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2012年全国初中数学竞赛试题及答案_河南赛区

发布时间:2013-12-03 09:21:27  

2012年全国初中数学竞赛预赛

试题及参考答案

一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.在1,3,6,9四个数中,完全平方数、奇数、质数的个数分别是( )

(A)2,3,1 (B)2,2,1 (C)1,2,1 (D)2,3,2

2.已知一次函数y?(m?1)x?(m?1)的图象经过一、二、三象限,则下列判断正确的是( )

(A)m??1 (B)m??1 (C)m?1 (D)m?1

3全新的扑克牌,其中黑桃、红桃各2张,它们的背面都一样,将它们洗匀后,背面朝上放到桌面上,从中任意摸出2张牌,摸出的花色不一样的概率是( )

(A)1321 (B) (C) (D) 3432

4平面直角坐标系中,点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(?3,?3),点C是y轴上一动点,要使△ABC为等腰三角形,则符合要求的点C的位置共有( )

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

5、若直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有( C)

A、ab=h ; B、1111112 22+= ; C、2+2=2 ; D、a+b=2h abhabh

y6、 如图,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿 BC、CD、DA运动至点A停止,设点P运动的路程为x,

△ ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所

△ 示,则△ABC的面积是( )

A、10 B、16 C、18 D、20 DPO49x

二、填空题(共6小题,每小题6分,共36分)

7、若m?n?2,则2m2?4mn?2n2?1的值为

8、方程112??的解是

(x?1)(x?2)(x?2)(x?3)3第10题图 9、如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标是(1,0), 若点A的坐标为(a,b),将线段BA绕点B顺时针旋转 90°得到线段BA?,则点A?的坐标是.

1

10、已知α、β是方程x2?2x?1?0的两根,则?3?5??10的值为.

11、现有145颗棒棒糖,分给若干小朋友,不管怎样分,都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上,这些小朋友的人数最多有 个.

12、 如上右图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点

P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;

BD

CE②PQ∥AE;③AP=BQ; ④DE=DP;⑤∠AOB=60°.

恒成立的结论有_______________________(把你认为

正确的序号都填上)。 A三、解答题(第13题15分,第14题15分,第15题18分,共48分)

13、王亮的爷爷今年(2012年)80周岁了,今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和,问王亮今年可能是多少周岁?

2

14、如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(4,3).平行于对

角线AC的直线m从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N,直线m运动的时间为t(秒). ..

(1) 点A的坐标是__________,点C的坐标是__________;

(2) 当秒或MN=1AC; 2

(3) 设△OMN的面积为S,求S与t的函数关系式;

3

15、已知实数a、b满足a2+2a=2,b2+2b+2,求

4 11+的值。 ba

16、甲、乙两个蔬菜基地,分别向A、B、C三个农贸市场提供同品种蔬菜,按签订的合同规定向A提供45吨,向B提供75吨,向C提供40吨。甲基地可安排60吨,乙基地可安排100吨。甲、乙与A、B、C的距离千米数如表1,设

5

1、【答】A.

解:完全平方数有1,9;奇数有1,3,9;质数有3. 2、【答】C.

解:一次函数y?(m?1)x?(m?1)的图象经过一、二、三象限,说明其图象与y

?m?1?0,轴的交点位于y轴的正半轴,且y随x的增大而增大,所以? 解得m?1.

m?1?0.?

3、【答】B.

解:从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能,摸出的2张牌花色不一样的有

42

4种可能,所以摸出花色不一样的概率是?.

63

4、【答】D.

解:由题意可求出AB=5,如图,以点A为圆心AB 的长为半径画弧,交y轴于C1和C2,利用勾股定理可求

第5题图 出OC1=OC2

?C1(0,2),C2(0,?26), 以点B为圆心BA的长为半径画弧,交y轴于点C3和C4, 可得C3(0,1),C4(0,?7),AB的中垂线交y轴于点C5,利用 三角形相似或一次函数的知识可求出C5(0,?

5、C 6、A 7、【答】7.

解:2m2?4mn?2n2?1?2(m?n)2?1?2?22?1?7 8、【答】x1?0,x2??4. 解:

111111

?????

(x?1)(x?2)(x?2)(x?3)x?1x?2x?2x?3112??. x?1x?3(x?1)(x?3)

17). 6

?

22

?,解得 x1?0,x2??4.

(x?1)(x?3)3

9、【答】(b?1,?a?1).

6

解:分别过点A、A?作x轴的垂线,垂足分别

为C、D.显然Rt△ABC≌Rt△BA?D. 由于点A的

坐标是(a,b),所以OD?OB?BD?OB?AC?1?b,A?D?BC?a?1,所以点的A?坐标是(b?1,?a?1).

10、【答】?2.

解:∵α是方程x2?2x?1?0的根,∴?2?1?2?.

∴ ?3??2???(1?2?)????2?2???2(1?2?)?5??2,

又 ∵?????2,

∴ ?3?5??10?(5??2)?5??10?5(???)?8=5?(?2)?8??2.

11、【答】36.

解:利用抽屉原理分析,设最多有x个小朋友,这相当于x个抽屉,问题变为把145颗糖放进x个抽屉,至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则4x?1≤145,解得x≤36,所以小朋友的人数最多有36个.

12、(1)(2)(3)(5)

13设王亮出生年份的十位数字为x,个位数字为y(x、y均为0 ~ 9的整数).∵王亮的爷爷今年80周岁了,∴王亮出生年份可能在2000年后,也可能是2000年前.故应分两种情况: …………………2分

(1)若王亮出生年份为2000年后,则王亮的出生年份为2000?10x?y,依题意,得 201?2

整理,得 y?,(20?00x?1y0?)?2?x0?y x、y均为0 ~ 9的整数, 10?11x,2

∴x?0. 此时y?5.

∴王亮的出生年份是2005年,今年7周岁.…………………8分

(2)若王亮出生年份在2000年前,则王亮的出生年份为1900?10x?y,依题意,得 201?2,(19?00x?1y0?)?1?x9?y

102?11x102?11x,0≤≤9, 22整理,得 11x?102?2y,故x为偶数,又y?

∴ 77≤x≤9, ∴ x?8. 此时y?7. 11

∴王亮的出生年份是1987年,今年25周岁. …………………14分

7

综上,王亮今年可能是7周岁,也可能是25周岁.……………15分

………………………………15分

…………………18分

14、解:(1)(4,0),(0,3); ························································································· 2分

(2) 2,6; ···················································································································· 4分

(3) 当0<t≤4时,OM=t.

由△OMN∽△OAC,得

∴ ON=OMON, ?OAOC33······································· 6分 t,S=t2. ·48

当4<t<8时,

如图,∵ OD=t,∴ AD= t-4.

方法一:

33······························· 7分 (t?4),∴ BM=6-t. ·44

4由△BMN∽△BAC,可得BN=BM=8-t,∴ CN=t-4. ······································· 8分 3由△DAM∽△AOC,可得AM=

S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积- Rt△MBN的面积- Rt△NCO的面积 3133(6-t)-(t?4) (t?4)-(8-t)2224

3=?t2?3t. ······································································································ 10分 8=12-

方法二:

易知四边形ADNC是平行四边形,∴ CN=AD=t-4,BN=8-t. ······································ 7分 由△BMN∽△BAC,可得BM=

以下同方法一.

333··················· 8分 BN=6-t,∴ AM=(t?4). ·444

8

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