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高二冬学竞赛数学试题

发布时间:2013-12-03 14:31:14  

常用逻辑用语、圆锥曲线综合测试题

一、 ——海阳二中高二理科冬学竞赛(数学)试题 选择题(本大题共有12道小题,每小题5分,共60分)

1、下列命题中正确的是( )

①“若x?y?0,则x,y不全为零”的否命题;

②“正三角形都相似”的逆命题;

③“若m?0,则x?x?m?0有实根”的逆否命题; ④“若x?2是有理数,则x是无理数”的逆否命题

A、①②③④ B、①③④ C、①④ D、②③④

2、F1, F2是距离为6的两定点,动点M满足∣MF1∣+∣MF2∣=6,则M点的轨迹是 ( )

A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆

x2y2

3、、方程 ( ) ??1表示双曲线,则k的取值范围是 1?k1?k

A.?1?k?1 B.k?0 C.k?0 D.k?1或k??1 222

4、如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1,那么它的焦点坐标为

A.(1, 0) B.(2, 0) C.(3, 0) D.(-1, 0) ( )

5、已知p是r的充分条件而不是必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,

q是s的必要条件,现有下列命题:

①r是q的充要条件; ②p是q的充分条件而不是必要条件;

③r是q的必要条件而不是充分条件; ④┐p是┑s的必要条件而不是充分条件; ⑤r是s的充分条件而不是必要条件.

则正确命题的序号是( )

A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D.②④⑤

6、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1,则长轴长的最小值为 ( )

x2

7、焦点为?0,6?,且与双曲线?y2?1有相同的渐近线的双曲线方程是 ( ) 2

x2y2y2x2y2x2x2y2

A.?B.C.D.??1 ??1 ??1 ?1 1224122424122412

8、抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上点(-5,m)到焦点距离是6,则抛物线

的方程是 ( )

A. y 2=-2x

C. y 2=2x B. y 2=-4x D. y 2=-4x或y 2=-36x

- 1 -

9、设p,q是两个命题:p:|x|?3?0,q:x2?

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

51

x??0,则p是q的( ) 66

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

x2y2

10、双曲线2?2?1的实轴长,虚轴长,焦距成等差数列则双曲线的离心率是( )

ab

45

A. 2 B. 3 C. D.

33

11、过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则

11

?等于 pq

( )

A.2a B.

14 C.4a D. 2aa

x2y2

12、椭圆M: 2?2?1(a?b?0)左右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点且

ab

22

?c?PF1PF2最大值取值范围是?2c,3c,其中e取值范围 ??

( )

A.???11?

? B. C. D.?,? ????32???

????

二、填空题(本大题共4道小题,每小题4分,共16分)

13、命题p:?x?R,2x?1?0,则﹁p是________________________;

14、设椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴一个端点的距离为9,则椭圆的离心率为 _______ .

2

x2y2

15、已知双曲线??1上有一点P到一个焦点距离为12,则到另一个焦点的距离为

259

16、过抛物线y 2=4x的焦点作直线,交抛物线于A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果x1+ x2=6,那么|AB|= ________________.

选择题答案:

填空题答案:

13:________________________;14:_________________________; 15:__________________________;16:__________________________.

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三、解答题(本大题共6道题目,共计74分)

17、(12分)?ABC的底边BC?16,AC和AB两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.

18(12分)已知命题p:函数f(x)?logax(a?0且a?1)在区间(0,+∞)上单调递增,命题q:函数f(x)?ax?ax?1对于?x?R都有f(x)?0恒成立,如果p∧q为假,p∨q为真,求实数a的取值范围。

19(12分)双曲线过点P(?32,4),它的渐近线方程为y??24x 3

(1)求双曲线的标准方程; (2)设F1和F2是这双曲线的左、右焦点,点P在这双曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.

20(12分)已知直线y?x?b与抛物线y?2px?p?0?相交于A、B两点,若OA?OB,2

(O为坐标原点)且S?AOB?25

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x2y2

21、(12分)椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于ab

????????A,B两点,直线l的倾斜角为60,AF?2FB. o

(1) 求椭圆C的离心率;(2)如果|AB|=

15,求椭圆C的方程. 4

22(14分)设x、y∈R,i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量,向量a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j ,且| a |+| b |=8.

(1)求点M (x,y)的轨迹C的方程;

(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点,设OP?OA?OB,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB是矩形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由.

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