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2012届九年级(上)数学竞赛试题(含答案)

发布时间:2013-12-03 11:23:06  

九年级(上)数学竞赛试题

本卷满分120分,考试时间120分

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.已知m?1?2,n?1?2,则代数式m2?n2?3mn的值为( )

A.9 B.±3 C.3 D. 5

2.某校安排三辆车,组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动,其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘,则小王与小菲同车的概率为( )

1112A. B. C. D. 3923

3.如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a>2),

半径为2,函数y=x的图象被⊙P的弦AB

的长为a的值是( )

A

.B

.2?

2C

.D

.2 ???x?1??1?x≤3?4.已知函数y??,则使y=k成立的x值恰

2???x?5??1?x>3?

好有三个,则k的值为( )

A.0 B.1 C.2

5.方程(x?x?1)2x?3 D.3 ?1的所有整数解的个数是( )个

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

6.如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,-1),C(-2,-1),D(-1,1).y轴上一点P(0,2)绕点A旋转180°得点P1,点P1绕点B旋转180°得点P2,点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3绕点D旋转180°得点P4,……,重复操作依次得到点P1,P2,…, 则点P2010的坐标是( ).

(A)(2010,2) (B)(2010,?2)

(C)(2012,?2) (D)(0,2)

二、填空题(每小题5分,共30分)

7.当x分别等于111111,,,,,,2000,2001,2002,200520042003200220012000

x2

的值,将所得的结果相加,其和等2003,2004,2005时,计算代数式21?x

于 .

8.已知a=-1,则2a3+7a2-2a-12 的值等于 .

9.△ABC的三边长a、b、c满足b?c?8,bc?a2?12a?52,则△ABC的周长等

于 .

10.如图,点A,B为直线y?x上的两点,过A,B两点分别作y轴的平行线交双曲线y?(x>0)于C,D两点. 若BD?2AC,则4OC?OD 的

值为 . 221x

(第10题) 11.如图,直径AB为6

阴影部分的面积是 .

12.如图,一次函数的图象过点P(2,3),交x轴的正半轴与A,交y轴的正半轴与B,

则△AOB面积的最小值是 .

三、解答题(每小题15分,共60分)

x2?kx?3?3x?k的解,13、在实数范围内,只存在一个正数是关于x的方程求实数k 的x?1

取值范围.

14.阅读下面的情境对话,然后解答问题

(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题:“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?

(2)在Rt?ABC 中, ∠ACB=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若Rt?ABC是奇异三角形,求a:b:c;

⌒的中点,(3)如图,AB是⊙O的直径,C是上一点(不与点A、B重合),D是半圆ABD

CD在直径AB的两侧,若在⊙O内存在点E使得AE=AD,CB=CE.

1求证:?ACE是奇异三角形; ○

2当?ACE是直角三角形时,求∠AOC的度数. ○

BD

15.如图,对称轴为直线x?7的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4). 2

(1)求抛物线解析式及顶点坐标;

(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

①当平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形?

②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

16.设k为正整数,证明:

(1)、如果k是两个连续正整数的乘积,那么25k?6也是两个连续正整数的乘积;

(2)、如果25k?6是两个连续正整数的乘积,那么k也是两个连续正整数的乘积.

参考答案

一、选择题

1.C 2.A 3.B 4.D 5. C 6. B

6.解:由已知可以得到,点P,(2,?2). 1,P2的坐标分别为(2,0)

( b2),其中a2?2,b2??2. 记P2a2,

根据对称关系,依次可以求得:

P3(?4?a2,-2-b2),P4(2?a2,4?b2),P5(?a2,?2?b2),P6(4?a2,b2). 令P,即P, 6(a6,b2),同样可以求得,点P10的坐标为(4?a6,b2)10(4?2?a2,b2)由于2010=4?502+2,所以点P2010的坐标为(2010,?2).

二、填空题

7.6 8.0 9.12 10.6. 11.6? 12.12

12.解:设一次函数解析式为y?kx?b,则3?2k?b,得b?3?2k,令y?0得x??

则OA=?b,kb. k

令x?0得y?b,则OA=b.

S?AOB?1b?(?)?b2k

1(3?2k)2

??2?k

14k2?12k?9?? 2?k

21????24]2?12.

所以,三角形AOB面积的最小值为12.

三、解答题

13、原方程可化为2x?3x?(k?3)?0,①

(1)当△=0时,k??2333,x1?x2?满足条件; 84

2(2)若x?1是方程①的根,得2?1?3?1?(k?3)?0,k??4.此时方程①的另一个根为11,故原方程也只有一根x?; 22

(3)当方程①有异号实根时,x1x2?

个正实数根; ?k?3?0,得k??3,此时原方程也只有一2

3,此时原方程也只有一个2(4)当方程①有一个根为0时,k??3,另一个根为x?

正实根。

综上所述,满足条件的k的取值范围是k??33或k??4或k??3. 8

14. 解:(1)真命题

2(2)在Rt?ABC 中a+b2= c2,

22∵c>b>a>0 ∴2c2>a+b2,2a<c2+b2 ∴若Rt?ABC是奇异三角形,一定有2b2=

2c2+ a

∴2b2=a+(a+b2) ∴b2=2a得:b2a ∵c2=b2+ a=3a

∴c=3a ∴a:b:c=123

1∵AB是⊙O的直径ACBADB=90° (3)○

在Rt?ABC 中,AC2+BC2=AB2

在Rt?ADB 中,AD2+BD2=AB2222 22

⌒的中点 ∵点D是半圆ABD

⌒=BD⌒ ∴AD

∴AD=BD

∴AB2=AD2+BD2=2AD2

∴AC2+CB2=2AD2

又∵CB=CE,AE=AD

∴AC2=CE2=2AE2

∴?ACE是奇异三角形

2由○1可得?ACE是奇异三角形 ○

∴AC2=CE2=2AE2

当?ACE是直角三角形时

由(2)可得AC:AE:CE=123或AC:AE:CE=3:2: 1

(Ⅰ)当AC:AE:CE=1:2:3时

AC:CE=13即AC:CB=1:∵∠ACB=90°

∴∠ABC=30°

∴∠AOC=2∠ABC =60°

(Ⅱ)当AC:AE:CE=3:2: 1时

AC:CE=3: 1即AC:CB=3: 1

∵∠ACB=90°

∴∠ABC=60°

∴∠AOC=2∠ABC =120°

∴∠AOC=2∠ABC =120°

∴∠AOC的度数为60°或120°

15.解:(1)由抛物线的对称轴是x?77,可设解析式为y?a(x?)2?k. 22

把A、B两点坐标代入上式,得

72?a(6?)?k?0,?225?2 解之,得a?,k??. ?736?a(0?)2?k?4.??2

故抛物线解析式为y?2725725(x?)2?,顶点为(,?). 32626

(2)∵点E(x,y)在抛物线上,位于第四象限,且坐标适合

2725y?(x?)2?, 326

∴y<0,即 -y>0,-y表示点E到OA的距离.

∵OA是?OEAF的对角线, ∴S?2S?OAE?2??OA?y??6y??4(?)?25.

因为抛物线与x轴的两个交点是(1,0)的(6,0),所以,自变量x的

取值范围是1<x<6.

① 根据题意,当S = 24时,即?4(x?)?25?24.

化简,得(x?)?127227227

221. 解之,得x1?3,x2?4. 4

故所求的点E有两个,分别为E1(3,-4),E2(4,-4).

点E1(3,-4)满足OE = AE,所以?OEAF是菱形;

点E2(4,-4)不满足OE = AE,所以?OEAF不是菱形

16. 证明:(1)、如果k是两个连续正整数的乘积,设k?n(n?1),其中n为正整数, 则25k?6?25n(n?1)?6?25n?25n?6?(5n?2)(5n?3)为两个连续正整数的乘积; 5分

(2)、如果25k?6是两个连续正整数的乘积,设25k?6?m(m?1),其中m为正整数,则100k?25?4m?4m?1?(2m?1) ? ①

于是,2m?1是5的倍数,且

22222m?12m?1是奇数;设?2n?1,由①得, 55?2m?1?24k?1????(2n?1) ? ② ?5?

因此4k?(2n?1)?1?2n?(2n?2),即k?n(n?1),它是两个连续正整数的乘积.15分

2

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