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江苏省第十九届初中数学竞赛初三第2试试题

发布时间:2013-12-02 11:27:04  

江苏省第十九届初中数学竞赛初三年级第2试试题

(2004年12月26日 8﹕30-11﹕00)

一、选择题(每小题7分,共42分)以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后圆括号内.

1、已知整数x,y

?,那么整数对(x,y)的个数是( D )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

2、方程2x?x2?2的正根的个数是 x ( A )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

3、在直角坐标系中,已知两点A(?8,3)、B(?4,5)以及动点C(0,n)、D(m,0),则当四边形ABCD的周长最小时,比值

(A)?m为 n( C ) 2 3 (B)?2 (C)?3 2 (D)?3

4、设一个三角形的三边长为正整数a,n,b,其中b

角形的个数是( D )

(A)n (B)n?1 (C)n2?n?a。则对于给定的边长n,所有这样的三?n (D)1n(n?1) 2

5、甲、乙、丙、丁4人打靶,每人打4枪,每人各自中靶的环数之积都是72(中靶环数最高为10),且4人中靶的总环数恰为4个连续整数,那么,其中打中过4环的人数为( C )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

6、空间6个点(任意三点不共线)两两连线,用红、蓝两色染这些线段,其中A点连出的线段都是红色的,以这6个点为顶点的三角形中,三边同色的三角形至少有 ( C )

(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个

二、填空题(每题7分,共56分)

7、已知S?x?2?1x?x?22,且?1?x?2,则S的最大值与最小值的差是。

7 个。 8、已知两个整数a、b,满足0?b?a?10,且9a是整数,那么数对(a,b)有 a?b

9、方程x2?x?2?x?0?x?1?x?1,?,?,?. y2?9x2?y2?12xy?9的非负整数解是??y?3?y?3?y?0?y?6

10、密码的使用对现代社会是极其重要的。有一种密码的明文(真实文),其中的字母按计算机键盘顺

序(自左至右、自上而下)与26个自然数1,2,3,…,25,26对应(见下表)。

设明文的任一字母对应的自然数为,译为密文字母后对应的自然数为。例如,有一种译码方法按照以下变换实现:

x?x?,其中x?是(3x?2)被26除所得的余数与1之和(1?x?26)。

?1时,x??6,即明文Q译为密文Y; x?10时,x??7,即明文P译为密文U。

现有某变换,将明文字母对应的自然数x变换为密文字母相应的自然数x?:

则x

x?x?,x?为(3x?b)被26除所得余数与1之和(1?x?26,1?b?26)。

已知运用此变换,明文H译为密文T,则明文DAY译成密文为 11、如图,AB为半圆O的直径,C为半圆上一点,?AOC

CHQ.

P在AB的延长线上,且

?60?,点

PB?BO?3cm。连结PC交半圆于点D,过P作PE⊥PA交AD的延长线于点E,则PE。

12、△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c。若AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O,则c可用a、b的代数式表示为

A

13、设m为整数,且关于

c?

第11题

EF

r

r

r

B

D

第14题

x的方程mx2?2(m?5)x?m?4?0有整数根,则m的值为

?4,?16,4.

14、已知△ABC的内切圆半径为r,?A?60,BC

三、解答题(每题13分,共52分)

15、对于实数a,只有一个实数值x满足等式 试求所有这样的实数a的和.

?

?r的取值范围是0?r?1.

x?1x?12x?a?2

???0 x?1x?1x2?1

解:题中等式可化为 2x2?2x?a?4? 0 ①

当方程①有两个相等的实数根时,

由此得a1??4?4?2??a?4??0, 711,此时方程①有一个根x??,验证可知x??的确满足题中的等式 222

7当方程①有两个不相等的实数根时,??4?4?2?(a?4)?0,由此得a?? 2??若x?1是方程①的根,则原方程有增根x?1,代入①解得a2??8,此时方程①的另一个根x??2,它确也满足题中的等式;

若x??1是方程①的根,则原方程有增根x??1,代入①解得a3??4,此时方程①的另一个根x?0,验证可知x?0确满足题中的等式; 731因此a1??,a2??8,a3??4即为所求,且a1?a2?a3??. 22

16、若干个工人装卸一批货物,每个工人的装卸速度相同。如果这些工人同时工作,则需10小时装卸完毕。现改变装卸方式,开始一个人干,以后每隔t(整数)小时增加一个人干,每个参加装卸的人都一直干到装卸结束,且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的14.

问:(1)按改变后的装卸方式,自始至终需要多长时间? (2)参加装卸的有多少名工人? 解:(1)设装卸工作需x小时完成,则第一人干了x小时,最后一个人干了x4小时,两人共干活x1x(x?)小时,平均每人干活(x?)小时,由题意知,第二人与倒数第二人,第三人与倒数第三人,…,424

1x1x平均每人干活的时间也是(x?)小时。 据题设,得(x?)?10,解得x?16(小时). 2424

(2)共有y人参加装卸工作,由于每隔t小时增加一人,因此最后一人比第一人少干(y?1)t小时,1)t?12按题意,得16?(y?1)t?16?,即(y?14?y?2?y?3?y?4. 解此不定方程得?,?,?,t?12t?6t?4???

?y?5?y?7?y?13,?,?即参加的人数y?2或3或4或5或7或13. ??t?3?t?2?t?1

17、下列4个判断:

(1) 有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;

(2) 有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等;

(3) 三角形6个边、角元素中,有5个元素分别相等的两个三角形全等;

(4) 一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等。

上述判断是否正确?若正确,说明理由;若不正确,请举出反例。

解:判断(1)、(2)、(3)、(4)都不正确.

判断(1)的反例:如图(1),在△ABC、△AB?C中,AC=AC,BC=B?C,高AH=AH,但两个三角形不全等.

判断(2)的反例:如图(2),在在△ABC、△ABC?中,AB=AB,AC=AC?,高AH=AH,但两个三角形不全等.

判断(3)的反例:设△ABC的三边长分别为AB=16,AC=24,BC=36;△A?B?C?的三边长分别A?B??24,A?C??36,B?C??54。由于△ABC与△A?B?C?的对应边成比例,故△ABC∽△A?B?C?,从而它们有5个边角元素分别相等:?A??A?,?B??B?,?C??C?,AC=A?B?,BC=A?C?,但它们不全等.

判断(4)的反例:如图(3),在△ABC中,AD、BE分别是边BC、AC上的高,作?BAF??BAC,延长BC、FA交于点C?,则高BF=BE,AD=AD,又AB=AB,但△ABC与△ABC?不全等。 综上所为述,题中4个判断都不正确.

18、由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分。每位裁判对他认为的第1名运动员给1分,第2名运动员给2分,…,第12名运动员给12分。最后评分结果显示:每个运动员所得的9个分数中高、低分之差都不大于3。设各运动员的得分总和分别为c1,c2,…,c12,且c1

值。

解:9名裁判不可能给某5位或5位以上的运动员都评为1分,因为对于5位或5位以上的运动员中,至少有一名运动员被某裁判评的分不小于5,而按照题意,这5名运动员中的每一位被各裁判所评的分不大于4,矛盾。因此,9名裁判至多给某4位运动员都评为1分. 下面分情形讨论

(1)如果所有裁判都给某一名运动员评分为1分,那么c1=9;如果9名裁判评出的9个1分集中在两位运动员名下,那么其中必有一名运动员至少被5名裁判都评为1分,于是由题设可知,其余裁判给该运动员的评分不大于4,从而c1?c2?…?c12,求c1的最大?5?1?4?4?21; (2)如果裁判评出的9个1分集中在三位

9?1?9?3?9?4?72,从而运动员名下,那么,这三名运动员各自所得的总分之和不大于

3c1?c1?c2?c3?72,故,c1?24; (3)如果9个1分为4名运动员拥有,那么这4名运动员各人所得总分之和等于9?1?9?2?9?3?9?4?90,从而4c1?90,故c?23.综上可知,c1?

24.

c1?24这种情形是可以实现的,见下表:

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