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重庆市育才中学暑期数学竞赛集

发布时间:2013-12-02 09:03:20  

高2005级2003年暑期数学竞赛集训测试题2答案

一、C B A D C A

二、1、设x0为方程x2?zx?1?i?0的实根,则x0≠0。 ?1?2?∵x0?x???zx0?1?3i?0, ∴z???0x?xi. 0?0?

?1?342?故|z|??x???x??2?6. 022?0x?xx0??00

2当且仅当x0?24,即x0??2时,上述不等式取等号,这时|z|得最小值为。 2x0

2、由椭圆方程5x2?9y2?45知长半轴a?3,由椭圆定义可得 6?2a?|PF1|?|PF2|?|PF1|?|PA|?|AF2|.

∴|PA|?|PF1|?6?|AF2|, F2(2,0)是右焦点,|AF2|??1?∴(|PA|?|PF1|)的最小值=6?

3、2 4、12

5、令af(b)?t,则f(t)?

∴|f(2003)|?2003. , 2.这时,P,A,F2共线,A在P和F2之间。 bt,bt?f(t)?f(b).设b?t?2003,得f2(2003)?20032, f(b)

?11??11?11226、∵?x?x?2?1????x?x?2?1???(x?)2?(x2?2?1)?1① x??x?xxxx?

x?x2?11112x?0?1?f(x)?x?x??1??0. 在时恒为正数, ∴xxx2x2

11112?1??(x?)?x??1?2? (x?1时取等号)xxx2x2

1

x?x2?11?1?xx2?1?2?3. 2?2注意到 x?x?于是由①知f(x)?

2222三、设BD中点为O,连AO,OC,则AO=OC=AB?BO?5?3?4,

且AO?BD,OC?BD,?AOC??为二面角A-BD-C的平面角。

1AO?OCsin?AOC2

1 ??42sin??8sin?,2 1VABCD?S?AOC?BD3

8 ?sin??6?16si?n.3S?AOC?

依题意16sin??S,sin??1. 2

又0????,???[?,5?]. 66

故所求二面角的范围是[?,5?]。 66

??1?22?x?x?, a1?|OQ1|?2xp1?,S1?a1?. 4、由? 得P1?,?33?33????y?3x

?y?x?423??4??由? 得,P,a?|QQ|?,S2?2. 2??2?212?33?3?y??x???3???

??y?x由?,得P3?(3,), a3?|Q2Q3|?2,S3?4. ??y?3(x?2)

由a1,a2,a3猜想an?

5、1) 2n11??,Sn?n(n?1)?或由S1,S2,S3猜想Sn?n(n?1)? 333??

H?[(logxy?logyx)2?2]2?2?k[(logxy?logyx)2?2]

?(t2?2)2?2?k(t2?2)

42 ?t?(k?4)t?2(1?k).

, 因x>1,y>1,所以logxy?0,logyx?0

所以t?logxy?logyx?2xylogyx?2.

42 故f(t)?t?(k?4)t?2(1?k)的定义域为[2,??)。

4222)四次方程t?(k?4)t?2(1?k)?0在[2,??)上有唯一实根,令t?T(T?4),

2则上述四次方程等价于二次方程 T?(k?4)T?2(1?k)?0 在[4,??)上有唯一

的实根。

222设F(T)?T?(k?4)T?2(1?k),T?[4,??).因??(k?4)?8(1?k)?k?8?0,

所以方程F(T)?0在(??,??)上有两个不等实根。

①当F(4)<0,即k<-1时,方程F(T)?0在[4,??)上有唯一实根;

②当F(4)?0且?k?4?4,2即k=-1时,方程F(T)?0在[4,??)上也仅有一实根。 综上所述,k的取值范围为(??,?1]。

6、证明:∵ A BMS?ABM …………⑴ ?MCS?ACM

=ABsin?sin?ACB?sin??(正弦定理) ACsin?sin?ABC?sin?

而I1DBF与I1ECF分别共圆

∴ ∠ABC=∠DI1F,∠ACB=∠EI1F DNS?ADNAD?sin?又????⑵NES?AENAE?sin?DNS?DI1Nsin?ABC且????⑶ NES?EI1Nsin?ACB由⑵⑶AD?sin?sin?ABC?AE?sin?sin?ACB

代入⑴得:BM=1 MC

即:BM=MC

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