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培优竞赛新方法九年级第5讲——明快简捷

发布时间:2013-12-03 09:21:24  

第五讲 明快简捷

—构造方程的妙用

知识纵横

有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关,但是如果我们能构造一元二次方程,那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题,构造一元二次方程的常用方法是:

1.利用根的定义构造

当已知等式具有相同的结构,就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根.

2.利用韦达定理逆定理构造 若问题中有形如x?y?a,xy?b的关系式时,则x、y可看作方程z2?az?b?0的两实根.

3.确定主元构造

对于含有多个变元的等式,可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程.

成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的;成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果.

注: 许多数学问题表面上看难以求解,但如果我们创造性地运用已知条件,以已知条件为素材,以所求结论为方向,有效地运用数学知识,构造出一种辅助问题及其数学形式,就能使问题在新的形式下获得简解,这就是解题中的“构造”策略,构造图形,构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法.

例题求解

【例1】若实数x满足yyxx??1,??1,则x?y?_____. 222233333?43?65?45?6

(全国初中数学联赛题)

思路点拨 直接解方程组难度较大,变更主元,将3、5看做某一个一元二次方程的两根,构造方程解。

【例2】设a?1?3a,b?1?3b,且a?b,则代数式223311?的值为() 22ab

A.5 B.7 C.9 D.11

(全国初中数学联赛题)

思路点拨 这两个方程具有相同的结构,从利用构造方程入手。

24

【例3】 已知实数a、b满足a?ab?b?1,且t?ab?a?b,求t的取值范围.

(“TI杯”全国初中数学竞赛题) 思路点拨 由两个等式可求出a?b、ab的表达式,这样既可以从配方法入手,又能从构造方程的角度去探索,有较大的思维空间.

【例4】 已知实数a、b、c满足a?b?c?2,abc?4.

(1)求a、b、c中最大者的最小值;

(2)求a?b?c?3的最小值.

(“TRULY信利杯” 全国初中数学竞赛题)

思路点拨 不妨设a≥b,a≥c,由条件得b?c?2?a,bc?22224.构造以b、c为实根的一a

元二次方程,通过△≥0探求a的取值范围,并以此为基础去解(2).

【例5】 求方程xy?9x?y?12xy?9的非负整数解

(江苏省竞赛题)

分析 把原方程化为关于x的一元二次方程,从判别式入手。

三角形内接平行四边形

【例6】如图,某人用一张面积为S的三角形纸片ABC,剪出一个平行四边

形DEFG,求证:S□DEFG?

22221S。 2 25

学历训练

1.设 x1、x2是方程x?2(k?1)x?k?2?0的两个实根,且(x1?1)(x2?1)?8,则k的值是 。

2.在Rt△ABC中,斜边AB=5,已知BC、AC是一元二次方程x?(2m?1)x?4(m?1)?0的两个根,则m的值是 .

(四川省竞赛题)

3.已知a、b满足是非负实数,且

4.若实数a、b满足等式a?7?3a,b?7?3b,则代数式222221111b,???0,则的值为 . aaba?baba?的值为( ) ab

A.?23232323 B. C.2或- D. 2或- 7777

(广东省竞赛题)

5.已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若S△AOB=4,S△COD=9,则四边形ABCD的面积S的最小值为( )

A.21 B. 25 C.26 D. 36

(天津市中考题)

6. 设a?7?1,则代数式3a?12a?6a?12的值为( 22)

A.24 B.25 C.4?10 D. 47?12

(2011年“《数学周报》”全国初中数学竞赛题)

7.(1)对于任意给定的一个矩形C,是否存在另一个矩形,使得它的周长和面积都是矩形C的2倍?说明你的理由。

(2)当实数m 是什么值时,对于任何一个矩形C都存在另一个矩形,它的周长和面积都是矩形的m倍?证明你的结论。

(台州市中考题)

8.已知x和y是正整数,并且满足条件xy?x?y?71,xy?xy?880,求x?y的值. 2222

26

(第14届江苏省竞赛题)

能力拓展

9.已知3m?2m?5?0,5n?2n?3?0,其中m、n为实数,则m?221= n

(第15届江苏省竞赛题)

10.已知a为实数,且使关于x的一元二次方程x?ax?a?0有实数根,则x所能取到的最大值是 。

(山东省竞赛题)

11.已知5x?2y?2xy?14x?10y?17?0,则x,y

22222212. 已知实数a?b,且满足(a?1)?3?3(a?1),3(b?1)?3?(b?1),则b

的值为 。 ba?aab

(全国初中数学竞赛题) 13.已知a、b、c均为实数,且a?b?c?0,abc?2,求a?b?c的最小值.

14.已知a、b为实数,且a?ab?b?3,若a?ab?b的最大值时m,最小值是n,求m+n的值。

(天津市竞赛题)

2222

综合创新

15.如图,已知△ABC和平行于BC的直线DE,且△BDE的面积等于定值k2,那么当k2与△BDE之间满足什么关系时,存在直线DE,有几条

?

27

16.已知a、b、c时整数,满足c?0,a?b?3,c?2c?ab??2,若关于x的方程2

dx2?(c?d)x?ab?d?0的解只有一个值,求d的值。

(武汉市竞赛题)

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