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新课标小学数学培优竞赛教程 四年级精练分册

发布时间:2013-12-02 12:26:48  

新课程小学

《数学培优、竞赛全程跟踪讲·学·练·考》

精 练 分 册

主编:杨 跃

1

目 录

上学期

第1讲 巧算

第2讲 幻方和数阵图

2.1 幻方

2.2 数阵图

第3讲 数字谜

3.1 填空格

3.2 算式谜 第4讲 方阵

第5讲 长方形的面积 第6讲 平均数

6.1 一般平均数

6.2 平均数与个别数 第7讲 鸡兔同笼与假设法下学期

第8讲 等差数列及其应用 第9讲 计数问题

9.1 计数原理

9.2 计数方法 第10讲 简单规划问题

2

第11讲 最大最小问题

第12讲 盈亏问题及时对应法 第13讲 行程问题 13.1 相遇问题 13.2 追及问题

13.3 流水行船问题 13.4 火车过桥问题

3

上学期

第一讲 巧算

[同步巩固演练]

1、简算下列各题

(1)1308—(308—159)

(2)1999+999×999

(3)54×102

(4)75×27+19×25

(5)0—1+2—3+4—5+6—7+ ??? —99+100

(6)1440×976÷488

(7)5÷(7÷11)÷(11÷16)÷(16÷35)

(8)9999×7778+3333×6666

(9)199999+19999+1999+199+19

(10)2003×2005—2002×2006

2、简算下面各题

(1) 3600000÷125÷32÷25

(2) 5×96×125×25

(3) 3456×998

(4) 1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)÷(6÷7)÷(7÷8)

(5) 22222×22222

3、简算下面各题

(1) 43÷23+3÷23

(2) 765×123÷27+765×327÷27

4、简算下面各题

(1) 19961997×19971996—19961996×19971997

(2) 123456789×987654321—123456788×987654322

[能力拓展平台]

1、计算下面各题

(1) 7+17+127+1237+12347+123457+1234567

(2) 1212—1111+1010—909+808—707+606

(3) 7×17+8×18+9×19+10×20+71×7+81×8+91×9+20×10

(4) 99×43+98×42+97×41

(5) 44327+22345+17252+49414+23212+43454+36987+29679

(6) 1392+2859+3646+4873+5237+6464+7251+8718

(7) (1419+14319+143319+1433319+14333319)÷43

(8) 2001×2002×2003—1999×2000×2001

(9) 3+33+333+ ?? +3333333333

(10) 40404+5050+60606+7070+80808+9090+101010+11111+121212+13131

[全讲综合训练]

计算下面各题

1、1234×900914

2、123455+234566+345677+456788+567899

3、376+385+391+380+377+389+383+374+366+378

4、8642—7531+6420—5317+4208—3175+2084—1753

4

5、6472—(4476—2480)+5319—(3323—1327)+9354—(7358—5362)+6839—(4843

—2847)

6、567×142+426×811+8520×50

7、2375×3987+9207×6013+3987×6832

8、123456789×810

9、99+99×99+99×99×99

10、(123456+234561+345612+456123+561234+612345)÷7

11、设N= 66????????6×9×77????????7,则N的各位数字之和为多少?

2000个62000个7

12、乘积99????????9×99????????9 的各位数字之和为多少?

1999个91999个9

13、(1234567891)2 — 1234567890×1234567892

14、999??????????9×99????????9+199????????9

1998个91998个91998个9

5

第二讲 幻方和数阵图

2.1 幻方

[同步巩固演练]

1、用8—16这9个数排成一个三阶幻方

2、用3—11这9

第2题

3、在图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数(其中已填好一个数),使每一个横行、竖列和对角线上的三个数之和都等于30

第3题

4、在图(a)(b)的空格中填入不大于15且互不相同的数(其中已填好一个数),使每一横

30。

(b)

第4题

5、将5—20这16个数排成一个四阶幻方。

6、将5—29这25个数排成一个五阶幻方。

7、将7

—42这36个数排成一个六阶幻方。

[能力拓展平方]

1、在图中的方格中填入不相同的数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等,问图中左上角的数是几?

第1题

2、从1—13这十三个数中选出12个数填到图的方格中,使每一横行四个数之和相等,每一

竖列三数之和也相等。

3、在图中每个方格内填一个数,使得每行、每列及每条对角线上的四个方格中的数都是1、3、5、7,那么带“☆”号的两个方格中的数之和等于几?

6

第2题 第3题

4、在3×3的方阵图中,每格中填入一个不同的自然数,使得每一行、每一列及对角线上的三个数的乘积都相等。

5、将八个数填入图的空格中,使这八个数的总和等于12,如果总和为13、14、15呢?

6、将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数,分别填入图的九个方格,使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍,第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍。

第5题 第6题

2.2 数阵图

[同步巩固演练]

1、把1—7这七个数填入图中的○中,使每条直线上三个数的和都等于14。

第1题 第2题

2、将1—9这九个数填入图中的○中,使每条边上四个数的和都等于17。

3、将数字1,2,3,4,5,6填入图中的小圆圈内,使每个大圆上4个数字的和都是16。

第3题

4,将1—8填在图中的○中,使每条线上的三个数的和都相等,并求出这个和的取值范围。

○ ○

第4题

5、将1—8填在图中的○中,使大圆上、小圆上、横线上、竖线上四个数的和都相等,而且在大圆上的四个数中最大的数尽可能小。

7

第5题

6、把1—7七个自然数分别填在图中的○内,使得四个三角形的三个顶点数之和等于11,则a填 。

aA 第6题

7、把1—9各数填入图中“七、一”9个空格内,使第一横行、竖列的数字的和是13。

第7题

8、将1—8个数填入图中的八个方格内,使上面四格,下面四格,左边四格,右边四格,对角线四格和四角四格内四个数相加的和都是18。

第8题

[能力拓展平台]

1、将1,2,3,4,8,12这六个数分别填入图中的○内,使每条线上的三个数的积相等。

第1题

2、右图是一部古怪的电话,中间的十二个键分别为四个圆形、四个椭圆形和四个正方形,若想打电话,必须首先将1~12这十二个数填入其中,使四个椭圆、四个圆形、四个正方形以及四条直线上的四个数之和都为26,假如你要打电话,那么你将怎样填数? 8

第2题

3、请在下图的空格内填入1~46这四十六个自然数,使每一笔直线上各数之和都等于93,应怎样填?

第3题

4、将1~9九个数分别填入图中○内,使外三角形边上○内数字之和等于里面三角形边上○内数字之和。

第4题

5、在下左图中,将1~9这九个数,填入圆圈内,使每个三角形三个顶点的数字之和都相等。

第5题

6、(全国奥赛预赛题,1992)把1~10这十个自然数填入图中的10个方格中,要求图中3个2×2的正方形中四数之和相等,那么,这个和的最小值是几?

第6题

9

7、将1~8填入图中,使每条线段两端的两个数的差不为1。

第7题

8、(全国奥赛决赛题,1992)在图中的七个圆圈内各填上一个数,要求每条线上的三个数中,当中的数是两边两个数的平均数,现在已填好两个数,求x是多少?

第8题

[本讲综合训练]

1、把20以内的质数分别填入右图中的八个圆圈中,使圈中用箭头连接起来的每条路上的四个数之和都相等。

第1题

2、10月1日是国庆节,图是“10.1”两个数,请把1~18这18个数填入图中的18个空格内,要使每一横划与竖划上所填的数的和都相等。

第2题

3、将1~10这十个数填入图中各○内,使得三个正方形的四个顶点上的数之和等于21。

10

第3题

4、将1~8分别填入○内,使图中用箭头连接起来的4个数之和都等于18。

第4题

5、请在下图中圆圈内填入1~9这九个数,其中6,8已填好,要求A、B、C、D四个小三角形边上各数字之和全都相等。

第5题

6、将1~10这十个数填入如上图的圆圈内,使每个正方形的四个数字之和都等于23,应怎样填?

第6题

7、(第四届华杯赛复赛试题)在图的小圆圈内,分别填入1~8这八个数字,使得图中用线段连接的两个圆圈内所填的数字之差(大数减小数)恰好是1、2、3、4、5、6、7这七个数字。

第7题

8、(第一届华杯赛决赛试题)在图的六个圆圈内,分别填入六个质数(可以相同)它们的和都是20,而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等,问这个质数的乘积是几?

11

第8题

9、把1~9这9个数,填入图11中的九个○内,使每条线段上三个数的和相等,两个四边形四个顶点上数的和也相等。

第9题

10、把1~8这8个数,填入图12中的八个○内,使每条线段上的四个数的和,与每个四边形四个顶点上的四个数的和都相等。

第10题

11、把1~8这八个数字分别填入下图中的圆圈内,使每个圆周上与每条直线上四个数之和都相等,给出一种具体的填法。

第11题

12、下图中,内部四个交点上已填好数,请你在四周方格里填上适当的数,使交点上的数恰好等于四个方格内的数的和,应怎样填?

第12题

13、图中共七个不同的三角形,把1到9九个数分别填到图中九个黑点旁,使每个三角形三个顶点旁的数字之和都相等。

第13题

14、把1到8这八个数填入图的正方体的八个顶点的圆圈里,使每个面上的四个圆圈里的四个数之和都等于18。

12

第14题

15、把1~10的十个数填入图中的十个○内,使每个正方形四个顶点上各数的和都是24。

第15题

16、将1~9这九个数字填入图中的○内,使每个三角形(三个)和每条直线(三条)上的3个数字之和都相等(写出一个答案)。

第16题

17、如图,正六边形六条边上的六个○中分别填1~6六个自然数,再在六边形三条对角线上的六个○中也分别填入1~6六个自然数,问能否找到一种填法,使得图中每个三角形三条边上的三个数字之和都相等?为什么

第17题

18、大正方形的4个角上已填入4个数,4个数之和是264,奇妙的是,把这个图倒过来看,和仍然是264。请你在中间的小正方形的4个角的圆圈里,填入四个数,使每条对角线上的4个数之和正看和倒看都是264,而且小正方形角上的4 个数之和正看和倒看也都是264。

第18题

13

19.用1-8这八个数分别填在下图的○〇内,使图中4条线上的三个数相加的和相等,而且大正方形顶点四个数的和是小正方形顶点四个数的和的2倍。

第19题

20.(浙江省竞赛题,2003)将1,2,3,...12这12个自然数分别填入下图中的12个小方格中(每个数字只填一次),使得每条边上的四个数的和相等,那么这和最大是多少?

21.(江苏省吴江市竞赛题,2002)在下图的方格中,分别填上数,使每行每列、每条对角线上的三个数的和都相等,那么x=( )。

(第20题) (第21题)

22.(江苏省吴江市竞赛题,2002)下面球体有三个圆周,在六个〇里分别填上1,2,3,4,5,6使得每个圆周上相加的和都是14。

第22题

23.(第二届“鲁外杯”竞赛试题,2003)下图中有9个方格,每个方格中填入一个汉字,9个不同的汉字代表9个连续自然数,其中“外”代表19,“学”代表13,如果每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等,那么“欢迎”两个汉字所代表的数字之和是( )。

14

第三讲 数学谜

3.1填空格

[同步巩固演练]

1、上、下、左、右四个汉字分别代表四个一位偶数,请你把下面的算式翻译出来: 左-□下÷上-□右=1 □□

右-□下÷上+□左=9 □□

左-□下÷上+□右=9 □□

右-(□左-□下)÷□上=3 □

2、下面算式中的每一个“□”表示1~9这九个数字中的一个,其中有一个已填出,请你把“□”内的数字补齐,使等式成立:

□×□=□□□÷5□=□□

3、将1~9这九个数字分别填入下面算式的空格内,其中有一个数字已经知道,每个空格内只许填一个数字,使算式成立:

□□□÷□□=□-□=□-7

4、将2~8分别填入下面的七个□内,使下面等式成立。

□-□=9□÷□□+□=□

5、下题是由1~9这九个数字组成的算式,其中有一个数字已经知道,请将其余的数字填入空格,使算式成立:

{□□÷□×□=□ { 6、下题是由1~9这九个数字组成的算式,请将这些数字填入空格,使算式成立: □×□×□=□

+□

□÷□=□÷□ □×□=5□ {

7、在下面各方框中填上适当数字。 { (1)

(2)

15

(3) (4)

[能力拓展平台]

1、把2~9这个八个数字分别填入下面的□中,使各算式都成立。

□+□-□=□ { □×□=□□

2、把1~9这九个数字分别填入下面的□中,使各算式都成立。 {

{

{ □+□=□

□□×□=

□□□

3、将1~8这八个数字分别填下面的□中,使各算式都成立。

□×□=□□

{ □×□+9=□□

4、(全国奥赛题,1995)下面算式是一个残缺的乘法竖式,其中□≠2,那么乘积是 。 {

5、(全国奥赛总决赛试题,1995)下面是一个残缺的算式,所有缺的数都不是1,那么被除数是 。

6、(全国奥赛初赛题,2002)下面的算式中,只有四个4是已知的,则被除数为。

16

3.2算式谜

[同步巩固演练]

1、下面算式中第一个汉字代表一个数字,相同汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,请你写出各汉字代表的数字。

(1) (2)

(3) (4)

(5)

17

2、下面算式中,一个字母代表一个数字,相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字,请你写出每个字母表示的数字。

(1) (2) (3)

(4)

3、在下面的乘法算式中,相同的字母代表相

同的数字,不同的字母代表不同的数字,求这些算式

(1) (2)

(3

(4)

4、在下面的算式中,相同的汉字表示相同的数字,不同的汉字表示不同的数字,写出这些汉字表示的数字。 (1)

(2) 好×猫×好猫=猫猫猫 爱×爱学×数学=1998

(3)

新新×春春=新年年新

(4)

18

[能力拓展平台]

1、

下面竖式中不同汉字代表不同数字,求趣味数学四个汉字所代表的四位数是多少。

2、下面的除法算式只给出一个数字8

3、在下面的竖式中,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,当被乘数“海南游”为多少时,算式成立?

4、在下面的乘法算式中,努、力、学各代表一个互不相同的数字,求这个算式。

5、在下面的算式中,“偶”字代表2、4、

6

、8中的一个数,“奇”字代表1、3、5、7、9中的一个数,求下列各算式:

(1) (2)

19

6、下式中的“偶”字可取0、2、4、6、8中某个值,“奇”字可取1、3、5、7、9中某个值,当偶、奇取什么值时,下算式成立。

7、已知3×ABCDEF=4×DEFABC,写出原算式。

[全讲综合训练]

1、在下面的加法算式中,相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字,求出下列算式:

(1) ABCD (2) SEND

+ABED +MORE

EDCAD MONEY

2、在下面的加法算式中,相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字,问当算式成立时,“NATO”所代表的四位数最小是多少?

NATO

CRIME

3、把下面乘法算式中缺少的数字补上。

(1) (2) (3)

□ 7 7 □□ □□□

× 7 □ × □□ × □□ 9

□□ □□ 6□ □□□

□8 □ □□ 3 □□□

1 □□ 1 8 □□□ □□□□□□

4、把下面除法算式中缺少的数字补上。

(1) (2)

5、(天津市竞赛题。2003

)右边的加法竖式中,不同的汉字代表不同的数字,相同的汉字代 20

表相同的数字,那么 “新”=( ) “春”=( ) “快”=( ) “乐”=( )

表相同的数字,那么ABC代表( )

6、(重庆市竞赛题,2002)在右边的竖式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代

7、(重庆市竞赛题,2002)把右边乘法算式中缺少的数字补上后,被乘数是( )

8、(重庆市竞赛题,2002)如果右边竖式成立,那么被除数是( )

9、在右边的乘法算式中,每个□表示一个数字,那么计算所得的乘积应该是

□□5 ×□□□ 1□□□ □□□ 1□□05

21

10、在右边的乘法算式中,每个□表示一个数字,那么计算所得的乘积应该是

□□

×□□

□8□

□□

□8□□

22

第四讲 方阵问题

[同步巩固演练]

1、121人排成一个实心方阵,这个方阵每边多少人?

2、每边站13人,可以排成一个共有多少人的实心方阵?

3、一个正方形花坛,原来放了一些花,组成一个实心方阵,后来又运来21盆花添上去,使每行、每列各增加一排,成了一个大一点的实心方阵,问原来放了多少盆花?

4、给一个方形建筑物插彩旗,每边插了7面彩旗,共插了多少面彩旗?

5、用棋子排成一个二层空心方阵,里层每边6个棋子,求这个空心方阵的棋子总数。

6、用棋子摆成一个三层空心方阵,中间一层每边棋子数为9个,求一共用了多少个棋子。

[能力拓展平台]

1、有若干枚棋子,若排成三层空心方阵,则多出5枚;若中空增加一层,则少11枚。这堆棋子共有多少枚?

2、同学们用小红花排成一个四层空心方阵,最外层每边12朵,共有红花多少朵?

3、街心雕塑四周用432盆鲜花摆成了一个六层空心方阵,最内层共有多少盆鲜花?

4、64名同学在游行彩车的四周排成了一个二层空心方阵,若外面再增加一层,还需要多少名同学?

5、用一堆棋子摆成空心方阵,最外层共有棋子52枚,最内层共有棋子28枚。这堆棋子共有多少枚?

6、用一堆棋子摆成一个五层空心方阵,最内层每边12枚,求这堆棋子的总数。

[全讲综合训练]

1、军训的学生进行队列表演,排成了一个7行7列的正方形队伍,如果去掉一行一列,要去掉多少人?还剩下多少人?

2、幼儿园小朋友在教师的指导下,把棋子排成3个正方形方阵,如果在这个方阵中去掉横、竖各一排,则这个方阵少了13枚棋子,那么这个方阵共有多少枚棋子?

3、在一次活动中,老师把学生组成一个正方形方队,其中有两行、两列都是男生,男生共有84人,其余是女生,问参加组成这个方队的学生共有多少人?

4、在一块正方形草地四周种树,四个角上都种一棵,每边种13棵,这块草地四周共种多少棵?

5、军训师生进行队伍表演,排成一个正方形队列,如果这个队列横、竖再增加一排,还需要补充15人,问原来参加队列表演的师生有多少人?

6、棋子若干枚,恰好可以排成每边9枚的方阵,棋子总数是多少?

7、一堆一分硬币排成正方形,多余4枚,若正方形纵横两个方面各增加一层,则缺少9枚,问这堆硬币有多少枚?

8、三年级广播操比赛时排成一个正方形方阵,后来因场地原因减少了一行一列共39人。三年级原来共有多少人参加比赛?

9、有一个用围棋子组成的方阵,其中有两行两列是白子共36个,那么黑子有多少个?

10、一队学生排成中空方阵,最外层的人数为44人,最内层的人数为28人,这一方阵共有多少人?

11、一方阵形桃园共10层,最里层共种16棵桃树,若每棵桃树结桃子60千克,这桃园可结桃多少千克?

12、一个大型方队,外层每边30人,内层每边10人,中间的位置由16人进行体操表演,问这个方队共有多少人?

23

第五讲 长方形的面积

[同步巩固演练]

1、两个相同的长方形,长7厘米,宽3厘米,按下图的样子重叠在一起,这个图形的周长是多少厘米?面积是多少平方厘米?

第1题

2、用长36厘米的一根铁丝围成一个正方形,它的面积是多少?用这根铁丝围成一个长12厘米的长方形,它的面积是多少?

3、如图,有一块长方形土地,长是宽的2倍,中间有一座雕塑,雕塑的底面是一个正方形,周围是草坪,草坪的面积是多少平方米?

(单位:米)第3题 第4题

4、如图,已知正方形ABCD的边长为6分米,长方形BCEF和长方形AGHD的面积分别为24平方分米和20平方分米,求阴影部分的面积?

5、一个正方形,如果边长增加2厘米,它的面积增加16平方厘米,求原正方形的面积。

6、一个长方形,如果宽增加2厘米,或长增加3厘米,它们的面积都增加120平方厘米,原来长方形的面积是多少?

7、一个长方形的宽增加4厘米,就成了一个正方形,这样面积增加了48平方厘米,求原来长方形的面积。

8、计划修一个正方形的花坛,并在花坛的周围铺宽2米的草坪,草坪的面积是40平方米,那么修建花坛、草坪共需占地多少平方米?

[能力拓展平台]

1、有一大一小两个正方形,它们的周长相差20厘米,面积相差55平方厘米,小正方形的面积是多少平方厘米?

2、如图,大小两个正方形对应边的距离均为2厘米,如果两个正方形之间部分的面积是40平方厘米,那么小正方形的面积是多少平方厘米?

第2题

3、把一个长26厘米,宽14厘米的长方形分成5块,两个长方形能完全重合,两个正方形也能完全重合,求小正方形的面积是多少?

24

第3题

4、每边长是10厘米的正方形纸片,正中间挖去了一个正方形的洞,成为宽度为1厘米的方框,把五个这样的方框放在桌面上(如图),问桌面上这些方框盖住的面积是多少平方厘米?

第4题

[全讲综合练习]

1、一个长方形的周长为72厘米,长比宽的2倍少3厘米,那么这个长方形的长是多少厘米?宽是多少厘米?面积是多少平方厘米?

2、长方形是由5个一样的正方形拼成的,总面积是245平方厘米,那么这个长方形的周长是多少厘米?

3、一个长方的面积为44平方厘米,靠一边裁出一个面积为16平方厘米的正方形,如图,那么原长方形的长是多少厘米?剩下的小长方形的面积是多少平方厘米?周长是多少厘米?

4、如图,大小两个正方形部分重合,重合部分的面积是2平方厘米,阴影部分的面积是多少平方厘米?

第3题

第4题

5、一个正方形,如果边长增加1厘米,那么面积增加17平方厘米,这个正方形原来面积是多少平方厘米?

6、现代养鸡场是一个长方形,其中一条边利用原来的旧墙,其余三面打砖墙,砖墙总长60米,若长是宽的2倍,求其面积;若长与宽相等,其面积是多少?

7、如图,阴影部分的面积是多少?

第7题

8、有一个长方形长为8厘米,宽为3厘米,把它的长和宽分别增加2

厘米,那么这个长方 25

形面积增加了多少平方厘米?

9、如图,是一个边长为4的正方形,我们称它为第一个正方形,依次连结四条边的中点,得到第二个正方形,继续这样下去,得到第三个、第四个、第五个正方形,那么第一个正方形至第五个正方形的面积是多少?

第9题

10、如果正方形A的周长是正方形B的周长的2倍,那么正方形A的面积是正方形B的面积的多少倍?

11、将一个长方形的长增加1厘米,宽增加3厘米,就变成了一个正方形,面积增加33平方厘米,原来的长方形面积是多少平方厘米?

12、如图,正方形与阴影长方形的边分别平行,正方形边长为10,阴影长方形的面积为6,那么图中四边形ABCD的面积是多少?

26

第六讲 平均数

6.1简单平均数

[同步巩固演练]

1、一次数学考试,第一组的七名同学得分分别为100、92、93、95、84、87、93,则第一组同学的平均分是多少分?

2、四年级数学测验,第二小组同学的得分情况为:1人得98分,3人得92分,4人得86分,2人得76分,这个小组的平均成绩是多少?

3、有两块小麦实验田,平均亩产是410千克,第一块实验田共有35亩,平均亩产是375千克,第二块实验田共有25亩,平均亩产是多少千克?

4、学校去商店买商品,买A类商品共42件,买B类商品共58件,两类商品的平均价格为86元,A类商品比B类商品的平均价格低6元,问两类商品的平均价格各是多少元?

5、已知甲、乙、丙、丁四个数的平均数是10,甲、乙两数的平均数是8,求丙、丁两数的平均数。

6、小强上山时的速度是每小时2千米,下山时的速度是每小时6千米,那么,他在上下山全程中的平均速度是每小时多少千米?

[能力拓展平台]

1、5个数A、B、C、D、E,每次去掉一个数,将其余4个数求平均数,这样计算了5次,得到下面5个数:17、25、27、32、39,求A、B、C、D、E五个数的平均数。

2、本学期自然课进行五次测验,小明的成绩是第二次比第一次多10分,第三次比第二次少5分,第四次比第三次多4分,前四次的平均成绩是85分,第五次比第四次少13分,那么全学期五次测验的平均成绩是多少?

3、甲、乙、丙三组的人数分别是7人、8人、5人,某次数学测验中,甲组的平均分是88分,乙组的平均分是83分,三个组的总平均分是85分,求丙组的平均分。

4、10个人参加数学竞赛,10个人的总平均分是82分,前6人的平均分是80分,后6人的平均分是83分,那么第5人和第6人的平均分是多少?

5、有四个数,每次选取其中三个数算出它们的平均数,再加上另外一个数,用这种方计算了四次,分别得到以下四个数:86、92、100、106,那么原来四个数的平均数是多少?

6、甲、乙、丙、丁4个人体重各不相同,其中有两人的平均体重与另外两个人的平均体重相等,甲与乙的平均体重比甲与丙的平均体重少8千克,乙与丙的平均体重是49千克,求甲、乙、丙、丁四人的平均体重?

6.2平均数与个别数

[同步巩固演练]

1、 若甲、乙两个数的平均数是17,甲数等于24,则乙数等于多少?

2、王成期中考试语文、外语、自然的平均成绩是82分,数学成绩公布后,他平均成绩提高了2分,王成数学考了多少分?

3、已知甲、乙、丙三个数的平均数是10,甲、乙、丙、丁四个数的平均数是11,丁数是多少?

4、每次考试满分是100分,小明4次考试的平均成绩是89分,为了使平均成绩尽快达到94分(或更多),他至少再要考

5、某厂一周生产的机器台数统计表涂污了(如图),请你想办法把星期三、星期四的产量算出来。

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6、有六个数排成一列,它们的平均数是27,前四个数的平均数是23,后三个数的平均数是34,求第四个数是多少?

7、A、B、C三个数的和是25,C、D、E三个数的平均数是25,又知A、B、C、D、E五个数的平均数是16,求C是多少。

8、在前面三场击球游戏中,阿丽丝得分分别是130、143、144,为了使四场游戏的得分平均数是145,第四场她应得多少分?

9、根据表格中的数,你能算出语文和英语的成绩吗? 10、人民路小学五年级四个班的少先队员为“希望工程”捐款,一、二、三班平均每班捐款240元,二、三、四班平均每班捐款260元,已知一班捐款220元,求四班捐款多少元? 11、6个学生的年龄正好是连续偶数,他们年龄的和是班主任老师年龄的2倍,这7个人年龄一共是99岁,那么6个学生的年龄各是多少岁?

12、寒假中,江浩兴致勃勃地读《西游记》,第一天读83页,第二天读74页,第三天读了70页,第四天读了65页,第五天读的页数比五天中平均数的页数多4页,问江浩第五天读了多少页?

[能力拓展平台]

1、有5个数的平均数是20,如果把其中的一个数改成4,这时候5个数的平均数是18,问改动的数原来是多少?

2、如果数据2,3,X,4的平均数是3,那么X是多少?

3、有甲、乙、丙三个数,甲比乙大2,乙比丙大11,且这三个数的平均数是70,求这三个数。

4、4个队采茶叶,甲、乙、丙3个队平均每队采24千克,乙、丙、丁三个队平均每队采26千克,已知丁队采28千克,那么甲队采多少千克?

5、有50个数,其平均数为38,若划去其中两个数,这划去的两个数之和恰好是100,那么剩下的数的平均数是多少?

6、甲、乙、丙、丁四个数的平均数是15,若先计算甲、乙、丙三个数的平均数,再求这个数与丁数的平均数,这时得到的结果是14,求丁数。

7、一个学生的前六次测验的平均分数是93分,他第七次测验的成绩比七次测验的平均分数高6分,他第七次测验得多少分?

8、(全国奥赛决赛题,1992)A、B、C、D、E五人在一次满分为100分的考试中,得分都是大于91的整数,如果A、B、C的平均分为95分,B、C、D的平均分是94分,A是第一名,E是第三名得96分,那么D的得分是多少?

[本讲综合训练]

1、50个数的平均数是38,若将其中的两个数55和69去掉,余下数的平均数是多少?

2、一个食堂在四月份的前10天每天烧煤340千克,后20天中每天比原来节约30千克,这个月平均每天烧煤多少千克?

3、甲、乙、丙三个数中,甲、乙的平均数是30,乙、丙的平均数是36,甲、丙的平均数是33,问这三个数的平均数是多少?

4、有两块小麦实验田,平均亩产是400千克,第一块实验田共有35亩,平均亩产是375千克,第二块实验田共有25亩,平均亩产是多少千克?

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5、甲、乙两地间的路程是30千米,小亮骑自行车从甲地去乙地办事,去时每小时行15千米,返回时每小时10千米,小亮往返全程的平均速度是每小时多少千米?

6、某公司在十月份上旬的前4天每天节约用水280吨,后6天每天节约用水350吨,问十月份上旬该公司平均每天节约用水多少吨?

7、四(1)班共有学生41人,数学期中考试时有三位同学因病缺考,平均成绩是80分,后来这三位同学补考,成绩分别为:100分、96分和85分,这时全班的平均成绩是多少?

8、已知甲、乙、丙、丁四个数的平均数是15,甲数是18,那么其他三个数的平均数是几?

9、某青年排球队12

10、小明前几次数学测验平均分为84分,这一次要是考了100分,就能把平均分提高到86分,则这一次是第几次测验?

11、周泉从家至新华书店买书,出发每分钟走60米,回来每分钟走40米,那么往返的平均速度为每分钟多少米?

12、用4个同样的杯子装水,水面的高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米,这4个杯子水面平均高度是多少厘米?

13、甲种糖每千克11元,乙种糖每千克18元,甲种糖3千克和乙种糖4千克混合成什锦糖,问什锦糖每千克多少元?

14、有两个小组,每小组的学生数相等,其中一个小组平均每人9岁,另一小组平均每人11岁,那么这两个小组的学生平均每人几岁?

15、王珂所在的第一小组七个同学的平均身高是144厘米,王珂身高147厘米,其中最高的同学是154厘米,最矮的同学身高137厘米,其他四位同学3人身高相同。身高不同的五位同学的平均身高为144厘米,那么另一个与别人身高不同的同学的身高是多少厘米?

16、(全国奥赛决赛题,1995)某次考试,张、王、李、陈四人的成绩统计如下: 张、王、李平均分91分; 王、李、陈平均分89分;

张、李平均分95分;

那么张得 分。

17、(全国奥赛总决赛题,1995)小明参加了六次测验,第三、第四次的平均分比前两次的平均分多2分,比后两次的平均分少2分,如果后三次平均分比前三次平均分多3分,那么第四次比第三次考试多得 分?

18、(全国奥赛初赛题,1996)甲班51人,乙班49人,某次考试两个班全体同学的平均成绩是81分,乙班的平均成绩比甲班平均成绩高7分,那么乙班的平均成绩是 分。

19、(全国奥赛决赛题,1997)前五次考试的总分是428分,第六次至第九次的平均分,比前五次平均分多1.4分。现在要进行第十次考试,要使后五次平均分高于所有十次的平均分,那么第十次考试至少要考 分。(每次考试的分数都是整数)

20、(全国奥赛初赛题,1998)甲班有42名学生,乙班有48名学生,已知在某次数学考试中按百分制评卷,评卷结果各班的数学总成绩相同,各班的平均成绩都是整数,并且平均成绩都高于80分,那么甲班的平均成绩比乙班高 分。

21、(我爱数学少年夏令营竞赛题,2000)设四个不同的正整数构成的四数组中,最小的数与其余三数的平均值之和为17,而最大的数与其余三数的平均值之和为29。在满足上述条件的四数组中,其最大数的最大值是 。

22、(全国奥赛决赛题,2002)有两组数,第一组16个数的和是98,第二组的平均数是11,两组中所有数的平均数是8,则第二组有 个数。

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23、(全国奥赛初赛题,2003)有五堆苹果,较小的三堆平均有18个苹果,较大的两堆,苹果数之差为5个。又较大的三堆平均有26个苹果,较小的两堆苹果数之差为7个。最大堆与最小堆平均有22个苹果。则每堆各有 个苹果。

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第七讲 假设法解题

[同步巩固演练]

1、鸡兔共100只,共有脚280只,鸡兔各有多少只?

2、10元和5元一张的人民币共40张,共计325元,两种人民币各几张?

3、在一棵松树上有百灵鸟和松鼠共15只,总共有48条腿,百灵鸟和松鼠各多少只?

4、将92张图片分给16个小朋友,有的分到3张,有的分到7张,正好分完,分到3张和7张的各有几人?

5、56个学生去划船,共乘坐10只船恰好坐满;其中大船坐6人,小船坐4人,大船和小船各几只?

6、小宇去游山,他从东坡上山,每小时行2千米,到山顶上玩1小时,又从西坡下山,每小时行3千米,全程共行19千米,共用9小时,求上山、下山的路各几千米?

7、四年级同学乘汽车到某地旅游,买车票99张,共花280元,其中单程票每张2元,往返票每张4元,求单程票比返票多几张?

8、有100名中学生去植树,男生每人栽2棵,女生平均每3人栽1棵,一共栽了110棵,问男、女生各有多少人?

9、某校举行的数学竞赛共15道题,规定每做对一题得10分,每做错一题倒扣4分,小明在这次数学竞赛中共得66分,问他错、对了几道题?

10、在一个停车场上,有小汽车和三轮摩托车共24辆,摩托车轮子比小汽车轮子共少26个,问三轮摩托车有多少辆?

11、甲、乙、丙、丁四人上山摘桃子,已知他们共摘了80个桃子,甲比乙少摘8个,丙比甲少摘14个,丁和丙摘的一样多,问他们每人摘了多少个桃子?

12、小强和小勇一起练习长跑,小强先跑了3分钟,然后又和小勇共同跑了5分钟,两人一共跑了4050米,小勇每分钟比小强多跑30米,问小强比小勇多跑了多少米?

13、有若干个零件,甲单独做需要5小时完成,乙单独做需要10小时完成,现在甲单独做了若干小时后,因有事由乙接着做,共用了7小时,问甲单独做了多少小时?

14、现在要用三辆卡车运910吨水泥到某建筑工地去,已知第一辆比第二辆多运30吨,第三辆比第二辆少运20吨,问:三辆卡车各运水泥多少吨?

15、王燕和爸爸、妈妈三个人年龄之和为82岁,已知爸爸比妈妈大4岁,妈妈比王燕大24岁,三个人的年龄分别是多少?

16、有大小拖拉机共30台,今天一共耕地112公顷,大拖拉机每天耕地5公顷,小拖拉机每天耕地3公顷,大小拖拉机各有几台?

17、现有大小塑料桶共50个,每个大桶可装果汁4千克,每个小桶可装果汁2千克,大桶和小桶共装果汁120千克,问大小塑料桶各有多少个?

18、文化宫电影院有座位2000张,前排票每张4角,后排票每张2角5分,已知前排票比后排票的总价少110元,问该影院有前座和后座各多少?

19、仓库所存的苹果是香蕉的3倍,春节前夕,平均每天批发出250千克香蕉,600千克苹果,几天后香蕉全部批发完,苹果还剩900千克,这个仓库原有苹果、香蕉各多少千克?

20、清凉山小学的教师和学生共100人去植树,教师每人栽3棵树,学生平均每3个人栽1棵,一共栽100棵,问教师和学生各有多少人?

21、甲、乙两人进行射击比赛,约定每中一发记8分,脱靶一发扣3分,两人各打了10发,共得116分,其中甲比乙多22分。问甲、乙各中多少发?

22、某运输队为百货公司运送20000只茶杯,按合同规定,每100只茶杯运费为8元,如果损坏一只不但不付给这只的运费,还要赔偿1.20元。结果运输队共得到运费1566.72元。运输中损坏了多少只茶杯?

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[能力拓展平台]

1、一辆卡车运矿石,晴天每天可运16次,雨天每天只能运11次,它一连运了17天,共运了222次,问:这些天中有几天下雨?

2、某次数学竞赛共20道题,评分标准是:每做对一题得5分,每做错或不做一题扣1分,小刚参加了这次竞赛,得了82分,问:小刚做对了几道题?

3、某食堂买来的面粉是米的5倍,如果每天吃30千克米,75千克面粉,几天后米全部吃完,而面粉还剩下225千克,这个食堂买来的米和面粉各多少千克?

4、抗日战争期间,一支敌后武工队为了更灵活有效地打击敌人,把68人分成了14个战斗小组,这些小组有的3人,有的5人,有的7人,而3人组与5人组的组数相同,问三种战斗小组各有几组?

5、校长从学校到教委去开会,出发时他看看表,发现如果每分种步行80米,他将迟到5分钟;如果骑车每分行200米,他可以提前7分钟到会,问校长出发时离开会时间有多少分?

6、学校开展植树活动,辅导员带领15名同学去种57棵树苗,辅导员先作示范种下了1棵,然后全部同学动手种,男同学每人都种了4棵,比女同学每人多种1棵,这样刚好把树苗种完,这15名同学中,男、女同学各有多少人?

7、王老师这个月领得工资1800元,有10元、50元、100元三种人民币共46张,其中10元与50元的张数一样多,那么,50元一张的人民币有多少张?

8、小红和小妹一起跳绳,小红先跳了2分钟,然后两人各跳了3分钟,一共跳了780下,已知小红比小妹每分钟多跳12下,问小红比小妹一共多跳了多少下?

9、蜘蛛有8条腿,晴蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种昆虫共24只,它们共有156条腿和28对翅膀,那么蜘蛛、晴蜓、蝉各有多少只?

10、小张、小李两人进行射击比赛,约定每中一发记20分,脱靶一发则扣12分,两人各打了10发,共得208分,其中小张比小李多64分,问小张、小李两人各中几发?

11、为庆祝“六一”几童节,四年级一班的同学买了彩色的大、中、小不同规格的三种气球38个,一共花去176元钱。已知中号气球的个数比小号气球多6个。大号气球每个7元,中号气球每个5元,小号气球每个3元。那么,中号气球买了多少个?

[全讲综合训练]

1、(北京市第四届“迎春杯”试题)某中学利用暑假进行军训活动,晴天每日行35里,雨于第日行22里,13天共行403里,这期间雨于有多少天?

2、(北京第二届“迎春杯”试题)六年级同学乘汽车到某地旅游,买车票99张,共花28元,其中单程票每张2角,往返票4角,那么单程票和往返票相差多少张?

3、(北京第二届“迎春杯”试题)某小学举行一次数学竞赛,共15道题,每做对一题得8分,每做错一题倒扣4分,小明共得72分,他做对了多少道题?

4、(哈尔滨市第七届“萌芽杯”试题)一张试卷有25道题,答对一题得4分,答错或不答均倒扣1分,某同学共得60分,他答对了多少道题?

5、44名学生去划船,一共乘坐10只船,其中大船坐6人,小船坐4人,问大船和小船各几只?

6、班级买来50张杂技票,其中一部分是1角5分的,另一部分是2角的,总共的票价是8元8角,问两种票各买了多少张?

7、(锦州市竞赛题,1993)电影院一天售出甲、乙两种电影票1700张,共收入780元,甲种票每张6角,乙种票每张4角,售出甲、乙两种票各多少张?

8、(徐州市竞赛题,1998)小华解答数学判断题,答对一题给4分,答错一题要倒扣4分,她答了20道判断题,结果只得了56分,她答错了多少道题?

9、(无锡市竞赛题,1993)育才小学五年级举行教学竞赛,共10题,每做对一题得8分, 32

错一题倒扣5分,张小灵最终得分为41分,她做对了多少题?

10、(北京市第六届“迎春杯”试题)春风小学3名同学去参加数学竞赛,共10道题,答对一道题得10分,答错一道题扣3分,这3名同学都回答了所有的题,小明得了87分,小红得了74分,小华得了9分,他们三人一共答对了多少道题?

11、(全国奥赛初赛题,1992)在一个停车场上,现有的车辆数恰好是24辆,其中汽车是4个轮子,摩托车是3个轮子,这些车共有86个轮子,那么三轮摩托车有多少辆?

12、(河北省竞赛题,1995)六年级甲班有45个同学向亚运会捐款,共计100元,其中11名同学每人捐1元,其他同学捐2元或5元,求捐2元和捐5元的同学各多少名?

13、(福建省竞赛题,1998)公猴、母猴共38只,每天共摘桃子266个,已知一只公猴每天摘桃10个,一只母猴每天摘桃8个,一只小猴每天摘5个,又知公猴比母猴少4只,那么这群猴子中,小猴有多少只?

14、(哈尔滨市竞赛题,1999)数学测试卷有20道题,做对一道得7分,做错一道扣4分,不答得0分,张红得了100分,她有几道题没答?

15、鸡兔共有100只脚,若鸡数和兔数互换,则共有脚86只,问鸡兔各有多少只?

16、某人买甲、乙两中戏票共30张,付出20元,找回5角,甲种票每张7角,乙种票每张6角,问两种票各买多少张?

17、(北京市第四届“迎春杯”试题)一辆公共汽车共载客50人,长途车票每张8角,短途车票每张3角,信票员统计长途票的收入比短途车票的收入多18元,购买长途车票的有多少人?

18、搬运1000只玻璃瓶,规定搬一只可得运费3角,但打碎一只要赔5角,如果运完后,共得运费260元,问搬运中打碎了几只?

19、星华和李冬进行数学比赛,商定算对一题给20分,错一题扣12分,星华和李冬各算了10道题,两人共得208分,星华比李冬多得64分,问星华和李冬各算对了多少道题?

20、正方形客厅边长12米,若正中铺一块正方形纯毛地毯,外围铺化纤地毯,共需费用22455元,已知纯毛地毯每平方米250元,化纤地毯每平方米35元,问两种地毯各需多少钱?

21、(上海市竞赛题,2000)大半导体25元一只,小半导体19元一只,某单位买这两种类型半导体若干只,总价为360元,问该单位买这两种半导体的总只数是多少?

22、买来3元,4元和5元的电影票共200张,用去780元,其中4元和5元的张数相等,每种票各买了多少张?

23、已知蜘蛛8条腿,晴蜓有6条腿、2对翅膀,蝉有6条腿、1对翅膀。现有三种动物共47只,共有腿324条、翅膀37对,问这三种动物各有多少只?

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下学期

第八讲 高斯求和

[同步巩固演练]

1、数列4,7,10,?,295,298中,298是第几项?

2、数列7,15,23,?,799中,799是第几项?

3、从自然数4开始数,每后面一个数比前一个数大1,数到100时,一共数了多少个数?

4、数列的公差是5,第50项是700,首项是多少?

5、求数列1,3,5,7,?的第20项。

6、求数列1,4,7,?的第21项。

7、求数列3,10,17?的第15项。

8、在数列7,10,13,16,?中,907是第几个数?第907个数是多少?

9、求出下列各题的值:

(1)从1到100的所有单数的和;

(2)从1到100的所有双数的和;

(3)从51到121的所有单数的和。

10、求出0至100(包括0与100)内所有4的倍数所组成的和。

11、自1开始,每隔两个数写出一个数来,得到数列:1,4,7,10,13,?,求出这个数列前100项之和。

12、自然数中所有三位数之和是多少?

13、一只小虫沿笔直的树干跳着往上行,每跳一次都上升4厘米,它从离地面10厘米处开始跳,如果把这一处称为小虫的第一落脚点,那么它的第100个落脚点正好在树梢,这棵树高多少厘米?

14、如图,一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔,往一每一层都比它下面一层多放1支,最上面一层是120支,这个V形架上共放着多少支铅笔?

第14题

15、有12个同学聚会,如果见面时每个同学都和其余的人握手1次,那么一共握手多少次?

16、按一定规律排列的算式:4+2,5+8,6+14,7+20,?,那么第100个算式是什么?

17、小刚练习口算,他按照自然数的顺序从1开始求和,当加到某个数时,和是1300,在验算时发现,他重复加了一个数,问这个数是多少?

18、把1988表示成28个连续偶数之和,其中最大的偶数是多少?

19、编号为1~9的九个盒中共放有351粒米,已知每个盒子都比前一个盒子多同样粒米,如果1号盒子内放了11粒米,问后面的盒子比前一号的盒子多放几粒米?

[能力拓展平台]

1、七个人的年龄各不相同,和是99岁,其中最大的年龄是18岁,那么最小年龄至少是多少岁?

2、在两位数10,11,?,98,99中,将每个被2除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点,其余的数不变,问:经过这样改变之所,所有数的和是多少?

3、有一列数1,1993,1992,1,1991,1990,1

?,从第三个数起,每个数都是它前面两 34

个数中大数减小数的差,求从第一数起到1993个数,这1993个数之和。

4、有10个盒子,44只乒乓球,把这44只乒乓球放到盒子中,能不能使每个盒中的球数都不相同(每个盒子中至少要放一个球)?

5、影剧院共有25排座位,第一排有20个座位,以后每排比前一排多2个座位,最后一排有75个座位,问:影剧院共有多少个座位?

6、力学小学的礼堂里共有30排座位,从第一排开始,以后每排比前一排多2个座位,最后一排有75个座位,问:这个礼堂共有多少个座位?

7、7条直线最多能把一个长方形分成多块?

8、如图是一个五边形点阵,中心是一个点为第一层,第二层每边为两个点(五边形顶点处的一个点为相邻两边所公用),第三层每边3个点,第四层每边4个点??其余类推,如果这个五边形点阵共有30层,那么点阵中一共有多少个点?

第8题

9、两条直线相交可得1个交点,在同一平面上6条直线最多可得多少个交点?

10、如图所示为切大饼的示意图,切一刀只有一种切法,切两刀有两种切法,切三刀有4种切法??问切十一刀有多少种切法(规定:三刀或三刀以下不能切在同一点上,如图所示)?

第10题

11、有11个连续单数的和是1911,这11个数中最小的是多少?

12、下表中30个格子中各有1个数,除最上面一行和最左边一列的格子内已写上数外,其它格子的数等于同一行最左边一个数与同一列最上面一个数之和(例如a=16+19=35),

求方 35

格内30个数的和。

13、盒子里放有1只球,一位魔术师第一次从盒子里将这1只球拿出,变成3只球后放回盒子里;第2次从盒子里拿出2只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里;如此继续下去,最后第10次从盒子里拿出10只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里,这时盒子里共有多少只球?

14、在1~100内所有不能被5或9整除的数的和是多少?

15、已知一串数:1,2,2,2,3,3,3,3,3,?,试问:

(1)10是这串数中的第几到几个数?

(2)这串数中的第80个数是几?

(3) 这串数中前80个数的和是多少?

16、下面方阵中所有数的和是多少。

1900 1901 1902 1903 ? 1949

1901 1902 1903 1904 ? 1950

1902 1903 1904 1905 ? 1951

1903 1904 1905 1906 ? 1952

: : : : :

1948 1949 1950 1951 ? 1997

1949 1950 1951 1952 ? 1998

17、把所有奇数排列成下面的数表,根据规律,请指出:①197排在第几行的第几个数?②第10行的第9个数是多少?

357

9 11 13 15 17

19 21 23 25 27 29 31

33 35 37 39 41 43 45 47 49

??

18、将自然数如下排列,

1 2 6 7 15 16 ?

3 5 8 14 17 ?

4 9 13 18 ?

10 12 ?

11 ?

?

在这样的排列下,数字3排在第2行第1列,13排在第3行第3列,问:1993排在第几行第几列?

36

[全讲综合训练]

1、求0至100内能够被5整除的数的和。

2、50把锁钥搞乱了,为了使每锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?

3、5个连续整数的和为225,求这5个数的第一个数为多少?

4、小张看一本故事书,第一天看了25页,以后每天比前一天多看的页数相同,第25天看了97页刚好看完,问:这本书共有多少页?

5、已知数列:2,5,3,3,7,2,5,3,3,7,2,5,3,3,7,?这个数列的第30项是哪个数字?到第25项止,这些数的和是多少?

6、一个剧场设置了22排座位,第一排有36个座位,往后每排都比前一排多2个座位,这个剧场共有多少个座位?

7、求一切除以4余1的两位数的和是多少?

8、学校进行乒乓球选拨赛,每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场,一共进行了78场比赛,有多少人参加了选拨赛?

9、时钟每个整点敲该钟点数,每半点敲一下,一昼夜共敲多少下?

10、某小组有10个同学,放假时,握手告别,每两人都握一次,问共握了多少次手?

11、体育课上,同学们玩丢石子的游戏,从A点出发,先走1米放1个石子,再走5米放3个石子,接着走9米放5个石子,再接着走13米放7个石子,?,照此规律,最后到B点时需要放15个石子,问从A到B共有多少米?

12、体育课上,教师让全班45个同学站成一行,小王站在最后,老师让第一个人报1,从第二个人开始,每后一个人都比前一个报的数要多3,小王应报几?

13、求自然数中所有三位数的和。

14、从1开始,每隔两个数写出一个数来,得到数列:1,4,7,10,13,16,?,求前100个数的和。

15、求从1开始的连续100个单数的和。

16、求数列2,4,6,8,10,?,200的和。

17、连续九个自然数的和为54,则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少?

18、一堆钢管,最下面一层放137根,每往上一层,钢管就少放一根,最上面一层放一根,这堆钢管多少根?

19、梯子最高的一级宽31厘米,最低一级宽110厘米,中间还有9级,各级的宽度成等差数列,中间一级宽多少厘米?

20、在4与40之间插入哪8个数以后,能使这10个数成为等差数列?

21、三个数成等差数列,它们的和是21,积是91,这三个数是多少?

22、已知等差数列第1项是15,第6项是35,求公差。

23、有5个数组成等差数列,数列中第三个数是5,求这五个数的和。

24、有12个数组成等差数列,第六项与第七项的和是12,求这12个数的和。

25、王师傅3月1日开始用新机器织布,第一天织10米,以后每天都比前一天多织2米,则3月31日那天织了几米?3月份一共织了多少米?

26、11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和,这另外8个连续自然数中的最小数是多少?

27、100个连续自然数(按从小到大的顺序排列)的和是8450,取出其中第1个,第3个?第99个,再把剩下的50个数相加,得多少?

28、把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大成一行后,相邻两个数的差都是5,那么,第1个数与第6个数分别是多少?

37

29、在1~2000以内的所有自然数中,既不能被8整除,也不能被12整除的数的和是多少?

30、小咪家住在一条胡同里,胡同里的门牌号从1号开始挨着排下去。小咪将全胡同的门牌号进行口算求和,结果误把1看成了10,得到的错误结果为100,那么实际上全胡同共有多少家?

38

第九讲 计数问题

9.1计数原理

[同步巩固演练]

1、某火车站,上站台有电梯2部,自动梯1部,扶梯3部,试问上站台有多少种不同的走法?

2、小冬到新华书店买书,他喜欢的数学书有5钟,科幻小说有3种,歌曲集有2钟,数学书、科幻小说、歌曲集他各买一本有多少种不同的选法?

3、书架上有6本不同的数学书,4本不同的语文书,(1)从中任取一本书,有多少种不同的取法?(2)数学、语文书各取一本,有多少种不同的取法?

4、王英、赵明、李刚三人报名参加校运动会的跳高、跳远、100米跑和掷垒球四项中的一项比赛,问报名的结果会出现多少种不同的情形?

5、王芳有四件上衣,三条裤子,两双皮鞋,她能有多少天穿戴装束不同?

6、从A到B有4条路可走,从B到C有3条路可走,从A到C还有2条路可直接到达(如图)从A到C共有多少种不同的走法?

7、20名同学进行象棋比赛,规则是输的人不能再上场比赛(即淘汰赛)问决出冠军,要赛多少盘?

8、一排房子有4间房间,房间中住着甲、乙、丙三人,规定每个房间只许住一个人,并且只允许两个人住在房间连在一起,第三人的房间必须和前两个人隔开,有多少种不同的方法?

9、某校六年级学生毕业时,30名同学互相赠送各自的照片一张留作纪念,请你统计一下全班共要赠送多少张照片?

10、在一个十二边形中,可作出多少条对角线?

[能力拓展平台]

1、如图,甲、乙、丙、丁四人坐在一张方桌四边,发5种不同的奖品给他们,要求相邻的人奖品不同,共有多少种不同的发法?

2、用三种不同的颜色分别给三角形、四边形、五边形的边染色,要求相邻两边不同色,各有多少种染色方法?

3、用红、黄、蓝三色中的某些颜色去涂下图中的AB、BC、CD这三条线段,每条线段只能用一种颜色涂,有多少种涂法?

4、甲、乙、丙三个组,甲组5人,乙组7人,丙组4人,如果从三个组中选一个代表,有多少种选法?如果从每一个组中各选一名代表,有多少种选法?

39

5、如果把两个连在一起的圆称为一对,那么下图中相连的圆共有多少对?

9.2计数方法

[同步巩固演练]

1、小明有10元,5元,1元,5角,1角的钱币各4张,到“家世界”超市买20元9角的东西,小明怎样拿可以正好把钱交上,而不用找钱,一共有 种拿法。

2、七人站成一排照相,a,b,c三位好朋友必须站在一起,且均不站两旁。这样的站法共有几种?

3、有25本相同的书,分成6份,如果每份至少一本,且每份的本数都不相同,有多少种不同的分法?

4、用5、8、3可以组成多少个没有重复数字的三位数?把它们按照从小到大的顺序排列起来。

5、用5、0、、2、7可以组成哪些没有重复数字的四位数?一共可以组成多少个?

6、用数字2和3组成数字可以重复的四位数,但其中至少要连续两位都是2或3,问一共可以组成多少个这样的四位数?

7、把45本连环画,分给9个小朋友,使每个小朋的书数都不一样,应怎样分法?

8、有糖144颗,平均分成若干份,每份不得少于10颗,也不能多于40颗,共有几种分法?

9、三根木棍中,如果任何一根木棍的长小于其它两根木棍长的和,且大于其它两根棍长的差,则这三根木棍可搭成一个三角形。现在长度分别为3、5、7、9、11的五根木棍,每次在其中任取3根,可搭成多少种不同的三角形?

10、从1995到5895所有整数中,十位数字与个位数字相同的整数有多少个?

11、数12321,50005,61016,82428?这样的数有一共同的特征,它们倒过来写还是原来的数,这样的五位偶数有多少个?

[能力拓展平台]

1.五个瓶子都贴有标签,其中恰好贴错了三个,贴错的可能情况有多少种?

2.在所有的三位数中,组成数字的三个数码,既有大于5,又有小于5的数码的自然数共有多少个?

3.10对夫妇在一次聚会上相遇,每位男宾都与除了自己夫人以外的所有人握手,女宾之间不握手,他们共握了几次手?

4.某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木,每个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色的1种,每色各涂2个面。当两个积木经过适当的翻动以后,能使各种颜色的面所在的位置相同时,它们就被看作是同一种积木块。试说明:最多能涂成多少种不同的积木块?

5.有8张卡片,上面分别写有自然数1至8,从中取3张,要使这三张卡片数字之和为9,有多少种不同的取法?

6.有三个工厂共订了300份报纸,每个工厂订了至少99份,至多101份,一共有多少种不同的订法?

7.由1、3、5、7、9、11、13、15、17、19十个数组成甲组数;由2、4、6、8、10、12、14、16、18、20十个数组成乙组数。分别由甲组数与乙组数中各取一数相加,共可得到不同和的个数是多少?

40

[全讲综合训练]

1、5个人排成一队,甲不能当排头,乙不能当排尾,共有多少种不同的排法?

2、有6张卡片,分别写有2、3、4、5、6、7,现在从中取出3张卡片,并排放在一起,形成一个三位数,那么共有多少个不同的三位奇数?

3、用一角币、二角币、五角币各一张,一元币三张,五元币两张,可组成多少种不需找钱的不同币值?

4、自然数1,2,3,4,?,1001中,所有数码之和是多少?

5、一些四位数,其四个数位上的数字互不相等且都不是0,若四位数上的数字的和为15,则这样的四位数共有多少个?

6、从1,2,3,4,?,100这100个数中,每次取出两个数,使其和大于100,共有几种取法?

7、在2、3、4、5、6这五个数字中,取出三个数字组成三位数,这样的三位数可以有很多个,如果把这些三位数从大到小排列起来,请你想一想,这串数中第51个数除以6的余数是多少?

8、某铁路线上,原有7个车站(包括起点站和终点站),现在新增加了3个车站,铁路上两站之间往返的车票都不一样,这样需要增加多少种不同的车票?

9、从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张,作成一道两个一位数的乘法题,问:

(1)有多少个不同乘积?

(2)有多少个不同的乘法算式?

10、在10名学生中间选一个3人代表参加数学竞赛的决赛,使得学生A和B中至少有一个必须是代表队成员,共有多少种选法?

11、用2、3、4、5这四个数可组成许多没有重复数字的四位数,所有这些四位数的和是多少?

12、一排房有四个房间,在四个房间中住着甲、乙、丙三人,规定每个房间只许住一人,并且只允许两个人住的房间挨在一起,第三个人的房间必须和前面两个人隔开,有多少不同的住法?

13、献爱心小组的一次集会,参加会的人每两人握手一次,共握手36次,这个小组共有多少人?

14、七个相同的球,放入四个不同的盒子里,每个盒子至少放一个,不同的放法有多少种?

15、甲、乙、丙、丁四人各有一本作业本混放在一起,四人每人随便拿一本,问:

(1)甲拿到自己作业本的拿法有多少种?

(2)只有一人拿到自己作业本的拿法有多少种?

(3)至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有多少种?

(4)谁也没有拿到自己作业本的拿法有多少种?

16、(全国奥赛决赛题,1998)由1,2,3,4四个数字组成的四位数共有24个,将它们从小到大排列起来,第18个数等于 。

17、(全国奥赛初赛题,1999)用两个3,一个1,一个2可组成种种不同的四位数,这些四位数一共有 个。

18、(全国奥赛决赛题,2000)各数位上数码之和是15的三位数有( )个。

19、(全国奥赛决赛题,2000)4只小鸟飞入4个不同的笼子里去每只小鸟都有自己的一个笼子(不同的鸟,笼子也不同),每个笼子只能飞进一只鸟,若都不飞进自己的笼子里去应有 种不同的飞法。

20、(全国奥赛决赛题,2000)今有长度分别为1厘米、2厘米、3厘米、?9厘米长的木棍各一根(规定不许折断),从中选用若干根组成正方形,可有 种不同的方法。 41

21、(全国奥赛初赛题,2001)在1000和9999之间由四个不同的数字组成,而且个位数和个位数的差(以大数减小数)是2,这样的整数共有 个。

22、(全国奥赛初赛题,2001)某人射击8枪,命中4枪,命中4枪中恰好有3枪连在一起的情况的种数有 。

23、(全国奥赛初赛题,2001)现有1支、2支、4支、8支,16支的砝码各一个,称东西时,法码只能放在天平的一边,可以称出 种不同的重量。

24、(全国奥赛初赛题,2002)有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,如257、1459等等,这类数共有 个。

25、(全国奥赛初赛题,2002)四个装药用的瓶子都贴了标签,其中恰好有三个贴错了,那么错的情况共有 种。

42

第十讲 简单规划问题

[同步巩固演练]

1、芳芳要为奶奶冲杯热果汁,可是开水用光了,她需要烧开水(6分钟),打开果汁瓶(1分钟),洗茶杯(2分钟),她该怎样安排,才能尽快让奶奶喝上热果汁?

2、小林为家里作饭,他择菜要8分钟,洗菜要5分钟,淘米2分钟,煮饭15分钟,切菜用4分钟,炒菜6分钟,如果只有单火头煤气灶做完这些事情至少需要多少分钟?

3、甲、乙两人各拿一个水桶到水龙头前接水。水龙头注满甲的水桶要5分钟,注满乙的水桶要4分钟。现在只有一个水龙头,怎样安排两个接水的顺序,使他们所花的总时间最少?最少是多少分钟?

4、甲、乙、丙、丁4人去厂长办公室谈话,甲谈完要15分钟,乙谈完要12分钟,丙谈完要18分钟、丁谈完要10分钟。怎样安排这四从的谈话顺序,使四人花的总时间最少?最少是多少分钟?

5、在一条铁路线上,依次设置了五个卸煤场,相邻两个煤场间隔都是50米,一号煤场存煤100吨,二号煤场存煤200吨,五号煤场存煤400吨,其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中至一个煤场里,集中在几号煤场最节省运输量?

③ ⑤

100吨 200吨 400吨

6、甲城有157吨货物要运到乙城。大卡车载重量是5吨,小卡车的载重量是3吨,耗油量分别是10公升和7.5公升。用多少辆大卡车及小卡车来运输,耗油量最省? 7、在下图中,数字表示各段路的路程,求出图中从A到B的最短路程是多少?

[能力拓展平台]

1、小明放学回家,准备做饭、炒菜,洗饭锅用1分钟,洗米用2分钟,煮饭用20分钟,洗菜用4分钟,打鸡蛋用1分钟,炒两个菜,每个菜5分钟,厨房里有两个火头的煤气灶,请你帮小明算算,至少用多少时间才能做完这些事?

2、用一只平底锅煎饼,每次只能放2只饼,煎一只饼要2分钟(正、反面各用1分钟),问: (1)煎3只饼最少需要几分钟?

(2)如果要煎n(n>1)只饼,最少需要几分钟?

3、学校举办运动会,在径赛方面有60米、100米、800米、1500米赛跑,每种赛跑因为报名人数不同,点名分组时间及比赛时间也有所不同,已知时间如下表所示,试安排最省时间

4、下图表示一个物资调运问题,A、B、C、D是产地,E、F、G、M、N是销地,产销量(吨)及距离(千米)注在图上,试作一个吨千米总数最小的调运方案。

43

5、设A、B两地分别有同型号电冰箱10台、3台要外运,而C、D两地分别需要比型号的电冰箱7台、6台,已知A地运至C、D的每台运费及B地运至C、D的每台运费如表所示,试求一个运费最省的调运方案,最省的运费是多少元?

6、有一批4.6米的条形钢材,要截成长0.7米和0.4米的甲、乙两种毛坯,要求甲种毛坯根数是乙种毛坯根数的2倍,问如何设计下料方案,使残料最少?

7、在1200米长的路段上植树,最少要种多少棵,才能保证至少有两棵树的距离小于15米?(路段的两端都要植一棵树)

8、车间内有5台机器同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为15、8、29、7、10分钟。每台机器停产一分钟都将造成5元的经济损失。如何安排修复顺序,使经济损失最少?最少损失多少元?

9、如图所示,它表示某城市的街道图,九个街区都是边长为1千米的正方形,现需设计一牛奶站,希望找到一个最佳地址,要能使送奶车以最短路线跑遍城市所有街道,然后返回奶站,如果小明把奶站选在P点,试问他选的对吗?送一遍所走的路程要比该城全部街道的总长长多少?

[全讲综合训练]

1、(第八届迎春杯试题)有89吨货物要从甲地运往乙地,大卡车的载重量是7吨、小卡车的载重量是4吨,大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是14公升与9公升,问如何选派车辆才能使运输油量最少?这时共需用油多少公升?

2、(哈尔滨市竞赛题,1998)电车公司维修站有7辆电车需要维修,如果用一名工人维修这7辆电车,修复时间分别为12、17、8、18、23、30、14、分钟,每辆电车停开1分钟经济损失11元,现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独工作,要使经济损失减少到最小程度,最少损失多少元?

3、(第二届华杯赛复赛题)如图是一张道路图,每段路上的数是小王走这段路所需的分钟数,请问小王从A出发走至B,最快需多少分钟?

44

4、A、B两地各有10万吨煤,其中15万吨煤可供外运。现在上海需要8万吨,南京需要7万吨,A地到南京和上海的运费分别是每吨3元和4元,B地到南京和上海的运费分别是每吨2元和5元。问:怎样调运才能使运费最省?

5、某乡共有六块麦田,每块麦田的产量如图所示,试问打麦场应设置在何处,才能使运输总量(吨·千米)最小?

6、有十个村,坐落在从县城出发的一条公路上(如图,距离单位是千米)要安装水管,从县城送自来水供给各村,可以用粗、细两种水管,粗管足够供应所有各村用水,细管只能供一个村用水,粗管每千米要用8000元,细管每千米要用2000元,把粗管和细管适当搭配、互相连接,可以降低工程的总费用,按你认为最节约办法,费用应是多少?

7、有五个工件需要先在机床A上加工,然后再在机床B上加工,每个工件需要加工的小时数在下表中,如果安排适当,可使加工完这五个工件所需时间最少,问最少只需多少小时?

45

8、某工地A有20辆卡车,要把60车渣土从A地运到B,把40车砖从C运至D(工地道路图如图所示),问如何调运最省油?

9、(1990年江西省八一杯小学数学竞赛试题)甲、乙两个仓库各有100吨化肥,春耕生产时,北乡需要60吨化肥,南乡需要80吨化肥,两个仓库到两个乡的路程如图所示(单位:千米)如果每吨化肥每千米运费要1元,那么如何调运运费最省?

10、甲、乙两个仓库各有100吨化肥,现在北村要60吨,南村要80吨;两个仓库到两个村的路程如图所示(单位:千米)。如果每吨化肥每运1千米要运费1元。那么:要使运费最省,必须从甲仓运多少?乙仓运多少?最省运费是多少元?

甲仓 12 北村

9

南村 15 乙仓

11、某工地A有20辆卡车,要把60车土从A运到B,把40车砖从C运到D(如图),如何调运最省汽油? C 360米 D

240米 90米

米 A

12、某村有6块麦地,每块地的产量如下图所示,现要建一块麦场,麦场建在何处最省运费?

46

第十一讲 最大和最小

[同步巩固演练]

1、有一农户利用一堵墙用篱笆围成一长方形的鸭圈,已知篱笆长度只有24米,怎样围面积最大?

2、(1)把16拆成两个自然数,使这两个数的乘积最大。

(2)把16拆成在个自然数,使这三个数的乘积最大。

3、数字和等于23的最小双数是多少?

4、现有10对钥匙和锁混放在一起,不知道哪把钥匙配哪把锁,至少要试开多少次,可把它们全部配成对。

5、一个五位数与9的和是没有重复数字的最小五位数,则原来五位数的个位数是什么?

6、把1、3、5、7、9、11、13填到图中的圆圈中,使每个圆圈中的四个数之和相等,那么满足条件的最小的和是多少?

7、若自然数n的各位数码之和为1990,则n的最小值是多少?

8、下面算试中的两个方框内应填什么数,才能使这道除法算式的余数最大?

□÷25=104?□

9、在1,2,?,10这十个数中,选取两个数的和为10,共有多少种方法?其中乘积最大的一对是多少?

[能力拓展平台]

1、图中,A、B、C等字母代表不同的自然数,且除A、B、C外的每个数都等于指向它的几个箭头起点处的数的和,A、B、C分别等于多少时才能使x的值最小,此时x等于几?

2、把“1,2,3,4,5,6,7,8”这八个数字组成两个四位数,使这两个数的乘积最大这两个四位数各是多少?

3、有36块正方形纸片,每块的面积都是4平方厘米,用这些正方形纸片,可拼成许多不同的长方形,这些长方形中,周长最长的那个长方形,它的周长是多少厘米?

4、用1×3平方分米的瓷砖铺4×5平方分米的长方形地面,至多铺多少块瓷砖?怎么铺?

5、有9颗钢珠,其中8颗一样重,另有一颗比这8颗略轻,用一架天平最少称几次,可以找到那颗较轻的钢珠?

6、用2、3、4、、5、6、7这6个数字组成两个不同的三位数,要使这两个三位数的乘积最大,则这两个三位数是什么?

7、现有一批树苗,如果每排20棵,最后余下5棵;如果每排7棵,最后剩下2棵,这批树苗最少有多少棵?

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8、袋子里装18个大小相同的彩色木球,其中红球3个,黄球5个,绿球10个,现在一次从中任意取出n个,使这n个彩球中,保证至少有5个同色,请问:n的最小值是多少?

[全讲综合训练]

1、张平有8分、1角和2角的纪念邮票,总价为1元2角2分,那么他至少有几张邮票?

2、有红球、黄球、白球各一堆(每堆数量很多),每个红球重3克,每个黄球重5克,每个白球重7克,要取出130克的球,颜色不限,如何取才能使取出的球的数目最少?

3、某公共汽车从起点站开往终点站,中途共有9个停车站,如果这辆公共汽车从起点站开出,除终点站外,每一站上车的乘客中,从这一站到以后的每站正好各有一位乘客下车,为了使每位乘客都有座位,那么这辆公共汽车至少应有多少座位?

4、有A、B、C、D四个自然数,取其中三个数相加的和分别是217、206、185、196,则A、

B、C、D这四个数中最大的数与最小的数之差为几?

5、有三个不等于0的数字,能组成6个不相同的三位数,这6个三位数的和是2886,那么其中最小的那个三位数是多少?

6、用1、2、3、4、5、6、7这七个数字组成三个两位数,一个一位数,并且使这四个数的和等于100,我们要求最大的两位数尽可能大,问这个最大的两位数是多少?

7、从连续的49个自然数1~49中,挑出若干个数排成一个圆圈,使相邻的任意两个数乘积都小于100,最多能挑出多少个数来?

8、一个三位数等于它的各数位上数字之和的19倍,这个三位数最大是多少?最小是多少?

9、在多位数464748495051中划去6个数字,使剩下的数字(先后顺序不改变)组成的六位数最大,这个最大的六位数是多少?

10、一个自然数n,各位数字之和是300,要使n最小,n应当是几位数?它的首位数字应当是几?

11、四年级有学生若干名,若7人一行最后余3人;若11人一行最后余5人,四年级最少有学生多少人?

12、有A、B、C共3人,从地点P到地点Q的距离为3千米,每个人可以每小时3千米的速度步行,在地点P有两辆自行车,如果使用自行车,速度可达到每小时15千米,但每辆自行车只能一个人骑,问怎样才能在最短的时间内使3个人都到达地点Q?

13、(全国奥赛题,1998)从1至9这9个数中选出8个数,分别填在下面8个圆圈内,使算式的结果尽可能大,[○÷○×(○+○)]-(○×○+○-○),你的计算结果是 。

14、(全国奥赛题,1990)钱袋中有1分、2分和5分三种硬币,甲从袋中取出3枚,乙从袋中取出2枚,取出的5枚硬币仅有两种面值,并且甲取的3枚硬币的和比乙取出的两枚硬币的和少3分,那么取出的钱数的总和最多是 分。

15、(全国奥赛题,1990)小萌在邮局寄了三种信,平信每封8分钱,航空信每封1角钱,挂号信每封2角钱。她共用了一元二角二分钱,那么小萌寄的3种信的总和最少是 封。

16、(全国奥赛题,1991)甲、乙、丙都在读同一本故事书,书中有100个故事,每人都从某个故事开始按顺序往后读,已知甲读了75个故事,乙读了60个故事,丙读了52个故事。那么甲、乙、丙三人共同读过的故事至少有 个。

17、(全国奥赛题,1994)5个空瓶可以换1瓶汽车,某班同学喝了161瓶汽水,其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的,那么他们至少要买汽水 瓶。

18、(全国奥赛题,1996)有四袋糖块,其中任意三袋的总和都超过60块,那么这四袋糖块的总和至少有 块。

19、(全国奥赛题,2001)有若干人的年龄和是4476岁,其中年龄最大的不超过79岁,最小的不低于30岁,而年龄相同的人不超过3个人,则这些人中至少有 位老人(年龄不低于60岁的为老年人)。

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20、(全国奥赛题,2002)a、b、c、d、e分别是5个的年龄数,已知a是b的2倍、c的3倍、d的4倍、e的6倍,则a+b+c+d+e最小为 。

21、(全国奥赛题,2002)某同学把他喜爱的书顺次编号为1、2、3、?,所有编号之和是100的倍数且小于1000,则他的编号的最大数是。

22、(全国奥赛决赛题,2002)圆圈上均匀的放置了100枚棋子,其中黑棋子48枚,白棋子52枚,若将圆圈上任意两枚棋子交换位置称为一次对换,那么最少要经过黑棋子在圆圈上互不相邻(两枚黑子之间至少有一枚白子)。

23、(全国奥赛决赛题,2002)两辆同一型号的汽车,从同一地点同时出发,沿同一方向同速直线前进,每车最多能带20桶汽油(连同油箱内的油),每桶汽油可以使一辆汽车前进50米,两车都必须返回出发点,两车均可以借对方的油。为了使一辆车尽可能的远离出发点,那么这辆车最远可到达离出发点 千米的地方。

24、(全国奥赛决赛题,2003)某校人数是一个三位数,平均每个班级36人,若将全校人数的百位数与十位数对调,则全校人数比实际少180人,那么该校人数最多可以达到 人。

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第十二讲 盈亏问题及对应法

[同步巩固演练]

1、小华第一次买5支铅笔,第二次买9支同样的铅笔,第二次比第一次多花6角钱,每支铅笔多少钱?

2、幼儿园大班的教师拿出一包糖分给小朋友,算了算,如果每人分4块,要多出48块糖,如果每人分6块,则又少8块糖,请你算一算,这包糖有多少块?这个班有多少个小朋友?

3、一根长绳截出同样长短的绳子21根后,余41米,如果截出34根,则余2米,这根长绳长多少米?

4、一个植树小组植树,如每人栽5棵,还剩12棵;如果每人栽7棵,就缺4棵,这个植树小组有多少人?一共要栽多少棵树?

5、参加团体操的同学排队,如果每行站9人,则多37人,而每行站12人,则少20人,请问团体操要站几行?共有多少人参加?

6、小芳去买圆珠笔,如果买5支余3元,如果买9支余2角,每支圆珠笔价值多少钱?

7、买5个排球和3个篮球的需付100元,而买2个排球和3个篮球只需付67元,则排球和篮球的单价分别是多少元?

8、小明在一座楼顶的平台上用长绳吊一重物来测量楼高,当他将绳子2折时,绳比楼高要长10米;当他将绳子4折时,则绳比楼高长出1米,楼高多少米?绳长多少米?

9、某车间有3个生产班组,第一组有5人,共生产零件167个;第二组比第一组多2人,共生产零件206个;第三组和第二组工人一样多,生产的零件却比第二组多10个,这个车间平均每个工人生产零件多少个?

10、幼儿园为小朋友买了桃,分配时,如果每个小朋友分5个,还剩32个;如果其中10个小朋友分4个,其余的小朋友分8个,就恰好分完,则幼儿园有小朋友多少人?共买了多少个桃?

11、四年级同学参加植树活动,如果每班种10棵,还剩6棵树苗;如果剩下的每班再种2棵,就少4棵树苗,四年级一共植树多少棵?

12、同学们到阶梯教室听科技报告,如每张长椅坐8人,则剩下50人没有座位;如果每张长椅上坐12人,则空出10个座位,如果每张长椅上坐7人,还剩下多少学生无座位?

13、某商店从深圳运来一批水果,运费花了1000元,水果报损了100千克,若按2元1千克卖出,则要亏损300元,若按3元1千克卖出,则可盈利500元,问原来进货多少千克?水果进货的金额是多少元?

14、小刚从家去学校,如果每分钟走80米,结果比上课时间提前6分钟到校,如果每分钟走50米,则要迟到3分钟,小刚的家到学校的路程有多远?

[能力拓展平台]

1、某校同学排队上操,如果每行站9人,则多37人,如果每行站12人,则少20人,一共有多少学生?

2、小强由家里到学校,如果每分钟走50米,上课就要迟到3分钟,如果每分钟走60米,就可以比上课时间提前2分钟到校,小强到学校的路程是多少米?

3、少先队员参加绿化植树,他们准备栽的苹果树苗是梨树苗的2倍,如果每人栽3棵树苗,还余2棵,如果每人栽7棵苹果树苗,要少6棵,问有多少少先队员?他们准备栽多少棵苹果树和梨树?

4、学校进行大扫除,分配若干人擦玻璃,其中两人各擦4块,其余各擦5块,则余12块,若每人擦6块,则正好擦完,求擦玻璃的人数及玻璃的块数?

5、少先队员去植树,如果每人挖5个树坑,还有3个树坑没人挖;如果其中2人各挖4个,其余的人各挖6个树坑,就恰好挖完所有树坑,少先队员一共要挖多少个树坑? 50

6、5个大球与3个小球共重42克,5个小球与3个大球共重38克,问每个小球与大球各重多少千克?

7、佳佳的奶奶买回一筐梨,分给全家人,如果佳佳和妹妹每人分4个梨,其余每人分2个梨,还多出4个梨;如果佳佳1人分6个梨,其余每人分4个梨,又差12个梨,佳佳家有多少人?这筐梨子有多少个?

8、学校分配宿舍,如果每个房间住3人,则多出20人;如果每个房间住6人,余下2人可以每人各住一个房间。现在每个房间住10人,可以空出几个房间?

9、农民种树,其中有3人分得树苗各4棵,其余的每人分得3棵,这样最后余下树苗11棵;如果1人先分得3棵,其余的每人分得5棵,则树苗恰好分尽,求人数和树苗的总数。

10、学校买来一些篮球和排球分给各班,买来的排球个数是篮球的2倍。如果篮球每班分2个,多余4个;如果排球每班分5个,则少2个,学校买来篮球和排球各多少个?

11、粮仓有大米的吨数是面粉的2倍,现有几辆卡车来运粮,如果每车运面粉3吨,还剩下5吨面粉;如果每车运大米7吨,正好把大米运完,粮仓有大米、面粉各多少吨?

12、同学们为“希望工程”联谊同学捐款买书,买《儿童文学名著》20本,则还余钱41元,买《百科知识》17本,则还余钱35元。每本《百科知识》比《儿童文学名著》贵3元,同学们为购书捐款多少元?

13、甲、乙、丙、丁四数,甲、乙、丙三数和为192;乙、丙、丁三数和为216;甲、丙、丁三数和为208;甲、乙、丁三数和为200。求四数各是多少?

14、一双鞋和一顶帽子共价70元,而两双鞋与三顶帽子的价相等,求一双鞋与一顶帽子价格是多少元?

15、服装厂加工一批童装,计划每天做60套,这样工作5天后,发现按此进度下去就不能赶在“六一”节交货,还要推迟2天;工厂决定加斑工作,这样每天可多做童装12套,结果在“六一”节前2天交货。问这批童装有多少套?

[全讲综合训练]

1、(开平市竞赛题,1997)小明计划若干天看完一本书,若每天看36页,则要迟1天看完,他要提前1天看完,则每天看45页,这本书共有多少页?

2、(中南地区竞赛题,1991)小明从家到学校上课,开始时以每分钟走50米的速度走了2分钟,这时他想:若根据以往上学的经验,再按这个速度走下去,肯定要迟到8分钟,于是他立即加快速度,每分钟多走10米,结果小明早到了5分钟,小明家到学校的路程有多远?

3、(长春市竞赛题,1997)参加军事训练的学生练习正方形方阵,排成一个大方阵余12人,若将大方阵纵横各减少一行,则余下的人可以组成一个5行5列的方阵,这队学生共有多少人?

4、某学校接受植树任务,如果每天植树1200棵,可以比计划提前一天植完;如果每天植树800棵,将比计划拖后一天植完,计划规定每天植树多少棵?

5、(《数学报》竞赛题)某厂运来一堆煤,如果每天烧煤1500千克,比计划提前一天烧完;如果每天烧1000千克,将比计划多烧一天,如果要求按计划规定烧完,每天应该烧煤多少千克?

6、(第四届《数学报》竞赛题)幼儿园将一筐苹果分给小朋友,如果分给大班的小朋友每人5个则缺6个;如果分组小班的小朋友每人4个余4个,已知大班比小班少2个小朋友,问这一筐苹果有多少个?

7、(第二届华杯赛题)有一个班的同学去划船,他们算一下,如果增加一条船,正好每条船坐6人;如果减少一条船,正好每条船坐9人,问:这个班共有多少名同学?

8、(全国奥赛题,1998)买来一批苹果,分给幼儿园大班的小朋友,如果每人分5个苹果,还剩余32个;如果每人分8个苹果,还有5个小朋友分不到苹果,这批苹果的个数是多少? 51

9、(吉林省竞赛题,1997)东风小学仪仗队的同学们排队,若排成正方形,则多余12名同学,如果把这个正方形扩大,纵横每排各增加一人,则少9人,算一算东风小学仪仗队有多少个学生?

10、(福州市竞赛题,1988)有一批正方形的砖,排成一个大正方形,余下32块;如果将它改排成每边比原来多一块砖的正方形,就要差49块,这批砖原有多少块?

11、(第五届“迎春杯”竞赛题)幼儿园将一筐苹果分给小朋友,如果分给大班的学生每人5个余10个;如果分给小班的学生每人8个少2个,已知大班比小班多3个小学,那么这一筐苹果有多少个?

12、(北京市竞赛题,2000)甲和乙两人都买了一套相同的信笺,甲把每个信封里装一张信纸,结果用完了所有的信封,只剩下50张信纸,乙把每个信封里装3张信纸,结果用完了所有的信纸,剩下50个信封,问每套信笺盒中有多少张信纸?多少个信封?

13、(哈尔滨市竞赛题,2000)学校安排学生到会议室听报告,如果每3人坐一条长椅,则剩下48人没有座位;如果每5人坐一条长椅,则刚好空出2条长椅,参加会议的学生有多少人?

52

第十三讲 行程问题

13.1相遇问题

[同步巩固演练]

1、甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发,相向而行,已知甲车到达B城需4小时,乙车到达A城需12小时,问:两车出发后多长时间相遇?

2、东、西镇相距45千米,甲、乙二人分别从两镇同时出发相向而行,甲比乙每小时多行1千米,5小时后两人相遇,问两人的速度各是多少?

3、甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地4千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地3千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离。

4、甲、乙二人从相距100千米的A、B两地出发相向而行,甲先出发1小时,他们二人在乙出发后的4小时相遇,又已知甲比乙每小时快2千米,求甲、乙二人的速度?

5、东、西两镇相距240千米,一辆客车从上午9时从东填开往西镇,一辆货车在上午8时从西镇开往东镇,到正午12点,两车恰好在两镇间的中点相遇,如果两车都从上午8点由两地相向开出,速度不变,至上午10时,两车还相距多少千米?

6、骑自行车从甲地至乙地,以每小时10千米的速度进行,下午1点到;以每小时15千米速度行进,上午11点到,如果希望中午12点到,那么应以怎样的速度行进?

7、兄妹二人同时离家去900米的学校上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米,哥哥到校门时,发现忘记带课本,立即沿原路回家去取,问他们相遇时离学校有多远?

8、甲、乙两人在400米的环形跑道上跑步,两人在同一地点朝相反方向跑,从第一次到第二次相遇间隔40秒种,甲每秒跑6米,乙每秒跑几米?

[能力拓展平台]

1、两列火车同进从甲、乙两站相向而行,第一相遇在离甲站40千米的地方,两车仍以原速行驶,分别到达对方站后立即返回,又在离乙站20千米的地方相遇,问甲、乙两地相距多少千米?

2、兄弟俩骑车游,弟弟先出发,速度是每分钟行200米,5分钟后,哥哥带一条狗出发,以每分钟250米的速度去追弟弟,而狗则以每分钟300米的速度向弟弟跑去,追上弟弟后又立即返回,遇到哥哥后又立即向弟弟追去直到哥哥追上弟弟时狗跑了多少米?

3、甲、乙两人同时从A点背向出发,沿400米环形跑道行走,甲每分钟走80米,乙每钟走50米,这两人至少用多少分钟再在A点相遇?

4、甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行,如果各自按原来速度前进,则4小时相遇,如果没人每小时少走1千米,则5小时相遇。那么A、B两地相距多少千米?

5、甲、乙两辆汽车分别从东、西两站同时相对开出,相遇时甲比乙多行了20千米,相遇后两车继续前进,并于抵达对方车站后立即返回,在距西站100千米处两车再次相遇,求东、西两站之间的距离。

6、星期日上午8时20分小峰骑自行车从家里出发,10分钟后,爸爸骑摩托车追他,在离家5千米的地方追上他,然后爸爸立即回家,一到家又立即去追小峰,再追上时恰好离家10千米,这时是几时几分?

7、一客船和一货船同时分别从甲、乙两地相向而行,经过12小时相遇,相遇后,客船又行4小时到达乙站,求相遇后,货船还需多少小时才能到达甲地?

8、甲、乙两地相距3500米,小王骑车平均每分钟180米,小李平均每分钟170米,两人同时分别从甲、乙两地相向而行,分别到达乙、甲两地后各休息了3分钟,然后返回,问两人第一次相遇后又经过几分种第二次相遇?

13.2追及问题

53

[同步巩固演练]

1、甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行,甲每小时行20千米,乙每小时行18千米,两人相遇时距全程中点3千米,问全程长多少千米?

2、两地相距900千米,甲走需15天,乙走需12天,现在甲先出发2天,乙去追甲,问要走多少千米才可追上?

3、甲、乙两人分别在相距240千米的A、B两地乘车出发,相向而行,5小时相遇,如果甲、乙两人乘原来的车分别在两城同时同向出发,慢车在前快车在后,15小时后,甲、乙两人相遇,求各车的速度。

4、甲轮船以每小时平均16千米的速度由一码头出发,经过3小时,乙轮船也由同一码头按照同一方向出发,再经过12小时追上甲轮船,求乙轮船的速度。

5、甲有120元钱,乙有96元钱,甲每天用15元,乙每天用9元,多少天之后,两人剩下的钱数相等?

6、小王骑摩托车由甲城到乙城要5小时,小李骑自行车由乙城到甲城要10小时,两同时从两城相向开出,相遇时小王距离乙城还有192千米,求两城的距离。

7、小智和小慧从学校到森林公园去春游,小智步行,每小时走5千米。他出发后4小时,小慧骑自行车,每小时行15千米。小慧追上小智时,正好到达森林公园,学校离森林公园有多少千米?

8、小强从家到公园,原打算每分钟走50米,为了提早10分钟到,他把速度加快,每分钟走75米,问家到公园有多远?

9、一驾敌机侵犯我国领空,我机立即起飞迎击。在两机相距25千米时,敌机调转机头,以每分16千米的速度逃跑,我机以每分24千米的速度追击。当我机追至离敌机1千米时,与敌机展开了空战,经1分钟时间将敌机击落,敌机从逃跑到被我机击落这段时间共有多少分?

10、敌舰一艘在离我海防哨所6000米处,以每分400米的速度调头向公海逃走。我快艇立即从哨所出发,经11分在离敌舰500米处,开炮击沉敌舰,我快艇每分航行多少米?

11、第二中队准备从学校出发去相距20千米的公园春游,他们分成两组,第一组步行,每小时行4千米;第二组骑自行车,每小时行12千米,第一组出发2小时后,第二组出发,那么第二组的同学在距公园还有多少千米的地方追上第一组的同学?

12、一辆卡车以每小时30千米的速度从甲地开往乙地,开出4小时后,一列火车也从甲地开往乙地,这列火车的速度是每小时90千米,在甲地到乙地距离二分之一的地方火车追上了卡车,问甲、乙两地相距多远?

13、小峰放学回家,若按常速行走,每分钟走40米,由于家中有事,他加快了速度,每分钟走70米,结果提前了12分钟到家,问学校到家有多少米?

[能力拓展平台]

1、一列慢车在上午9点钟以每小时40千米的速度由甲城开往乙城。另有一列快车在上午9点30分以每小时56千米的速度也由甲城开往乙城。铁路部门规定:向相同方向前进的两列火车之间相距不能少于8千米。问:这列慢车最迟应在什么时候停车让快车超过?

2、有一条长80米的圆形走廊,兄弟两人同时从同一处、同一方向沿着走廊出发。弟弟以每秒1米的速度步行,哥哥以每秒5米的速度奔跑。哥哥在第2次追着弟弟时,所用的时间是多少秒?

3、甲的速度是乙速度的一半,两人分别从A、B两地同时出发相向而行,1小时后,在离中点3千米处相遇,相遇后,两人分别以原来的速度继续前进,甲走向B地,乙走向A地。

(1)求A、B两地之间的距离。

(2)当乙到过A地时,甲离B地有多远?

54

4、小张步行从甲村到乙村去,小李骑自行车从乙村往甲村去,他们同时出发,1小时后在途中相遇,他们分别继续前进,小李到达甲村后就立即返回,在第一次相遇后40分钟,小李追上小张,他们又分别继续前进,当小李到达乙村后又马上返回,问追上后多少分钟,他们再次相遇?

5、A、B两地间有条公路,甲从A地出发步行到B地,乙骑摩托车从B地不停地往返于A、B两地之间,若他们同时出发,80分钟后两人第一次相遇,100分钟后乙第一次超过甲,问当甲到达B地时,乙追上甲几次?

6、小明从家到学校上课,开始以每分钟走50米的速度,走了2分钟,这时他想:若根据以往上学的经验,再按这个速度走下去,将要迟到2分钟。于是他立即加快速度,每分钟多走10米,结果小明早到了5分钟。小明家到学校的路程有多远?

7、前进钢铁厂用两辆汽车从距工厂90千米的矿山运矿石,现有甲、乙两辆汽车,甲车自矿山,乙车自钢铁厂同时出发相向而行,速度分别为每小时40千米和50千米,到达目的地后立即返回,如此反复运行多次,如果不计装卸时间,且两车不作任何停留,则两车在第三次相遇时,距矿山多少千米?

8、A、B两地相距8千米,小明骑自行车从A地出发到B地,开始以每分钟120米的速度行驶,后来改为每分钟160米的速度行驶,共用了1小时到达B地,小明在离A地多少米的地方改变速度的?

9、狗追兔子,开始追时狗与兔子相距30米,追了48米后与兔子相距6米,狗还要追多少米才能追上兔子?

10、甲、乙两人同时从A地到B地去。如果甲骑车每分钟行250米,每行驶10分钟后必须休息20分钟,乙不间歇的步行,每分钟行100米,结果在甲即将休息的时刻同人同时到达B地。问A、B两地相距多远?

11、张、李两人骑车同时从甲地出发,向同一方向前进。张的速度比李的速度每小时快4千米,张比李早20分钟通过途中乙地。当李到达乙地时,张又前进了8千米。那么,甲、乙两地距离是多少千米?

13.3流水行船问题

[同步巩固演练]

1、一艘客轮每小时行驶27千米,在大河中顺水航行160千米,每小时水速5千米,需要航行多少小时?

2、“燕山”号客轮从甲地到乙地,已知甲、乙两地相距270千米,客轮从甲地顺水以每小时27千米的速度航行到乙地要用9小时,这样水速是每小时多少千米?

3、一艘货轮第小时行驶25千米,大河中水速为每小时5千米,在大河中逆水航行7小时,能行驶多少千米?

4、一般顺水行100千米需要4小时,水流速度每小时6千米,则该船逆水每小时行多少千米?

5、从甲地到乙地的水路有120千米,河水的流速是每小时2500米,某船在静水中每小时行7500米,它在甲乙两地之间往返一次需要多少小时?

6、一只小船逆水航行11小时从A港到达相距176千米的B港,这只船的静水速度是每小时19千米,它从B港返回A港将用多少小时?7、一只船在河里航行,顺流而行时为每小时20千米,已知此船顺水航行3小时和逆水航行5小时所行的路程相等,则船速为每小时多少千米?水速为每小时多少千米?

8、甲、乙两只船同时从相距660千米的两个码头相向出发,8小时后还相隔396千米,甲船每小时航行15千米,乙船每小时航行多少千米?

9、一只帆船的速度是每分钟60米,船在水流速度为每分钟20米的河中,从上游的一个港 55

口到下游某一地,再返回到原地,共用3小时30分,则这条船从上游港口到下少游某地共走了多少米?

10、一艘轮船在静水中的速度是每小时15千米,它逆水航行88千米用了11小时,问这艘船返回原地需用几小时?

11、一只船往返于一段长120千米的航道,上行时用了10小时,下行时用了6小时,船在静水中航行的速度与水速各是多少?

12、两港口相距432千米,轮船顺水行这段路程需要16小时,逆水每小时比顺水少行9千米,问行驶这段路程逆水比顺水多用几个小时?

13、一艘轮船往返于相距198千米的甲、乙两个码头,已知这段水路的水速是每小时2千米,从甲码头到乙码头顺流而下需要9小时,这艘船往返于甲、乙两码头共需几小时?

14、一条船在静水中的速度是每小时16千米,它逆水航行了12小时 ,行了144千米,如果按原路返回,每小时要行多少千米?

15、甲、乙之间的水路是234千米,一只船从甲港到乙港需9小时,从乙港返回甲港需13小时,问船速和水速各是多少?

16、甲、乙两港相距360千米,一轮船往返两港需35小时,逆流航行比顺流航行多花了5小时,现有一只机帆船,静水中每小时行12千米,这只机帆船往返两港要多少小时?

17、甲河是乙河的支流,甲河水速为每小时3千米,乙河水速为每小时2千米,一艘船沿甲河顺水航行8小时,行了152千米到达乙河,在乙河还要逆水航行112千米,问这艘船还要航行几小时?

18、一艘轮船每小时行15千米,它逆水6小时行了72千米,如果它顺水行驶同样长的水道需要多少小时?

19、一艘轮船从甲港开往乙港,顺水而行每小时行28千米,返回甲港时逆水而行用了6小时,已知水速是每小时4千米,甲、乙两港相距多少千米?

[能力拓展平台]

1、静水中甲、乙两船的速度分别是每小时22千米和每小时18千米,两船先后自港口顺水开出,乙比甲早出发2小时,若水速是每小时4千米,问甲开出后几小时可追上乙?

2、A河是B河的支流,A河水的流速为每小时3千米,B河水的流速为每小时2千米,一艘船沿A河顺水航行84千米,问这艘船还要航行几小时?

3、一条大河,河中间(主航道)水的流速为每小时6千米,沿岸边水的流速为每小时4千米,一条船在河中间顺流而下,12小时行驶480千米,求这条船沿岸边返回原地,需要多少小时?

4、甲、乙两地相距48千米,一船顺流由甲地去乙地,需航行3小时;返回时因雨后涨水,所以用了8小时才回到甲地,平时水速为4千米/时,求涨水后水速增加多少?

5、A、B两码头间河流长为90千米,甲、乙两船分别从A、B码头同时启航,如果相向而行3小时相遇,如果同向而行15小时甲船追上乙船,求两船在静水中的速度。

6、乙船顺水航行2小时,行了120千米,返回原地用了4小时,甲船顺水航行同一段水路,用了3小时,甲船返回原地比去时多用了几小时?

7、某河有相距45千米的上、下码头,每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相向而行,一天甲船从上游码头出发时掉下一物,此物浮于水面顺水飘下,4分钟后,与甲船相距1千米,预计乙船出发后几小时可以与此物相遇?

8、已知一艘轮船顺水行48千米需4小时,逆水行48千米需6小时,现在轮船从上游A港到下游B港,已知两港间的水路长为72千米,开船时一旅客从窗口扔到水里一块木板,问船到B港时,木块离B港还有多远?

9、甲、乙两船在静水中分别为每小时24千米和每小时32千米,两船从某河边相距336千 56

米的A、B两港同时相向而行,几小时相遇?如果同向而行,几小时后,乙船追上甲船?

10、一条小船顺流航行32千米,逆流航行16千米共用8小时,顺流航行24千米,逆流航行20千米也用了同样多的时间,求这只小船顺行24千米,然后返回要用多少时间?

11、长江水流速度某月1日是每小时1千米,该月2日是每小时2千米,有人在这两天里,每天都从甲码头到乙码头乘同一条船往返一次,用的时间相等吗?

12、一艘货轮顺流航行36千米,逆流航行12千米共用了10小时;顺流航行20千米,再逆流航行20千米也用10了小时;那么顺流航行12千米,又逆流航行24千米要用多少小时? 13.4火车过桥问题

[同步巩固演练]

1、一列火车长180米,每秒行20米,这列火车通过320米长的大桥,需要多少时间?

2、长150米的火车以每秒18米的速度穿越一条300米的遂道,问火车穿越遂道(进入隧道直至完全离开)要多少时间?

3、一列火车经过一根有信号灯的电线杆用了9秒,通过一座468米长的铁桥用了35秒,这列火车长多少米?

4、一列火车,从车头到达桥头算起,用8秒全部驶上一座在桥,29秒后全部驶离大桥,已知大桥长546米,火车全长多少米?

5、有两列火车,一列长130米,每秒行23米,另一列长250米,每秒行15米,现在两车相向而行,从相遇到离开需几秒钟?

6、快车每秒行18米,慢车每秒行10米,现在两列火车同时、同方向齐头行进,行10秒钟后,快车超过慢车;如果两车车尾相齐行进,则7秒钟后,快车超过慢车,求两列火车的车身长。

7、某人沿着铁路边的便道步行,一列客车从身后开来,在身旁通过的时间是15秒钟,客车长135米,每小时行36千米,求行人的步行速度?

8、一列火车,从车头到达山洞的洞口算起,用16秒全部驶进山洞,45秒后车尾驶离山洞,已知山洞长638米,火车全长多少米?

9、小张以3米/秒的速度沿着铁路跑步,迎面开来一列长147米的火车,它的行驶速度是18米/秒,问:火车以过小张身旁的时间是多少?

10、一列客车经过南京长江大桥,大桥长6700米,这列客车长100米,火车的速度是400米/分,这列客车经过南京长江大桥需要多少分钟?

11、某人步行的速度为每分钟120米,一列火车从前面开来,超过他用了9秒钟,已知火车的长为144米,那么火车的速度为多少米?

[能力拓展平台]

1、一列快车和一列慢车相向而行,快车的车身长是270米,慢车的车长是360米,坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是12秒,那么慢车上的人看见快车驶过的时间是多少?

2、火车通过长为102米的铁桥用了24秒,如果火车的速度加快1倍,它通过长为222米的遂道只用了18秒,求火车原来的速度和它的长度?

3、一列火车长400米,铁路沿线的电线杆间隔都是40米,这列火车从车头到达第1根电线杆到车尾离开第51根电线杆用了2分钟,这列火车每小时行多少千米?

4、慢车车身长125米,车速17米/秒;快车车身长140米,车速22米/秒,慢车在前面行驶,快车在后面从追上到完全超过需要多少时间?

5、一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥,共用了115秒钟,已知每辆车长5米,两车间隔10米,问这个车队共有多少辆车?

[全讲综合训练]

1、甲以每分钟2米的速度从B城向A城前进,乙的速度是他的两倍,乙从A往B,30分 57

钟后他们相遇,问:A、B相距多少米?

2、甲每小时行5千米,乙每小时行4千米,两人从同一地点向同一方向出发,当乙行了5小时后甲开始行走,问:当甲追上乙时,他们各自走了多远的路程?

3、甲、乙二人同时从A、B两地相向而行,甲每小时行12千米,乙每小时行10千米,两人在距中点3千米处相遇,A、B两地之间相距多远?

4、张明、李军和赵琪三人都要从甲地到乙地,早上6时张、李两人一起从甲地出发,张明每小时走5千米,李军每小时走4千米,赵琪上午8时才从甲地出发,傍晚6时,赵、张同时到达乙地,问赵珙是什么时候追上李军的?

5、甲、乙两港之间的水路长252千米,一只客轮从甲港开往乙港,顺水需9小时到,逆水需14小时到,则船在静水中的速度是每小时多少千米,水流的速度是每小时多少千米?

6、一艘货船每小时行驶27千米,在水中逆水航行了7小时,水速是每小时7千米,则这艘货船行了多少千米?

7、小玲每天6:50从家出发,7:20到校,老师要求她明天提早6分钟到校。如果小玲明天早上还是6:50从家出发,那么每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校,问:小玲家离学校多远?

8、旅游列车每秒行26米,普通列车每秒行18米。一辆旅游列车和一辆普通列车如果车头相齐同时开出,行进30秒后,旅游列车车尾刚好离开普通列车;这两辆列车如果车尾相齐同时开出,行进26秒后,旅游列车车尾刚好离开普通列车。旅游列车车长是多米?普通列车车长是多少米?

9、史老师从学校到教研室去办事,原打算每分钟走60米,可以按时到达。为了提早8分钟到达,她每分钟要多走15米。该学校距离教研室有多少米?

10、甲、乙两站相距480千米,快车在上午5时从甲站开往乙站,慢车同时从乙站开往甲站,两车在上午11时相遇,下午3时快车到达乙站后,慢车还要继续行驶多少时间才能到达甲站?

11、自行车队出发12分钟后,通信员骑摩托车去追他们,在距出发点9千米处追上了自行车队,通信员立即回出发点;然后又返回去追追自行车队,再追上时恰好离出发点18千米,求自行车队和摩托车的速度?

12、刘江骑自行车在一条公共汽车线路上行驶,线路的起点站和终点站间隔相同的时间发一次车,他发现从背后每隔12分钟开过来一辆汽车,而迎面每隔4分钟有一辆汽车驶来,问汽车是每隔多少时间发一辆车?

13、一条街上,一个骑车人与一步行人同向而行,骑车人的速度是步行人速度的3倍,每隔10分钟有一辆公共汽车超过步行人;每隔20分钟有一辆公共汽车超过骑车人,如果公共汽车从始发站起每次隔同样的时间发一辆车,那么每隔多少分钟发一辆公共汽车?

14、铁路旁有一条小路,一列长140米的火车,以每分钟720米的速度从东向西缓缓驶去,8时10分遇到一个从东向西行走的工人,20秒钟后离开这个工人;8时15分迎面遇到一个从西向东行走的学生,10秒钟后离开这个学生;问工人、学生何时相遇?

15、狗追狐狸,狗跳一次前进1.8米,狐狸跳一次前进1.1米。狗每跳两次时狐狸恰好跳3次,如果开始时狗离狐狸有30米,那么狗多少米才能追上狐狸?

16、一条船第一次顺流航行40千米,逆流航行28千米,共用12小时,第二次用同样的时间,顺水航行56千米,逆水航行20千米,求此船在静水中的速度和水流速度。

17、乙船顺水航行2小时,行了120千米,返回原地用了4小时,甲船顺水航行同一段水路,用了3小时,问甲船返回原地比去时多用几小时?

18、甲、乙、丙三人,甲每分钟走20米,乙每分钟走22.5米,丙每分钟走25米。甲、乙从东镇,丙从西镇,同时相对出发,丙遇到乙后,10分钟再遇到甲,求两镇相距多少米? 58

19、甲、乙两人在铁路轨道旁的马路上背向而行,甲骑车每小时走36千米,乙步行每小时

3.6千米,一列火车匀速向甲驶来,列车在甲旁开过用了10秒钟,而在乙旁开过用了21秒钟,问这列火车的长是多少?

20、两只蚂蚁在相距600厘米的甲乙两地分别以每秒44厘米和56厘米的速度同时相向爬行,它们爬行1秒、3秒、5秒??(连续奇数),调头爬行,那么,它们相遇时,已爬行了多少秒?

21、长途汽车在两地之间往返行驶,每辆车经4小时行完全程,从上午6点开始,每隔1小时从甲、乙两站同时发出一辆长途汽车,最后一班在下午四点发出,那么,从甲站发车的司机在途中最多能看到几辆驶来的同路线车?最少能看到几辆?

22、(第一届华杯赛初赛试题)有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站,每隔5分钟有一辆电车从甲站开往乙站,全程要15分钟,有一个人从乙站出发,沿电车路线骑车前往甲站,他出发的时候,恰好有一辆汽车到达乙站,在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车才到甲站,这时候,恰好有辆电车从甲站开出,问他从乙站到甲站用了多少分钟?

23、一只狮子和狗进行50米来回跑比赛,狗跑一步长2米,狮子跑一步长3米,狗跑三步的时间狮子只能跑两步,谁能胜?

24、(1991年小学数学奥林匹克初赛试题)龟兔赛跑,全程5.2千米,兔子每小时跑20千米,龟每小时跑3千米,龟不停地跑,但兔子却边跑边玩,它先跑1分钟后玩15分钟,又跑2分钟后玩15分钟??那么,先到达终点的比后到达终点的要快多少分钟?

25、小强和小江进行百米赛跑,已知小强第1秒跑1米,以后每秒都比前面1秒多跑0.1;小江则自始至终按每秒1.5米的速度跑问他们二人谁能取胜?

26、一辆长11米的车以每秒8米的速度由甲地开往乙地,,在距乙地3200米处迎面遇见一个行人,1秒钟后汽车经过这个行人,汽车到达乙地休息5分钟返回甲地,汽车从遇到行人到追上那位行人共用了多少秒?

27、某船往返于相距180千米的两港之间,顺水而下需用10小时,逆水而上需用15小时,由于暴雨后水速增加,该船顺水而行只需9小时,那么逆水而行需要几小时?

28、一位少年短跑选手,顺风跑90米,用了10秒钟,在同样的风速下,逆风跑70米,也用了10秒钟。问:在无风的时候,他跑100米地多少秒?

29、甲、乙两艘舰,由相距418千米的两个港口同时相对开出,甲舰每小时航行36千米,乙舰每小时行34千米,开出1小时后,甲舰因有紧急任务,返回原港,又立即起航与乙舰继续相对开出,那么,共经过多少小时两舰相遇?

30、一个人上山时,每走40分钟就休息15分钟,到达山项时共用去小时36分,下山时速度加快了一倍,每走30分钟就休息10分钟,问下山要多少时间?

31、甲乙二人在相距120米的直路上来回跑步,甲的速度为4米/秒,乙的速度是5米/秒,如果他们同时分别从两上端点出发,且每人跑10分钟,问他们共相遇了多少次?

32、家住郊外的工程师,每天在同一时候乘火车到达某站,这时工厂接工程师的汽车也同时到达,他乘车准时到达工厂,有一天,工程师提前55分钟到某站,接他的汽车还未到,他就步行向工厂走去,在路上遇到接他的汽车,他再乘车,结果比平时提前10分钟到达工厂,问汽车的速度是工程师的多少倍?

33、甲、乙沿同一公路相向而行,甲的速度是乙的1.5倍。已知甲上午8:30经过邮局门口,乙上午10:30经过邮局门口。问:甲、乙在中途何时相遇?

34、小李和小赵分别以75米每分钟和55米每分钟的速度,在一个每边长为16米的五边形喷水池边行走(如图)。如果两人同时从A点出发沿顺时针方向行走,那么小李第一次追上 59

小赵时,是在 边上。

B

E 第34题

35、一条河的水流速度是每小时2千米,一只船从这条河的上游甲地顺流到达下游的丙地,然后调头逆流向上到达中游的乙地,共用了6小时。已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍,从甲地到乙地相距12千米。求甲、丙两地间的距离。

36、两条虫在一条相距280厘米的直线上爬行。它们的速度分别是每分钟28厘米和每分钟42厘米,它们从直线的两端同时相向出发,往前爬1分钟,再掉头往反方向爬2分钟,再掉头往前爬3分钟,??如此进行。问几分钟后,这两条虫才会相遇?

37、(第一届华杯赛初赛试题)甲、乙、丙是顺次的三个车站,乙站到甲、丙两站的距离相等,小强和小明分别从甲、丙两站同时出发相向而行,小强经过乙100米后与小明相遇,然后两人又继续前进,小强走到丙站立即返回,经过乙站300米后又追上小明,问甲、丙两站相距多远?

38、铁路与公路平行,公路上有一个人在行走,速度是4千米/时,一列火车追上并超过这个人用了6秒钟,公路上还有一辆公共汽车同向行驶,速度是67千米/时,火车追上并超过这辆汽车用了48秒,求火车的速度及长度。

39、早晨8点多钟有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去,两辆车都是60千米/时,8点32分时,第一辆车开出路程是第二辆车的三倍,到了8点39分时,第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的2倍,那么第一辆车是什么时候开出的?

40、甲、乙两名运动员沿直线跑道进行竞走训练。如果两人同时、同地、同向竞走,4分钟后,甲比乙多走32米;如果在同时、同地、背向竞走,1.5分钟后两人相距180米。则甲每分钟走多少米,乙每分钟走多米?

41、(1992年北京市第八届小学生迎春杯数学竞赛试题)骑车人以第分钟300米的速度,从102路电车始发站出发沿102路电车前进,骑车人离开出发地2100米时,一辆102路电车开出了始发站,这辆电车每分钟行500米,行5分钟到达一站并停车1分钟,电车追上骑车人需多少分钟?

42、(1992年北京市第八届小学生迎春杯数学竞赛试题)甲乙两人同时同地同向沿一条公路行走,甲每小时行6千米,而乙第一小时行1千米,第二小时行2千米,第三小时行3千米??每行1小时都比前1小时多行1千米,经过多少小时后追上甲?

43、(第三届新苗杯小学生数学联赛试题)甲乙两辆汽车同时从A、B两地出发,相向而行,6小时后在星火体育场大门口相遇,如果甲车晚出发30分钟,乙车每小时比原来少行3.5千米,则两车又在星火体育场大门口相遇;如果乙车提前30分钟出发,甲车每小时比原来多行3.5千米,则两车仍在星火体育场大门口相遇,A、B两地相距多少千米?

44、列车通过250米长的遂道用25秒,通过210米长的遂道用23秒,又知列车的前方有一辆与它行驶方向相同的货车,货车车身长320米,速度为每秒17米,列车与货车从相遇到离开需要多少秒?

45、王明在一个长396米的球形跑道上进行晨跑。前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米,那么王明后一半路程跑了多少秒?

46、甲乙两个同学分别站在长方形围墙外的两角(如图),如果他们同时开始绕着围墙逆时针方向跑,甲每秒跑5米,乙每秒跑4米,那么,甲至少跑多少秒才能看到乙? 60

第46题 47、某人沿公路前进,迎面来了一辆汽车,他问司机:“后面有骑自行车的人吗?”司机回答:“10分种前我超过一个骑自行车的人。”这个人继续走了10分钟,遇到了这个骑自行车的人,如果自行车的速度是人步行速度的3倍,那么,汽车速度是人步行速度的多少倍?

[同步巩固演练] 1、

(1)1159

参考答案及提示

第一讲 巧算

61

原式=1308-308+159=1000+59=1159

(2)1000000

原式=1000+999+999×999=1000+999×(999+1)=1000+999×1000=1000000

(3)5508

原式=54×(100+2)=5400+108=5508

(4)2500

原式=25×3×27+19×25=25×81+19×25=25×(81+19)=25×100=2500

(5)50

原式=(100-99)+(98-97)+?+(4-3)+(2-1)=1×100÷2=50

(6)2880

原式=1440×(976÷488)=1440×2=2880

(7)25

原式=5÷7×11÷11×16÷16×35=(35÷7)×(11÷11)×(16÷16)×5

=5×1×1×5=25

(8)99990000

原式=9999×7778+3333×3×2222=9999×7778+9999×2222=9999×(7778+2222)

=9999×10000=99990000

(9)222215

原式=(199999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1)+(19+1)-5

=200000+20000+2000+200+20-5=222220-5=222215

(10)3

原式=(2002+1)×2005-2002×(2005+1)=2002×2005+2005-2002×2005-2002=2005-2002

=3

2、

(1)36

原式=3600000÷(125×8×4×25)=3600000÷(1000×100)=3600000÷100000=36

(2)1500000

原式=5×4×8×3×125×25=(125×8)×(25×4)×5×3=1000×100×15=1500000

(3)3449088

原式=3456×(1000-2)=3456000-6912=3449088

(4)4

原式=1÷2×3÷3×4÷4×5÷5×6÷6×7÷7×8=8÷2=4

(5)493817284

原式=2×2×11111×11111=4×123454321=493817284

3、

(1)2

原式=(43+3)÷23=46÷23=2

(2)12750

原式=765×(123+327)÷27=765×450÷9÷3=(765÷3)×(450÷9)=255×50=12750 4、

(1)10000

原式=(19961996+1)×19971996-19961996×(19971996+1)

=19961996×19971996+19971996-19961996×19971996-19961996

=19971996-19961996

62

=10000

(2)864197533

原式=(123456788+1)×987654321-123456788×(987654321+1)

=123456788×987654321+987654321-123456788×987654321-123456788

=987654321-123456788

=864197533

[能力拓展平台]

1、

(1)1371759

原式=7×7+(1+2+3+4+5+6)×10+(1+2+3+4+5)×100+(1+2+3+4)×1000+(1+2+3)×10000+(1+2)×100000+1000000

=49+210+1500+10000+60000+300000+1000000

=1371759

(2)909

原式=101+101+101+101×6=101×(1+1+1+6)=101×9=909

(3)2798

原式=7×(17+71)+8×(18+81)+9×(19+91)+10×(20+20)

=7×88+8×99+9×110+10×40

=11×(56+72+90)+400

=2798

(4)12350

原式=(100-1)×43+(100-2)×42+(100-3)×41

=100×(43+42+41)-(43+2×42+3×41)

=12350

(5)266670

原式=6+(44321+22345)+(17252+49414)+(23212+43454)+(36987+29679)

=6+6666×4

=266670

(6)40440

原式=(1392+8718)+(2859+7251)+(3646+6464)+(4873+5237)

=10110+10110+10110+10110

=10110×4

=40440

(7)370365

原式=1419÷43+14319÷43+143319÷4343+1433319÷43+14333319÷4343

=33+333+3333+33333+333333

=370365

(8)24024006

原式=2001×[(2000+3)×2002-1999×2000]=2001×[2000×3+2002×3]=2001×3×4002

=24024006

(9)3703703700

原式=3×1+3×11+3×111+?+3×1111111111=3×(1+11+111+?+1111111111)

=3×1234567900=3703703700

(10)449492

63

原式=10101×(4+6+8+10+12)+1010×(5+7+9+11)+1+13131

=10101×40+1010×32+13132

=404040+32320+13131

=449492

[全讲综合训练]

(1)、1111727876

原式=1234×(900000+900+14)

=1234×900000+1234×900+1234×14

=1110600000+1110600+17276

=1111727876

(2)1728385

原式=345677×5

=345677×10÷2

=3456770÷2

=1728385

(3)3799

原式=380×10+(5-4+11-3+9+3-6-14-2)

=3800-1

=3799

(4)3578

原式=(8642-7531)+(6420-5317)+(4208-3175)+(2084-1753)

=1111+1103+1033+331

=3578

(5)20000

原式=6472+5319+9354+6839-1996×4

=27984-7984

=20000

(6)0

原式=567×142+142×(3×811)-142×60×50

=142×(567+2433-3000)

=0

(7)92070000

原式=3987×(2375+6832)+9207×6013

=3987×9207+9207×6013

=9207×(3987+6013)

=9207×10000

=92070000

(8)9999999990

原式=123456789×(900-90)

=123456789×900-123456789×90

=11111111100-1111111110

=9999999990

(9)98019

原式=99+99×99×(99+1)

64

=99+99×99×100

=99×(1+9900)

=(100-1)×9901

=990100-9901

=980199

(10)333333

原式=(1+2+3+4+5+6)×111111÷7

=21÷7×111111

=333333

(11)18009

因为6×7×9=378 数字和为3+7+8=18

66×77×9=45738 4+5+7+3+8=27

666×777×9=4657338 4+6+5+7+3+3+8=36 ? ? ?

所以66????????6×9×77????????7 (n+1)×9

n个6n个7

故66????????6 ×9×77????????7 (2000+1)×9=18009

2000个62000个7

(12)17991

因为9×9=81 积数字和8+1=9 99×99=9801 9+8+1=18 999×999=998001 9+9+8+1=27

? ? ?

所以99????????9×99????????9 n×9

n个9n个9

故99????????9×99????????9 1999×9=17991

1999个91999个9

(13)1

原式=(1234567891)2-1234567890×(1234567891+1)

=(1234567891)2-1234567890×1234567891-1234567890 =1234567891×(1234567891-1234567890)-1234567890 =1234567891-1234567890

=1

(14)100????0

3996个0

原式=99????????9×99????????9+99????????9+100????0

1998个91998个91998个91998个0 =99????????9×(99????????9+1)+100????0

1998个91998个91998个0

=99????????900????0+100????0

1998个91998个01998个0

=100????0

3996个0

第二讲 幻方和数阵图

65

2.1幻方

[同步巩固演练]

2、

4、

5、 6、

7

[能力拓展平台]

1、如图,设空格内填入a、b、c、d、e,则(b+d+19)+(d+13+e) =(a+b+d)+(a+c+e),所以2a=13+19,a=(13+19)÷2=16。

2、如图所示。

3、5+7=12所以两个带“☆”的空格内数之和为12。

5、如图所示

66

(b)

(c) (d)

6、如图所示

2.2数阵图

[同步巩固演练]

1、这道题先求出中间一个数,即[14×3-(1+2+3+4+5+6+7)]÷2=7,这样每条线上另外两个数和为7,如图所示。

2、先求出三个角上三个数17×3-(1+2+?+9)=6,这样三个角上的数分别为1、2、3。如图:

3、中间两数和为16×2-(1+2+3+4+5+6)=11,所以是5和6,填法如图:

4、设角上的数为a,b,c,d,则(1+2+?+8)+a+b+c+d=36+ a+b+c+d被4整除,所以a+b+c+d最小为12,最大为24,这样每边三个数的和最小为(36+12)÷4=12,最大为(36+24)÷4=15。

67

5、如图所示

6、6,只有左右两下角的数A、B属于一个三角形,其余均属于两个三角形,故四个三角形的所有顶点数之和为:4×11=(1+2+?+7)×2-A-B,A+B=12,A、B只能是5和7,如图所示:

7、“一”字形中两个方框中的数字和13,它有填4与9、5与8、6与7三种情况,先把5与8填入“一”字形,其余7个数是1、2、3、4、6、7、9,又“七”字形下面,两个方框中数字之和是13,它还有填6与7、4与9两种填法,如果将6与7填入这两个方框内,则还余下1、2、3、4、9这5个数,而要使“七”字形横线上的三个方框里的数字之和是13,只能填1、3、9,同样要使竖线上的4数之和是13,1只能填在中间的方格中,因此,得出如图的填法。

经试填,除改变右图的数左右和上下位置得出几种不同的填法外“一”字形中填4与9,6与7这两组中的任一组,都使得本题无解。

8、用A~H八个字母表示图中八格中的数,根据题中要求:(A+B)+(C+D)=(A+B)+(H+G)=18,由上式可知:C+D=H+G=9,同理可得A+B=C+D=H+G=E+F=9,因此把1~8分成如下四组:1和8,2和7,3和6,4

和5,再考虑内、外四格,内四格的数,是由上述四组中每组的一个数组成的,可分为1、4、6、7组和2、3、5、8组。

[能力拓展平台]

1、如图所示

68

2、如图所示(答案不唯一)

3、如图所示(答案不唯一)

4、如图所示

5、如图所示

6、2+3+4+5+?+10=54,∵54是3的倍数,∴每两个2×2正方形的公共部分的和为3的倍数,最小为6。所求的和的最小值是(56+6)÷3=20

7、如图所示

69

8、如图所示。a=13?17=15,d=2b-15,c=2b-17, 2

∵2c-d=13

∴2(2b-17)-(2b-15)=13

2b-19=13

b=16

x=16×J2-13

=19

[本讲综合训练]

1、设起点数为a,终点数为b,每条路上4个数的和为s,则:3s=2a+2b+2+3+5+7+11+13+17+19 s=2?x?y??2?25 3

s最小为29,此时a=2 ,b=3。

S最大=25+2?19?13??2=17,此时a=19,b=13,但这时,中间二个质数之和为47-(19+13)3

=15,但17>15,17无处填,所以只有一解,如图:

2、如图a设四个顶上的数分别为a、b、c、d,每一笔画的和为k,则:

6k=(1+2+??+18)+(a+b+c+d)

6k=171+a+b+c+d

得k=(171+a+b+c+d)÷6 ①

a+b+c+d=6k-171 ②

当a+b+c+d取最小值10时,由①式将k=30.16.

所以k的最小值为31,当a+b+c+d取最大值66时, k=39.5,所以k的最大值为39.

试验求解:将k=34时, a+b+c+d=6×34-171=33,因为6+8+9+10=33,以试验可知,当a=6,b=8,c=9,d=10时,可得解如图(b)。

(a) (b)

3、(1+2+??+10)+a+b=3×21,55+a+b=63,a+b=8,可取a=1,b=7,(答案不唯一)填法如图:

70

4、(1+2+??+8)+2(a+b)=3×18,a+b=9,取a=1,b=8,填法如图(答案不唯一)

5、填法如图:

6、

7、填法如图所示:

8、900,因为20=(2+3+5)×2,所以这6个数分别是2、3、5、2、3、5,积是2×2×3×3×5×5=900。

9、设图中心数为a,每条线段上三个○内数的和为k,则4k=(1+2+3+??+9)+3a,即4k=45+3a,所以k=(45+3a)÷4,由于k为整数,所以a的值为1,5,9,当a=9时,可保k=18,填法如图:

71

10、每个四边形四个顶点上○内数的和为:(1+2+3+??+8)÷2=36÷2=18,每条线段上四个○的和应为18,因为18是偶数,所以每个四边形四个顶点○内的数奇、偶各占二个,每条线段上四○的数奇、偶也各占二个,而18÷2=9,但1+8=9,2+7=9,3+6=9,4+5=9,填法如图:

11、填法如图(答案不唯一)

12、填法如图(答案不唯一)

13、填法如图:

14、填法如图:

15、图中A、B各重复使用两次,所以1+2+3+??+10+(A+B)=24×3,可知A+B=17,A、B圆内可填7和10或8和9,下面为其中一种填法。

72

16、6k=45×2,k=15。

1~9中三个数字之和等于15且有数字1的只有1+5+9=1+6+8=15,所以与1在同一个三角形和同一条直线上的只能分别是5,9和6,8。当1,5,9在同一个三角形上,1,6,8在同一直线上时,有下图的解法。

17、不能。

假设有一种填法,可以使得每个三角形上的三个数字之和都相等,不妨假设都等于s,则六个三角形各边上的数之和为6s,是偶数,另一方面,在求六个三角形各边上的数字和时,六边形六条边上的数字被加了两遍,所以和为(1++2+4+5+6)×(1+2)=21×3=63。63是奇数,与63是偶数矛盾,这个矛盾说明假设存在这种填法是错误的,即不存在这种填法。

18、由于可以倒过来看的数字只有1、6、8、9四个,因此只能在这四个数字组成的两位数19、18、16、61、68、69、81、86、89、91、96、98中挑选,填法如图:

19、因为大正方形顶点四个数之和是小正方形顶点四个数之和的2倍,所以小正方形顶点四个数之和为(1+2+3+??+8)÷(1+2)=12,大正方形顶点四个数之和为12×2=24,每条直线上的三个数之和为:(24+12×2)÷4=12。考虑小正方形上的四个数,在1~8中,四数之和等于12的只有12=1+2+3+6=1+2+4+5,若小正方形顶点的四个数是1,2,4,5,则其中必有两个数与8在一条直线上,但这四个数中任意两个数与8的和都不能等于12,故小正方形顶点的四个数只能是1,2,3,6。此时,与8在一条直线上的是1,3与7在一条直线上的是2,3。填法如下图:

20、30.只有四个角上的四个小方格中的数在求和中用到两次,要使得每条边上的和最大,即要求这四个数最大,填9,10,11,12即可。最大和为[(1+2+3+??+12)+(9+10+11+12)]÷4=30。

21、51.因为每行、每列,每条对角线上的三个数都等于(39+x),所以左下角为39-16=23

。 73

中间为x+39-37-23=x-21,下中的数为x+39-2-(x-21)=58,再由右下角数推知:x+(x-21)=23+58,解得x=51。

22、因为1+6=2+5=3+4=7。分别将1,6;2,5;3,4填在大圆直径的两端。填法如下图:

23、37

的三阶幻方,其中一种表示见下图:

如上图所示,已知的两个数相差19-13=6。在左上图类似位置中,只有7-1=6,所以应将左

上图水平翻转到左下图,再将每个数增大12。

所以“欢”=16,“迎”=21,“欢”+“迎”=16+21=37。

第三讲 数学谜

3.1填空格

[同步巩固演练]

1、上=2,下=6,左=8,右=4。 8-6÷2-4=1 8-6÷2+4=9 4-6÷2+8=9 4-(8-6)÷2=3 2、3×6=972÷54=18

3、164÷82=5-3=9-7或128÷64=5-3=9-7 4、7-2=96÷48+3=5 5、 7×8=56

12÷4×3=9 6、1×2×7=5+9 6÷3=8÷4

7、(1) 1 2 3 4 (2) 2 0 3 6

× 5 6 × 1 0 4 7 4 0 4 8 1 4 4 6 9 1 0 4 2 1 1 7 4 4

52(3)291508 (4) 16192

58 32

74

0 0

[能力拓展平台]

1、? 或 ?

2、答案有13种填法,其中有:

① ②

3、答案不唯一,其中有:

? ?

4、30096

如下式,由于a≠2,可知b+2必有一次进位,所以b≥6,而de×□≥600,故可知d≥b,再由de×c≤229,且c>2,知c=3,那么22□必定是3的倍数,所以22□是225或228,从而de=75或76,因为75×399<30000,所以de=76,再由乘积不小于30000和所有的□≠2,可推出唯一解76×396=30096

d□e □

□□□

b□□ □

a□□□□ □

5、884304

因为所缺数字都不是1,并且商的三个数字都小于5,否则大于1的数与比5大或等于5的数字相乘就会产生进位,使积成为5位数。再仔细观察商与除数乘积的末位数字,发现商的十位数字为3,除数个位数字为7,所以商可以肯定为a3b形式,并且由商与除数积的末位不能相同,所以a与b不相等,所以a和b一个数为2,另一个为4。通过多次试算,最后可得算式:884304÷2047=432

6、38766

由商的最高位和十位与□4□相乘的积的末位为4,且两次乘得的积均为三位数,可初步确定除数为142,商的最高不超过8,易确定商的最高位为2。

进而可推出商的十位数字为7(因为2×2=4,2×7=14),再以除式中倒推,逐步确定被除数为38766。

3.2算式谜

[同步巩固演练]

1、(1)兵=5,炮=2,马=4,卒=0,车=1。从竖式中不难看出卒=0,车=1,兵=5,由此可知马=5-1=4,炮=4÷2=2。

(2)祖=1,冲=2,之=3,杯=4,数=6,学=7,竞=8,赛=9。由竖式可知赛=9,祖=1,冲≤3,当冲=3时,不成立,由此可知冲=2,竞=8,之≤5,当之=3时,学=7,逐步可推杯=4

, 75

学=7。

(3)欢=6,庆=8,元=9,旦=0

由竖式可知欢≤8,当欢=8时,庆应是9,9+庆进位,不成立,当欢=7时,试算不合题意,当欢=6时,推算出庆=8,元=9,旦=0

(4)红=6,橙=8,黄=4,蓝=5,绿=7。

(5)杨=1,子=7,晚=6,报=2,

喜=1,气=7,洋=8;

喜=1,欢=3,惊=9

2、(1)A=1,B=0,C=2;

(2)A=1,B=0,C=8,D=9;

(3)A=1,B=0,C=9,D=8;

(4)F=2,O=9,R=7,T=8,Y=6,E=5,N=0,S=3,I=1,X=4

3、(1)37037×3=111111 74074×3=222222

由题意知D≤3,当D=3时,333333÷3=111111,是六位数不合题意,当D=2时,222222÷3=74074,当D=1时,111111÷3=37037。

(2)21978×4=87912

(3)50463÷567=89

(4)113012÷19=5948

4、(1)12345679×9=111111111

(2)3×7×37=777,2×27×37=1998

(3)142857×3=428571,285714×3=857142

(4)55×99=5445

[能力拓展平台]

1、3201,由竖式可知:“数”=0,从“趣”不大于3,且“味”和“趣”的乘积不大于9入手考虑,“趣”=3,“味”=2,“学”=1。

2、117708,将除数表示为ab,商表示为c8de,则有:d=0。

ab×c=*** ①

ab×8=*** ②

ab×e=*** ③

由①、②两式可知,a=1,b=2,c=9,由③式:12×e=***可知,e=9,故除数是12,商是9809,被除数是:9809×12=117708。

1 6 3 8

× 5 5

8 1 9 0

9 0 0 9 0

76

3、286

①因为:海南游×海=□□海,因而海=2或3,但海=3时无解,所以海=2,则游=6,得:2南6×2=□□2。 ②因为:2南6×南=□□□南,所以,南=4或8,当南=4时,246×4=984不合题意,只有南=8时满足,故“海南游”为286。

4、

6 2 5 3 7 6

× 6 2 5 × 3 7 6

3 1 2 5 或 2 2 5 6

1 2 5 0 2 6 3 2

3 9 0 6 2 5 1 4 1 3 7 6

根据努力学×学=□□□学,可知学≠1,所以学=5或6。

(1)学=5,从乘法竖式的部分积相加的结果看,十位上,力×5+2(进位)+力×5的个位还是力,即力×10+2的个位是力,由此推出力=2,同理,百位上,努×5+1(进位)+3+努×6的个位还是努,即努×12+7的个位是努,由此推出努=3。

42

5、(1) 2 8 (2)421764

× 2 8 168

2 2 4 84

2 4 6 4 0

(1)如右式,两个偶字相乘,要求其积向百位进偶数,故④号偶字不能取2;若取4,则①号偶字只能为6,②号偶字可能为2或6,但③号偶字无可取值;若取6,则①②号偶字只能取4,但③号偶字无可取值;若取8,则②号偶字可取6或8,当②号偶字取6时,①号偶字只能取8,则③号偶字只可取8,此时积不符合要求;当②号偶字取8时,则③号偶字只可取8,此时积不符合要求;当②号偶字取8时,①号偶字取2,③号偶字取8,正好符合题意。

偶偶

③①② ④×偶偶

偶 偶 偶

偶 偶 偶

偶 偶 偶 偶

(2)为叙述方便,设除数为ab,商为cd。 因为ab×d=偶偶,所以a只能取2、4,d也可能取2、4,且b≠8。 又因为ab×c=奇偶偶,所以c可取4、6、8,且b≠6,故b取2或4。

6、 2 8 5

× 3 9

77

2 5 6 5

1 1 1 1 5

②②②①③由奇×偶偶奇=偶奇奇,可知奇不是1,当奇=3时,偶=2,由此可知奇为5或7或

③③②①①9,但由下面的和进位可知奇为9,由偶最小为2,可知偶为8,奇≥5,经试算,奇

为5。

偶偶奇

× 奇奇③②①②① ③ 偶奇偶奇

偶 奇奇

奇奇奇奇奇

7、3×571428=4×428571 设ABC=x,DEF=Y,则3×(1000X+Y)=4×(1000Y+X)解得428X=571Y,由此可知X=571,Y=428。

[全讲综合训练]

1、(1) (2)

(1)从个位上可以看出D=0,从和的万位上可以看出E=1,因此,在千位上,A=5,由此推出十位上C=4,百位上B=2。

(2)由千们位和百位的进位情况可知M=1,S=9,O=0;再由百位和十位进位情况可知R=8,N=E+1,且D+E须向十位进1,则D+E有两种情况(5,7)(6,7),经试验分析,E=5,D=7,N=6,Y=2。

2、2498

显然C=1。

因为“NATO”职最小值,故N从最小值2开始试验:N=2时,千位上:2+B向万位进1,R≠1,2,故R只能为0。由推出十位上T=9,个位向十位进1,此时千位上B=7或8。

(1)当B=7时,百位要向千位进1,A尽量取小值,则A=3时,O无解;A=4时,O=8。

(2)当B=8时,百位不向千位进1,A=3时,O无解;A=4时,O也无解。

所以“NATO”代表的四位数最小值为2498。

3、(1)27×73=1971,(2)733×12=8796,(3)111×909=100899。

为便于清楚地分析,我们用A、B、C、D?表示□内相应的数字。

(1)如图所示,由积的个位是,可知,B=3。乘数十位与被乘数个位相乘:7×7=49,故C=9。A×7积的个位上是4,推知:A=2。其余各空都可推知乘法算式是27×73=1971。 A 7

□□

□8C

1□□1 78

(2)如图所示,乘数十位上的数乘被乘数仍为三位数,可知C=1,B=3,F=7。E+7=8,推知E=1。乘数个位与被乘数相乘得1□6□,推知D只能取2,A为8时,不符合题意,A只能为3。乘法算式是733×12=8796。 7 A B × C D E□6□

8□□□

(3)如图所示,推知乘数的十位为0,积的最高位是1,E,F的值必为9,乘数个位与被乘数相乘是三位数,可知A=1,B<2,推知,D的值只可取9,B为1,C也只能取1,乘法算式是111×909=100899。

A B C × D□9 □□□

□□□□□□

4、(1)15275÷325=47,

(2)179540÷325=764,

为便于清楚地分析,我们用A、B、C?表示□内相应的数字。

(1)如图所示,因为除数的个位是5,商的个位是7,推知,除数的个位是□30□,个位只能是0或5,又因除数数末两位是25,所以B=0。A可取4或8,经试,A=4时,符合题意。其它各空均可推知。除法算式是15275÷325=47。

(2)如图所示,商的百位与除数相乘得□6□5,推知除数的个位是5,A=4,除数百位与7相乘得□4,除数百位是2,除数是235,商的个位与除数相乘得940,推知B=0,商的十位是偶数,与235相乘得1□10,经试除数十位只能是6。除法算式是179540÷235=976。

79

5、1,8,0,4

显然,“新”=1,化简得左下式。由左下式得“春”=8,化简得右下式,得“快”=0,“乐”=4。

春 快 春快 + 快乐 4 8 9 2

6、719

显然B=1,推知A=7,C=9。

7、325

被乘数与乘数的个位为□□5×□=2□□5,符合这个算式的只有275×9=2475和325×7=2275,如果被乘数是275,那么无法满足275×□=13□0,所以被乘数是325,推知乘数为147。

8、8796

若商不少于13,则被除数不小于9000,所以商是12,除数是7□3,由7□3×2=□□6□推知除数是733或783,因为783×12=9396>9000,所以除数是733,被除数是733×12=8796。 9、15805

显然被乘数和乘数的百位都是1,乘数的十位一定是0,个位只能取1、3、5、7、9中的某一个数。

由1□5×□=1□05,可得145×9=1305,进而确定原式的乘积为145×9=15805。 10、1862

由竖式知,被乘数和乘数的个位的乘积是88□,只能是98×9=882。故算式中的乘积应该是98×19=1862。

第四讲 方阵问题

[同步巩固演练]

1、 11人。

121=11×11(人)

2、 169人。

13×13=169(人)

3、 100盆。

(21+1)÷2=11(盆) 11×11-21=100(盆)

4、 24面。

(7-1)×4=24(面)

5、 48个。

最外层每边有棋子6+2=8(个),棋子数有8×8-4×4=48(个)

6、 96个。

中间一层棋子数为(9-1)×4=32(个),中间一层正好是三层的平均数,所以共有棋子32×3=96(个)

[能力拓展平台]

1、101.

因为中空增加一层,共需要(5+11)=16枚,所以棋子总数:(16+8)+(16+8×2)+(16+8×3)+5=24+32+40+5=101(枚)

2、128.

80

将红花总数平均分成4个相同的长方形方阵,每个长方形中有4行,每行个数为(12-4)=8朵。所以红花总数为(12-4)×4×4=128(朵)。

3、52

(1)最外层每边盆数432÷4÷6+6=24(盆)

(2)最内层每边盆数24-2×(6-1)=14(盆)

(3)鲜花总数(14-1)×4=52(盆)

4、44

(1)二层空心方阵外层每边人数64÷4÷2+2=10(人);

(2)再增加人数(10+2-1)×4=44(人)

5、160

由于每层棋子数相差8枚,可依次求出每层棋子数52-8=44(枚),44-8=36(枚),所以棋子总数52+44+36+28=160(枚)

6、300

(1)最外层每边棋子数12+2×(5-1)=20(枚)

(2)棋子总数(20-5)×5×4=300(枚)

[全讲综合训练]

1、13人,25人

2×7-1=13(人) (7-2)×(7-2)=25(人)

2、49枚

(13+1)÷2=7(枚) 7×7=49(枚)

3、484人

(84+2×2)÷4=22(人),22×22=484(人)

4、48棵

13×13-11×11=48(棵)

5、49人

后来最外层每边人数(15+1)÷2=8(人),原来每边人数8-1=7(人),故原有人数7×7=49(人)

6、81枚

9×9=81(枚)

7、40枚

后来最外层每边人数(9+4+1)÷2=7(枚),有硬币7×7-9=40(枚)

8、400

因为一行一列的总数是39人,且有1人是同时属于被减去的一行一列的。所以原正方形方阵每行人数:(39+1)÷2=20(人),方阵总人数20×20=400(人)。

9、64

因为在两行两列的白子中有(2×2)=4个 是同时属于这两行两列的,所以每行白子数(36+2×2)÷2÷2=10(个)。黑子总数(10-2)×(10-2)=64(个)或10×10-36=64(个) 10、108人

最外层每边人数为44÷4+1=12(人),空心的最外层有(28-8)÷4+1=6(人),共有人数为12×12-6×6=108(人)

11、31200千克

共种桃树[16+(16+9×8)]×10÷2=520(棵),结桃60×520=31200千克

12、852人

空心方阵人数为30×30-(10-2)×(10-2)=836(人)共有人数为836+16=852(人) 81

第五讲 长方形的面积

[同步巩固演练]

1、28厘米,33平方厘米

周长为7×4=28(厘米) 3×7×2-3×3=33(平方厘米)

2、81平方厘米,72平方厘米

36÷4=9(厘米) 9×9=81(平方厘米)。长方形的宽为(36-12×2)÷2=6(厘米),面积为12×6=72(平方厘米)

3、199平方米

20×(20÷2)-1×1=199(平方米)

4、8平方分米

20+24-6×6=8(平方分米)

5、36平方厘米

(16-2×2)÷2=6(厘米) 6×6=36(平方厘米)

6、2400平方厘米

长方形长为120÷2=60(厘米),宽为120÷3=40(厘米),面积为60×40=2400(平方厘米)

7、96平方厘米

原长方形长为48÷4=12(厘米),宽为12-4=8(厘米),面积为12×8=96(平方厘米) 8、49平方米

占地正方形的边长为40÷4÷2+2=7(米),面积为7×7=49(平方米)

[能力拓展平台]

1、9平方厘米

此题要巧妙画图,如图,两个正方形周长之差,刚好是正方形A的周长,所以A的边长为10÷4=5(厘米),故小正方形的边长(55-2×5)÷2÷5=3(厘米),故小正方形的面积为3×3=9(平方厘米)

2、9平方厘米

小正方形边长为40÷4÷2-2=3(厘米),面积为3×3=9(平方厘米)

3、36平方厘米

小正方形边长×2+小正方形边长=26,大正方形边长×2-小正方形边长=14。所以,根据和差可知小正方形边长为(26-14)÷2=6(厘米),所以面积为6×6=36(平方厘米) 4、172平方厘米

每个方框的面积是10×10-(10-2)×(10-2)=36(平方厘米)盖住桌面的面积是36×5-1×1×8=172(平方厘米)

[全讲综合训练]

1、23厘米,13厘米,299平方厘米

宽是(72÷2+3)÷(1+2)=13(厘米),长:13×2-3=23(厘米),面积为13×23=299(平方厘米)

2、80厘米

每个正方形的面积为245÷5=49(平方厘米)所以正方形的边长为7(厘米),

长方形周 82

长为(5×7+5)×2=80(厘米)

3、11厘米,28平方厘米,22厘米

因为16=4×4,所以小正方形边长为4厘米,原长方形的长为:44÷4=11(厘米);剩下的小长方形面积为:44-16=28(平方厘米);剩下的小长方形的周长为:11×2=22(厘米) 4、21平方厘米

4×4+3×3-2×2=21(平方厘米)

5、61平方厘米

将新增加的部分分割成1个小正方形和两个全等的小长方形,因为(17-1×1)÷2=8(平方厘米),8÷1=8(厘米),所以,原正方形的边长为8厘米,面积为8×8=64(平方厘米)

6、450平方米或288平方米,400平方米

60÷(1+1+2)=15(米),长为15×2=30(米),面积为15×30=450(平方米);60÷(2+2+1)=12(米),长为12×2=24(米),24×12=288(平方米);当长和宽相等时边长为60÷3=20(米),面积为:20×20=400(平方米)

7、12

6×(8-6)=12

8、26平方厘米

(8+2)×(3+2)-8×3=26(平方厘米)

9、31

第一个正方形的面积为4×4=16,第二个正方形的面积是第一个正方形面积的一半,其值为16÷2=8,同理可求出第三、第四、第五个正方形的面积分别为4、2、1,它们的和16+8+4+2+1=31

10、4

正方形A的周长是正方形B的周长的2倍,即正方形A的边长是正方形B的边长的2倍,因此,正方形A的面积是正方形B的面积的4倍。

11、48平方厘米

原长方形长为:(33+1×3)÷(3+1)-1=8(厘米),宽为8+1-3=6(厘米),面积为8×6=48(平方厘米)

12、53

除去阴影长方形外,剩下的4个长方形都被四边形ABCD的一条边平分成两部分,四边形ABCD的面积为(10×10-6)÷2+6=53。

第六讲 平均数

6.1简单平均数

[同步巩固演练]

1、92分

(100+92+93+95+84+87+93)÷7=92(分)

2、87分

(98×1+92×3+86×4+76×2)÷(1+3+4+2)=87(分)

3、459千克

410×(35+25)-375×35=11475(千克),11475÷25=459(千克)

4、A、82.52 B、88.52

(42+58)×86-58×6=8252(元),8252÷(42+58)=82.52(元),82.52+6=88.52(元) 5、12

(10×4-8×2)÷2=12

83

6、3千米

设全程为12千米,则上山时间为12÷2=6(小时),下山时间为12÷6=2(小时),所以平均速度为12×2÷(6+2)=3(千米)

[能力拓展平台]

1、28

(17+25+27+32+39)×4÷4÷5=28

2、83分

第一次成绩[85×4-10-(10-5)-(10-5+4)]÷4=79(分)第二次成绩79+10=89(分),第三次89-5=84(分),第四次成绩84+4=88(分),第五次成绩88-13=75(分),(79+89+84+88+75)÷5=83(分)

3、84分

丙组得分85×(7+8+5)-88×7-83×8=420(分),丙组平均分为420÷5=84(分) 4、79分

第5和第6人各分这83×6+80×6-82×10=158(分),第5和第6人的平均分为158÷2=79(分)

5、48

四个数的和为(86+92+100+106)×3÷6=192,四个数的平均数为192÷4=79(分) 6、49千克

由题意知:丙的重量是(49×2-8)÷2=45(千克),乙的重量是45+8=53(千克),甲、丁的重量分别与乙、丙相等,所以平均重量为(53+45)×2÷4=49(千克)

6.2平均数与个别数

[同步巩固演练]

1、10

17×2-24=10

2、90分

(82+2)×4-82×3=90(分)

3、14

11×4-10×3=14

4、4次

(94-89)×4=20(分) 20÷(100-94)≈4(次)

5、67,78

因为总台数为79×6=474(台)末位数是4,而一、二、四、五、六的末位数加起来是9+4+8+1+5=27,所以第三星期是67,第四星期为474-(89+74+67+81+85)=78 6、32

23×4+34×3-27×6=32

7、10

A、B、C三数和为25,C、DE的和为25×3=75,A、B、C、D、E五个数的和16×5=90,所以C为25+75-90=10

8、163分

145×4-(130+143+144)=163(分)

9、语文87分,英语94分

成绩总分为91×3=273,末位是3,而数字英语的和的末位2+4=6,所以语文87分,英语为91×3-92-87=94(分)

10、280元

84

二、三班捐款为240×3-220=500(元),则四班捐款为260×3-500=280(元)

11、6、8、10、12、14、16

老师年龄为99÷(2+1)=33(岁),其余6个学生年龄和为99-33=66(岁),则中间两个学生年龄和为66÷(6÷2)=22,由此可知中间两学生的年龄为(22-2)÷2=10(岁)和10+2=12(岁),故6个学生的年龄分别为6,8,10,12,14,16。

12、78页

五天读的平均数为(83+74+70+65)÷4+4÷4=74(页),则第五天读74+4=78(页)

[能力拓展平台]

1、14

20×5-18×5+4=14

2、3

x=3×4-(2+3+4)=3

3、甲为75,乙为73,丙为62

乙比丙多11,甲比丙多11+2=13,丙为(70×3-11-13)÷3=62,甲为62+13=75,乙为62+11=73。

4、22千克

乙、丙两队采茶为26×3-28=50(千克),甲采茶24×3-50=22(千克)

5、37.5

(50×38-100)÷(50-2)=37.5

6、12

甲、乙、丙的平均数和丁的和为14×2=28,甲、乙、丙、丁和2丁的和为28×3=84,甲、乙、丙、丁的和为15×4=60,所以丁为(84-60)÷2=12。

7、100分

93+6÷6=94(分) 94+6=100(分)

8、97分

如果B是第二名(或并列第一名),那么,A和B的得分都要比第三名E的96分多,他两至少得97+97=194(分)。由于A、B、C的平均分为95,他们三人共得95×3=285(分),这样,C最多能得285-194=91(分),这与题设每人得分都是大于91的整数矛盾,所以B不可能是第二名。同理C不可能是第二名。只有D是第二名。

从A、B、C的平均分是95,B、C、D的平均数是94分知,A比D多1×3=3(分),又知A、D的得分都大于96分,只有A得100分,D得97分。

[本讲综合训练]

1、37

(50×38-55-69)÷(50-2)=37

2、320千克

[10×340+(30-30)×20]÷(20+10)=320(千克)

3、33

(30+36+33)×2÷2÷3=33

4、435千克

两块实验田的产量是400×(35+25)=24000(千克),第一块实验田产量35×375=13125(千克),第二块实验田产量是24000-13125=10875(千克),第二块实验田平均产量是10875÷25=435(千克)

5、12千米

去时用时30÷15=2(小时),返回用时30÷10=3(小时),所以往返的平均速度为30 85

×2÷(2+3)=12(千米)

6、322吨

(280×4+350×6)÷(6+4)=322(吨)

7、81分

[80×(41-3)+100+96+85]÷41=81(分)

8、14

(15×4-18)÷3=14

9、20

(18+19×4+20×3+21×2×22×2)÷12=20

10、第8次

(100-84)÷(86-84)=8(次)

11、48米

用假设法解,设从家到新华书店的路程为120米,去时用时120÷60=2(分钟),回时用时120÷40=3(分钟),120×2÷(2+3)=48(米)

12、6厘米

(4+5+7+8)÷4=6(厘米)

13、15元

(3×11+4×18)÷(3+4)=15(元)

14、10岁

设每组有5人,则平均年龄为(9×5+11×5)÷(5+5)=10(岁)

15、138厘米

这个小组七个同学的总身高是144×7=1008(厘米),五位不同身高的同学的总高度是144×5=720(厘米),除去五位不同身高的同学,剩下两位同学的平均身高是(10087-720)÷2=144(厘米),另一人的身高是1008-154-137-147-144×3=138(厘米)

16、98分

张、王、李、陈的成绩和是(91×3+89×3+95×2)÷2=365(分),所以张的成绩为365-89×3=98(分)

17、1分

由题目已知条件可得第三、四次的分数和比前两次的分数和多4,比后两次的分数和少4,于是可得后两次分数和比前两次的分数和多8,因为后三次的分数和比前3次的分数和多9分,如果第三、四次考分一样,那么后三次分数和仍比前三次的分数和多8,这1分之差是第四次分数比第三次多1分造成的,所列式为3×3-(2×2+2×2)=1(分) 18、84.57分

两个班的总分为(51+49)×81=8100(分),甲班人平加7分,即加51×7=357时,总平均分就是乙的平均分,即(8100+375)÷(51+49)=84.57(分)

19、81分

第六次至第九次的平均分为428÷5+1.4=87(分)这4次的总分为87×4=348(分)。假设后五次的平均分与所有十次的平均分相等时,设第十次得分为x,则有(348+x)÷5=(428+348+x)÷10,解得x=80。由于每次考试的分数都是整数,所以第十次考试最少得分81分。

20、12分

因为各班总成绩相等,并是整数还高于80分,那么甲班平均分×42=乙平平均分×48,甲班平均分4896==,所以甲、乙两班的平均分分别为96分和84分,甲班比乙班平均乙班平均分4284

86

分高96-84=12(分)

21、19

最大数与最小数的差为(29×3-17×3)÷2=18,设最小数为1,则最大数为18+1=19 22、10

设第二组有x分数,则98+11x=8×(16+x),解得x=10。

23、31,26,21,20,13

根据题意按从大到小设数为a、b、c、d、e,因为a、b、c的平均数是26,所以b应接近26,设b为26,则a为26+5=31,e为22×2-31=13,d为13+7=20,c为18×3-13-20=21,符合题意,故每堆有(从大到小)31、26、21、20、13。

第七讲 假设法解题

[同步巩固演练]

1、鸡60只,兔40只

鸡的只数:(100×4-280)÷(4-2)=60(只);兔的只数:100-60=40(只)

2、10元币25张,5元币15张

10元币张数:(325-40×5)÷(10-5)=25(张);5元币张数:40-25=15(张)

3、百灵鸟6只,松鼠9只

百灵鸟的只数:(15×4-48)÷(4-2)=6(只);松鼠的只数:15-6=9(只)

4、3张的5人,7张的11人

分3张的人数:(16×7-92)÷(7-3)=5(人);分7张的人数:16-5=11(人)

5、大船8只,小船2只

大船只数:(56-10×4)÷(6-4)=8(只);小船只数:10-8=2(只)

6、上山10千米,下山9千米

由于小宇在山顶上玩1小时,所以他上下山的时间共8小时,假设8小时都是上山,走了2×8=16(千米),比实际少19-16=3(千米),下山走3÷(3-2)=3(小时),下山路有3×3=9(千米),上山路有19-9=10(千米)。

7、17张

假设99张票全是往返票,故有单程票为:(4×99-280)÷(4-2)=58(张),于是往返票有:99-58=41(张),故单程票比往返票多:58-41=17(张)

8、男生46人,女生54人。

假设100名中学生全是男生,则栽的树比实际多栽:2×100-110=90(棵),用3个女生换3个男生,栽的棵数就减少:2×3-1=5(棵)。所以有女生:90÷5×3=54(人),男生:100-54=46(人)。

9、6道;9道题

错:(10×15-66)÷(10+4)=6(道);对:15-6=9(道)

10、10

设24辆全是小汽车,则摩托车轮子比小汽车轮子少的数与题中所给的数相比多了:4×24-26=70(个),则摩托车数为:70÷(4+3)=10(辆)。

11、25个;33个;11个,11个

甲:(80-8+14×2)÷4=25(个);乙:25+8=33(个);丙、丁:25-14=11(个) 12、750米

小强:(4050-30×5)÷(3+5×2)=300(米/分);300×3-30×5=750(米)。所以小强比小勇多跑了750米。

13、3小时

先将这些零件平分成10份,则甲每小时做10÷5=2(份),乙每小时做10÷10=1(份) 87

假设7小时都是乙做的,则甲做用了:(10-1×7)÷(2-1)=3(小时)

14、第一辆卡车运330吨,第二车卡车运300吨,第三辆卡运280吨。

第一辆卡车运:[910+30+(30+20)]÷3=330(吨);第二辆卡车运:330-30=300(吨);第三辆卡车运:300-20=280(吨)

15、妈妈34岁,爸爸38岁,王燕10岁。

妈妈年龄为(82-4+24)÷3=34(岁),爸爸年龄为34+4=38(岁),王燕年龄为34-24=10(岁)

16、大拖拉机11台,小拖拉机19台。

大拖拉机有(112-3×30)÷(5-3)=11(台);小拖拉机有30-11=19(台)

17、大桶10个,小桶40个

小桶有(4×50-120)÷(4-2)=40(个);大桶有50-40=10(个)

18、后排票1400张,前排票600张

后排票为:(40×2000+100×110)÷(40+25)=1400(张);前排票为:2000-1400=600(张)

19、香蕉有1500千克,苹果有4500千克。

批发天数为900÷(250×3-600)=6(天),原香蕉为250×6=1500(千克),原苹果为1500×3=4500(千克)

20、教师25人,学生75人。

学生人数为:3×[(3×100-100)÷(3×3-1)]=75(人);教师人数为:100-75=25(人)。

21、甲中9发,乙中7发

甲得:(116+22)÷2=69(分),乙得:69-22=47(分),假设甲10发都中,应得80分,比实际多得80-69=11分。所以,甲命中:10-11÷(8+3)=9(发),同理,乙命中:10-(80-47)÷(8+3)=7(发)。

22、26只

假设没有损坏,则应得运费:8×(20000÷100)=1600(元),比实际多出:1600-1566.72=33.28(元)。运输中损坏茶杯:33.28÷(1.20+8÷100)=26(只)

[能力拓展平台]

1、10天

(16×17-222)÷(16-11)=10(天)

2、17道

做错或不做一题应少得5+1=6(分),假设20道题全做对了,应得5×20=100(分),比实际多了100-82=18(分),做错了18÷6=3(道),做对20-3=17(道)

3、大米90千克,面粉450千克

吃的天数:225÷(30×5-5)=3(天),大米为30×3=90(千克),面粉为90×5=450(千克)

4、3人组和5人组各5组,7人组有4组。

由于3人组与5人组的组数相同,我们可以看成这些组平均每组4人,这样4人组的组数为:(7×14-68)÷(7-4)=10(组),于是3人组与5人组各有10÷2=5(组),7人组有14-10=4(组)

5、15分

从出发到开会这段时间里骑车比步行多走路程为80×5+200×7=1800(米),骑车比步行每分钟多行200-80=120(米),校长出发时距离开会的时间为1800÷120=15(分)。

6、男生11人,女生4人

假设全是男生共栽树15×4=60(棵),所以女生有[60-(57-1)]÷(4-3)=4(人),男 88

行有15-4=11(人)

7、20张

由10元和50元的钱张数一样多,可以把1张和10元的和1张50元的合在一起,平均每张(10+50)÷2=30(元)。

假设这46张人民币都是每张100元的,一共有钱100×46=4600(元),而王老师实际只有1800元,这比假设少了4600-1800=2800(元),把一张30元的看成100元,就要少出100-30=70(元)。那么,每张30元的张数2800÷70=40(张),其中每张50元的张数40÷2=20(张)。即:(100×46-1800)÷[100-(10+50)÷2]÷2=20(张)

8、240下

假设小红跳的速度减少到小妹一样,则两人跳的总数就会减少12×(2+3)=60(下),小红与小妹以同样的速度共跳了2+3+3=8(分钟)总共跳780-60=720(下),所以小妹每分钟跳的次数为720÷8=90(下),小红每分钟跳的次数为90+12=102(下),小红比小妹一共多跳的下数是102×2+12×3=240(下)

9、蜘蛛有6只,蜻蜓有10只,蝉有8只

已知蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条退,蝉有6条腿,它们共有156条腿。三种昆虫共24只。

假设24只都是蜻蜓或蝉,共有腿6×24=144(条),比实际少了156-144=12(条)腿,把一只蜘蛛看成一只蜻蜓或蝉,就要少8-6=2(条)腿,那么蜘蛛的只数12÷2=6(只)。蜻蜓和蝉共有24-6=18(只)。又由条件蜻蜓有2对翅膀,蝉有1对翅膀,它们共有28对翅膀,和已知求得蜻蜓和蝉共有18只。

又可假设这18只都是蜻蜓,共有翅膀2×18=36(对),比实际多了36-28=8(对),把一只蝉看成一只蜻蜓就要多2-1=1(对)翅膀,那么蝉有8÷1=8(只),蜻蜓有18-8=10(只)。

10、小张中8发,小李中6发

小李得分为(208-64)÷2=72(分),小张得分为64+72=136(分)

假设小张10发全中,设射中的发数为(20×10-136)÷(20+12)=2(发),射中的发数为10-2=8(发)。

假设小李10发全中,设射中的发数为(20×10-72)÷(20+12)=4(发),射中的发数为:10-4=6(发)。

11、19个

由中号气球的个数比小号多6个,如果去掉6个中号气球,小号气球的个数与中号气球同样多,一个中号气球与一个小号气球合在一起,平均每个(5+3)÷2=4(元)。

假设38-6=32(个)都是每个平均价4元的气球,共需花4×32=128(元),与实际所花的钱相差了176-5×6-128=18(元),把每一只大号气球看成一只平均价为4元的气球,就要相差7-4=3(元),所以大号气球的个数是18÷3=6(个),中号气球的个数是(32-6)÷2+6=19(个)

[全讲综合训练]

1、4天

如果13天全是晴天,共行13×35=455(里),比实际多行了455-403=52(里),而每一个雨天便少行了35-22=13(里),所以雨天有52÷13=4(天)

2、17张

假设单程票也为4角,则共需花99×4=396(角),而实际花了280(角),多了396-280=116(角),因为每张单程票都多花了2角,所以共有116÷2=58(张)单程票,99-58=41(张)往返票,差58-41=17(张)

3、11道

89

设15道题全对,则共得15×8=120(分),比实际多120-72=48(分),而一道对的变成一道错的便少了8+4=12(分),所以错了48÷12=4(道)即:(15×8-72)÷(8+4)=4(道)?错的。15-4=11(道)?对的

4、17道

假设25道全对了,则共得25×4=100(分),多了100-60=40(分),而每题对的变成不对的差5分,所以不对的有40÷5=8(道)即:(25×4-60)÷(4+1)=8(道)?不对的 25-8=17(道)?对的。

5、大船2条,小船8条

设10只船全为大船,则共有10×6=60(人),多了60-44=16(人),所以小船有16÷(6-4)=8(条)

6、2角26张,1角5分24张

(880-50×15)÷(20-15)=26(张),50-26=24(张)。

7、甲种票500张,乙种票1200张

若把甲种票当作乙种票,则共收入4×1700=6800(角),现在收入7800角,少了1000角,每张甲种票变成乙种票少了6-4=2(角),所以甲种票有1000÷2=500(张) 8、3道

假设20道全对,则共20×4=80(分),80-56=24(分),一题对的变成错的少了8分,所以有24÷8=3(道)错的。(20×4-56)÷(4+4)=3(道)

9、7道

假设10道全对,得10×8=80(分),多了80-41=39(分),而每错一道得分少了5+8=13(分),所以她做错了39÷13=3(道)。(10×8-41)÷(5+8)=3(道)?错的;10-3=7(道)?对的。

10、20道

三个人共得87+74+9=170(分)答错(30×10-170)÷(3+10)10(道)答对30-10=20(道)

11、10辆

假设全是汽车,则有4×24=96(个)轮子,多了96-86=10(个),所以摩托车有10÷(4-3)=10(辆)

12、12元的27个,5元的7个。

除去名同学,还有45-11=34名同学,共捐了100-11×1=89(元)

假设捐5元的有34名,(5×34-89)÷(5-2)=27(个)?2元,34-27=7(个)?5元 13、18只

此题可转化为:大、小猴共42个,大猴每天摘(10+8)÷2=9(个),小猴每天摘5个,每天共摘了266+4×10=306(个),可用“鸡兔同笼”问题解。(9×42-306)÷(9-5)=18(只)?小猴

14、1道

如果张红答对20道,那么她应得7×20=140(分)现在少了140-100=40(分)答错一道减少7+4=11(分),不答一道减少7分,11×3+7×1=40(分),所以有1道题没答。

15、兔19只,鸡12只

若鸡兔数相等,则脚的只数不变,而实际少了100-86=14(只),每只兔变鸡,便少2只,所以兔比鸡多14÷2=7(只),(100-7×4)÷(4+2)=12(只),12+7=19(只)

16、甲种票15张,乙种票15张

若全是甲种票,则花了7×30=210(角),比实际多了210-(200-5)=15(角),每张乙种票变成甲种票多1角,所以乙种票有15张,甲种票30-15=15(张)

90

17、30张

(50×8-180)÷(3+8)=20(张),50-20=30(张)

18、50只

(1000×3-2600)÷(5+3)=50(只)

19、星华答对8道,李冬答对6道。

星华得了(208+64)÷2=136(分),李冬得了(208-64)÷2=72(分),(20×10-136)÷(20+12)=2(道),10-2=8(道),(20×10-72)÷(20+12)=4(道),10-4=6(道)

20、化纤地毯2205元,纯毛地毯20250元

12×12=144(平方米),(144×250-22455)÷(250-35)×35=2205(元),22455-2205=20250(元)

21、18个

因为25,360都被5整除,所以小半导体的只数必须被5整除,即只能为0,5,10,

15。以尝试,小半导体个数为15个,大半导体有(360-19×15)÷25=3(个),15+3=18(个) 22、3元的80张,4元和5元的各60张。

可把4元和5元改成45角。45角的有(7800-200×30)÷(45-30)=120(张),120÷2=60(张),200-120=80(张)?3元

23、蜘蛛21只,蜻蜓11只,蝉15只

首先可算出蜘蛛有(324-47×6)÷(8-6)=21(只),蜻蜓和蝉共47-21=26(只),蜻蜓(37-26×1)÷(2-1)=11(只),蝉26-11=15(只)

第八讲 高斯求和

[同步巩固演练]

1、99

(290-4)÷3+1=99

2、100

(799-7)÷8+1=100

3、97

(100-4)÷1+1=97

4、455

700-(50-1)×5=455

5、39

1+(20-1)×2=39

6、61

1+(21-1)×3=61

7、101

3+(15-1)×7=101

8、301,2725

(907-7)÷3+1=301,7+(907-1)×3=2725

9、(1)2500 (2)2550 (3)3096

(1)(1+99)×50÷2=2500

(2)(2+100)×50÷2=2550

(3)(51+121)×36÷2=3096

10、1300

4+8+12+?+96+98+100=(4+100)×25÷2=1300

11、14950

91

第100项为1+(100-1)×3=298,和为(1+298)×100÷2=14950

12、494550

100+101+102+?+999=(100+999)×900 ÷2=494550

13、406厘米

10+(100-1)×4=406(厘米)

14、7260支

层数为(120-1)÷1+1=120(层),(1+120)×120÷2=7260(支)

15、66次

11+10+?+3+2+1=(1+11)×11÷2=66(次)

16、103+596

第一个加数为4+(100-1)×1=103,第二个加数为2+(100-1)×6=596

17、25

1+2+3+?+50=1275,所以多加的数为1300-1275=25

18、98

(1)利用等差数列的知识求解,设最小的偶数为x,由于这28个连续偶数是公差为2的等差数列,所以最大的偶数,即第28个偶数为x+(28-1)×2=x+54

根据题意,则有(x+x+54)×28÷2=1988

(2x+54)×28÷2=1988

2×(x+27)×28÷2=1988

x+27=1988÷28,即x+27=71得x=71-27,即x=44

所以,最大的偶数是44+(28-1)×2=44+54=98

(2)利用平均数的知识求解

这28个偶数的平均数为1988÷28=71

根据连续的偶数个偶数的特点可知,这28个连续偶数按着由小到大的顺序排列,第15个偶数为71+1=72。

所以第28个偶数,即最大的偶数为72+(14-1)×2=72+26=98

19、7粒

设每个盒子比前面一个盒子多放x粒米,则这9个盒子放和米数依次为:11,11+x,11+2x,?,11+8x。根据题意,有:

(11+11+8x)×9÷2=351

(22+8x)×9÷2=351

2×(11+4x)×9÷2=351

11+4x=351÷9即11+4x=39

4x=39-11即4x=28

得x=28÷4

x=7

所以,每个盒子都比前面一个盒子多放7粒米。

[能力拓展平台]

1、6岁

要使最小年龄尽可能小,其余6人的年龄应尺可能大,又最大年龄是18岁,所以余下5个人的年龄应是17,16,15,14,13。因为18+17+16+15+14+13=(18+13)×6÷2=93,所以最小年龄为99-93=6(岁)

2、4316.4

原来的总和是:10+11+?98+99=(10+99)×90÷2=4905。

92

被7除余2的两位数是16,23,30,?,93,共12个数,这些数按题中要求添加小数点后,都变为原数的1,因此使总和减少了: 10

(16+23+?+93)-(1.6+2.3+?+9.3)

=(16+93)×12÷2-(1.6+9.3)×12÷2

=588.6

所以,经过改变之后,所有数的和是:4905-588.6=4316.4

3、1766241

我们按下列步骤分析求解:

(1)第1993年数是多少?

我们先把这列数分组,从头开始每3个数一组,即(1,1993,1992),(1,1991,1990),(1,1989,1988),?。

因为1993÷3=664余1,由此可知,由1992个数可分成644组,还剩下一个数,这个数是第655组的第一个数“1”,所以第1993个数是1。

(2)第1992个数是多少?

第1992个数是第664组数的第3个数,观察整个数列我们看到,每组中的第3个数从左至右依次是1992,1990,1988,?,是个逐次少2的等差数列,所以第1992个数是1992-(644-1)×2=666。

(3)这1993个数的和是多少?

这1993个数之和,即数列1,1993,1992;1,1991,1990;1,?,666,1的所有项之和,不难看出,在这个数列中有“1”(644+1)=655个,其余的数依次是1993,1992,1991,1990,?,666。这是(1993-665)=1328个连续的自然数,利用等差数列求和公式很容易求和。

这1993个数的和为:

1+1993+1992+1+1994+1990+1+?+666+1

=1×665+(1993+666)×1328÷2

=665+2659×664

=665+1765576

=1766241

4、不能

因为1+2+3+?+10=55,55比44大所以不能。

5、1100个

最后一排有20+(25-1)×2=68(个),共有座位(20+68)×25÷2=1100(个)

6、1380个

第一排座位有75-(30-1)×2=17(个),共有座位(17+75)×30÷2=1380(个) 7、29块

1条直线分长方形为1+1=2(块);2条直线分1+1+2=4(块);3条直线分1+1+2+3=7(块);7条直线分1+1+2+3+4+5+6+7=29(块)

8、2176个

第二层有(2-1)×5个点,第三层有(3-1)×5个点,依此类推,30层有(30-1)×5个点,(1+2+3+?+29)×5+1=2176(个)

9、15

二条直线一个交点,三条直线1+2=3个交点,四条直线1+2+3个交点,依次类推,六条直线有1+2+3+4+5=15(个)交点。

93

10、56种

一刀有1种切法,二刀有1+1种切法,三刀有1+1+2种切法,四刀有1+1+2+3种切法,依此类推,11刀有1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56(种)

11、171

1991÷11=181,181-5×2=171

12、745

(12+14+16+18)×6+(11+13+15+17+19)×5+10=745

13、111只

一只球变3只球,实际上多了2只球。因为第几次就拿出几个球,所以第1次多了2×1只球,第2次多了2×2只球,?第10次多了2×10只球,总共有1+2×1+2×2+2×3+?2×10=111(只)

14、3541

1~100内所有数的和为5050;1~100内所有5的倍数的和为:(5+100)×20÷2=1050;1~100内所有9的倍数和为:(9+99)×11÷2=594;1~100内所45的倍数只有45、90,所其和为135。因此,1~100内所有不能被5或9整除的数的和为:5050-1050-594+135=3541。

15、(1)82到100 (2)9 (3)4872500

(1)“9”这组数的个数为1+(9-1)×2=17(个),这串数中前9组数的个数为(1+17)×9÷2=81(个),“10”这组数共有19个,所以10是这串数中第82个到81+19=100(个)

(2)这串数中、前组数的个数为1+3+5+7+9+11+13+15+17=81(个),所以第80个数是9。

(3)前80个数的和为:1+2×3+3×5+4×7+5×9+6×11+7×13+8×15+9×16=516。 16、4872500

第1行数的和为:(1900+1949)×50÷2=96225,以后每一行比第1行多50,即: 96225,96225-50,96225+50×2,?,96225+50×49,求和为:(96225+96225+50×49)×50÷2=4872500。

17、(1)第10行第18个数,(2)179

(1)因为197是奇数中的第99个数,1+3+5+7+9+11+13+15+17=81,所以第99个数在第10行99-81=18(个)

(2)第10行的第9个数是奇数中第90个数,它是179。

18、24行40列

不难看出,数表的排列规律如箭头所指,为研究的方便,我们不妨把原因顺时针转动450,就成为三角阵,(如右图),三角阵中,第1行1个数,第2行2个数?第n行就有n个数,设1993在三角阵中的第n行,则:1+2+3+?+n-1<1993≤1+2+3+?+n,即:n×(n-1)÷2<1993≤n×(n+1)÷2,用试值的方法,可以求出n=63。又因为1+2+3+?62=1953,即第62行中最大的数为1953,三角阵中,奇数列的数字从左到右,依次增大,又1993-1953=40,所以,1993是三角阵中第63行从左开始数起的第40个数(若从右开始数,则为第24个数)。

把三角阵中与左图比较,可以发现:

①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数,就位于左图的第几列。②三角阵中第一行从右开始数起的第几个数,就位于左图的第几行。

由此,我们可知,1993位于原图的24行40列。

94

[全讲综合训练]

1、1050

5+10+15+?95+100=1050

2、1225次

49+48+47+46+?+3+2+1=1225(次)

3、43

225÷5=45 , 45-2=43

4、1525页

(25+97)×25÷2=1525(页)

5、7,100

30÷5=6,所以第30项的数字是7。(2+5+3+3+7)×25÷5=100

6、1254个

最后一排有座位36+(22-1)×2=78(个),共有座位(36+78)×22÷2=1254(个) 7、1210

被4除余1的两位数有13,17,21,?,97共(97-13)÷4+1=22(个),和为(13+97)×22÷2=1210

8、13人

用尝试法,11个人赛1+2+3+4+?+9+10=55(场)12个人赛55+11=66(场),13个人赛66+12=78(场)

9、180下

把整点敲的加上半点敲的(1+2+3+?+12)×12+1×24=180(下)

10、45次

9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(次)

11、120米

先求是第几次丢了15个石子:(15-1)÷2+1=8,从第7次丢石子到第8次,它们之间的距离是1+(8-1)×4=29(米),所以从A到B共有(1+29)×8÷2=120(米) 12、133

1+(45-1)×3=133

13、494550

100+101+102+?+999=(100+999)×900÷2=494550

14、14950

第100个数是1+(100-1)×3=298,和为(1+298)×100÷2=14950

15、10000

1+3+5+7+?+197+199=(1+199)×100÷2=10000

16、

10100

95

2+4+6+8+?+198+200=(2+200)×100÷2=10100

17、126

连续九个数的首项为54÷9+4=10,末项为10+8=18,和为(10+18)×9÷2=126 18、9453根

层数为(137-1)÷1+1=137(层),共有(137+1)×137÷2=9453(根)

19、71厘米

(32+110)÷2=71(厘米)

20、8,12,16,20,24,28,32,36.

公差(40-4)÷(10-1)=4,所以此数列为4、8、12、16、20、24、28、32、36 21、1、7、13

21÷3=7,91÷7=13,所以三个数是1、7、13

22、4

(35-15)÷(6-1)=4

23、25

5×5=25

24、72

12×(12÷2)=72

25、70米,1240米

10+(31-1)×2=70(米),(10+70)×31÷2=1240(米)

26、260

把1992平均公成8份加在11至18这8个连续自数上。1992÷8=249,最小数为11+249=260

27、4250

(8450-50)÷2+50=4250

28、15、20、25、30、35、40

210÷7=30,所以是15、20、25、30、35、40

29、1667332

1~2000以内的所有自然数的和为:1+2+?+2000=(1+2000)×2000÷2=2001000。 能被8整除的数的和为:8+16+?+2000=(8+2000)×250÷2=251000,

能被12整除的数的和为:12+24+?+1992=(12+1992)×166÷2=166332

能同时被8、12整除的数的和为:24+48+72+?+1992=(24+1992)×83÷2=83664 故既不能被8整除,也不能被12整除的数的和为:

2001000-251000-166332+83664=1667332

30、13

100-10+1=91。

设有n家,则根据求和公式:(1+n)×n÷2=91,解得n=13。

第九讲 计数问题

9.1计数原理

[同步巩固演练]

1、6种

2+1+3=6(种)

2、10种

5+3+2=10(种)

3、(1)10种 (2)24种

96

(1)6+4=10(种) (2)6×4=24(种)

4、12种

3×4=12(种)

5、24天

4×3×2=24(天)

6、14种

3×4+2=14(种)

7、19场

20-1=19(场)

8、12种

对于甲来讲,他有4个位置可选,如果他选在第一个(或第四个)位置,则乙、丙还有4种选法,即甲、乙相连,甲、丙相连,乙、丙相连(考虑顺序有两种)。如果甲选在第二(或第三),则乙、丙只有2种选法,所以共有4×2+2×2=12(种)

9、870张

29×30=870(张)

10、54条

12×9÷2=54(条)

[能力拓展平台]

1、260种

(1)当甲、丙相同时,共有5×4×4=80(种)

(2)当甲、丙不同时,共有5×4×3×3=180(种)

共有80+180=260(种)

2、6种,18种,24种

(1)3×2×1=6(种);(2)对边相同3×2×2=12(种),对边不3×2×1×1=6(种)共有12+6=18(种);(3)3×2×2+3×2×2=24(种)

3、27种

3×3×3=27(种)

4、16种,140种

5+7+4=16(种),5×7×4=140(种)

5、18对

用枚举法做。

9.2计数方法

[同步巩固演练]

1、5种

可以先用币值较大的钱币开始枚举,如下表:

2、432种

97

为方便计算,我们可以把a、b、c三人看作一人来计算,即共5人站成一排,且只能站中间3个位置,那么这样的站法共有3×4×3×2×1=72(种),而a、b、c三人站在一起的不同站法又有3×2×1==(种),即所求的不同站法共有72×6=432(种)

3、5种

我们采用列举法:(1)1,2,3,4,5,10;(2)1,2,3,4,6,9;(3)1,2,3,4,7,8;(4)1,2,3,5,6,8;(5)1,2,4,5,6,7共5种。

4、6个

358<385<538<583<835<853

5、18个

用树形图解

6、10个

将题目要求的数分为三类。

(1)连续四位都是2或3有:2222和3333两个;

(2)连续三位都是2或3有:2223、3222,3332,2333四个;

(3)连续两位都是2或3的有:2233、3322、3223,2332四个。

7、9个小朋友分得的书分别为:1、2、3、4、5、6、7、8、9本。

8、5种

即平均分成4份,每份36颗;平均分成6份,每份24颗;平均公成8份,每份18颗;平均公成9份,每份16颗 ;平均公成12份,每份12颗。

9、7

列举如下:①3,5,7;②3,7,9;③3,9,11;④5,7,9;⑤5,7,11;⑥5,9,11;⑦7,9,11。

10、390个

千位数字是1的数,十位数字与个位数字相同的数唯有1999这个数。千位数字是2、3、4的所有整数,百位数字可以是0~9中任意一个,有10种不同的选法,十位数字与个位数字相同,同样也有10种不同的选法。共有10×10×3=300(种),千位数字为5,超过5895有5899,5900,5911,?,5999共11个,小于5895的有10×10-11=89(个)。综合上述情况,一共有1+300+89=390(个)十位数字和个位数字相同的数。

11、400个

只要考虑前三位数字即可:万位有2、4、6、8这四种情况;千位与百位各有10种情况;所以共有4×10×10=400(个)这样的五位数。

[能力拓展平台]

1、20种

根据题意分两步考虑,①两个贴对的有5×4÷2=10(种)不同情况;②余下的三个瓶子相互贴错的有2种情况;所以五个瓶子,其中恰有三个贴错的共有10×2=20(种) 2、596个

98

三个数码都不大于5的三位数有5×6×6=180(个);三个数码都不小于5的三位数有5×5×5=125(个)。上述两种情况重复了三个数码都等于5的555这一个,所以求三位自然数共有900-180-125+1=596(个)

3、135次

我们可以分男宾与男宾之间握手情况,男宾与女宾之间握手情况考虑,男宾与男宾这间共握手10×9÷2=45(次)男宾与女宾之间共握手10×9=90(次),所以他们共握手45+90=135(次)。

4、6种

分两种情况:一种相对的面有红黄、红蓝、黄蓝3种;另一种是相邻的面也有3种,所以共3+3=6(种)

5、3种

枚举法解:1,2,6;1,3,5;2,3,4。

6、7种

设甲、乙、丙三个厂,用树形图枚举

7、19个

将甲组中分别取一个数和乙组相加得(去掉相同的和)3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39共19个。

[全讲综合训练]

1、78种

5个人任意排队共有5×4×3×2×1=120(种)排法,当甲排在头或乙排在尾时共有(4×3×2×1)×2-3×2×1=42(种),所以符合条件的排法共有120-42=78(种)

2、60个

符合条件的三位数的个位上数字必需是3、5、7,所以个位数字有3种取法;百位、十位可从余下的数字中选取,分别有5和4种,所以共有5×4×3=60(个)不同的三位奇数。 3、95种

共有五种不同的币值,一角币、二角币、五角币各有拿与不拿两种情况;一元币有不拿与拿1张、2张、3张这种拿法,同样五元币有3种拿法,所以共可以组成2×2×2×4×3-1=95(种)不同的币值,其中要减去这五种币一种也不拿的这一种。

4、13503

1~999,可采用配对方法求数码和,(0,999),(1,998);(2,997);(3,996),?,(499,500),每对数的数码和是27,共有500对,所以数码和为27×500=13500;再加上1000与1001的数码和3,所以1~1001所有数码之和是13500+3=13503。

5、144个

15=1+2+3+9=1+2+4+8=1+2+5+7=1+3+4+7=1+3+5+6=2+3+4+6,由4个不同的非0的数字共可以组成4×3×2×1=24(个)不同四位数,这样共可以组成6×24=144(个)符合题目要求的四位数。

6、2500种

99

对于取出的A、B两数:

A=1, B可取100 1种取法;

A=2, B可取100 、99 2种取法;

A=3, B可取100、99、98 3种取法;

??? ?????????

A=50, B可取100,99?51 50种取法;

A=51, B可取100,99?52 49种取法;

??? ?????????

A=99, B可取100 1种取法。

所以共502=2500种不同的取法。

7、5

百位上是6、5、4、3的三位数共有12×4=48(个),所以第49个数是265,第50个数264,第51个数是263,263÷6=43??5。所以这串数中第51个数除以6的余数是5。 8、48种

原来有7个车站,需要7×6=42(种)车票,现在增加了3个车站后有10个车站,需要10×9=90(种),增加了90-42=48(种)

9、(1)10 (2)20

5×4÷2=10,5×4=20

10、64种

若只有A或B参加那么共有2×8×7÷2=56(种),若A、B都参加的有8促,所以共有56+8=64(种)选法。

11、93324

(2+3+4+5)×6666=93324

12、12种

房间编号如下①②③④;三人只能住在①,②,④号房间或①,③,④号房间,所以有2×3×2×1=12(种)住法。

13、9人

设这个小组共有n+1个人,n×(n+1)=36×2,n=8,所以这个小组共有9个人。 14、20种

每个盒子中放一个,余下3个,若把余下的3个放在一个盒子中,有4种放法;若把余下的3个分成2和1放在两个盒子中,有12种放法;若把余下的3个分成1、1和1放在三个盒子中,有4种放法,所以共有4+12+4=20(种)不同的放法。

15、6种、8种、23种、9种

(1) 3×2×1=6(种)。(2)若甲拿到自己的作业本,另外三人只有2种不同的拿法,所以有4×2=8(种)。(3)四人随意拿作业本,共有4×3×2×1=24(种)不同的拿法,去掉其中一种每人都拿到自己作业本的情况所以共有24-1=23(种)情况。(4)第一人去拿只有3种拿法,被第一个拿掉本子的人去拿也有3种拿法,剩下两人只有唯一一种拿法,所以共有3×3=9(种)拿法。

16、3421

千位上是1,2,3,4的数各有24÷4=6(个)6×3=18,所以第18个数是千位上是3的最大四位数,即为3421。

17、12

根据乘法原理,用四个不同的数字可以组成4×3×2×1=24个不同的四位数,现在四个数字中有两个数字相同,则只能组成24÷2=12个不同的四位数。

100

18、69个

分类枚举,若百位是1,则十位和个位的数字和是14,十位取9、8、7、6、5,个位对应取5、6、7、8、9,共5个,同理,当百位上是2、3、4、5、6、7、8、9时,符合条件的三位数分别有6、7、8、9、10、9、8、7个,因此,各数位上数码之和为15和三位数共有5+6+7+8+9+10+9+8+7=69(个)

19、9

为叙述方便,我们把4只小鸟编号为A、B、C、D,它们自己的笼子相应为①、②、③、④,若都不飞进自己的笼子,可让B鸟飞入第一个笼子,这时4只鸟都不进自己的笼子有下面三种情况:

① ② ③ ④

B A D C

B D A C

B C D A

同理,让C鸟和D鸟分别飞入第一个笼子,满足题意的不同飞法也各有3种,所以共有3×3=9(种)。

20、9

因为1厘米~9厘米长的木棍各有一根,并且不许折断,从中选用若干根组成正方形,显然,边长1~6厘米长的正方形不能组成。而7=1+6=2+5=3+4,8=1+7=2+6=3+5,所以边长为7厘米和8厘米的正方形各组成1个,又9=1+8=2+7=3+6=4+5,所以边长为9厘米长的正方形可以有5种不同的组成方法。又因为1+9=2+8=3+7=4+6=10。2+9=3+8=4+7=5+6=11,所以边长为10厘米和11厘米的正方形各存1种组成方法。边长是12厘米及以上的都不能组成,故共有1+1+5+1+1=9(种)不同方法。

21、840个

1□□□3,千位数是1,个位数是3,第二个方框中可填入0~9中除1和3先看四位数□

以外的8个数字,第三个方框有7种选法,共可组成符合条件的数有8×7=56(个),再看

2□□□0和□2□□□4两种情况,共有8×7×2=56×2(个)千位是2的四位数,有□,同理千

位是3、4、5、6、7且符合题意的数各有8×7×2=56×2(个),所以共有56×(1+6×2+1+1)=840(个)

22、20

按三枪连在一起分类:

一、二、三枪命中有4种不同情况

二、三、四枪命中有3种不同情况

三、四、五;四、五、六;五、六、七;枪命中各有3种情况,六、七、八枪命中有4种情况,所以共有4×2+3×4=20(种)

23、31

最少称1支,最多能称31支,通过枚举发现1~31支都能称。

24、45个

先枚举,最高位是上的有10112358,112358,12358,1347,1459,156,167,178,189共9个,最高是2、3、4、5、6、7、8、9的分加有8、7、6、5、4、3、2、1个,所以共有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(个)

25、8

根据题意枚举

A B C D

101

A C D B

A D B C

同理B、C、D没贴错各有2种,所以共有2×4=8(种)

第十讲 简单规划问题

[同步巩固演练]

1、6分钟

在烧开水的同时,打开果汁瓶,洗茶杯共需6分钟。

2、25分钟

2

15 3、13分钟

先乙后甲,共花时4+4+5=13(分钟)

4、154分钟

丁 甲 丙,共用时10×4+12×3+15×2+18=154(分钟)

5、五号

6、31辆大卡车,1辆小卡车

大卡车每吨耗油10÷5=2(公升),小卡车每吨耗油7.5÷3=2.5(公升),所以尽量使用大卡车157÷5=31??2,所以用31辆大卡车,1辆小卡车。

7、10.5

[能力拓展平台]

1、23分钟

洗饭锅 洗 米 1 2 2、(1)3分钟,(2)n分钟

3、185分钟

如果把所有时间总数和求出来,共应花230分钟,但如下安排只需要185分钟。

4、吨千米数最小的调运方案如图所示

102

5、220元

所以最省运费是7×10+3×30+3×20=220(元0

6、先用枚举法列出所有可能截法如下:

取无残料的第一、五方法配合成一个下料方案,第一种方法截原村料7根,第五种方法截原材料2根,可得甲毛坯46根,乙毛坯23根,满足条件甲种毛坯根数是乙种毛坯根数的2倍。

7、82棵

先考虑如果每两棵树之间的距离都等于15米,则需要种1200÷15+1=81(棵),所以最少要种82棵。

8、最少损失780元。

让修复时间长的机器等候修复时间短的,才能使修复与等待的总时间最少,经济损失也最小。7×5+8×4+10×3+15×2+29×1=156(时),损失:5×156=780(元)

9、4千米

由于图中有8个奇点,所以必须重复走某些街道,才能送扁全城回到奶站,如图添加四条线(重复路线),这样图中的点全部为偶点了,说明奶站设在街上任何一处都一样。因此,小明选在P点没有错,一次送遍全城回到奶站的最短路线应是24+4=28(千米),比全城街道总长多4千米。

[全讲综合训练]

103

1、大卡车11辆,小卡车3辆;181公升。

设用大卡车a辆,小卡车b辆,则7a+4b≥89,总耗油量为14a+9b=2(7a+4b)+b,在b=3时,a=11使7a+4b=89,耗油量为2×89+3=181(公升),在b>3时,耗油量>2×89+3=181,在b=0,1,2时,a分别为13,13,12。而13×14=182,12×14+2×9=186均大于181,所以派大卡车11辆,小卡车3辆时耗油量最少,这时共需油181公升。

2、1991元

因为12+30、17+23、8+18+14比较接近,由三人分别修理三组电车较好,共停开12×2+30+17×2+23+8×3+14×2+18=181(分)181×11=1991(元)

3、48分钟

14+6+17+12=49(分),15+11+10+12=48(分),14+13+10+12=49(分),15+11+5+18=49(分),14+13+5+18=50(分),15+7+9+18=49(分)

4

5、C处。

可先将图变为

因为5+6,7都不到总产量的一半,麦场不可能设置在这三处,所以先将这3块地里的麦运入C处。又3+4<7+5+6,所以F、E也应往C处运。

6、414000元

因为8000÷2000-1=3,所以最后三个村用细管,前面几个村用粗管,(30+5+2+4+2+3+2)×8000+2×3×2000+2×2×2000+5×2000=414000(元)

7、30小时

按号码1、3、4、5、2依次在A机床上加工,共用3+4+5+7+7+2=28(小时)。由于机床B在机床A完成加工后至少还需要2个小时,所以所需不能少于30小时。

8、要省油,空车走的趟数越少越好。

20辆卡车先把20车渣土运到B,再从B至C走空车,从C把20车砖运到D,从D到A走空车,再这样走一圈,最后从A把20车渣土运到B,最省油。

9、因为21-15=6,12-9=3,6>3,所以甲往北乡运80+60-100=400吨,乙往北乡运60-40=20吨,往南乡运80吨。

10、甲运40吨到北乡,乙仓运20吨到北乡,80吨到南乡,1860元。运用枚举和探索法解。 104

11、20辆车,从A→B→C→D→A,再派20辆车从A→B→A,用枚举和尝试法解。

12、C处。

第十一讲 最大和最小

[同步巩固演练]

1、64平方米

24÷3=8(米),8×8=64(平方米)

2、(1)64 (2)150

3、1994

23÷9=2??5,5=1+4,所以最小双数是1994。

4、45次

9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(次)

5、5

没有重复数字的最小五位数是10234,原来的五位数是10234-9=10225。故原来五位数的个位数字是5。

6、22

要使和最小,用的次数最多的数应是最小的数1,用的次数较多的数应是较小的数,如图,最小的和是1+3+7+11=22。

7、199?9 ???

221个

要使n最小,需使位数最少,要使位数最少,必须各位数字尽量大,而最大数字是9,且1990÷9=221?1,所以n的最小值为199?9 ???

221个

8、2624,24

9、4种,24

1+9,2+8,3+7,4+6,乘积最大的一对是4×6=24

[能力拓展平台]

1、17

因为D=A+B,E=B+C,所以F=A+2B+C,G=A+3B+2C,X=F+G=5B+3C+2A,要使X最小,B=1,C=2,A=3时最小值为1×5+3×2+2×3=17。

2、8531,7642

要使乘积最大,两个数的千位为8和7,百位为6和5,十位为4和3,个位为2和1。两数的和一定时,要使积最大,差应尽可能小,所以这两数分别为8531和7624。 3、148厘米

因为36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6,而1+36>2+18>3+12>4+9>6+6,又因为4=2×2,所以周长最长是(2×1+36×2)×2=148(厘米)

4、6块 如图所示:4×5÷6÷1=6?2 5 5、2次

将9颗钢珠分成3份,每份3颗,称一次;又将3颗分成3份,每份1颗,称一次,共2次。

6、742,653

要是组成两个两位数,很容易想到75、64或74、65;我们知道,当两个数的和相等时,

105

两个数的差越小,其积越大。因为75+64=74+65,而75-64>74-65,所以74×65>75×64。那么组成两个三位数,也照此办法,因为742+653=743+652,而742-653<743-652,所以742×653>743×652,因此所求的两个三位数是742和653。 7、65棵

通试算找出答案:①20+5=25,符合“每排20棵,最后余下5棵”,但不符合“每排7棵,最后剩下2棵”条件;②20+20+5=45,符合前者条件,但不符合后者条件;③20+20+20+5=65,符合两个条件,因为是第一次符合条件的,所以是最小的,这批树苗最少有65棵。 8、12

从最“不幸”的情况出发考虑:取出红球3个、黄球4个、绿球4个共11个球,这种情况不合要求,但只要多取1个,就会出现5个黄球或5个绿球,合乎要求,所以n的最小值是12。

[全讲综合训练] 1、9张

要使张数最少,面值大的张数应尽可能多,因为总价122分的个位是2,可是8分邮票张数是32÷8=4(张),又因为122-32=90=20×4+10,即张平最少有4张8分,1张1角,4张2角共9张邮票。 2、20个

白球最重,要使取出的总球数最少,应尽量取白球,因为7×17+5+3×2=130,所取白球17个,黄球1个,红球2个,最少是20个。 3、30

由此可知,到第五、六站车上乘客最多为30人,所以这辆公共汽车至少应有30个座位。 4、32

不妨设A<B<C<D,则有B+C+D=217(最大的和),A+B+C=185,(最小的和),所以有D-A=217-185=32。 5、139

设三个数字分别为a、b、c均不为0。因为这六个三位数各个数位上的数字和都是2×(a+b+c),所以必有2×(a+b+c)×111=2886,得a+b+c=13,所以最小的三位数是139。 6、57

如果最大的两位数大于60,那么四个数的和≥63+24+15+7>100,所以最大的两位数是57,这时有57+13+24+6=100。 7、18个

根据题意,要求相邻两个数乘积都小于100,所以相邻两个数中必有一个是一位数,而1~49中只有1~9这9个一位数,再选9个两位数排成一个圆圈即可,因此最多能挑出(9×2)=18个数来。 8、399,114

设三位数为abc,则100a+10b+c=19(a+b+c),可得a=(b+2c)÷9,要使三位数最大,那么,b、c必须最大,都是9,这时a=(9+18)÷9=3,所以这个三位数最大是399,

106

要使三位数最小b只能是1,c应为4,故有a=(1+2×4)÷9=1,所以这个三位数最小为114。

9、895051

10、399?9 ???

34个

11、38人

试算找答案,被11除余5的数有5,16,27,38,刚好38除以7余3,所以四年级最少有38人。

12、每人骑自行车3×2÷3=2(千米),步行3-2=1(千米),因此按如下安排即可使3个人在最短时间内都到达Q(“??”表示步行“——”表示骑车):

P Q

A————————————???

B——————???——————

C???————————————

13、131

[⑨÷①×(⑧+⑦)]-(②×③+④-⑥)=131

14、17分

要做到取出的钱数总和最多,首先要让乙取出的硬币面值最大。只能是2枚5分的硬币。5+5=10(分),这时甲取的三枚硬币的总和最多只能是10-3=7(分),即乙取出的1枚5分的,2枚1分的。故总和是10+7=17(分)

15、9封

由于寄信总共用钱122分中有2分,可推算出寄出的平信有4封或8封。要求寄信总封数最少,就需寄邮资最少的平信封数最少,所以平信寄出4封,用32分;挂号信4封用去分;航空信1封,用去10分。所以共寄4+4+1=9(封)

16、12个

要想三人共同读过的故事尽量最少,就要设想甲读了前75个故事,丙读了后52个故事,他俩读了(75+52)-100=27(个)相同的故事。是第75-27+1=49(个)至第49+27-1=75(个)故事。这些故事多半在100÷2=50(个)故事之后,所以乙应读前60个故事,才与这27个故事的重叠最少。即60+52-100=12(个)

17、129瓶

喝完161瓶汽水,由于:161÷5=32?1,拿这些空瓶可换32瓶汽水,也相当于退回32瓶汽水,实际上只要买161-32=129(瓶)

18、82块

根据题意,最多的一袋必超过20块,而另外三袋的和超过60块,所以四袋的总和至少有82块。

19、6人

要使老年人尽量少,那么年轻人必尽量多,若30-59岁的人各有3个的话,这些人的年龄和为(30+59)×30÷2×3=4005(岁),与4476岁相差471岁,显然471岁是几个老年人的年龄和,为使老年人尽量少,那么他们的年龄应尽可能大,而471=79×5+76×1,故最少有老年人5+1=6(个)

20、27

由题意知,只有当a最小时,a+b+c+d+e之和才最小,故a是2,3,4,6的最小公倍数,即为12,所以b、c、d、e分别为6、4、3、2,这时5人年龄之和为12+6+4+3+2=27(岁)

107

21、24

设他的编号的最大数为n,则(1+n)n÷2=k,(k为编号之和),k是100的倍数且小于1000,经试验得k=300,从而确定n为24。

22、24

我们从简单的问题入手,设圆圈上共有10枚棋子,4枚黑子,6枚白子,看至少要经过4÷2=2(次)调换,由此可知需经过48÷2=24(次)调换。

23、750

要使一辆车尽可能远离出发点,另一辆车必须将自己的油分成4份,2份自己来回,1份借给远行的车,并卸下1份留作远行的车返回时用,这样远行的车最多可用油20+20÷4×2=30(桶),所以最远可到达离出发点30×50÷2=750(千米)

24、972人 设某校人数的三位数是abc,根据题意知:100a+10b+c-(100b+10a+c)=180,a-b=2,要使该校人数最多则a=9,b=7,且是36的倍数,所以该校人数最多可以达到972人。

第十二讲 盈亏问题及对应法

[同步巩固演练]

1、15分

60÷(9-5)=15(分)

2、160块,28人

(48+8)÷(6-4)=28(人),6×28-8=160(块)

3、104米

(41-2)÷(34-21)=3(米),3×21+41=104(米)

4、8人,52棵

(12+4)÷(7-5)=8(人),5×8+12=52(棵)

5、19行,208人

(37+20)÷(12-9)=19(行),19×9+37=208(人)

6、7角

(30-2)÷(9-5)=7(角)

7、11元,15元

(100-67)÷(5-2)=11(元) (100-5×11)÷3=15(元)

8、8米,36米

(10×2-1×4)÷(4-2)=8(米) (10+8)×2=36(米)

9、31个

(167+206+206+10)÷(5+5+2+5+2)=31(个)

10、24人,152个

[32+(8-4)×10]÷(8-5)=24(人),24×5+32=152(个)

11、56棵

(6+4)÷2=5(个),10×5+6=56(棵)

12、65人

50+(50+10)÷(12-8)=65(人)

13、900千克,900元

(300+500)÷(3-2)+100=900(千克),2×800+300-1000=900(元)

14、1200米

(80×6+50×3)÷(80-50)=21(分钟)80×(21-6)=1200(米)

108

[能力拓展平台]

1、208人

(37+20)÷(12-9)=19(行),9×19+37=208(人)

2、1500米

(50×3+60×2)÷(60-50)=27(分钟),50×(27+3)=1500(米)

3、10人,64棵,32棵

(2×2+6)÷(7-3×2)=10(人),7×10-6=64(棵)64÷2=32(棵)

4、10人,60块

[12-(5-4)×2]÷(6-5)=10(人),6×10=60(块)

5、38个

[(6-4)×2+3]÷(6-5)=7(人),5×7+3=38(个)

6、6克、4克

(42+38)÷(5+3)=10(克),(42-10×3)÷(5-3)=6(克),10-6=4(克)

7、9人,26个

[2×2+4+(12-2)]÷2=9(人),6+4×(9-1)-12=26(个)

8、5个

共有房:(20+6×2-2)÷(6-3)=10(间),共有人:3×10+20=50(人),余出房间:10-50÷10=5(个)

9、8人,38棵

3人分4棵的,改为每人都分3棵,则共余树苗(4-3)×3+11=14(棵),如果第二次分的每人都分5棵,则树苗不足(5-3)×1=2(棵)。种树人数为(14+2)÷(5-3)=8(人),种树苗的总数为3×8+14=38(棵)

10、24个,48个

分给班级数为(4×2+2)÷(5-2×2)=10(个),篮球为2×10+4=24(个),排球为5×10-2=48(个)

11、70吨,35吨

卡车数为5×2÷(7-3×2)=10(辆),大米吨数为7×10=70(吨),面粉吨数为3×10+5=35(吨)

12、341元

每本《百科知识》比《儿童文学名著》贵3元,17本《百科知识》比《儿童文学名著》贵3×17=51(元),若买17本《儿童文学名著》,余钱51+35=86(元)。又知买20本《儿童文学名著》,余钱41元,每本《儿童文学名著》的价钱是(86-41)÷(20-17)=15(元),购买书共捐款15×20+41=341(元)

13、56,64,72,80

甲、乙、丙、丁=(192+216+208+200)÷3=272,甲=272-216=56,乙=272-208=64,丙=272-200=72,丁=272-192=80。

14、42元,28元

一顶帽子价格为70×2÷(3+2)=28(元),一双鞋价格为70-28=42(元)

15、1740套

工作5天后,如果按计划每天做60套,到“六一”时还差60×2=120(套),实际每天多做12套,即每天做60+12=72(套),到“六一”时要多加工72×2=144(套),预定的天数是(120+144)÷12+5=27(天),共加工童装套数是60×(27+2)=1740(套)。

[全讲综合训练]

1、360页

109

迟1天看完,也就是到规定时间还有36页未看;提前一天看完,也就是到规定时间还可多看45页。(36+45)÷(45-36)=9(天),36×(9+1)=360(页)

2、4000米

迟到8分钟,也就是还有50×8=400米没走;早到了5分钟,也就是可以多走(50+10)×5=300米,(400+300)÷10=70(分钟),(50+10)×(70-5)=3900(米),还要加上开始走的2分钟,3900+50×2=4000(米)

3、61人

5×5-12=13(人),(13+1)÷2×7+12=61(人)

4、960棵

(1200+800)×1÷(1200-800)=5(天),1200×(5-1)÷5=960(棵)

5、1200千克

(1500+1000)÷(1500-1000)=5(天),1500×(5-1)÷5=1200(千克)

6、84个

大班人数为(2×4+4+6)÷(5-4)=18(人),共有苹果数5×18-6=84(个)

7、36名

船的只数为:(9+6)÷(9-6)=5(条)共有学生9×(5-4)=36(名)

8、152个

小朋友有(32+5×8)÷(8-5)=24(人),苹果数为5×24+32=152(个)

9、112人

每排人数为[(12+9)-1]÷2=10(人),有学生10×10+12=112(人)

10、1632块

32+49=81(块),81=41+40,40×40+32=1632(块)

11、70个

如果大班减少3人,则余10+5×3=25(个)苹果(25+2)÷(8-5)=9(人),8×9-2=70(个)

12、150张,100个

乙剩50个信封,也就是少3×50=150张信纸,(150+50)÷(3-1)=100(个)?信封,1×100+50=150(张)?信纸

13、135人

(48+5×2)÷(5-3)=29(条),29×3+48=135(人)

第十三讲 行程问题

13.1相遇问题

[同步巩固演练]

1、2.4小时

240÷(240÷4+240÷6)=2.4(小时)

2、甲5千米,乙4千米

甲、乙的速度和为45÷5=9(千米),甲的速度为(9+1)÷2=5(千米),乙的速度为9-5=4(千米)

3、2千米

A、B两地距离4×3-3=9(千米),两次相遇点距离为9-4-3=2(千米)

4、甲12千米,乙10千米

乙的速度为[100-2×(4+1)]÷(4×2+1)=10(千米),甲的速度为10+2=12(千米) 5、100千米

120÷4=30(千米/小时)?客车速度,120÷3=40(千米/小时)?货车速度,240-(30+40) 110

×2=100(千米)

6、12千米

每小时多15-10(千米),11点到乙地时,已多行10×2=20(千米),共行10×2÷(15-10)=4(小时),15×4=60(千米)?甲、乙两地路程,出发时间上午7(=11-4)点。60÷(12-7)=12(千米/小时)

7、180米

哥哥和妹妹从出发到再次相遇,共行了家到学校的两个全程,900×2÷(90+60)=12(分钟),900-60×12=180(米)

8、4米

第一次到第二次相遇,刚好行了一圈,所以速度为400÷40=10(米),乙的速度为10-6=4(米)

[能力拓展平台]

1、100千米

本题的两次相遇实际上是两车合行了3个全程,在第一个全程中甲车行了40千米,所以三个全程应行40×3=120(千米)。超过全程20千米,所以全程为:40×3-20=100(千米) 2、6000米

狗跑的时间实际上是哥哥追上弟弟所用的时间,200×5÷(250-200)=20(分钟),300×20=6000(米)。

3.40分钟。

甲跑一圈需400÷80=5(分钟),乙跑一圈需400÷50=8(分钟),所以再在A点相遇需5×8=40(分钟)

4、40千米

每人都比原计划少走1千米,两人1小时就少走2千米,因此5×2÷(5-4)=10(千米)?原来的速度, 10×4=40(千米)

5、140千米

第二次相遇甲、乙两人共行了3个全程,甲比乙多行20×3=60(千米),所以乙行了第3个全程的100-60=40(千米),所以东西两站之间的距离为100+40=140(千米) 6、8时50分

家 第1次追上 第2次追上

小峰 5千米

5千米

爸爸

由上图可以看出,小峰走5千米,爸爸走5×3=15(千米),爸爸的速度是小峰的3倍,而小峰走10千米,爸爸应走10×3=30(千米),而实际爸爸只走20千米,即爸爸10分钟走30-20=10(千米)所以这时小峰走了10+20=30(分钟),这时是8点50分。 7、36小时

货船原行12小时的路程,客船只需4小时,由此可知客船行12小时的路程,货船需行12×(12÷4)=36(小时)

8、23分

第一次相遇时用时3500÷(180+170)=10(分钟),第二次相遇时共用时3×3500÷(180+170)=30(分钟),所以第一次相遇后又经过30-10+3=23(分钟)第二次相遇。 13.2追及问题

[同步巩固演练]

111

1、114千米

3×2÷(20-18)=3小时?相遇时间,3×(20+18)=114(千米)

2、600千米

甲每天走900÷15=60(千米),乙每天走900÷12=75(千米),追击时间为60×2÷(75-60)=8(天),8×75=600(千米)

3、32千米,16千米

(240÷5+240÷15)÷2=32(千米)?快走速度,240÷5-32=16(千米)?慢车速度 4、20千米

16×3÷12+16=20(千米)

5、4天

(120-96)÷(15-9)=4(天)

6、576千米

192+192(10÷5)=576(千米)

7、30千米

15×[5×4÷(15-5)]=30(千米)

8、1500米

小强从家到公园的时间为50×10÷(75-50)=20(分钟),75×20=1500(米) 9、4分

(25-1)÷(24-16)+1=4(分)

10、900米

(6000-500)÷11+400=900(米)

11、8千米

20-12×[4×2÷(14-4)]=8(千米)

12、360千米

90×[30×4÷(90-30)]×2=360(千米)

13、1120米

假设某人以每分钟40米的速度比小峰早12分钟出发,小峰以每分钟70米的速度追,则追上需要:40×12÷(70-40)=16(分)。

故学校到家的距离为:70×16=1120(米)。

[能力拓展平台]

1、10时15分

(40×0.5-8)÷(56-40)=0.75(小时)=45(分钟)9点30分+45分=10时15分 2、40秒

80×2÷(5-1)=40(秒)

3、(1)18千米,(2)9千米

(1)乙的速度为(3+3)×2=12(千米),甲的速度为12÷2=6(千米),AB的距离为1×(6+12)=18(千米)

(2)甲离B地还有18÷12×(12-6)=9(千米)

4、80分钟

他们再次相遇时合行三个全程,共用时3×1=3(小时),当第一次相遇后小李追上小强时走了60分钟+40分钟=100(分钟),所以追上后用3×60-100=80(分钟)再次相遇。 5、5次

由题意可知:甲行100分钟的路程,乙只需20÷2=10(分钟),乙行80分钟的路程,甲需800分钟,(800÷100)÷2+1=5(次)

112

6、2200米

[2×50+5×(50+10)]÷10=40(分钟),(40+2+2)×50=2200(米)

7、20千米

90×(1+2+2)÷(40+50)=5(小时),40×5-2×90=20(千米)

8、4800米

假设小明都是用160米速度走,则应走160×60=9600(米),而与实际相差9600-8000=1600(米),所以用120米走了1600÷(160-120)=40(分钟),故离A地120×40=4800米的地方改变速度。

9、12米

狗跑48米,兔子跑30-6=24(米),所以狗的速度是兔子的2倍,还需6×2=12(米)才能追上兔子。

10、10000米

由题意知,甲包括休息时间在内30分钟走250×10=2500米,而乙30分钟走30×100=3000(米),即前面每30分钟乙比甲多走3000-2500=500(米),但最后的10分钟,甲比乙多走250×10-100×10=1500(米),所以共行了1500÷500×30+10=100(分钟),故AB两地相距100×100=10000(米)

11、40千米

张的速度为8×60÷20=24(千米),李的速度为24-4=20(千米),而李从甲到乙的时间为8÷4=2(小时)所以甲、乙两地的距离为2×20=40(千米)

13.3流水行船问题

[同步巩固演练]

1、5小时

160÷(27+5)=5(小时)

2、3千米

270÷9-27=3(千米)

3、140千米

(25-5)×7=140(千米)

4、13千米

100÷4-6×2=13(千米)

5、36小时

120000÷(7500+2500)+120000÷(7500-2500)=36(小时)

6、8小时

逆水速度为176÷11=16(千米),水流速度为19-16=3(千米),从B港返回A港时间是176÷(19+3)=8(小时)

7、16千米/时,4千米/时

因为3×顺水速度=5×逆水速度,顺水速度是20千米/时,所以逆水速度为20×3÷5=12(千米/时)船速为(20+12)÷2=16(千米/时),水速为(20-12)÷2=3(千米/时) 8、18千米

(660-396)÷8-15=18(千米/时)

9、5600米

3小时30分=210(分),顺水速度是逆水速度的:(60+20)÷(60-20)=2(倍),顺水行的时间为:210÷(2+1)=70(分),从上游港口到下游某地共走了:(60+20)×70=5600(米)

10、4小时

113

逆水速度为88÷11=8(千米/时),顺水速度为15+(15-8)=22(千米/时),返回时间为88÷22=4(小时)

11、16千米、4千米

逆水速度为120÷10=12(千米/时),顺水速度为120÷6=20(千米/时),船速为(12+20)÷2=16(千米/时),水速为(20-12)÷2=4(千米/时)

12、8小时

顺水速度为432÷16=27(千米/时),逆水速度为27-9=18(千米/时),多用时间为432÷18-16=8(小时)

13、20小时

顺水速度为198÷9=22(千米/时),逆水速度为22-2×2=18(千米/时),逆水行驶时间为198÷18=11(小时)往返共需时间为11+9=20(小时)

14、20千米

逆水速度为144÷12=12(千米/时),水速为16-12=4(千米/时),顺水速度为16+4=20(千米/时)

15、22千米,4千米

顺水速度234÷9=26(千米/时),逆水速度为234÷13=18(千米/时),船速为(26+18)÷2=22(千米/时)水速为(26-18)÷2=4(千米/时)

16、64小时

逆流航行时间为(35+5)÷2=20(小时),顺流航行时间为35-20=15(小时),顺水速度为360÷15=24(千米/时),逆水速度为360÷20=18(千米/时),水速为(24-18)÷2=3(千米/时),所以机帆船往返两港要360÷(12+3)+360÷(12-3)=64(小时) 17、8小时

船在静水中速度为152÷8-3=16(千米/时),112÷(16-2)=8(小时)

18、4小时

水速15-72÷6=3(千米/时),72÷(15+3)=4(小时)

19、120千米

(28-4×2)×6=120(千米)

[能力拓展平台]

1、11小时

(18+4)×2÷(22-18)=11(小时)

2、6小时

船速为133÷7-3=16(千米/小时),还要航行84÷(16-2)=6(小时)

3、16小时

顺水速度为480÷12=40(千米/小时),船速为40-6=34(千米/小时),逆水速度为34-4=30(千米/小时),沿岸返回原地需要的时间为480÷30=16(小时)

4、2千米

涨水前顺水船速48÷3=16(千米/小时),船在静水中速度为16-4=12(千米/小时),涨水后逆水速度为48÷8=6(千米/小时),涨水后的水速12-6=6(千米/小时)涨水后水速增加6-4=2(千米/小时)

5、18千米/小时,12千米/小时

速度为90÷3=30(千米/小时),速度差为90÷15=6(千米/小时)甲船速为(30+6)÷2=18(千米/小时),乙船速为30-18=12(千米/小时)

6、9小时

乙船顺速为120÷2=60(千米/小时),乙船逆速为120÷4=30(千米/小时 ),水速(60-30) 114

÷2=15(千米/小时),甲船顺水速度为120÷3=40(千米/小时),甲船逆水船速为40-15×2=10(千米/小时),返回时用120÷10=12(小时)多用了12-3=9(小时)

7、3小时

船速为1000÷4=250米/分,相遇时间45000÷250=180(分)=3(小时)

8、60千米

顺水速度为48÷4=120(千米/时),逆水速度为48÷6=8(千米/时),水速为(12-8)÷2=2(千米/时),船从A港到B港所用时间为72÷12=6(时),木块顺水漂流的距离为2×6=12(千米),木块离B港的距离为72-12=60(千米)

9、6小时,42小时

本题关键是想到同向而行的路程差即为A、B两港的距离。336÷(24+32)=6(小时), 336÷(32-24)=42(小时)

10、9小时

比较可得顺水行8千米的时间=逆水行4千米的时间,顺水行32千米相当于逆水行16千米,因此逆水速度:(16+16)÷8=4(千米/小时)顺水速度为:4×2=8(千米/小时)24÷8+24÷4=9(小时)

11、不等

设甲、乙两码头相距10千米,船速为每小时3千米,则10÷(1+3)+10÷(3-1)=7.5(小时)?1日用的时间,10÷(2+3)+10÷(3-2)=12(小时)?2日用的时间,7.5≠12 12、10小时

由顺水36千米,逆水12千米所用时间与顺水20千米、逆水20千米所用时间相等,发现顺水16千米所用时间与逆水8千米所用时间相等:(36-20)÷(20-12)=2,所以逆水12千米所用时间相当于顺水24千米所用时间,顺水(36+24)=60(千米)所用时间为10小时,即1小时可顺水6千米或逆水3千米,因此,顺水12千米,逆水24千米所用时间为: 12÷6+24÷3=10(小时)

13.4火车过桥问题

[同步巩固演练]

1、25秒

(180+320)÷20=25(秒)

2、25秒

(150+300)÷18=25(秒)

3、162米

火车速度为468÷(35-9)=18(米/秒),火车长为18×9=162(米)

4、208

火车速度为546÷(29-8)=26(米/秒),火车全长为26×8=208(米)

5、10秒

因为是两列车相向而行,因此总路程就是两列车的车长和。(130+250)÷(23+15)=10(秒)

6、80米,56米

两列车齐头行进,快车超过慢车,总距离应是快车的车长;两列车车尾相齐行进,总距离应是较慢列车的车长。10×(18-10)=80(米)?快车长,7×(18-10)=56(米)?慢车长

7、1米/秒

客车通过人,总距离应是客车的车长。135÷15=9(米/秒)?速度差,36千米/小时=10(米/秒)?客车速度,10-9=1(米/秒)

115

8、352米

车速638÷(45-16)=22(米/秒),车长22×16=352(米)

9、7秒

147÷(3+18)=7(秒)

10、17分钟

(6700+100)÷400=17(分钟)

11、14米/秒

步行速度120÷60=2(米/秒),火车速度144÷9-2=14(米/秒)

[能力拓展平台]

1、9秒

360÷12=30(米/秒)?快、慢车速度和,270÷30=9(秒)

2、10米/秒,138米

火车原速(222-102)÷(18×2-24)=10(米/秒),火车长10×24-102=138(米) 3、72千米/时

[40×(51-1)+400]÷2×60÷1000=72(千米/时)

4、53秒

(125+140)÷(22-17)=53(秒)

5、18辆

这是一道列车过桥问题的反问题,解本题的关键是先求出桥与队伍的总长度。4×115-200=260(米)?队伍长,(260-5)÷(10+5)+1=18(辆)

[全讲综合训练]

1、180米

(2+2×2)×30=180(米)

2、100千米

甲追乙用时4×5÷(5-4)=20(小时),5×20=100(千米)

3、66千米

3×2÷(12-10)×(12+10)=66(千米)

4、12小时

5×2÷(6+12-8)+5=6(千米),4×2÷(6-4)=4(小时)8+4=12(小时)

5、23千米,5千米

顺水速度为每小时:252÷9=28(千米),逆水速度为每小时:250÷14=18(千米) 船速为每小时;(28+18)÷2=23(千米),水流速度为每小时:(28-18)÷2=5(千米)。 6、140千米。

逆水航行7小时的距离为:(27-7)×7=140(千米)

7、3000米

平时小玲到校用时为30分钟,明天要提前6分钟,如果还是6:50出发,那么用时30-6=24分钟。

因为每分钟多走25米,所以24分钟多走了25×24=600米。因为家到学校的距离没变,所以平时走600米用了6分钟,平时速度为每分钟600÷6=100米。所以小玲家到学校距离为100×30=3000米。

8、240米,208米

如图所示,两车齐头出发行30秒,至车尾离开开头,旅游列车比普通列车多行了一自身的车长,旅游车车长(26-18)×30=240(米)

116

两车齐尾出发行26秒至车尾离开车头,旅游列车比普通列车多行了一个普通列车的车长,普通列车的车长(26-18)×26=208(米)

9、2400米

此题可把它看作追及问题。一人速度为每分钟走60米,先走8了分钟。另一人以(60+15)米每分钟的速度前去追,结果同时到达,追及时间:60×8÷15=32(分钟),全程60×(32+8)=2400(米)

10、5小时

快车从上午5时到下午3时共行10小时,速度为480÷10=48(千米/时),相遇时快车走了6×48=288(千米),慢车速度为(480-288)÷6=32(千米/小时),当快车到达乙站慢车要继续行驶(480-32×10)÷32=5(小时)

11、30千米,90千米

(18+9)÷(18-9)=3,9÷[12+12÷(3-1)]×60=30(千米),30×3=90(千米) 12、6分钟

设人速度为x,车速度为y。

12-(y-x)=4(x+y)

12y-12x=4x+4y

8y-12x=4x

8y=16x

y=2x

把y=2x代入原式,12(2x-x)÷2x=6

13、4分钟

设步行人的速度为x,骑车人的速度为y。

10(y- x)=20(y- 3x)

10y-10x=20y-60x

10y=50x

y=5x

把y=5x代入原式,10(5x-x)÷5x=4

14、8点20分

720÷60=12(米/秒),140÷10-12=2(米),140÷20=7(米),12-7=5(米),720×5-5×5×60=2100(米),2100÷(2+5)=300(秒)=5(分),15+5=20(分)。

15、360米

117

1.8×2-1.1×3=0.3(米),30÷0.3=100,1.8×2×100=360(米)

16、6千米,2千米

(56-40)÷(28-20)=2,,顺水速度为每小时:(56+20×2)÷12=8(千米),逆水速度为每小时:20÷(12-56÷8)=4(千米),船速为每小时:(8+4)÷2=6(千米),水速为每小时:8-6=2(千米)

17、9小时

乙船顺水速度是每小时:120÷2=60(千米),逆水速度是每小时:120÷4=30(千米),所以,水流速度是每小时:(60-30)÷2=15(千米),甲沿顺水速度是每小时:120÷3=40(千米),逆水速度是每小时:40-15×2=10(千米),所以,甲船逆水航行时间为:120÷10=12(小时),甲船返回原地比去时多用:12-3=9(小时)

18、8550米

(25+20)×10=450(米),450÷(22.5-20)=180(分),(22.5+20)×180=8550(米) 19、210米

36千米=36000米,36000÷60÷60=10(米/秒),3.6千米=3600米,3600÷60÷60=1(米/秒),10×10+21×1=121(米),121÷(21-10)=11(米/秒),(11+10)×10=210(米) 20、37秒

如果蚂蚁都不调头,相遇需600÷(44+56)=6(秒)。蚂蚁先向前爬1秒,再向后爬3秒;然后向前爬5秒,再向后爬7秒;然后向前爬9秒,再向爬11秒。即由出发点向后爬了11-9+7-5+3-1=6(秒),因此再调头爬6+6=12(秒),两只蚂蚁相遇,这时已经爬了1+3+5+7+9+12=37(秒)。

21、4辆

4÷1×2+1=9(辆),4÷1=4(辆)

22、55分

5×(10+1)=55

23、狗能取胜

50÷2×2=50(步),(50÷3)+1=17(步),17×2×3>50,所以狗能取胜。 2

24、13.4分

5.2÷3×60=104(分),5.2÷20×60=15.6(分),1+2+3+4+5+0.6=15.6,1+15+2+15+3+15+4+15+5+15+0.6=90.6(分),104-90.6=13.4(分)

25、小强能取胜

(1.5-1)÷0.1=5,5×2+1=11(秒)

前5秒小江比小强跑得快,6~11秒小强比小江快,第11秒时两人都跑了1.5×11=16.5(米),此后小强快于小江,所以小强能取胜。

26、1760秒

行人速度为11÷1-8=3(米),汽车行驶3200米需3200÷8=400(秒),汽车从乙地出发时,行人距乙地3200+3×(400+60×5)=5300(米),汽车追行人需要5300÷(8-3)=1060(米),故汽车从遇到行人到追上行人经过400+300+1060=1760(秒)

27、18小时

暴雨后水速增加180÷9-180÷10=2(千米/小时),暴雨后逆水船速为180÷15-2=10(千米/小时),所以需用时180÷10=18(小时)

28、12.5秒

顺风速度为90÷10=9(米/秒),逆风速度为70÷10=7(米/秒),跑100米用时为100÷8=12.5(秒)

118

29、7小时

(418+36×2)÷(36+34)=7(小时)

30、2小时43分

5时36分=336分,336÷(15+40)=6?6,40×6+6=246(分),246÷2=123(分) 123÷30=4?3,(30+10)×4+3=163(分)=2时43分

31、23次

甲60(=120×2÷4)秒跑一个来回,乙48(=122×2÷5)秒跑一个来回,因此在240秒(60与48的最小公倍数是240)中,甲跑4个来回,乙跑5个来回,两人相遇9次(乙每跑一个120米,与甲相遇一次,第5次恰好在甲的出发点追上甲)。两人在240秒中共相遇9次,而10分=600秒。600÷240=2?120(秒),9×2+5=23(次)。

32、11倍

55÷(10÷2)=11

33、9:18

乙走2小时的路,甲、乙共走需要:2÷(1.5+1)=0.8(小时)=48(分)。相遇时刻为9:18。

34、ED边

小李和小赵从同一点沿侧时针行走,小李追上小赵,需比小赵多行一圈也就是16×5=80(米),小李和小赵速度差是75-55=20(米),小李追上小赵需80÷20=4(分),此时小李行了75×4=300(米),300÷80=3(圈)?60(米),60÷18=3(条)?6(米),小李追上小赵行了3圈又3条边还余6米,追上小赵在ED边上。

35、24千米

由题意知船还为2+2×2=6(千米/小时),甲流从甲到乙用时12÷(6+2)=1.5(小时),则从乙丙,再逆流从丙到乙用时为6-1.5=4.5(小时),顺流从乙到丙用时4.5÷(2+1)=1.5(小时),所以甲丙相距(6+2)×1.5×2=24(千米)

36、28分钟

两条虫子如果不往回爬,相遇时只需时间280÷(28+42)=4(分)。虫子往前爬1分钟,

掉头反向爬2分钟,再向前爬3分钟,此时实为向前又进1分钟;

掉头反向爬4分钟,再向前爬5分钟,此时实为向前又进1分钟;

??

直到向前爬7分钟时,刚好同时前进4分钟,两虫相遇。

相遇所需时间为1+2+3+4+5+6+7=28(分)

37、600米

100×2×3÷(2-1)=600(米)

38、76千米/小时,120米

设火车速度是x。48(x-67)=6(x-4),解得x=76

(76-67)×1000×48=120(米) 3600

39、8:11

车速每小时60千米,也就是每分钟1千米,车行几分钟就走几千米。

8:32 8:39 化肥厂 第二辆 第一辆 119

上图是两辆车在8:32时和8:39时的示意图。图中阴影部分是两辆车之间的距离,因为速度一样,距离不变,到8:39,第一辆车离开化肥厂和距离是第二辆车的两倍,因此: 两车距离=8:39第二辆车离厂距离

=8:32第二辆车离厂距离+7千米

=两车距离的一半+7千米

也就是说8:39时两车的距离是14千米,第一辆已经走了28千米,从化肥厂开出28分钟,因此第一辆汽车是8:11离开化肥厂。

40、甲64(米/分),乙56(米/分)

因为甲、乙的速度和为:180÷1.5=120(米/分),甲、乙的速度之差为:32÷4=8(米/分)。

故甲速为:(120+8)÷2=64(米/分),乙速为:(120-8)÷2=56(米/分)

41、15.5分钟

500×5-300×6=700(米)2100-700×2=700(米)

700÷(500-300)=3.5(分)6+6+3.5=15.5(分)

42、11小时

分析结果如下表

5×2+1=11(小时)

43、504千米

6:6.5=12:13,3.5×13=45.5(千米),6:5.5=12:11,3.5×11=38.5

(千米),45.5+38.5=84(千米),84×6=504(千米)

44、190秒

列车速度(250-210)÷(25-23)=20(米/秒),

列车长20×25-250=250(米),

列车与货车从相遇到离开需要(250+320)÷(20-17)=190(秒)

45、48.4秒

前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米,这一半时间为396÷(5+4)=44(秒), 后一半时间跑的路程4×44=176(米),与后一半路程相差396÷2-175=22(米),还需时间22÷5=4.4(秒),行后一半路程所需时间44+4.4=48.4(秒)。

46、17秒

当甲追赶15米时需15÷(5-4)=15(秒),这时甲跑了15×5÷(20+15)=2?5,乙跑了15×4÷20+15)=1?25,即甲到出发点前5米;乙到甲出发点20-10=10(米),甲离A点15-5=10(米),10÷5=2(秒)

47、7倍

汽车10分钟走的路程,自行车要走10×2=20(分钟)和人步行10分钟,又知骑车人的速度是步行人的3倍,所以汽车的速度是人步行速度的3+3+1=7(倍)

120

121

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