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初中数学多功能题典——第1章 实数

发布时间:2013-12-02 09:03:21  

§1.1 实数的运算

★ 计算:

2013×20142014-2014×20132013.

★计算:

1?2?3+2?4?6+7?14?21. 1?3?5+2?6?10+7?21?35

★计算:

111. ++?+1?22?399?100

★ 计算:

1111111111 +++++++++1854108180270378504648810990

111. ++?+1?2?32?3?498?99?100★★ 计算:

★★ 计算:

1111. +++?+1+21+2+31+2+3+41+2+?+100

111?2???),求与A最接近的正整数. 3?44?41002?42★★ 设A?48?(

★★ 2008加上它的得数的

★ 计算:11得到一个数,再加上所得的数的,又得到一个数,再加上这次2311又得到一个数,?,依次类推,一直加到上一次得数的.最后得到的数是多少? 420081

?????1?22?33?42012?2013

★ 计算:S?1?2?3?4???2007?2008

★★ 计算:1?2+2?3+3?4+?+19?20

★★ 计算:1?2?3+2?3?4+3?4?5+?+28?29?30

111★★ 计算:1++2+?+100 222

111★★ 计算:1++2+?+10 333

1111111111★★ 计算:(???+)(1???+)?(1???+)(???+) 2319992199821999231998

★★ 计算下列繁分数:

1?

1?

1?

?1?111

1?355(2008个减号)

★★ 比较Sn?

★★★ 已知 a?

多少?

★★ 在数23456789,,,,,,,的前面分别添加“+”或“—”,101010101010101011?66?12?67?13?68?14?69?15?70问:a的整数部分是?100,11?65?12?66?13?67?14?68?15?691234n??????n与2的大小 248162

使它们的和为1,你能想出多少种方法?

(74?64)(154?64)(234?64)(314?64)(394?64)★★ 计算:4. (3?64)(114?64)(194?64)(274?64)(354?64)

★★★ 求和:

123100 ?????242424241?1?12?2?23?3?31?100?100

2n

★★ 已知 an?2n?1,其中n为正整数.证明:a1?a2???a2013?1. 2?2n?1?2n?1

1222992

★★★ 求下列分式的值:2. ????21?100?500022?200?500099?9900?5000

★★ 设S?

1111,求4S的整数部分. ?????132333993

§1.2 实数与数轴

★ 数a、b在数轴上对应的点如图所示,试化简a?b?b?a?b?a?a.

a

0b ★ 已知x??3,化简:3?2?1?x.

★ 若x?0,化简

★ 化简:3x?1?2x?1

★ 设a?0,且x?

★★ 化简:x?1?2?x?1

★★ 若2x?4?5x??3x?4的值恒为常数,求x满足的条件及此常数的值.

a,试化简:x?1?x?2 ax?2xx?3?x.

★★ 如果y?x?1?2x?x?2,且?1?x?2,求y的最大值和最小值.

★★ 求代数式x?11?x?12?x?13的最小值.

★★ 如果m为有理数,求代数式m?1?m?3?m?5?m?6的最小值.

★★ 已知x?1,y?1,且k?x?y?y?1?2y?x?4,求k的最大值和最小值.

★★ 已知y?2x?6?x?1?4x?1,求y的最大值.

1.2.13★★★ 设a?b?c?d,求x?a?x?b?x?c?x?d的最小值.

★★ a、b为理数,且a?b?a?b,试求ab的值.

★★ 若a、b、c变常数,且a?b

★★★ 将1,2,?,100这100个正整数任意分成50组,每组两个数,现将每组的

1两个数中任一个数记为a,另一个数记为b,代入代数式(a?b?a?b)中进行计算,求出219?c?a99?1,试计算c?a?a?b?b?c的值.

其结果,50组都代入后可求得50个值,求这50个值的和的最大值.

★★★ 设n个有理数x1,x2,?,xn满足xi?1(i?,1?2n,,且x1?x2???xn?19?x?1x??2?xn,求n的最小值.

§1.3 实数的判定

★★ 证明循环小数2.61545454??2.6154是有理数.

★★ 已知x是无理数,且(x?1)(x?3)是有理数,在上述假定下,分析下面四个结论:

(1)x2有理数;(2)(x?1)(x?3是无理数;(3)(x?1)2是有理数;(4)(x?1)2是无理数. )

那些是正确的?哪些是错误的?

★★

★★ 是无理数.

★★

设nn必是完全平方数;反过来,如果

n是完全平.

★★ 设a

、b

.

★★

?1的有理数x、y.

★★

a、x、y.

★★ 若a1?b1a?a2?b2a(其中a1、a2,则、b、b2为有理数,a为无理数)1a1?a2,b1?b2,反之,亦成立. ??. ★★ 设a与b

说明理由.

是有理数还是无理数,并

★★★ 已知a、b是两个任意有理数,且a < b,求证:a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性).

★★★ 已知在等式ax?b?S中,a、b、c、d都是有理数,x是无理数,问: cx?d

(1)当a、b、c、d满足什么条件时,S是有理数;

(2)当a、b、c、d满足什么条件时,S是无理数;

★★ 已知a、b是两个任意有理数,且a < b,问是否存在无理数α,使得a < α < b成立?

★★

b,求b4?12b3?37b2?6b?20的值.

★★ 已知:p、q

是有理数,x?

★★ 若n

.

★★★ 若m、n是正整数,a、d是实数,问是否存在三个不同的素数p、q、r

,满足x3?px?q?0,试求p?q的值? ?

a?a?

md?a?nd?

★★★★ 设an是12?22?32???n2的个位数字,n?1,2,3?,求证:0.a1a2a3?an?是有理数.

★★ 已知x?y、x?y、xy、x均为有理数,如果它们中有三个数相等,求x、y的y

值.

★★★[x]表示不超过实数x的最大整数,令{x}?x?[x].

?1?(1)找出一个实数x,满足{x}????1; ?x?

(2)证明:满足上述等式的x,都不是有理数.

★★★★ 设a、b是实数,对所有正整数n(?2),an?bn都是有理数,证明:a +b

是有理数.

★★★★ 设A是给定的正有理数.

(1)若A是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积,证明:一定存在3个正整数x、y、z,使得x2?y2?y2?z2?A;

(2)若存在3个正有理数x、y、z,满足x2?y2?y2?z2?A.证明:存在一个三边长都是有理数的直角三角形,它的面积等于A.

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