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2004年重庆市初中数学竞赛决赛试卷

发布时间:2013-12-02 09:03:20  

2004年重庆市初中数学竞赛决赛初二年级试题

(时间 120分钟 满分 140分)

一、选择题:(每小题6分,共42分)

|x|?3 1.使分式2没有意义的x的取值是( ) x?x?6

(A)―3 (B)―2 (C)3或―2 (D)±3

2.设m=x?|x?1|,则m的最小值是( )

(A)0 (B)1 (C)―1 (D)2

3.如图,直线MN和EF相交于点O,∠EON=60°,AO=2m,∠AOE=20°.设

点A关于EF的对称点是B,点B关于MN的对称点是C,则AC的距离为( )

(A)2m (B)3m 23(C)23m (D)22m 4.已知1?x?x?x?0,则1?x?x2?x3???x2004的值为( ) (A)0 (B)1 (C)―1 (D)2004 5.估计?大小的范围,正确的是( ) (A)7.2<?<7.3 (C)7.4<?<7.5 (B)7.3<?<7.4 (D)7.5<?<7.6

6.如图A、B、C是固定在桌面上的三根立柱,其中A柱上穿有

三个大小不同的圆片,下面的直径总比上面的大.现想将这三个圆片

移动到B柱上,要求是每次只能移动一片(叫移动一次),被移动的圆

片只能放入A、B、C三个柱之一且较大的圆片不能叠在小片的上面,

那么完成这件事情至少要移动圆片的次数是( )

(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 B

CA 7.如图是一个正方体纸盒,在其中的三个面上各画一条线段构成

△ABC,且A、B、C分别是各棱上的中点.现将纸盒剪开展成平面,则不可能的展开图是( B )

B

(D)(A)(B)(C) (A)

二、填空题:(每小题6分,共42分)

1.分解因式:x2?2x?2y2?4y?xy=______________________.

E

BADFC 2.如图梯形ABCD中,AD∥BC,EF为中位线,S△ABD∶S△BCD=3∶7,则S梯形AEFD∶S梯形EBCF=______________.

1

x2

3.已知x?3x?1?0,则4的值为_______________. x?x2?12

4.如图,数一数,图中共有多少个(包含大小不同的)正方形? 答案________.

CBA

5.如图A是一个面积为a的正三角形,现将它作如下变换:取三角形各边的三等分点向形外作没有底边的等边三角形,这样得到一个六角星(如图B);继续对六角星各边施行相同的变换,得到“雪花形”(如图C).则雪花形的面积为_____________.

6.已知x1?2,xn?1?1?1n=1,2,3,??),则x2004=________________. xn1

01110

0122

55420

0510141616

6161564632160

***x**** 7. 右图是由数字组成的三角形,除最顶端的1以外,以下出现的数字都有一定的规律.根据它的规律,则最下排数字x的值是_____________.

三、解答题:(共56分)

1.(16分)某商场对顾客购物实行优惠,规定:(1)一次购物不超过100元不优惠;(2)一次购物超过100元但不超过300元,按标价的九折优惠;(3)一次超过300元的,300元内的部分按(2)优惠,超过300元的部分按八折优惠.老王第一次去购物享受了九折优惠,第二次去购物享受了八折优惠。商场告诉他:如果他一次性购买同样多的商品还可少花19元;如果商品不打折,他将比现在多花67元钱。问老王第一次购物、第二次购物实际各支付了多少钱?

C

2.(20分)如图,△ABC中,∠C=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD.

求证:BD=CD.

D

AB

3.(20分)讨论一道开放性试题,老师要求同组每个同学至少要和三个同学交换意见.某学习小组共有11位同学,讨论完成后有两位同学说自己和4个同学交换了意见.请证明至少还有一位同学也至少和4个同学交换了意见.

2

2004年重庆市初中数学竞赛决赛初二年级试题

参考答案和评分意见

一、选择题:(每小题6分,共42分) CBCB、CBB 二、填空题:(每小题6分,共42分) 1.(x?2y)(x?y?2); 2.2∶3; 3.5.2; 6.?1; 7.178. 1; 4.55; 8

三、解答题:

1.解:设老王第一次购物的标价为x元,实际支付0.9x元,第二次购物的标价为y元,实际支付300?0.9?(y?300)?0.8元. ???????????????????????????(4分)

依题意,得 [0.9x?(y?300)?0.8?300?0.9]?[300?0.9?(x?y?300)?0.8]?19??① (x?y)?[0.9x?(y?300)?0.8?300?0.9]?67 ??????????②??(8分) 由①得,0.1x?19,∴x = 190(元) ???????????????????????(12分) 由②得,0.1x?0.2y?97, 将x代入,得 y=390 (元) 故,第一次支付 0.9×190=171(元),第二次支付270+(390―300)×0.8=342(元) 答:老王第一次支付了171(元),第二次支付了342(元)??????????????(16分) 2.证法一: 如图,过C作CE⊥AD于E,过D作DE⊥BC于F. ????(4分) ∵∠CAD=30°,∴∠ACE=60°,且CE=CFB1AC,??????(8分) A2

∵AC=AD,∠CAD=30°,∴∠ACD=75°,

∴∠FCD=90°―∠ACD=15°,∠ECD=∠ACD―∠ACE=15°??(12分)

∴△CED≌△CFD,

11 ∴CF=CE=AC=BC,∴CF=BF. ????????????(16分) 22

∴Rt△CDF≌Rt△BDF,

∴BD=CD. ????????????????????(20分)

证法二:

如图,作△AEB,使AEBC为正方形,连结ED. ??????(4分)

∵∠BAD=45°―∠CAD=45°―30°=15°, A ∴∠EAD=∠EAB+∠BAD=60°, ?????????????(8分)

又AD=AC=AE,

∴△ADE是等边三角形,?????????????????(12分)

∴ED=AD=AC=EB,

∴∠DEB=90°―∠AED=30°???????????????(16分)

∴△ACD≌△EBD,

∴CD=BD.???????????????????????(20分)

CBE3

3.证明:因为甲、乙二人相互讨论一次,每人都说自己讨论了一次,统计时,就被算作了两次. ?????????????????????(4分) 11个人,如果每人刚好只讨论了3次,总次数将是11×3=33次,

由于其中有两人是讨论的4次,则总次数是:33+2=35次.?????????????(8分) 根据前面的分析,对每一次讨论都有两人报数,故总次数应该是2的倍数,??????(12分) 所以,总次数?3535+1=36.?????????????????????????(16分) 即总次数至少是36次,故,一定至少还有一人是讨论的4次.???????????(20分)

4

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