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培优竞赛新方法九年级第3讲——第三讲 充满活力的韦达定理

发布时间:2013-12-03 09:21:29  

第三讲 充满活力的韦达定理

知识纵横

一元二次方程的根与系数的关系,通常也称为韦达定理,这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.

韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容,应用广泛,主要体现在:

运用韦达定理,求方程中参数的值;

运用韦达定理,求代数式的值;

利用韦达定理并结合根的判别式,讨论根的符号特征;

利用韦达定理逆定理,构造一元二次方程辅助解题等.

韦达定理具有对称性,设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路.

韦达定理,充满活力,它与代数、几何中许多知识可有机结合,生成丰富多彩的数学问题,而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法.

例题求解

【例1】(1)已知x1x2是方程2x?2x?1?3m?0的两个实数根,且x1?x2?2(x1?x2)?0,那么实数m的取值范围是_________

(河南省中考题)

(2) 已知?、?是方程x2?x?1?0的两个实数根,则代数式?2??(?2?2)的值为 . 2

(绍兴市竞赛题)

思路点拨 对于(1),运用根与系数关系建立m的不等式,但要注意判别式的制约;对于(2) 所求代数式为?、

【例2】如果方程(x?1)(x2?2x?m)?0 的三根可以作为一个三角形的三边线之长,那么,实数m的取值范围是( )

A.0?m?1 B.m??的非对称式,通过根的定义、一元二次方程的变形转化为基本对称式解。 333 C.?m?1 D.?m?1 444

(全国初中数学联赛题)

思路点拨 设方程的根分别为1、x1/x2,由三角形三边关系定理、韦达定理建立m的不等式组。

12

m2

【例3】 已知关于x的方程:x?(m?2)x??0 4

(1)求证:无论m取什么实数值,这个方程总有两个相异实根. 2

(2)若这个方程的两个实根x1、x2满足x2?x1?2,求m的值及相应的x1、x2.

(苏州市中考题)

思路点拨 对于(2),先判定x1、x2的符号特征,并从分类讨论入手.

【例4】 设x1、x2是方程2x2?4mx?2m2?3m?2?0的两个实数根,当m为何值时,x12?x22有最小值?并求出这个最小值.

(第16届江苏省竞赛题)

思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示,再从配方法入手,应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的.

注:应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根,即应用韦达定理解题时,须满足判别式△≥0这一条件,转化是一种重要的数学思想方法,但要注意转化前后问题的等价性. 根的分布

【例5】a、b、c为实数,ac<0,且2a?3b?5c?0,证明一元二次方程ax?bx?c 2

有大于3而小于 1 的根。 5

(全国初中数学联赛题)

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学历训练

基础务实

1.方程x?2x?1?0的两个实数根分别为x1,x2,则(x1?1)(x2?1)?

(烟台市中考题)

2.已知关于x的方程x?4x?a?0有两个实数根,且2x1?x2?7,则a? .

(淮安市中考题)

223.设x1、x2是方程x?4x?3?0 的两个根,且2x1(x2?5x2?3)?a?2, 则a?__________. 22

(南通市中考题)

2224.关于x的一元二次方程x?mx?2m?1?0的 两个实数根分别是x1,x2,且x1?x2?7,则(x1?x2)的2

值是 ( )

A.1 B.12 C.13 D.25

(包头市中考题)

5.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,a、b是关于x的方程x2?7x?c?7?0的两根,那么AB边上的中线长是( )

A.35 B. C.5 D.2 22

26.若关于x的方程2x?2x?3m?1?0有两个实数根x1,x2,且x1x2?x1?x2?4,则实数m的取值范围

是( )

A.m??51551 B.m? C.m?? D.??m? 32332

(天津市中考题)

7.已知关于x的一元二次方程x?2x?3m?1?0有两个实数根 x1,x2 。

(1)求实数m的取值范围。

22(2)当x1?x2?0时,求m的值。 2

(毕节市中考题)

14

8.已知关于x的方程x?x?p?1?0有两个实数根x1x2..

(1) 求p的取值范围;

(2)若[2?x1(1?x1)][2?x2(1?x2)]?9,,求p的值.

(孝感市中考题) 2

能力拓展

9.已知方程x2?px?q?0的两根均为正整数,且p?q?28,那么这个方程两根为

(“祖冲之杯”邀请赛)

,且关于x的一元二次方程67x2?px?q?0的两个根均为正整数,10.已知整数p,q满足p?q?2010

则p= .

(“新知杯”上海市竞赛题)

11.△ABC的一边长为5,另两边长恰为方程2x2?12x?m?0的两根,则m的取值范围是 . (四川省竞赛题)

12.对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程x2?(n?2)x?2n2?0的两根记为an,bn(n?2), 则111???________. (a2?2)(b2?2)(a3?2)(b3?2)(a2007?2)(b2007?2)

(全国初中数学联赛题)

3213.设x1,x2是方程x2?x?4?0的两个实数根,则x1?5x2?10的值为( )

A.-29 B.-19 C.-15 D.-9

(第21届江苏省竞赛题)

214.若方程?x?px?q?0 的一个跟大一1,另一个根小于1,则p?q的值为 ( )

A.不大于1 B.大于1 C.小于1 D.不小于1

(2011年《数学周报杯》全国初中数学竞赛题)

2215.若ab?1 ,且有5a?2001a?9?0及9b?2001b?5?0,则a的值为( ) b

A.5200192001 B. C.? D.? 9955

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(全国初中数学联赛题) 22216.设a,b为整数,并且一元二次方程x+(2a+b+3)x+(a+ab+6)=0有等根α,而一元二次方程2ax+

(4a-2b-2)x+(2a-2b-1)=0有等根β;那么,以α,β为根的整系数一元二次方程是( )

22A.2x+7x+6=0 B.2x+x-6=0

22C.x+4x+4=0 D.x+(a+b)x+ab=0

(2011年江西省竞赛题)

17.设x1x2时关于x的一元二次方程x?ax?a?2的两个实数根,求(x1?2x2)(x2?2x1)的最大值。 (全国初中数学竞赛题)

2218.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x+(3a-1)x+2a-1=0的两个实数根,其满足(3x1-x2)(x1-3x2)

=-80.求实数a的所有可能值.

(2011四川省竞赛题)

2

综合创新

20、已知关于x的一元二次方程x?cx?a?0的两个整数根恰好比方程x?ax?b的两个根都大1,求22

a?b?c的值。

(2011年“《数学周报》”杯全国初中数学竞赛题)

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