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江苏省第十九届初中数学竞赛试卷

发布时间:2013-12-02 11:27:07  

主办单位:江苏省教育学会中学数学专业委员会

江苏教育出版社《初中生数学学习》编辑部

江苏省第十九届初中数学竞赛试卷

初三年级

(2004年12月26日 8﹕30-11﹕00)

是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后圆括号内。

1、已知整数x,y满足?,那么整数对(x,y)的个数是

( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

22x?x2?2、方程的正根的个x

( )

(A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 数是

3、在直角坐标系中,已知两点A(?8,3)、B(?4,5)以及动点C(0,n)、

D(m,0),则当四边形ABCD的周长最小时,比值

( )

23(A)? (B)?2 (C)? (D)?3 32

4、设一个三角形的三边长为正整数a,n,b,其中b?n?a。则对于给定

的边长

( ) m为 nn,所有这样的三角形的个数是

1(A)n (B)n?1 (C)n2?n (D)n(n?1) 2

5、甲、乙、丙、丁4人打靶,每人打4枪,每人各自中靶的环数之积都

是72(中靶环数最高为10),且4人中靶的总环数恰为4个连续整数,

那么,其中打中过4环的人数为 ( )

(A) 0 (B)1 (C)2 (D)3

6、空间6个点(任意三点不共线)两两连线,用红、蓝两色染这些线

1

段,其中A点连出的线段都是红色的,以这6个点为顶点的三角形中,

三边同色的三角形至少有 ( )

(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个

二、填空题(每题7分,共56分)

17、已知S?x?2?x?x?2,且?1?x?2,则S的最大值与最小值的2

差是 。

9a8、已知两个整数a、b,满足0?b?a?10,且是整数, a?b

那么数对(a,b)有 个。

9、方程x2y2?9x2?y2?12xy?9的非负整数解是__________

_____________________________。

10、密码的使用对现代社会是极其重要的。有一种密码的明文(真实

文),其中的字母按计算机键盘顺序(自左至右、自上而下)与26个自

数为x?。例如,有一种译码方法按照以下变换实现:

x?x?,其中x?是(3x?2)被26除所得的余数与1之和(1?x?26) 。

则x?1时,x??6,即明文Q译为密文Y;

x?10时,x??7,即明文P译为密文U。

现有某变换,将明文字母对应的自然数x变换为密文字母相应的自

然数x?:

x?x?,x?为(3x?b)被26除所得余数与1之和

(1?x?2?6b,?1。

已知运用此变换,明文H译为密文T,则明文DAY译成密文为___

_。

2

11、如图,AB为半圆O的直径,C为半圆上一点,?AOC?60?,点P在AB的延长线上,且PB?BO?3cm。连结PC交半圆于点D,过P作PE⊥PA交AD的延长线于点E,则PE=。

第11题E12、△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c。若AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O,则c可用a、b的代数式表示为 。

13、设m为整数,且关于x的方程mx2?2(m?5)x?m?4?0有整数根, 则m的值为 。

14、已知△ABC的内切圆半径为r,?A?60?

,A

rrBC?r的取值范围是_________。 E

r三、解答题(每题13分,共52分)

15、对于实数a,只有一个实数值x满足等式 DB第14题

x?1x?12x?a?2???0 2x?1x?1x?1

试求所有这样的实数a的和。

16、若干个工人装卸一批货物,每个工人的装卸速度相同。如果这些工人同时工作,则需10小时装卸完毕。现改变装卸方式,开始一个人干,以后每隔t(整数)小时增加一个人干,每个参加装卸的人都一直干到装1卸结束,且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的。4

问:

(1) 按改变后的装卸方式,自始至终需要多长时间?

(2) 参加装卸的有多少名工人?

17、下列4个判断:

(1) 有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;

(2) 有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等;

(3) 三角形6个边、角元素中,有5个元素分别相等的两个三角形全 3

等;

(4) 一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等。

上述判断是否正确?若正确,说明理由;若不正确,请举出反例。

18、由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分。每位裁判对他认为的第1名运动员给1分,第2名运动员给2分,…,第12名运动员给12分。最后评分结果显示:每个运动员所得的9个分数中高、低分之差都不大于3。设各运动员的得分总和分别为c1,c2,…,c12,且c1?c2?…

?c12,求c1的最大值。

参考答案与评分标准

一、 择题

二、 填空题 7、1

8、7 9、?

?x?2?x?0?x?1?x?1

,?,?,?(填对一组解给

?y?3?y?3?y?0?y?6

12、c

2分,4组全对

给7分) 10、CHQ 11?

13、?4,?16,4(对1

个给3分,对2个给5分) 14、0?

三、 解答题

15、题中等式可化为 分

当方程①有两个相等的实数根时,

r?1

2x2?2x?a?4?0

①……………………………………2

??4?4?2?(a?4)?0,

x??

12

,验证可知

由此得

a1??

72

,此时方程①有一个根

x??

12

的确满足题中的等

式………………………………………………………………………………………………………4分 当方程①有两个不相等的实数根时,??4?4?2?(a?4)?0,由此得a??

若x一个根x8分

若x

7 2

?1是方程①的根,则原方程有增根x?1,代入①解得a2??8,此时方程①的另

??2,它确也满足题中的等式;……………………………………………………………??1是方程①的根,则原方程有增根x??1,代入①解得a3??4,此时方程①

?0,验证可知x?0确满足题中的等式;…………………………………………

4

的另一个根x

12分 731,a2??8,a3??4即为所求,且a1?a2?a3??…13分 22

x16、(1)设装卸工作需x小时完成,则第一人干了x小时,最后一个人干了小时,两人共干4

x1x活(x?)小时,平均每人干活(x?)小时,由题意知,第二人与倒数第二人,第三人与424

1x倒数第三人,…,平均每人干活的时间也是(x?)小时。………………………………………24因此a1??

4分 据题设,得

(2)共有

(y?1)t小1x(x?)?10,解得x?16(小时)。……………………………………6分 24y人参加装卸工作,由于每隔t小时增加一人,因此最后一人比第一人少干116?(y?1)t?16?时,按题意,得,即4

(y?t1?)………………………………10分

解此不定方程得??y?2?y?3?y?4?y?5?y?7?y?13,?,?,?,?,? ?t?12?t?6?t?4?t?3?t?2?t?1

即参加的人数

17、判y?2或3或4或5或7或13。…………………………………………………13分 断(1)、(2)、(3)、(4)都不正确。………………………………………………………1分

判断(1)的反例:

如图(1),在△ABC、△AB?C中,AC=AC,BC=B?C,高AH=AH,但两个三角形不全等。……………………………………………………………………………………………………4分

判断(2)的反例:

如图(2),在在△ABC、△ABC?中,AB=AB,AC=AC?,高AH=AH,但两个三角形不全等。………………………………………………………………………………………………7 5

判断(3)的反例:

A?B?C?的三边长分别为

A?B??24,A?C??36,B?C??54。由于△ABC与△A?B?C?的对应边成比例,故△ABC∽△A?B?C?,从而它们有5个边角元素分别相等:?A??A?,?B??B?,?C??C?,AC=A?B?,BC=A?C?,但它们不全

设△ABC的三边长分别为AB=16,AC=24,BC=36;△等。……………………………………………………10分 判断(4)的反例:

??BAC,延

长BC、FA交于点C?,则高BF=BE,AD=AD,又AB=AB,但△ABC与△ABC?不全等。

…………………………………………………………………………………………………………13分 综上所述,题中4个判断都不正确。

18、9名裁判不可能给某5位或5位以上的运动员都评为1分,因为对于5位或5位以上的运动员中,至少有一名运动员被某裁判评的分不小于5,而按照题意,这5名运动员中的每一位被各裁判所评的分不大于4,矛盾。因此,9名裁判至多给某4位运动员都评为1分。……………3分 下面分情形讨论

(1) 如果所有裁判都给某一名运动员评分为1分,那么c1=9;……………………………4

(2) 如果9名裁判评出的9个1分集中在两位运动员名下,那么其中必有一名运动员至少被

5名裁判都评为1分,于是由题设可知,其余裁判给该运动员的评分不大于4,从而

如图(3),在△ABC中,AD、BE分别是边BC、AC上的高,作?BAF

c1?5?1?4?4?21;………………………………………………………………6分

(3) 如果裁判评出的9个1分集中在三位运动员名下,那么,这三名运动员各自所得的总分

之和不大于

9?1?9?3?9?4?72

,从而

3c1?c1?c2?c3?72

,故,

c1?24;…………………………………………………………………………………8分

(4) 如果9个1分为4名运动员拥有,那么这4名运动员各人所得总分之和等于

9?1?9?2?9?3?9?4?90,从而4c1?90,故c?23。

综上可知,c1

?24。……………………………………………………………………11分

c1?24这种情形是可以实现的,见下表:………………………………………………………13分

6

7

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