、乙已经跑了k1、k2个整圈,则4m?t?400?k1?200,3m?t?400?k2?x(其中300?x?400)于是400k1?200400k2?x

4?3,即x?3

4?400k1?200??400k2?300k1?400k2?150

∵300?x?400,∴3?6k1?8k2?5,因此6k1?8k2?4.

于是当k1?2,k2?1时,k2最小,此时乙跑了400?350?750(米).

15.已知等腰三角形三边的长分别是4x?2,x?1,15?6x,则它的周长是_____________.

【解析】 12.3.

4x?2?x?1时,x?1,此时三角形的三边长分别为2,2,9,矛盾;

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4x?2?15?6x时,x?17

10,此时三角形的三边长分别为242724

5,10,5,周长为

14?x?123

10?12.3;

x?1?15?6x时,x?2,此时三角形的三边长分别为6,3,3,矛盾.

16.若a??29

37,b??45

37,则a3?6ab?b3?______________.

【解析】 ?8. ∵a?b??29

37?45

37??2,∴b??2?a

于是a3?6ab?b3?a3?6a??2?a????2?a?3 ?a3?12a?6a2??a?2?3

?a3?6a2?12a??a3?6a2?12a?8? ??8

17.直线y?5

4x?95

4与x轴、y轴的交点分别为A、B,则线段AB上(包括端点A、B)横坐标和

纵坐标都是整数的点有_____________个.

【解析】 5.

y?595

4x?4即5x?4y?95,于是y必然整除5; 另一方面A?19,0?、B??0,?95?

4??,∴-95

?4≤y≤0,

于是y的可能取值为?20,?15,?10,?5,0对应的点均在线段AB上.

18.已知关于x的不等式a2?3x?1

?4??2?a?x

3的解是x??1,则a?_______________.

【解析】 0.

原不等式?31?1?2?1?

4x?4??a2?3?a?32?a?

??3x???3?x?4??a2?1?

?4?3????4a?1?x?3a2?1

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?3a2?1∴??4a?1??1,解得a??4(舍去)或a?0.

??4a?1?03

19.当a分别取?2,?1,0,1,?2,3这100个数时,关于x的分式方程1a2(a?

x?1?2?x?1)

x2?3x?2有解的概率是_______________.

【解析】49

50.

1

x?1?1

2?x?2(a?1)

x2?3x?2??x?2??a?x?1?

x2?3x?2?2?a?1?

x2?3x?2?????a?1?x?3a?4

? ?x2?3x?2?0

∴当?a?1??1?3a?4和?a?1??2?3a?4以及?a?1?x?3a?4无解时原方程无解,

即a??2和a??1时原方程无解. 因此方程有解的概率为49

50.

20.十位数能被11整除,则三位数最大是______________.

【解析】 990.

?2?1?8?8?b???0?0?8?a?c??11k,∴b?a?c能整除11 ∴而≤,此时b?9?c能整除11,∴三位数最大是990.

(注:能被11整数的自然数的特点是:奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的整数倍)

三、B组填空题(每小题8分,共40分)

21.一个矩形的长与宽是两个不相等的整数,它的周长与面积的数值相等,那么这个矩形的长与宽分别是______________和______________.

【解析】 6,3.

设长和宽分别为x、y,则2?x?y??xy,即?x?2??y?2??4

因为x?y,∴x?2?4,y?2?1,于是长和宽分别为2和1.

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22.用?x?表示不大于x的最大整数,如?41.??4,??2.5???3.则方程6x?3?x??7?0的解是______________或______________.

【解析】 x??19

6;x??8

3.

∵6x?7?3?x?,而x?1??x?≤x,∴3?x?1??6x?7≤3x,解得-10

3?x≤-7

3.

因此?13?6x?7≤?7,∴6x?7的可能取值为?12和?9,解得x??198

6和x??3.

经验证,这两个解均为原方程的解.

23.As in figure 2,in a quadrilateral ABCD,we have its diagonal AC bisects ?DAB,and AB?21,AD?9,BC?DC?10,then the distance from point C to line AB is______________,and the length of AC is________________. (英汉词典:quadrilateral 四边形:bisect平分)

10

DC

910DC

A21BFig 2AEB

【解析】 8;17.

如图,过D作AC的垂线,交AB于E,连结CE,则AD?AE,CD?CE 于是△CEB中,CE?CD?10?BC,BE?AB?AE?12,

因此容易算得等腰三角形△CEB底边上的高为8. 2

∴AC2?82???1?

?9?2?12???64?225?289,AC?17.

24.如图3,Rt△ABC位于第一象限内,A点的坐标为(1,1),两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴,AB?4,AC?3,若反比例函数y?k

x(k?0)的图象与Rt△ABC有交点,则k的最大值

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是____________,最小值是______________.

【解析】361

48;1.

当反比例函数的图象过A点时k最小,为1; 当反比例函数的图象与BC相切时k最大,此时 ∵B?5,1?,C?1,4?,直线BC的方程为y??319

4x?4 ∴方程?3

4x2?19

4x?k?0的判别式361361

16?3k?0,解得k?48.

25.设A0,A1,?,An?1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点,考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形,如四边形A3A4A4A6、七边形An?2An?1A0A1A2A3A4等,如果所有这样的凸多边形的面积之和是231,那么n的最大值是_________________,此时正n边形的面积是_____________.

【解析】 23;1.

设正n边形的面积为Sn,则

∵正n边形的对角线共有1

2n?n?1?条,

∴所有满足条件的凸边形共有n?n?1?个,它们的面积之和为1

2n?n?1??Sn

∴n?n?1?Sn?462?2?3?7?11

∴??n?7

?S或??n?23,于是n的最大值是23,此时正n边形的面积是1n?11?Sn?1.

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第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛

答案评分标准 第二 第1试

1.答案 (1)选择题

(2)A组填空题

(3)B组填空题

2评分标准

(1)第1~10题:答对得4分;答错或不答,得0分 (2)第11~20题:答对得4分;答错或不答,得0分

(3)第21~25题:答对得8分;每空4分;答错或不答,得0分.

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