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江苏省第十八届初中数学竞赛试题

发布时间:2013-12-02 09:03:22  

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江苏省第十八届初中数学竞赛试题

初三年级

一、选择题(每小题7分,共42分)

1.在直角坐标系中,若一点的纵、横坐标都是整数,则称该点为整点.设k为整数,当直线y=x-2与y=kx+k的交点为整点时,k的值可以取( )

(A)4个 (B)5个 (C)6个 (D)7个

2.如图,AB是⊙O的直径,C为AB上的一个动点(C点不与A、B重合),

CD⊥AB,AD、CD分别交⊙O于E、F,则与AB·AC相等的一定是( )

(A)AE·AD (B)AE·ED (C)CF·CD

(D)CF·FD

3.在△ABC与△A′B′C′中,已知AB<A′B′,BC<B′C′,CA<C′A′.下列结论:

(1)△ABC的边AB上的高小于△A′B′C′的边A′B′上的高;

(2)△ABC的面积小于△A′B′C′的面积;

(3)△ABC的外接圆半径小于△A′B′C′的外接圆半径;

(4)△ABC的内切圆半径小于△A′B′C′的内切圆半径.

其中,正确结论的个数为( )

(A)0 (B)1 (C)2 (D) 4

4.设,那么S与2的大小关系是( )

(A)S=2 (B)S<2

(C)S>2 (D)S与2之间的大小与x的取值有关

5.折叠圆心为O、半径为10cm的圆纸片,使圆周上的某一点A与圆心O重合.对圆周上的每一点,都这样折叠纸片,从而都有一条折痕.那么,所有折痕所在直线上点的全体为( )

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(A)以O为圆心、半径为10cm的圆周 (B)以O为圆心、半径为5cm的圆周

(C)以O为圆心、半径为5cm的圆内部分 (D)以O为圆心,半径为5cm的圆周及圆外部分

6.已知x,y,z都是实数,且x+y+z=1,则m=xy+yz+zx( )

(A)只有最大值 (B)只有最小值

(C)既有最大值又有最小值 (D)既无最大值又无最小值

二、填空题(每小题7分,共56分)

7.如图是一个树形图的生长过程,依据图中所示的生长规律,第15行的实心圆点的个数等于______. 222

8.设0.为四位十进制纯小数,ai(i=1,2,3)只取0或1.记T是所有这些四位小数的个数 ,S是所有这些四位小数的和,则=______.

9.如图,取一张长方形纸片,它的长AB=10cm,宽BC=5cm,然后以虚线CE(E点在AD上)为折痕,使D点落在AB边上.则AE=_____cm,∠DCE=______°.

10.直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=5cm,AC=4cm,则∠A的平分线AD的长为______cm.

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11.房间里有凳子(3条腿)、椅子(4条腿)若干张,每张凳子或椅子只能坐1人.一些人进来开会,只坐凳子或只坐椅子都不够坐,但每人都有椅子或凳子坐,且还有空位,已知人腿、凳腿、椅腿之和为32,则房间里共有______个人、______张凳子、______张椅子.

12.如图,⊙C通过原点,并与坐标轴分别交于A,D两点.已知∠OBA=30°,点D的坐标为(0,2),则点A,C的坐标分别为A( , );C( , ).

13.若关于x的方程rx-(2r+7)x+(r+7)=0的根是正整数,则整数r的值可以是______.

14.将2,3,4,5,…,n(n为大于4的整数)分成两组,使得每组中任意两数之和都不是完全平方数.那么,整数n可以取得的最大值是______.

三、解答题(每题13分,共52分)

15.初三(8)班尚剩班费m(m为小于400的整数)元,拟为每位同学买1本相册.某批发兼零售文具店规定:购相册50本起可按批发价出售,少于50本则按零售价出售,批发价比零售价每本便宜2元,班长若为每位同学买1本,刚好用完m元;但若多买12本给任课教师,可按批发价结算,也恰好只要m元.问该班有多少名同学?每本相册的零售价是多少元?

16.已知关于x的方程x+4x+3k-1=0的两个实根的平方和不小于这两个根的积;反比例22

函数的图像的两个分支在各自的象限内,点的纵坐标y随点的横坐标x的增大而减小.求满足上述条件的k的整数值.

17.求360的所有正约数的倒数和.

18.如图,在△ABC中,BC=6,AC=4,∠C=45°,P为BC上的动点,过P作PD∥AB交AC于点D,连结AP,△ABP、△APD、△CDP的面积分别记为S1,S2,S3,设BP=x.

(1)试用x的代数式分别表示S1,S2,S3;

(2)当P点位于BC上某处使得△APD的面积最大时,你能得出S1、S2、S3之间或S1、S2、S3两两之间的哪些数量关系(要求写出不少于3条)?

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参考答案

一、选择题

1.A 2.A 3.A 4.D 5.D 6.C

二、填空题

7.377

8.0.0556

9.,30

10.

11.5,2,4

12.(,0),(,1)

13.0,1或7

14.28

三、解答题

15.设该班共有x名同学,相册零售价每本y元.由题设,得 xy=(x+12)(y-2), ①

且整数x满足38<x<50. ②

由①得12y-2x-24=0,y=+2,xy=+2x. ③

由③及xy=m为整数,知整数x必为6的倍数,再由②,x只可能为42或48.

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此时相应的y为9或10.

但m<400,

∴x=42,y=9.

答:(略).

16.由题意,方程x+4x+3k-1=0 ①

有实数根,故△=4-4(3k-1)≥0, 22

解之,得k≤. ②

设x1,x2为①的根,由根与系数关系知

x1+x2=-4,x1·x2=3k-1,

2≥x1x2,故 (x1+x2)-3x1x2≥0,

即(-4)-3(3k-1)≥0, 2

∴k≤. ③

又由当x>0或x<0时,分别随x值增大而减小,知 1+5k>0,即k>-. ④

综合②③④,得-<k≤.

∴满足题中条件的k可取整数值为0, 1.

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17.设正整数a的所有正约数之和为b,d1,d2,d3,…,dn为a的所有正约数从小到大的排列,于是d1=1,dn=a.由于

中各分数分母的最小公倍数为dn=a,故

32. 而a=360=2×3×5,故

b=(1+2+2+2)×(1+3+3)×(1+5)=1170,

∴360的所有正约数的倒数和为 232

.

18.(1)由题意知:

BP=x,0<x<6,且有,

故AD=·BP=x=x.

过P作PM⊥AC交AC于M点,过A作AN⊥BC交BC于N点,则 PM=PC·sinC=(BC-PB)sin45°=(6-x),

S2=S△APD=AD·PM=·x·(6-x)=2x-x; 2

又AN=AC·sinC=4·sin45°=4,

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故S1=S△ABP=BP·AN=2x;

S3=S△CDP=CD·PM

=(AC-AD)·PM

=(4-x)·(6-x)

=(6-x). 2

(2)因为S2=2x-x=3-(x-3), 22

所以当x=3时,S2取最大值S2=3,

此时S1=6,S3=3,

因此,S1,S2,S3之间的数量关系有S1=S2+S3,S2=S3,S1=2S2,S1=2S3. (以上4个关系只要写出3个即可)

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