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2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)

发布时间:2013-12-03 10:21:36  

第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)2010

(150分钟)

一、(25分,每小题5分)

(1)设xn=(1+a)(1+a)?(1+a),其中|a|<1,求limxn. n→∞22n

1??x?(2)求lime?1+?。 x→∞?x?

(3)设s>0,求Ix2∫∞

0e?sxxndx(n1,2,?)。

?2g?2g?1?g(x,y)f??,求2+2。 (4)设函数f(t

)有二阶连续导数,r?x?y?r?(5)求直线l1:?0?x?y=x?2与直线l2:4?z=0

=y?1?2=z?3的距离。 ?1二、(15分)设函数f(x)在(?∞,+∞)上具有二阶导数,并且

f′′(x)>0,limf′(x)=α>0,limf′(x)=β<0,且存在一点x0,使得f(x0)<0。 x→+∞x→?∞

=证明:方程f(x)=0在(?∞,+∞)恰有两个实根。

?x2t+t2

三、(15分)设函数y=f(x)由参数方程?(t>?1)所确定,其中ψ(t)具有二阶

?y=ψ(t)

导数,曲线y=ψ(t)与y∫t2

1

ne?udu+23在t=1出相切,求函数ψ(t)。 2e

四、(15分)设an>0,Sn=ak,证明:

k=1∑

(1)当α>1时,级数an收敛; ∑αSn=1n

an发散。 ∑αn=1Sn

222+∞+∞(2)当α≤1且sn→∞(n→∞)时,级数(其中α+β+γ=五、(15分)设l是过原点、方向为(α,β,γ),1)的直线,均匀椭球

x2y2z2

+2+2≤1,其中(0<c<b<a,密度为1)绕l旋转。 2abc

(1)求其转动惯量;

(2)求其转动惯量关于方向(α,β,γ)的最大值和最小值。

六、(15分)设函数?(x)具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上,曲线积分2xydx+?(x)dy的值为常数。 42?∫+xyc

221,证明(1)设L为正向闭曲线(x?2)+y=(2)求函数?(x); 2xydx+?(x)dy=0; 42?∫x+yc

(3)设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求

2xydx+?(x)dy。 42?∫x+yc

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