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九年级(上)数学竞赛试题(含答案)-

发布时间:2013-12-03 13:23:28  

九年级数学竞赛试卷

(满分120分,考试时间120分钟)

一、选择题:(每题5分,共30分) 1.将正偶数按下表排成5列

则2 008应该排在 ( )

A.第2 5 1行,第5列 B.第2 5 0行,第3列 C.第5 0 0行,第2列 D.第5 0 1行,第1列

2.如图,在一个棱长为6cm的正方体上摆放另一个正方体,使得上面

正方体的四个顶点恰好均落在下面正方体的四条棱上,则上面正方体体积的可能值有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个

3.轮船在河流中逆流而上,下午5时,船长发现轮船上的一橡皮艇失落水中,船长马上命令掉转船头寻找,经过了一个小时追上了顺流而下的橡皮艇。如果轮船在整个过程中的动力不变,那么据此判断,轮船失落橡皮艇的时间为( )

A.下午1点 B.下午2点 C.下午3点 D.下午4点

4.某同学用牙膏纸盒制作一个如图所示的笔筒,笔筒的筒底为长4.5厘米,宽3.4厘米

的矩形。则该笔筒最多能放半径为0.4厘米的圆柱形铅笔 ( ) A.20支 B.2l支 C.2 4支 D.2 5支

第2题图

第4题图

5.对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”:

1

∣∣AB∣∣=∣x2-x1∣+∣y2-y1∣,给出下列三个命题:

① 若点C在线段AB上,则∣∣AC∣∣+∣∣CB∣∣=∣∣AB∣∣

② 在⊿ABC中,若∠C=90°,则∣∣AC∣∣2+∣∣CB∣∣2=∣∣AB∣∣2 ③ 在⊿ABC中,∣∣AC∣∣+∣∣CB∣∣﹥∣∣AB∣∣

其中真命题的个数为( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

6.已知一元二次方程ax2+bx+c=0两根为x1 、x2 ,x2+x1 =-?bc,x2.x1 =.如果抛物线yaa

=ax2+bx+c经过点(1,2),若abc=4,且a≥b≥c,则|a|+|b|+|c|的最小值为( )。 A.5 B.6 C.7 D.8

二、填空题(每题5分,共35分)

7.已知,y=4cosxsinx+2cosx-2sinx-1,0≤x≤90°.问x为__________值时,y可以取非负值. 8.有一块半径为R的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是

圆O的直径,且底CD的端点在圆周上,试写出梯形周长y和腰长x的函数关系式__________.

9.在⊿ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,能完全覆盖⊿A

BC的圆的半径R的最小值为____________.

10.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP= l, 若李华在点

A朝着影子的方向以v1匀速行走,则他影子的顶端在地面上移动的速度v2为____________.

11.如图,延长四边形ABCD的四边分别至E、F、G、H,使AB=nBE,BC=n

CF,CD=nDG,DA=nAH(n﹥0),则四边形EFGH与四边形ABCD的面积之比为____________(用含n的代数式表示).

12.已知△ABC中,?C是其最小的内角,过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两

个等腰三角形,请探求?ABC与?C之间的关系为____________.

2

PF E

13.设以边形A1A2A3…An中,有m个点B1,B2,B3,…,Bm,连接它们成一张互相毗邻

的三角形网(n=6,m=4时的情形如图),称每个小三角形为一个“网眼",求网中共有__________个“网眼” (用含n,m的代数式表示).

三.解答题(14题12分,15题13分,16题14分,17题16分,共55分)

14.(12分)有10个不同的球,其中有2个红球,3个白球,5个黄球。若取得1个红球

得5分;取得1个白球得2分;1个黄球得1分。今从中取出5个球,求使总分大于10分且小于15分的取法有多少中?

15.(13分)在两个三角形的六对元素(三对角与三对边)中,即使有五对元素对应相等,

这两个三角形也未必全等。

⑴试给出一个这样的例子,画出简图,分别标出两个三角形的边长。

⑵为了把所有这样的反例都构造出来,试探求并给出构造反例的一般规律(要求过程完整,述理严密,结论明晰)。

3

16. (14分)对于某一自变量为x的函数,若当x=x0时,其函数值也为x0,则称点(x0,x0)

为此函数的不动点.现有函数y= (1)若y=

3x?a

, x?b

3x?a

有不动点(4,4),(一4,-4),求a,b. x?b3x?a

(2)若函数y=的图像上有两个关于原点对称的不动点,求实数a,b应满足的条件.

x?b

3x?a3x?a

(3)已知a=4时,函数y=仍有两个关于原点对称的不动点,则此时函数y=

x?bx?b55

的图像与函数y=? 的图像有什么关系?与函数y=? 的图像又有什么关系?

x?3x

17.(16分)

(1)如图,直线AB交x轴于点A(2,0),交抛物线y=ax2于点B(1,),点C到△OAB各顶点的距离相等,直线AC交y轴于点D。当x>0时,在直线OC和抛物线y=ax2上是否分别存在点P和点Q,使四边形DOPQ为特殊的梯形?若存在,求点P、Q的坐标;若不存在,说明理由。

(2):在(1)题中,抛物线的解析式和点D的坐标不变(如图)。当x>0时,在直线y=kx(0

<k<1)和这条抛物线上,是否分别存在点P和点Q,使四边形DOPQ为以OD为底的等腰

梯形。若存在,求点P、Q的坐标;若不存在,说明理由。

4

参考答案

一、选择题1-6:ADDBBB

二、填空题7:0≤x≤30° 8:y=-x2/R+2x+4R 9:7.5 10:v2?

11:(n2+2n+2):n 12: ?ABC?3?C或?ABC?180?3?C ?lv1 l?h

或?ABC?90,?C为小于45的任意锐角或?ABC?135??

13:S(n,m)=n+2m-2

??3?C. 4

14:设取红球、白球、黄球分别为x, y, z个,0≤x≤2,0≤y≤3,0≤z≤5

则10﹤5x+2y+z﹤15,x+ y+z=5,分类:

③ 当x=0时,y不存在 当x=1时,1﹤y﹤6,取y=2,3 当x=2时,-3﹤y﹤2,取y=0,1

取法总数为110种

15:⑴如下图,△ABC与△A?B?C?是相似的(相似比为2),但它们并不全等,显然它们

之中有五对元素是对应相等的。 BCB′2222C′2

⑵容易知道,要构造的两个三角形必不是等腰三角形,同时它们应是相似的。

设小△ABC的三边长分别为a、b、c,且不妨设a<b<c,由小△ABC到大△A?B?C?的相似比为k,则k>1。

∵ △A?B?C?的三边长分别为ka、kb、kc,且a<ka<kb<kc

∴ 在△ABC中,与△A?B?C?中两边对应相等的两条边只可能是b与c

∵ b<c<kc

∴ 在△A?B?C?中,与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb

∴ ??b?ka ?c?kb

5

∴ 由a到b、由b到c应具有相同的放大系数(用高中的数学语言来讲,a、b、c成公比为k的等比数列),这个系数恰为△ABC与△A?B?C?的相似比k。

下面考虑相似比k所受到的限制:

∵ △ABC的三边长分别为a、ka、ka,且a>0,k>1

∴ a?ka>ka 22

解之得 1<k<1?51?5 (注:≈1.168) 22

因此构造反例时,只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长,再设定一个1~1.168之间的放大系数k,从而写出另外两条边的长ka、ka。然后在△ABC的基础上,以前面的放大系数k为相似比,再写出另一个△A?B?C?的三边长ka、ka、ka。通过这种方法,可以构造出大量符合题意的反例。

16:(1)由题意,得解得 232

(2)令3x?a=x,得3x+a=x2+bx(x≠-b) x?b

即 x2+(b—3)x-a=O.

设方程的两根为x1,x2,则两个不动点(x1,x2),(x2,x2),由于它们关于原点对称,所以x1+x2=0,

∴??b?3?0

2?(b?3)?4a?0,解得??a?0,

?b?3

又因为x≠-b,即 x≠-3,所以以a≠9,

因此a,b满足条件a>0且a≠9,b=3.

(3)由(2)知b=3,此时函数为y=

即y=3-3x?4, x?35. x?3

3x?45∴ 函数y=的图像可由y=-的图像向上平移3个单位得到. x?3x?3

55 又函数y=-的图像可由函数y=-的图像向左平移3个单位得到, x?3x

3x?45 所以函数y=的图像可由函数y=-的图像向左平移3个单位,再向上平移3个x?3x

6

单位得到.

17

:如图(1) x+2 3 3 X2 E(1,0) C(1,

OC: Y= x AC:Y= Y= x +2 / 3当 PQ 时 ,(1)DQ=OP时,四边形DOPQ为等腰梯形如图(1)

由题意得,三角形OCD为等边三角形,所以

Q是AD与抛物线的交点 /3 3 /3 = x2

Q(2/3,4 3 /9) (2)∠ODQ=900时,四边形DOPQ为直角梯形如图(2)√ Q(√6 /3,2√3 /3)P(√6 /3, √2 /3) 当DQ//OP时 (1) OD=PQ P(2,2√3 /3) (2) ∠OPQ=900时 P(3/2, √3 /2)

所以P1(2/3,2√3 /9),Q1(2/3,4√3 /9),P2(2,2√3 /3),Q(2 1,√3),P3(√6 /3, √2 /3) Q4(√6 /3,2√3 P4(3/2, √3 /2),Q4(1, √3 )

(2)

-2-P(√3(-K+√K2+8)/6, √3(-K2

/3), 7

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