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小学数学奥数基础教程(五年级)--30

发布时间:2013-12-02 15:29:23  

小学数学奥数基础教程(五年级)

本教程共30讲

抽屉原理(二)

例1把一个长方形画成3行9列共27个小方格,然后用红、蓝铅笔任意将每个小方格涂上红色或蓝色。是否一定有两列小方格涂色的方式相同?

分析与解:将9列小方格看成9件物品,每列小方格不同的涂色方式看成不同的抽屉。如果涂色方式少于9种,那么就可以得到肯定的答案。涂色方式共有下面8种:

9件物品放入8个抽屉,必有一个抽屉的物品数不少于2件,即一定有两列小方格涂色的方式相同。

例2在任意的四个自然数中,是否总能找到两个数,它们的差是3的倍数? 分析与解:这道题可以将4个自然数看成4件物品,可是却没有明显的抽屉,这就需要根据题目构造合适的抽屉。

因为题目要求两个数的差是3的倍数,当两个数除以3的余数相同时,这两个数的差一定是3的倍数,所以将自然数按除以3的余数分类,可以分为整除、余1、余2三类,将这三类看成3个抽屉。4件物品放入3个抽屉,必有一个抽屉中至少有2件物品,即4个自然数中至少有2个数除以3的余数相同,它们的差是3的倍数。

所以,任意的四个自然数中,总能找到两个数,它们的差是3的倍数。 例3 从1,3,5,7,…,47,49这25个奇数中至少任意取出多少个数,才能保证有两个数的和是52。

分析与解:首先要根据题意构造合适的抽屉。在这25个奇数中,两两之和是52的有12种搭配:

{3,49},{5,47},{7,45},{9,43},

{11,41},{13,39},{15,37},{17,35},

{19,33},{21,31},{23,29},{25,27}。

将这12种搭配看成12个抽屉,每个抽屉中有两个数,还剩下一个数1,单独作为一个抽屉。这样就把25个奇数分别放在13个抽屉中了。因为一共有13个抽屉,所以任意取出14个数,无论怎样取,至少有一个抽屉被取出2个数,这两个数的和是52。所以本题的答案是取出14个数。

例4在下图所示的8行8列的方格表中,每个空格分别填上1,2,3这三个数字中的任一个,使得每行、每列及两条对角线上的各个数字的和互不相等,能不能做到?

分析与解:在8行8列的方格表中,8行有8个和,8列也有8个和,2条对角线有2个和,所以一共有8+8+2=18(个)和。因为题目问的是,这18个和能否互不相等,所以这18个和是物品,而和的不同数值是抽屉。

按题目要求,每个和都是由1,2,3三个数中任意选8个相加而得到的。这些和中最小的是8个都是1的数相加,和是8;最大的是8个都是3的数相加,和是24。在8至24之间,不同的和只有24-8+1=17(个)。将这17个不同的和的数值作为抽屉,把各行、列、对角线的18个和作为物品。把18件物品放入17个抽屉,至少有一个抽屉中的物品数不少于2件。也就是说,这18个和不可能互不相等。

例5用1,2,3,4这4个数字任意写出一个10000位数,从这个10000位数中任意截取相邻的4个数字,可以组成许许多多的四位数。这些四位数中至少有多少个是相同的?

分析与解:猛一看,谁是物品,谁是抽屉,都不清楚。因为问题是求相邻的4个数字组成的四位数有多少个是相同的,所以物品应是截取出的所有四位数,而将不同的四位数作为抽屉。

在10000位数中,共能截取出相邻的四位数10000-3=9997(个), 即物品数是9997个。

用1,2,3,4这四种数字可以组成的不同四位数,根据乘法原理有4×4×4×4=256(种),

这就是说有256个抽屉。

9997÷256=39……13,

所以这些四位数中,至少有40个是相同的。

练习30

1.红光小学每周星期一、三、五、六各举办一种课外活动,问:至少要有多少学生报名参加,才能保证其中至少有3位学生所参加的课外活动完全一样?

2.任意取多少个自然数,才能保证至少有两个数的差是7的倍数?

3.在前10个自然数中,至少取多少个数,才能保证其中有两个数的和是10?

4.右图是一个5行5列的方格表,能否在每个方格中分别填上1,2,3中的一个数,使得每行、每列及两条对角线上的五个方格中的数字之和互不相同?

5.要把85个球放入若干个盒子中,每个盒子中最多放7个。问:至少有几个盒子中放球的数目相同?

6.至少取出多少个真分数,才可以保证其中必有两个真分数之差小于

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