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新课标小学数学培优竞赛教程 五年级精练分册

发布时间:2013-12-03 14:34:00  

新课程小学

《数学培优、竞赛全程跟踪讲·学·练·考》

主编:杨

跃 五 年 级 精 练 分 册 1

目录

上学期

第一讲 小数的巧算

第二讲 牛吃草问题

第三讲 多边形的面积

3.1 面积计算

3.2 等积变形

3.3 列方程求面积

第四讲 图形的切拼

第五讲 列方程解应用题〈一〉

第六讲 逻辑推理

第七讲 抽屉原理

下学期

第八讲 数的整除

第九讲 约数、倍数和最大公约数、最小公倍数

9.1 约数和倍数

9.2 最大公约数和最小公倍数

第十讲 质数、合数和分解质因数

10.1 质数和合数

10.2 分解质因数

第十一讲 奇数与偶数

第十二讲 带余除法

12.1 一般余数问题

12.2 同余数问题

第十三讲 完全平方数

第十四讲 分数

14.1 分数的意义和性质

14.2分数与小数的互化

14.3 分数大小的比较

第十五讲 发现规律解数

2

上学期

第一讲 小数的巧算

[同步巩固演练]

1、计算:7.93+(2.8-1.93)。

2、计算:7736-473+73。

3、计算:3.71-2.74+4.7+5.29-0.26+6.3。

4、计算:34×25×6。

5、计算:8.25×18。

6、计算:8.4÷5÷8。

7、计算:49000÷125。

8、计算:(5.25+0.125+5.75)×8。

9、计算下面各题

⑴2.56-(1.65-0.97) ⑵4.74+(1.26-0.77)

⑶5.47-(1.47+0.84) ⑷9.9×9.9+0.99

⑸1.25×2.5×3200

10、计算:75×4.7+159×2.5

11、计算:4.25×5.24+1.52×2.51

12、计算:7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7

13、计算:1.25×17.6+36÷0.8+2.64×12.5

14、计算:176.2+348.3+42.47+252.5+382.23

15、计算:(6.4×7.5×8.1)÷(3.2×2.5×2.7)

16、计算:15.37×7.88-9.37×7.38+1.537×21.2-93.7×0.262

[能力拓展平台]

1、C.DE×A.B=A.CDE是用字母表示的一个小数乘法算式,题中每一个字母表示一个数字,如果A.CDE<C.DE,求A.B所表示的数。

2、计算:10-9-0.9-0.09-0.009-0.0009-0.00009

3、计算:15.37×7.88-9.37×7.88-15.37×2.12+9.37×2.12

4、计算:4.65×32+2.5×46.5+0.465×430

5、计算:4.05+4.08+4.11+?+7.02

6、不计算,在□中填入“>”“<”或“=”:

⑴0.3÷0.03×0.003÷0.0003□10÷100×1000÷1000

⑵32.7÷0.25+2.51×10□32.7×4+2.51÷0.1

⑶282.4÷0.999□282.4×0.999

7、计算:(0.12+0.22+0.32+0.42)2÷(0.13+0.23+0.33+0.43)3

8、计算: ⑴2.89×6.37+4.63×2.89 ⑵327×2.8+17.3×28

9、计算:0.625??0.?625??0.?625??8????8?2?2???2 ???????????????8???

10个0.6259个88个2

[全讲综合训练]

3

1、计算: ⑴14.529+(2.471-3); ⑵38.68-(4.7-2.32) 2、计算:44.8-21.7-24.7+16.4 3、计算:131-68-85+53

4、计算:34.5×8.23-34.5+2.77×34.5 5、计算:7.9×25+33×2.5 6、计算:23×(63÷23÷4)÷21 7、计算:18.3÷4+5.3×2.5+7.13×7.5 8、计算:243587×1111

9、计算:1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19 10、计算:(8.4×2.5+9.7)÷(1.05÷1.5+8.4÷0.28) 11、计算:1.25×67.875+125×6.7875+1250×0.053375 12、计算:172.4×6.2+2724×0.38

13、计算:0.739×(48.8+20.3+51.2+4.7)×8.88÷739 14、计算:6.03+6.06+6.09+6.12+?+7.95 15、计算:41.2×8.1+11×9.25+537×0.19 16、(全奥赛题,2003)计算 ⑴3.51×49+35.1×5.1+49×51

⑵784070+78407.1+7840.72+784.073+78.407 17、(全国我爱少年夏令营计算题竞赛,2002) ⑴7-4.36+5.378

⑵3.5×[6.8-(1.6+3.6÷0.9)]÷84 18、(全国奥赛题,2002)计算 3.6×42.3×3.75-12.5×0.423×28

19(我爱数学少年夏令营计算竞赛,2001) ⑴0.76+29.44×1.6

⑵0.1+0.3+?+0.9+0.11+0.13+?+0.97+0.99

4

第二讲 牛吃草草问题

[同步巩固演练]

1、牧场上长满牧草,可供10头牛吃3天,可供5头牛吃8天,如果牧草每天匀速生长,那么可供多少头牛吃2天?

2、有一水池,池底有泉水不断涌出,要想把水池的水抽干,10台抽水机需要抽8小时,8台抽水机需要抽12小时,如果用6台抽水机,需要多少小时?

3、24头牛6天可将一片牧草吃完;21头牛8天可将这片牧草吃完;如果每天草的增长量相等,要使这片牧草永远吃不完,至多放多少头吃这片牧草?

4、一只船有一个漏洞,水以均匀的速度进入船内,发现漏洞时已进入一些水,如果用12个人舀水,3小时可以舀完;如果只有5个人舀水,要10小时才能舀完,现在要2小时舀完,需要多少人?

5、一水库原有水量一定,河水每天均匀入库,5台抽水机连续20天可抽干,6台同样的抽水机连续15天可抽干,若要求6天抽干需要多少台同样的抽水机?

6、有一酒槽,每日泄漏等量的酒,如让6人饮,则4天喝完,如让4人饮,则5天喝完,若每人的饮酒量相同,问每天的漏酒量为多少?

7、一个水池安装有排水量相等的排水管若干根,一根进水管不断地往池里放水,平均每分钟进水量相等,如果开放三根排水管,45分钟可把池中水放完,如果开放五根排水管,25分钟可把池中水排完,如果开放八根排水管,几分钟排完水池中的水?

8、现欲将一池塘水全部抽干,但同时有水匀速流入池塘,若用8台抽水机10天可以抽干;用6台抽水机20天抽干,问:若要5天抽干水,需多少台同样抽水机来抽水?

[能力拓展平台]

1、一个大水坑,每分钟从四周流掉(四壁渗透)一定数量的水,如果用5台水泵,5小时就能抽干水坑的水;如果用10台水泵,3小时就能抽干水坑的水,现在要1小时抽干水坑的水,问要用多少台水泵?

2、画展9点开门,但早有人排队等候入场,从第一个观众来到时起,每分钟来的观众人数一样多,如果开了3个入场口,9点9分就不再有人排队,如果开5个入场口,9点5分就没人排队,问第一个观众到达的时间是8点几分?

3、甲从A地出发行了一段时间后,乙、丙、丁三人才同时从A点出发沿同一条路追;甲、乙、丙、丁三人分别用3小时、5小时、6小时追上甲,已知乙每小时行18千米,丙每小时行16千米,那么丁每小时行多少千米?

4、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不增加,反而以固定的速度在减少,已知某地草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天,照此计算可供多少头牛吃10天?

5、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射,从井顶逃向井底,白天往下爬,两只蜗牛白天爬行的速度是不同的,一只每天爬20分米,另一只爬15分米,黑夜里往下滑,两只蜗牛滑行的速度都是相同的,结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底,另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底,求井深。

6、经测算,地球上的资源可供100亿人生活100年或可供80亿人生活300年,假设地球每年新生成的资 源是一定的,为了使资源不致减少,地球上最多生活多少人?

7、自动扶梯以均匀速度往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上梯,已知男孩每分钟走20级梯级,女孩每分钟走15级梯级,结果男孩用了5分钟到达梯顶。女孩用了6分钟到达梯顶,问扶梯共有多少级?

8、哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底,共走了100级,相同的时间内,妹妹 5

沿着自动扶梯从底向上走到顶,共走了50级,若哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍,那么当自动扶梯静止时,自动扶梯能看到的部分有多少级?

[全讲综合训练]

1、某游乐场在开门前400人排队等候,开门后每分钟来的人数是固定的,一个入口每分钟可以进10个游客,如果开放4个入口,20分钟就没有人排队,现在开放6个入口,那么开门后多少分钟就没有人排队?

2、早晨6点,某火车站进口处已有945名旅客开始检票进站,此时,每分钟还有若干人前来进口处准备进站,这样,如果设立4个检票口,15分钟可以放完旅客,如果设立8个检票口,7分钟可以放完旅客,现在要求5分钟放完所有旅客,需设立几个检票口?

3、某游乐场在开门前已经有100个人排队等待,开门后每分钟来的游人数是相同的,一个入口处每分钟放入10名游客,如果开放2个入口处,20分钟后就没有人排队,现在开放4个入口处,那么开门后多少分钟就没人排队了?

4、12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草,21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草,多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草(每公亩牧扬上原有草量相等,且每公亩牧场上每天生长草量相等)?

5、有3个牧场长满草,第一牧场33公亩,可供22头牛吃54天,第二牧场28公亩,可供17头牛吃84天,第三牧场40公亩,可供多少头牛吃24天(每块地每公亩草量相同而且都是匀速生长)?

6、仓库里原有一批存货,以后继续有车运货进仓,且每天运进的货一样多,用同样的汽车运货出仓,如果每天用4辆汽车,则9天恰好运完;如果每天用5辆汽车,则6天恰好运完,仓库里原有的货若用1辆汽车运则需要多少天运完?

7、一个水池,底部有一个常开的排水管,上部安有若干个同样粗细的进水管,打开2个进水管15小时可以注满,若打开4个进水管5小时可以注满。现需要2小时将水池注满,那么至少要打开几个进水管?

8、某棉纺厂仓库,可储存全厂45天的用棉量,若用1辆大卡车往空仓内运棉,则除了供应车间生产外,5天可将仓库装满;如果用小卡车往空仓内运棉,除了供应车间生产外,9天可将仓库装满。如果用1辆大卡车与1辆小卡车同时运棉,需几天可将仓库装满?

9、甲、乙、丙三辆车同时从同一地点出发。沿同一公路追赶前面的一个行人,为三辆车分别用6分钟,10分钟,12分钟追上这个行人,已知甲车每小时行24千米,乙车每小时行20千米,则两车每小时行多少千米?

6

第三讲 多边形的面积

3.1 面积的计算

[同步巩固演练]

1、求下图中每个小图形的阴影部分的面积(单位:厘米)

第1题

[能力拓展平台]

1、已知三角形ABC的周长是20厘米,三角形内一点到三角形三条边的距离都是3厘米,求三角形的面积。

第1题

2、如图,ABCG是4×7的长方形,DEFG是2×10的长方形,那么三角形BCM的面积与三角形DEM的面积之差是多少?(单位:厘米)

7

第2题

3、求阴影部分的面积(单位:厘米)

第3题

4、长方形ABCD的边上有二点E、F、AF、BE、BE把长方形分成若干块,其中三个小块的面积标注在图上,求阴影部分面积。

第4题

5、(第五届华杯赛试题)涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米,问大正六角星的面积是多少平方厘米

第5题

3.2 等积变形

[同步巩固演练]

1、如图所示,已知矩形ABCD中,BE=1EC,则△ABE和△ABC的面积之比是多少? 2

8

第1题

2、如图所示,梯形ABCD中共有8个三角形,其中,面积相等的三角形有多少对?

第2题

3、如图,三角形ABC的面积是18平方厘米,BD=2DC,AE=EC,则三角形BDE的面积是多少平方厘米?

第3题

4、如图 已知BC=6BD,AB=5BE,三角形BDE的面积是1,则三角形ABC的面积是多少?

第4题

5、如图 ABCD是平行四边形,AE=

是多少倍? 2AB,则梯形EBCD的面积是三角形AED的面积3

9

第5题

6、如图所示,三角形ABC中,BD=DC,ED=2AE,BF=FD,三角形ABC的面积是1,三角形DFE的面积是多少?

第6题

[能力拓展平台]

1、将任意一个三角形四等分,请你画出三种分法。

2、如图 E、F分别为平行四边形ABCD两条邻边的中点,若平行四边行的面积是1,则图中面积为1的三角形有多少个。

4

第2题

3、在三角形ABC(如图)中,AD=DB,BE=EC,三角形FEC的面积是5平方厘米。则三角形ABC的面积是多少平方厘米?

10

第3题

4、在图中,BE=EF=FC,GA=AH=HC,已知三角形ABC的面积是6平方厘米,则三角形GEC的面积是多少平方厘米?

5、(上海市竞赛题,1996)图8-18中,正方形ABCD的边长为12,P是AB边上任意一点,M、N、I、H分别是边BC、AD的三等分点,E、F、G、C、D的四等分点,求图中阴影部分面积。

第5题

6、正三角形ABC的边长为12厘米,BD、DE、EF、FG四条线段把它的面积5等分,求AF、FD、DC、AG、GE、EB的长。

11

第6题

7、(第三届华杯赛试题)图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的三个点为顶点,可以构成三角形,在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积有多少个?

第7题

8、把平行四边形ABCD的边BC延长一倍至E,如图如果三角形DCE的面积是18平方厘米,则三角形BEF的面积是多少平方厘米?

第9题

9、如图,已知三角形ABC的面积为1,BE=3AB,CD=2BC,则三角形BDE的面积是多少?

第9题

10、如图把三角形ABC的BA延长至D,使BA=AD;延长AC至E,使CE=2AC。延长CB至F,使BF=3CB,若已知三角形ABC的面积是1,则三角形DEF面积是多少?

12

第10题

3.3 列方程求面积

[同步巩固演练]

1、一块长方形铁皮,从长边减去8厘米,从短边减去4厘米后,得到的正方形面积比原来的长方形面积少了116平方厘米,则原长方形铁皮的面积是多少平方厘米?

2、如图梯形ABCD的面积是45平方厘米,下底BC长9厘米,高是6厘米,且三角形AOD的面积是6平方厘米,则三角形BOC的面积是多少平方厘米?

第2题

3、如图,已知长方形ABCD的面积是36平方厘米,三角形ABE的面积是6平方厘米,三角形AFD的面积是9平方厘米,求三角形AFE的面积。

第3题

4、如图,直角梯形ABCD的上底BC=10厘米,下底AD=14厘米,高CD=5厘米,又三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等,求三角形DEF的面积。

13

第4题

[能力拓展平台]

1、试求图中△ABC的面积(每个小三角形中注的数字表示该小三角形的面积)

第1题

2、如图将一三角形纸片沿虚线折叠后得到的图形面积是原三角形面积的

部分的面积是4平方厘米,则原三角形的面积是多少平方厘米?

23,

第2题

3、如图已知四边形ABCD是直角梯形,上底AD长8厘米,下底BC长10厘米,直角腰CD长6厘米,E是AD的中点,F是BC上的点,BF=

积与△CFG的面积相等,求△ABG的面积。

2BC,G为DC上的点,△DEG的面3

第5题

4、如图,三角形ABC的面积是12平方厘米,EC=2AE,F是AD中点,则阴影部分的面积是多少平方厘米?

14

第4题

[全讲综合训练]

1、如图,在平行四边形ABCD中,DE=EF=FG,BG=GD,已知三角形GEF的面积是4平方厘米,求平行四边行的面积。

第1题

2、如图,在△ABC中,D是AB中点,E是DB中点,F是BC中点,若△ABC的面积是96,那么△AEF的面积是多少?

第2题

3、(哈尔滨市第十届未来杯赛题)如图,在平行四边形ABCD中,EF与AC平行,如果三角形BFC的面积是35平方厘米,那么三角形AEB的面积能不能确定?如果能,它的面积是多少?

第3题

4、(哈尔滨市竞赛题1998)如图,平行边形ABCD的面积是240平方厘米,如果平行四边行内取一点O,连结AO、BO、CO、DO,三角形AOD与三角形BOC的面积和的1,加2

15

上三角形AOB与三角形DOC的面积和的1,结果是多少?

3

第4题

5、如图,长方形ABCD的面积是120平方厘米,且AD=3AM,AB=4AN,则阴影部分的面积是多少平方厘米?

第5题

6、如图,ABCD为长方形,AB=10厘米,BC=6厘米,E、F分别为AB、AD中点,且FG=2GE,求阴影部分的面积。

第6题

7.(全国小学数学竞赛题)如图,在三角形ABC中,AD垂直于BC,CE垂直于AB,AD=8厘米,CE=7厘米,AB+BC=21厘米,求三角形ABC的面积。

第7题

8.(第一届祖之杯试题)图中由9个边长为1厘米小正方形组成一个大正方形,图中面积为1/2平方厘米的三角形有多少个?面积最大的三角形面积是多少?

16

第8题

9.(第二届新苗杯试题)如图,AB=4厘米,BC=6厘米,AC=2CD,BE=BD,求三角形ADE的面积。

第9题

10.在三角形ABC,如图14,AB=3AD,AC=3CG,BE=EF=FC,且三角形FCG的面积为1平方厘米,求阴影部分的面积。

第10题

11.如图,已知CF=2DE,DE=EA,三角形BCF的面积为2,四边形BEDF的面积为4,求三角形ABE的面积。

第11题

12.(全国奥赛题,1999)如图,梯形ABCD上底AD长为3厘米,下底BC长为9厘米,而三角形ABO的面积为12平方厘米,求:梯形ABCD的面积。

17

第12题

13.如图,在平行四边形ABCD中,P为三角形ABD内的一点,且S△PBC=5,S△PAB=2,求S△PBD。

第13题

14.(上海第四届小学数学竞赛五年级预赛题)如图,三角形ABC的面积是30平方厘米,D是BC的中点,AE的长是ED的2倍,求三角形CDE的面积。

第14题

15.(上海市第四届小学生数学竞赛六年级预赛题)如图,三角形ABC的面积是180平方厘米,D是BC的中点,AD的长是AE长的3倍,EF的长是BF的长是BF的3倍,求三角形AEF的面积。

第15题

16.如图 AD=DE=EC,E是BC中点,G是EC中点,如果三角形ABC的面积是24平方厘米,求阴影部分的面积是多少?

18

第16题

17.(1992年小学数学奥林匹克试题)如图,是一个5×5方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点称为格点,请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,且这7个格点用线段连接后围成的面积尽可能大,那么,所围图形面积是多大?

第17题

18.(第六届华杯赛决赛题)如图,正六边形ABCDEF的面积是54,AP=2PF,CQ=2BQ,求阴影四边形CEPQ的面积。

第18题

19.(第九届江苏省初中数学竞赛)求图中阴影部分的面积。

第19题

20.如图,三角形ABC的面积为5平方厘米,AE=CE,BD=2DC,求阴影部分的面积。

19

第20题

21.如图,在梯形ABCD中,AD=2BC,ABCD的面积为66,若E为CD的中点,求△ADE的面积。

第21题

22.如图,E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点,四边形XYZU的面积=1,试求四个阴影小三角形面积之和。

第22题

23.(全国奥赛题,2003)两个形状和大小都一样的直角三角形△ABC与△DEF,如图放置,它们的面积都是2003平方厘米,而每一个三角形直角的顶点都恰好落在另一个直角三角形的斜边上。这两个直角三角形的重叠部分是一个长方形那么四边形ADEC的面积为多少平方厘米?

20

第23题

24.(全奥赛试题,2003)由面积分别为2,3,5,7的四人三角形拼成一个大三角形,如图所示。即已知S△AED=2,S△AEC=5,S△BDF=7,S△BCF=3,那么S△BEF

第24题

25.(我爱数学少年夏令营竞赛题,2002)如图,平行四边形ABCD的面积为30平方厘米,E为AD边延长线上的一点,EB与DC交于F点,如图△FBC的面积比△FDE的面积大9平方厘米,且AD=5厘米,那么厘米。

第25题

26.(我爱少年夏令营竞赛题,2001)在△ABC中,D为BC的中点,E为AB上一点,且BE=1AB。已知四边形BDME的面积是35,那么,三角形ABC的面积是。 3

21

第26题

27.(全国奥赛题,2000),P为平行四边形ABCD外一点,已知三角形PAB与三角形PCD的面积分别为7厘米和3厘米,那么平行四边形ABCD的面积为 平方厘米。

第27题

28.(全国奥赛题,2001)如图,直角梯形ABCD,四边形AEGF、MBKN都是正方形,且AE=MB,EP=KC=9,DF=PM=4,则△的面积为 。

第28题

22

第四讲 图形的切拼

[同步巩固演练]

1、把等腰三角形(如图)分成8

2、将一个正方形剪成8个小正方形,小正方形有大小不等的三种尺寸。

3、将一个4×9

4、下图是一块缺了两个角的木板,请把它锯成两块,然后拼成一个正方形。

第5题

5、将地块30×20的方格纸分成大小、形状都相同的两块,然后拼成一个24×25的长方形。

6、将一个正方形分成相等的4块,然后用这4块分别拼成三角形、平行四边形和梯形。

7、将图切成大小相等、形状相同的四个小方块,拼成一个正方形。

第7题

8、把一个正方形切割成大小相等、形状相同的四个部分,有多少种切割法,请画出几种切割法。

9、把一个正三角形切成面积相等、形状相同的3块,有几种切法?

10、把右图划分成形状、大小完全相同的4块,而且每块中有一个字母。

第10题

11、如图将它分成形状和大小都相同的四块。

23

第11题

[能力拓展平台]

1、(京市第七届迎春杯试题)一个长方形,长19厘米,宽18厘米,如果把这个长方形分割成若干个边长为整数的小正方形,那么这些小正方形最少要多少个?

2、(京市第七届迎春杯试题)把下列二图分别分成形状相同面积相等的两个图形。

第2题

3、如下图在100×70的长方形中,挖去一个10×60的长条(阴影),请把这个图形分成两块,然后拼成一个正方形。

第3题

4、将下图中的各图分别切成大小、形状相同的三块,使每块都带有一个小圆圈“○”。

第4题

5、下图是2~9以及0的九个数字,将每小数字都分成两块,拼成一个正方形。(注:“8”的高度为20,宽为9,中间空格是4×3的长方形)

24

第5题

6、把下图切成三块拼成一个正方形。

第6题

7、如图一个直角梯形,请在它的内部画一条直线,把它分成形状、大小都相等的两部分。(单位:厘米)

第7题

[全讲综合训练]

1、把一个正六边形分割成八个形状相同、面积相等的图形,应如何分?

2、将图切割成5个大小相等的图形。

第2题

3、如图是一张4×4的方格纸,请在保持每个小方格完整的情况下,将它分割成大小、形状完全相同的两部分。

第3题

4、用4种方法将图分割成完全相同的两部分,但要保持每个小方格的完整。

25

第4题

5、(汉城国际奥赛题,1996)在宽11厘米、长181厘米的长方形中划分正方形,问至少可以划分几个?说明划分方法(也可以画图说明)。

6、(汉城国际奥赛题,1996)如图等腰梯形底角为60°,下底长是上底长的2倍,试将它分割成大小形状相同的9个图形。

第6题

7、(汉城国际奥赛题,1996)任给一个三角形,(1)试剪一刀,把它剪成二块,用这两块拼成一个平行四边形;(2)试剪二刀,把它剪成三块,用这三块拼成一个长方形。

8、(福建省竞赛题,1998)请在图中画出三条线段,把等腰梯形分成四个面积相等,形状相同的图形。

第8题

9、如图将它分成八个形状、大小都相同的图形。

第9题

10用来拼成图。

第10题

11、(福建省竞赛题,1998)如图,方框外面边长为5,里面边长为3,把方框锯成4块,拼成一个正方形,问怎样拼法?

26

第11题

12、(福建省竞赛题,1998)如图,分别将两图形,分成8个大小、形状相同,面积相等的图形。

第12题

13、把图分成形状、大小都相同的四块,拼成一个正方形。

第13题

14、将图分成三块,然后拼成一个正方形。

第14题

15、把一边长为7厘米的大正方形,切割成9个不重叠、不交叉的小正方形,且每个小正方形的面积必须是整平方厘米。

16、如图,把它锯成3块再拼成一个正方形。

第16题

17、把一个正方形分成20个大小形状完全一样的三角形。

18、用方格纸剪成面积是4的图形,其中形状只有下列七种,如图试有其中的四种拼成一个面积是16的正方形。

27

第18题

19、如图有长6厘米、宽4厘米的长方形,它的中间有一长为4厘米、宽为2厘米的 空槽,请你把它剪成三块,拼成一个正方形。

第19题

20、试将图分割成形状、大小都相等的六小块,使每块所含数字的和都相等。

第20题

21、(1)任给两个同样的正方形,试把它们剪开,拼成一个正方形;

(2)任给两个大小不同的正方形,试把它们剪开拼成一个正方形。

28

第五讲 列方程解应用题〈一〉

[同步巩固演练]

1、某数的3倍加8与这个数的5倍减10相等,这个数是多少?

2、某班有女生25人,比男生的3倍少20人,这个班有多少人?

3、一次数学竞赛共15道题,每做对一道题得8分,做错一道题倒扣4分,李小明所有题都做了,但只得72分,他做对了多少道题?

4、全班植100棵树,其中5个同学每人分到2棵,其余每人3棵,全班共有多少个同学?

5、一个畜牧场,每天生产牛奶和羊奶共2346千克,生产的牛奶量是羊奶的5倍,问每天生产羊奶和牛奶各多少千克?

6、两个车间共有工人68名,如果从第一车间调6名到第二车间,两车间人数就相等,求两个车间原有人数。

7、小张期中考试,考了四门功课,语文78分,自然83分,历史81分,数学分数比四门功课的平均分多7分,数学考了多少分?

8、甲、乙两地相距180千米,一人骑摩托车从乙地同时出发,两人相向而行,已知摩托车车速是自行车的3倍,问多少小时后两人相遇?

9、小亮与父亲5年后的年龄和为45岁,父亲今年年龄恰好是小亮年龄的6倍,小亮6年后年龄为多少?

10、甲袋中球数是乙袋中球数的6倍,从甲袋中拿出13个球后等于乙球放入12个球后的球数,那么乙袋中原有球多少个?

11、3年前母亲的岁数是女儿的6倍,今年母亲33岁,女儿今年几岁?

12、A、B两地相距496千米,甲车从A地开往B地,每小时行32千米,甲车开出半小时后,乙车从B地开往A地,它的速度是甲车的2倍,问乙车开出了几小时后,两车相遇?

13、水果店运来的西瓜个数是白兰瓜的2倍,如果每天卖白兰瓜40个,西瓜50个,若干天卖完白兰瓜时,西瓜还剩360个。水果店运来的西瓜和白兰瓜共多少个?

14、好马每天走240千米,劣马每天走150千米,劣马先走12天,好马几天可以追上劣马?

15、已知蓝球、足球、排球平均每个36元,蓝球比排球每个多10元,足球比排球每个多8元,每个足球多少元?

16、有四个数,从中取出三个数相加,得到四个和分别是22、24、27、20,求这四个数各是多少?

[能力拓展平台]

1、某工厂三个车间共有180人,第二车间人数是第一车间人数的3倍还多1人,第三车间人数是第一车间人数的一半少1人,三个车间各有多少人?

2、A、B两地相距144千米,小李、小张骑车从A地、小王骑车从B地同时出发相向而行。小李、小张、小王的速度分别是每小时17千米、12.5千米、14.5千米。问经过几小时后,小李正好在小张与小王相距的正中点处?

3、(中南地区竞赛题,1992)幼儿园给表演节目12个小朋友做衣服,11人的平均布料是85厘米,小军的个子高,他用了布料比12人的平均数还多5.5厘米,小军用布料多少米?

4、(岳阳市竞赛题,1992)某校六年级甲、乙两班共有学生100名,一次数学考试,两班学生平均得75.4分,其中甲班学生平均73分,乙班学生平均78分,那么甲班比乙班多几名学生?

5、哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍,哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同,哥 29

哥与弟弟现在的年龄和为30,问哥哥、弟弟现在多少岁?

6、某旅游团租一辆车外出,租车费由乘车人平均负担,结果乘车人数与每人应付车费的元数相等,后来又增加了10个人,这样每人应付车费比原来减少了8元,这辆车的租车费是多少元?

7、把26张画片分给甲、乙、丙三人,乙分到的比甲的一半多2张,丙分到的比乙的一半多2张,则甲分到多少张?乙分到多少张?丙分到多少张?

8、一个三位数,三个数位上的数字和为13,百位数字比十位数字小3,个位数字是十位数字的2倍。求这个三位数。

[全讲综合训练]

1、妈妈带一些钱去买布,买2米布后还剩下1.80元;如果买同样的布4米则差2.40元,问;妈妈带了多少钱?

2、第一车间工人人数是第二车间工人人数的3倍,如果从第一车间调20名工人去第二车间,则两个车间人数相等,求原来两个车间各有工人多少名?

3、两个水池共贮水40吨,甲池注进4吨,乙池放出8吨,甲池水的吨数与乙池水的吨数相等,两个水池原来各贮水多少吨?

4、学校共买大、小凳子20张,一共付款96元,大凳子每张6元,小凳子每张4元,大、小凳子各买了几张?

5、甲、乙共有图书63册,乙、丙共有图书77册,三人中图书最多的人的书数是图书最少的人的书数的2倍,问:甲、乙、丙三人各有图书多少册?

6、(第三届《小学生数学报》竞赛题)王师傅加工1500个零件后,改进技术,使工作效率提高到原来的2.5倍,后来再加工1500个零件时,比改进技术前少用了18个小时,改进技术前后每小时各加工多少个零件?

7、(第一届九章杯竞赛题)一次数学测验,六(1)班全班平均91分,男生平均89,女生平均92.5,这个班女生有24人,问:这个班男生有多少人?

8、甲、乙两人从同一地点出发去某地,甲比乙早出发1小时而晚到2小时。甲每小时走4千米,乙每小时走6千米,求出发点与某地之间的距离。

9、一架飞机在甲、乙两城之间飞行,无风时每小时飞552千米。在一次往返飞行中,飞机顺风飞行了5.5小时,逆风飞行了6小时,问风速是每小时多少千米?

10、甲、乙两牧童,甲对乙说:“把你的羊给我一只,我的羊就是你的2倍。”乙回答说:“最好还是把你的羊给我一只,这样我们的羊就一样了。”问这两个牧童各有几只羊?

11、甲、乙两数,甲的2倍比乙大3,甲的3倍比乙的2倍小1,求这两数。

12、甲骑自行车从A地到B地,乙骑自行车从B地到A地,甲骑车的速度比乙每小时快2千米。二人在上午8点同时出发,到上午10两人还相距36千米,到中午12点,两人又相距36千米。求A、B之间的距离。

13、甲、乙两地相距20千米,A从甲地去乙地,同时B从乙地去甲地,两小时后,二人在途中相遇,相遇后A就返回甲地,B仍然向甲地前进。A回到甲地后,B离甲地还有2千米。求A、B两人的速度。

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第六讲 逻辑推理

[同步巩固演红]

1、有一座四层楼(如图),每层楼有3个窗户,每个窗户有4块玻璃,分别是白色和茶色。如果每个窗户表示一个数字,每层楼的三个窗户从左到右表示一个三位数,四个楼层表示的三位数分别是612,275,791,362。那么,第三层楼表示的三位数是多少?

2、在一桩谋杀案中,有两个犯罪嫌疑人甲和乙,另有四个证人在受到询问。

第一个证人说:“我只知道甲是无罪的。”

第二个证人说:“我只知道乙是无罪的。”

第三个证人说:“前面两个人的证词中至少有一个是真的。”

第四个证人说:“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”

通过调查研究,已证实第四个证人说了实话,那么凶手是谁?

3、地理课上,老师挂出一张没有注明省份名称的中国地图,其中有五个省分别编上了1~5号,让大家写出每个编号是哪一省,A答:2号是陕西,5号是甘肃;B答:2号是湖北,4号是山东;C答:1号是山东,5号是吉林;D答:3号是湖北,4号是吉林;E答:2号是甘肃,3号是陕西,这5名同学每人都只答对了一个省,并且每个编号只有一个人答对,问1~5号各是哪个省?

4、在甲、乙、丙三人中,有一位老师,一位工人,一位战士,知道丙比战士年龄大,甲和工人不同岁,工人比乙年龄小,请你推断谁是教师?谁是工人?谁是战士?

5、在三只盒子里,一只装有两个红球,一只装有两个白球,还有一只装有红球和白球各一个。现在三只盒子上的标签全贴错了。你能只从一只盒子拿出一个球来,就确定这三只盒子里各装的是什么吗?

6、甲、乙、丙三位老师分别上语文、数学、外语课。

(1)甲上课全用汉语;

(2)外语老师是一个学生的哥哥;

(3)丙是女的,比数学老师年轻

7、10个好朋友彼此住得很远,又没有电话,只能靠写信互通消息,这个10个人每人知道一件好消息(这10个人各自知道的好消息不同),为让这10个人都知道所有好消息,他们至少让邮递员送几封信?

8、四所小学,每所小学有两支足球队,这8支球队进行友谊赛、规定本校的两支球队之间不赛,任两个队(除同一学校的两个队之处)间赛一场,且只赛一场,比赛进行一阶段后(还没赛完),A学校第一队的队长发现其他各队已赛的场数互不相同,问:这时A学校第二队赛了几场?

31

9.教室里的椅子坏了,第二天上学时,老师发现椅子修好了。经了解,椅子是A、B、C三人中的一个人修好的,老师找来这三个人。

A说:“是B做的。”

B说:“不是我做的。”

C说:“不是我做的。”

经调查,三人中只有一个说了实话,椅子是谁修的呢?

10、某商品编号是一个三位数。现有五个三位数:874、765、123、364、925,其中每个数与商品编号恰好在同一个数位上有一个相同数字,商品的编号多少?

[能力拓展平台]

1、今天上午有语文、数学、美术、音乐、体育、自然中的三门课,A,B,C,D,E五人争论是哪三门课。

A说:“肯定没有音乐课。”

B说:“有语文课和体育课。”

C说:“音乐课和数学课只有一门。”

D说:“没有自然课和美术课。”

E说:“C、D中有一人说错了。”

实际上只有一个说错了,那么今天上午的三门课分别是什么课?

2、甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛,并决出了一、二、三、四名。已知:

(1)甲比乙的名次靠前;

(2)丙、丁经常一起踢球;

(3)第一、二名在这次比赛中才认识;

(4)第二名不会骑车,也不爱踢足球;

(5)乙、丁每天一起骑车上班。

请判断他们各自的名次。

3、赵、钱、孙、李四人,一个是教师,一个是售货员,一个是工人,一个是个体户,根据以下条件,判断这四人的职业。

⑴赵和钱是邻居,每天一起骑车上班;

⑵赵年龄比孙大;

⑶赵在教李打太极拳;

⑷教师每天步行上班;

⑸售货员的邻居不是个体户;

⑹个体户和工人互不认识;

⑺个体户比售货员和工人年龄都大。

4、A、B、C、D、E五个好朋友曾在一张圆桌上讨论过一个复杂的问题,今天他们又聚在一起,回忆当时的情景:

A说:“我坐在B的旁边。”

B说:“坐在我左边的不是C就是D。”

C说:“我挨着D。”

D说:“C坐在B的右边。”

实际上他们都记错了,你能说出当时他们是怎样坐的吗?

5、李明、陈昕和孙梅是小学教师,在语文、数学、政治地理、音乐和图画六门课中每人教两门,现在已知:

32

⑴政治教老师和数学老师是邻居。 ⑵陈昕最年轻。

⑶李明老师常对地理老师和数学老师说他看的书。 ⑷地理老师比语文老师年纪大。

⑸陈昕、音乐老师和语方老师三人常一起看足球比赛。 李明、陈昕、孙梅三位老师每人教哪两门课?

6、某次考试共有6道是非题,要求正确的画“√”,错误的画“×”,每题答对得3分,不答得0分,答错扣1分。甲、乙、丙、丁四人的答案及前3人的得分如下表,问丁得多少分?

7、甲、乙、丙在南京、苏州、无锡工作,他们的职业分别是工人、农民或教师。已知: ⑴甲不在南京工作; ⑵乙不在苏州工作的是工人; ⑶在苏州工作的是工人; ⑷在南京工作的不是教师; ⑸乙不是农民。

三人各在什么地方工作?各是什么职业?

8、在一次射击练习中,甲、乙、丙三位战士打了四发子弹,全部中靶,其命中情况如下: ①每人四发子弹所命中的环数各不相同。 ②每人四发子弹所命中的总环数均为17环;

③乙有四发命中的环数分别与甲其中两发一样,乙另两发命中的环数与丙其中两发一样; ④甲与丙只有一发环数相同;

⑤每人每发子弹的最好成绩不超过7环。 问:甲与丙命中的相同环数是几?

9、某个家庭现有四个家庭成员,他们的年龄各不相同,他们的年龄总和是129岁,而其中有三个的年龄是平方数,若倒退15年,这四人仍有三人的年龄是平方数,你知道他们各自的年龄吗?

10、有A、B、C三个足球队,两两比赛一场,共赛了三场,A队两胜,进6球失2球;B队一胜一负,进4球失4球;C队两负,进2球失6球。请写出三场比赛的具体比分。 [全讲综合训练]

1、(北京市第九届“迎春杯”竞赛决赛题)A、B、C、D、E五个同学来自江滨中学、第十五中学、光明中学三所学校(每所学校至少有他们当中的一名同学),已经知道:

⑴在光明中学举行的晚会上,A、B、E作为被邀请的客人去该校表演小提琴三重奏; ⑵B过去曾在第十五中学学习,后来转学了,现在同E在一个班里学习; ⑶D和E是同一所学校里的三好学生。

根据上述情况,可以判断A在哪一所中学学习?

2、(第三届华杯赛试题)某年的10月里有5个星期六,4个星期日,问:这年的10月1

33

日是星期几?

3、(第五届《小学生数学报》竞赛试题)李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业,三人中有一人当了记者,一次有人问起他们的职业,李志明说:“我是记者”张斌说:“我不是记者”王大为说:“李志明说了假话”如果他们三个人的话当中只有一句是真的,问:谁是记者?

4、(北京市第七届“迎春杯”竞赛试题)甲、乙、丙、丁坐在同一排的1~4号座位上,小红看着他们说:“甲的两边不乙,丙的两边不是丁,甲的座位号比丙大”问:坐在1号座位上的是谁?

5、(北京市竞赛题,1988)甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印上了不同的号码。 赵说:“甲是2号,乙是3号”

钱说:“丙是4号,乙是2号”

孙说:“丁是2号,丙是3号”

李说:“丁是1号,乙是3号”

又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半,问:丙的号码是几号?

6、(南京市竞赛题,1998)A、B、C、D四名学生猜测自己的数学成绩。

A说:“如果我得优,那么B也得优”

B说:“如果和得优,那么C得优”

C说:“如果我得优,那么D也得优”

大家都没说错,但只有两人得优,问:这两人是谁?

7、(全国奥赛题,1989)A、B、C、D、E五人参加乒乓球赛,每两人都要赛一盘,规定胜者得2分,负者得0分,现在知道比赛结果是:A和B并列第一名,C是第三名,D和E并列第四名,问:C的得分是多少?

8、(第;四、届华杯赛决题)某校学生中,没有一个学生读过学校图书馆的所有图书,又知道图书馆内任何两本书至少被一个同学读过问:能不能找到两个学生甲、乙和三本书A、

B、C,甲读过A、B,没读过C;乙读过B、C,没读过A?说明判断过程。

9、(北京市第十届“迎春杯”竞赛题)布袋中12个乒乓球分别标上了1,2,3,?12,甲、乙、丙三人每人从布袋中拿四球,已知三人、所拿球上的数的和相等,甲有两球标上5、12,乙有两球标有6、8,丙有1球标1,问丙的其它三个球上所标的数是多少?

10、(北京市第七届“迎春杯”竞赛题)在运动会上,小赵、小李、小刘各获得一枚奖牌,其中一人得金牌,一人得银牌,一人得铜牌,王老师猜测:“小赵和金牌;小李不得金牌;小刘不得铜牌”结果王老师只猜对了一个,问:小赵、小李、小刘各得什么牌?

11、(福建省第三届“小火炬杯”竞赛题)小兰、小红、小康其中有一人在县一小念书,有一人在县二小念书,还有一人在县三小念书,三人中有一人爱下围棋,有一人爱画画,还有一人爱弹琴,已知:

⑴小兰不在县一小;

⑵小红不在县二小;

⑶爱好弹琴的不在县三小;

⑷爱下围棋的在县一小;

⑸爱下围棋的不小红;

问:这三人分别在哪一所学校念书?爱好是什么?

12、甲、乙、丙三位工人在A、B、C三家工厂当钳工、车工、锻工、已知:

⑴甲不在A厂;

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⑵乙不在B厂;

⑶在A厂的不是钳工;

⑷在B厂的是车工;

⑸乙不是锻工;

问这三位工人分别在哪家工厂,是什么工种?

13、在下图中,二、三、四号位为前排,一、六、五号位为后排,六名排球队员分别穿1,2,3,4,5,6,号球衣,每个队员的站位号与他们的球衣号都不相同。一、四号位站主攻;

二、五号位站二传,三、六号位站副攻。已知:

⑴1号、6号不在后排;

⑵2号、3号不是二传手;

⑶3号、4号不同排;

⑷5号、6号不是副攻。

判断每个队员的站位。

14、某学校举行了一次长跑比赛,有A、B、C、D、E、F、G、H八人参加比赛,比赛结束后,每人都说了两句话,即

A说:“B得了第一名;G不在我前面”

B说:“E没有G跑得快;D不在H前面”

C说:“H不比我跑得快;F不在D前面”

D说:“我得了第二名;C不是最后一名”

E说:“我不在F前面;B不在我前面”

F说:“A得了第一或第二;E不是第四名”

G说:“有两人同时到达终点;D不在我前面”

H说:“A不在我前面,B不在D前面”

这八个人所说的十六句话,只有一句是正确的,你知道哪一句是正确的吗?八名运动员的名次如何?

15、某校四年级1班、2班举行跳棋比赛,两班各出五名选手进行循环赛,即每名选手都与对方五名选手各赛一盘,每天赛五场,共赛五天。1班的五名选手是甲、乙、丙、丁、戊

⑴第一天甲对手第二天与乙相遇;

⑵第三天被丁打败的选手第四天胜了戊

⑶第四天戊 的对手第五天与乙下成和棋;

⑷第五天胜了丙的选手第三天败给乙;

⑸第二天戊 的对手最后一天与甲对阵。

问第三天与甲比赛的选手,最后一天与谁比赛?

16、在一次战役中,甲方俘虏了乙方100名官兵,一天甲方告知乙方的100名俘虏:明天会以一种特别的方式释放这100名俘虏中的一些人,这100名俘虏将被排成一列,他们的头上将随机地被戴上一顶黑色或白色的帽子,每个人都只能看见前面所有人的帽子的颜色,但不能看到后面及自己头上帽子的颜色。

甲方军官将从队伍最后一个人开始逐一询问同样一个问题:“请说出你头帽子的颜色”,如果回答正确,该俘虏将无条件获得释放,如果回答犯错误将被终身监禁,当然,每一个俘虏除能看到前面所有人的帽子颜色外,他还可以听到后面俘虏所回答的帽子颜色(最后一名 35

俘虏除外)

作为为100名俘虏的指挥官将设计一个最好的策略告诉他的部下,在明天的“测试”中,使尽可能多的同伴获得释放。

请问:被俘方的指挥官将设计一个什么样的策略,使尽可能多的同伴(俘虏)获得释放,最多能释放多少个俘虏?

第七讲 抽屉原理

[同步巩固演练]

1、在一条长100米的小路一旁种101棵树苗,证明:不管怎样种,至少有两棵树苗之间的距离不超过1米。

2、一位运动员用11秒钟跑完了100米。证明:在跑的过程中必有一秒钟,他跑的距离超过了9米。

3、在一副扑克牌中取牌,至少取多少张,才能保证其中必有3张牌的点数相同?

4、从13个自然数中,一定可以找到两个数,它们的差是12的倍数。

5、20名乒乓球运动员进行单循环比赛。证明:在比赛过程中的任何时候,至少有两位选手比赛过的场次相同。

6、图书角有三种图书:科技书、文艺书、故事书。每位学生可任意借两本图书。问:至少应有多少学生来借书,才能保证其中必有4人借的书完全相同?

7、一个幼儿班有40名小朋友,现在有各种玩具125件。把这些玩具分给小朋友,是否有人会想到4件或4件以上的玩具?

8、有三张卡片,卡车上分别写着数字1、2、3。同学们任意选两张数字不同的卡片组成一个两位数。问至少要有几个同学才能保证有两个人选的卡片所组成的两位数相同?

9、19朵鲜花插入4个花瓶里。求证:至少有一个花瓶里要插入5朵或5朵以上的鲜花。

10、在一个口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球,一次至少摸出多少个小球,才能保证至少有4个球的颜色相同。

11、某班共有40名学生,他们都参加了课外兴趣小组,活动分英语组、书法组、钢琴组,每人可任选一个或几个组参加,那么班级中至少有多少个学生参加的组和组数完全相同?

12、一个口袋里有5个黑球,8个白球,9个红球,2个蓝球,一次至少取出多少个球才能保证至少有一个红球?

13、夏令营有400个小朋友参加,这些小朋友中至少有

14、任意取多少个自然数,才能保证至少有两个数的差是7的倍数?

15.在正方体的每个面上,分别涂上红、黄、蓝三种颜色(每个面上只涂一色)。证明:至少有二个面涂有相同的颜色。

[能力拓展平台]

1、某商店有126箱苹果,每箱至少有120个,至多有144个,现将苹果个数相同的箱子作为一组,如果其中箱子数最多的一组有n个箱子,那么n的最小值是多少?

2、在一个边长为1分米的正三角形内任意放置10个点。证明:至少有2个点之间的距离不超过1分米。 3

3、至少要给出多少个自然数(这些数可以随便写),才能保证其中必有两个数,它们的差是7的倍数?

36

4、在边长为4的正方形内,至少任意放进几个点,那么其中必有3个点,它们构成的三角形的面积不大于2?

5、从1,2,3?,100这100个数中任意挑出51个数来,证明在这51个数中,一定有:

(1)2个数互质;(2)2个数的差为50;(3)8个数,它们的最大公约数大于1。

6、任意给定1991个自然数。证明:其中必有若干自然数的和是1991的倍数。

7、将1,2,3,?,9,10这10个数按任意顺序排在一个圆周上。证明:在圆周上的10个数中,必有相邻的3个数,其和不小于17。

8、上体育课时,21名男女学生排成3行7列的队形做操。老师发现按大小个的排法可以从队形中划出一个矩形,站在这个矩形四个角上的学生或者都是男生或者都是女生。你能不能找一种排法,仍是站3行7列,但上面所说的矩形不存在?如果能,说出站法;如果不能,说明原因。

9、平面上给定6个点,没有三个点在一条直线上。证明:用这些点为顶点所组成的三角形中,一定有一个三角形,它的最大边同时是另一个三角形的最小边。

10、已知在边长为1的等边三角形内(包括边界),任意点了五个点,求证:至少有两点之间的距离不大于1。

2

第10题

[全讲综合训练]

1、(全国小学数学竞赛题)幼儿园小朋友分水果,有苹果、鸭梨和橘子三种,如果每个小朋友任意拿两个,那么至少几个小朋友拿过后才一定会出现两人拿的水果是相同的。

2、(全国小学数学竞赛题)三(2)班有44名学生,他们都订了甲、乙、丙三种报刊中的若干种,有的只订甲,有的只订乙,有的只订丙,有的订甲乙,有的订甲丙,有的订乙丙,还有甲乙丙都订,问一定至少可以找出几个人订的报刊相同。

3、一次数学竞赛出了10道选择题,评分标准为:基础分10分,每道题答对得3分,答错扣一分,不答不得分。要保证至少4人得分相同,至少需多少人参加竞赛?

4、有一批四种颜色的小旗,任意取三面排成一行,表示各种信号。某天上午共打了200次信号,其中至少有多少个信号相同?

5、在10×10方格纸的每个方格中任意填入1、2、3、4四个数之一,然后分别对每个2×2方格中的四个数求和。在这些数中,至少有几个相同。

6、(第二届新苗杯竞赛题)五年级有165个学生,都参加篮球、足球和乒乓球三项体育活动中的一项、二项或三项,其中一定可以找到至少几个同学参加了项目相同的活动?

7、(第二届新苗杯竞赛题)六年级有168个学生,都参加篮球、足球、乒乓球和跳绳四项体育活动中的一项、二项、三项或四项,其中一定可以至少找出多少个同学参加了项目相同的活动?

8、黑色、白色、黄色、红色的筷子分别有1根、3根、5根和7根混杂在一起,黑暗中 37

想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子,至少要取多少根才能保证达到要求?

9、一个袋子中有100只红袜子,80只蓝袜子,60只绿袜子,40只白袜子,让你闭上眼睛从袋子中摸袜子,每次只许摸一只。至少要摸出多少只,才能保证摸出的这几只袜子中至少有一双颜色一样。

10、用2、4、6、8这四个数字任意写一个2000位数,从这个2000位数中任意截取相邻的4个数字,可以组成许许多多的四位数,这些四位数中至少有多少个相同?

11、

23×23的方格纸中,将1至9这9个数字填入每个小

12、幼儿园买来不少白兔、狗、长颈鹿玩具,每个小朋友都分到其中的一、二或三种,某班有40人,他们当中至少有多少人拥有玩具相同?

13、任意多少个自然数,就可以保证其中必有四个数的和是4的倍数?

14、某班同学要从10名候选人中投票选举班干部。如果每个同学只能投票任选两名候选人,那么这个班至少应有多少个同学,才能保证必有两个或两个以上的同学投相同两名候选人的票?

15、(第十三届未来杯竞赛题)从4,8,12,16,20,?,72,76这列数(都是4的倍数,最大是76)任取11个数,其中至少有两个数的差为36,请说明为什么?

16、一个箱子里有50只球,其中,红、黄、蓝、墨球各10只,其余为紫球和绿球,这些球只是颜色不同,如果在黑暗中取球,要取出至少5只同色球,那么至少要取出多少只球?

17、从2,4,6,8,?,56,58这29个偶数中至少任意取出多少个数才能保证有两个数的和为62?

18、设自然数n具有以下性质:从前n个自然数中任取21个,其中必有两个数的差是5。这样的n中最大的是。

19、两个布袋中有12个大小一样的球,且都是红、白、蓝色各4个。先从第一个袋中尽可能少且至少有两个颜色一样的球放入第二个袋中,再从第二个袋中拿出尽可能少的球放入第一个袋中,使第一个袋中每种颜色的球不少于3个。这时两个袋中各有多少个球(拿球时不许看)。

20、任意给定一个正整数n,一定可以将它乘以适当的整数,使得乘积是完全由0及7组成的数。

38

下学期

第八讲 数的整除

[同步巩固演练]

1、小光买了3支铅笔、5支圆珠笔、8支 笔记本和12块橡皮,共用去12元1角,铅笔1角2分1支,圆珠笔8角1支,售货员的账算错了没有?

2、光华小学为同学们代买179支铅笔和179块橡皮,铅笔8角1支,橡皮3角1块,营业员告诉采购员要付186.9元,采购员并没有具体核算就告诉营业员算错了。他怎么知道的呢?

3、整数A427B6能被72整除,求A和B各表示多少?

4、能被4、5、6整除的最大三位数是多少?

5、已知一个自然数A,它能被15整除,且它的各个数位上的数字只有2、5两种,则这种最小的六位数A是多少?

6、在532后面补上三个数字,组成一个六位数,使它能分别被3、4、5整除 ,这样的六位数中最小的是多少?

7、四位数8A1B能同时被5、6整除,则这个四位数是多少?

8、一个两位数,将它的十位数字与个位数字互换所成的两位数与原数的乘积是3154,求原数。

9、有一个六位数□1989□能被44整除,求这个六位数。

10、已知75|3A6B5,这个五位数最大是多少?

11、五位数4H97H能被3整除,且末两位7H能被6整除,求这个五位数。

12、九位数2AB2AB2AB是91的倍数,求这个九位数是多少?

13、填上适当的数字,使36□□这个四位数能同时被2、3、4、5、9整除。

14、连续三个自然数的积一定是6的倍数,为什么?

15、连续四个自然数的积一定是12的倍数,为什么?

16、如果六位数□1993□能被33整除,这样的六位数有哪些?

17、已知整数1a2a3a4a5a能被11整除,则

18、四位数7□4□能被55整除,这样的四位数有哪些?

19、一个七位数的各位数字均不相同,并且它能被11整除,这样的七位数中,最大的一个是多少?

20、从0、3、5、7这四个数字中任选3个数,排成能同时被2、3、5整除的三位数,这样的三位数有多少?

21、一个无重复数字的五位数3□6□5,千位与十位数字看不清了,但知这个数是75的倍数,问这种五位数有哪几个?

22、一个五位数,各个数位上的数字均不相同,它能被3、5、7、11整除,这样的数中最大的是多少?

23、一个六位数的各位数字均不相同,最左边一位的数字是3,且它能被11整除,这样 39

的六位数中最小的是多少?

24、商店里有6只不同的货箱,分别装有货物15、16、18、19、20、31千克。两个顾客买走了其中5箱货物 ,而且一个顾客的货物重量是另一个顾客的2倍,商店里剩下的那箱货物是多少千克?

25、731□是一个四位数,在□内依次填入三个数字,使组成的三个四位数依次能被9、11、6整除,这三个数字之和是多少?

26、将1,2,3,?,30从左到右依次排列成一个51位数123456?2930,试求这个51位数除以11的余数。

27、55个苹果分给甲、乙、丙三人,甲的苹果个数是乙的2倍,丙最少,但也多于10个,则甲、乙、丙分别得苹果多少个?

28、三个数分别是346,734,983,请再写一个比996大的三位数,使这四个数的平均数是一个整数,这个三位数是多少?

29、在1至100这100个自然数中,有多少个不能被3或7整除?

30、在368后面补上三个数字组成一个六位数,使它同时能被3,4,5整除,这样的六位数中最小的是多少?

31、用1至9这九个数字每个数字各一次,组成三个能被9整除的三位数,要求这三个数的和尽可能大,则这三个数分别是多少?

32、已知A是一个自然数,它是15的倍数,并且它的各个数位上的数字只有0和4两种,A最小是多少?

[能力拓展平台]

1、从0、2、3、7、9这五个数字中选出三个数字组成三位数。在所有这样的三位数中,能被3整除的数多,还是能被9整除的数多?多多少个?

2、有一类自然数111?1,它的各位数字都是1,并且它们都是7的倍数,也是37的倍数,还是11的倍数。这样的自然数中最小的一个是多少?

3、有一类三位数,它能被11整除,如果去掉末位数字,所得的两位数又能被18整除,这样的三位数有哪些?

4、一个六位数,六个数字各不相同,且是17的倍数。符合条件的最大六位数是多少?

5、三位数的百位、十位、个位的数字分别是5、a、b,将它们接连重复写99次成为:5ab5ab?5ab如果此数能被91整除,这个三位数5ab是多少? ???????

99个5ab

6、将自然数1,2,3,4,5,6,7,8,9依次重复写下去组成一个1993位数,试问:这个数能否被3整除?

7、某小学四、五六年级学生下午参加劳动,其中一个班的学生留下来打扫环境卫生,一部分学生到建筑工地搬砖,其余学生到校办工厂劳动,且到建筑工地搬砖人数是到校办工厂劳动人数的2倍。各个班级参加劳动人数如下表,留下来打扫卫生的是哪个班?

8、用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字每字各用一次,写出三个能被9整除的尽可能大的三位数,这三个数各是多少?

9、某个七位数1993□□□能被2,3,4,5,6,7,8,9都整除,那么它的最后三个数 40

字组成的三位数是多少?

10、将自然数1、2、3、4、?依次写下去组成一个数12345678910111213??如果写到某个自然数时,所形成的数恰好第1次能被72整除,那么这个自然数是多少?

11、将自然数10,11,?,50从左到右右依次排列成一个多位数101112?4950,求这个多位数除以11的余数。

12、在□内填上合适的数字,使六位数19□88□能被35整除。

13、一个位数,它能被9和11整除,去掉这个六位数的首、尾两个数字,中间的四个数字是2002,问这个六位数是多少?

14、一个自然数与19的乘积的最后三位数是321,求满足条件的最小的自然数。

15、四个连续自然数的和是一个在400至440之间的三位数,并且这个和能被9整除,求这四个连续自然数。

16、两个自然数的各位数字中都只用到1、4、6、9这四种数码。问:是否有可能使其中的一个自然数恰好是另一个自然数的17倍?

17、将自然数N接在任一自然数的右面(例如将2接在35的右面得352),如果所得的新数都能被N整除,那么称N为“神奇数”问:在小于130的自然数中有多少个“神奇数”?

[全讲综合训练]

1、a、b是两个小于10的任意自然数(a≠b)试证明由这两个数字组成的两个两位数的差能被9整除。

2、甲乙两数,甲数=400400?0,甲数÷乙数=4000,且甲数与乙数的和的万位数字不是???

若干个0

0,甲、乙两数分别是几?

3、一类四位数,能同时被5、6、7整除。如果把这样的四位数按从小到大的顺序排成一列,位于最中间的是哪一个四位数。

4、试求三个不同的自然数a、b、c,使其中任两个数的积都能被它们的和整除(即 a×b÷(a+b),a×c÷(a+c),b×c÷(b+c)都是整除)。

5、四个小朋友计算一道两个加数是四位数并且互为倒序数的加法(如:1537+7351、6124+4216等)。甲的答案是14221;乙的答案是14222;丙的答案是14223;丁的答案是14224。已知甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学的结果是正确的。那么做对的同学是谁?为什么?

6、(第四届国际数学奥赛题)求适合下列条件的最小自然数:(1)它的个位数字是6;(2)把它的个位数字6去掉并移至最前面,所得数是原数的四倍。

7、1~9九个数字按图所示的顺序,排成一个圆圈,请在某两个数字之间剪开,然后分别按顺时针方向排列成两个九位数,如果所得两数的差能被396整除,应在何处剪?

第7题

8、有一个1999位的数A能被9整除,它的各位数字之和为a,a的各位数字之和为b,b的 41

各位数字之和为c等于多少?

9、甲、乙两人进行了下面的游戏,两人先约定一个整数N然后由甲开始,轮流把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9

每一方格中只填一个数字,六个方格都填上数字(数字可重复)后,就形成一个六位数,如果这个六位数能被N整除,就算乙胜;如果这六位数不能被N整除,就算甲胜,设N小于15,那么当N取哪几个数时,乙才能取胜?

10、将12至2000这1989个自然数依次写出得一位数1213141516?1998119992000,试求这个多位数除以9的余数。

11、下图是一个由三个相同的小正方形组成的“L”形,问能否用足够多的这种小“L”形盖满1997×1999的长方形棋盘?

第11题

12、用数字1~9组成九位数,左起第一位能被1整除,前两位能被2整除,前三位能被3整除,?,前九位能被9整除,已知第七位是7,求这个九位数。

42

第九讲 约数、倍数和最大公约数、最小公倍数

9.1约数、倍数

[同步巩固演练]

1、试求下列各数的约数的个数:

(1)3136; (2)46305

2、试求下列各数的约数的和:

(1)1998: (2)16200

3、甲数的2倍等于乙数,乙数的3倍等于丙数,丙数的4倍等于甲数,求甲数。 4、100以内能被3与7整除的最大奇数是几?最大偶数是几?

5、小于200的有14个约数的自然数是多少?

6、有奇数个约数的三位数是多少个?

7、在所有两位数中,哪个数的约数最多?最多有多少个约数?

8、有12个数约数的最小自然数是几?

9、求出不大于30且有八个约数的最大自然数。

10、求小于1000的只有15个约数的最大自然数。

11、能同时被2,3,5,7整除的最小四位数是几?

12、如果abcde×4=edcba,求五位数abcde。

13、把316表示成两个数的和,使其中一个是13的倍数,另一个是11倍的数,求此二个数。

14、四个连续的自然数的积是3024,求此四个数。

15、十个连续的三位数,最大不超过130,这十个数的和是77倍数,求这十个数。

[能力拓展平台]

1、求50至70之间只有4个不同约数的所有自然数。

2、已知a有8个约数,b有9个约数,且a、b的最大公约数是12,试求a与b。

3、一个数的约数中,将所有约数两两求和,所有的和中,最小的是3,最大的是1200,求这个数。

4、修改31743的某一个数字,可以得到823的倍数,问修改后的这个数是几?

5、一个数如果等于除它本身外的所有约数的和,则称此数为完全数,已知30以内有两个完全数,试把它们找出来,并请找出,在496,996,4128中哪几个完全数?

6、一串数排成一行,头两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和,即1,1,2,3,5,8,13,21,?。在这串数的前2000个数中,共有多少个6的倍数。

9.2 最大公约数、最小公倍数

[同步巩固演练]

1、求35,98,112的最大公约数与最小公倍数。

2、求403,527,713的最大公约数与最小公倍数。

3、老师将301个笔记本,215支铅笔和86块橡皮分给班里同学,每个同学得到的笔记本、铅笔和橡皮的数量都相同,那么,每个同学各拿到多少?

4.两个数的最大公约数是6,最小公倍数是504,如果其中一个数是42,那么另一个数是多少?

5.某校全体学生列队,不论他们人数相等地分成2队,3队,4队,5队,6队,7队,8队或9队,都会多出1人,那么该校至少有多少名学生?

43

6.已知两数的最大公约数是8,最小公倍数是64,求这两个数。

7.两个自然数的和是432,它们的最大公约数是36,求这两个数。

8.两个整数的最小公倍数是1925,这两个整数分别除以它们的最大公约数,得到的两个商的和是16,求这两个整数。

9.两个自然数的差是3,它们的最大公约数与最小公倍数的积是180,求这两个数。

10.一块长方形地面,长120米,宽60米,要在它的四周和四角中树,每2棵之间的距离相等,最少要种树苗多少棵?每相邻两棵之间的距离是多少米?

11.已知两个自然数的积是5766,它们的最大公约数是31,求这两个自然数。

12.兄弟三人在外工作,大哥6天回家一次,二哥8天回家一次,小弟12天回家一次,兄弟三人同时在十月一日回家,下一次三人再见面是哪一天?

13.将长25分米,宽20米,高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体,不能有剩余,每个立方体的体积是多少?一共可锯多少块?

14.一箱地雷,每个地雷的重量相同,且都是超过1的整千克数,去掉箱子后地雷净重201千克,拿出若干个地雷后,净重183千克,求一个地雷的重量?

15.甲、乙、丙三个班的学生人数分别是54人、48人和72人,现要在各班内分别组织体育锻炼小组,但各小组的人数要相同。锻炼小组的人数最多是多少?这时甲、乙、丙三班各有多少个小组?

16.设计一种底面为正方形的包装箱,装运四种不同规则的象棋。每种棋盒底面都是正方形,边长分别是21厘米、12厘米、14厘米和10.5厘米。要使包装箱不论装运哪一种规格的象棋都能铺满底面,问包装底面的边至少是多少厘米?

17.一张长方形纸,长2703厘米,宽1113厘米,要把它裁成若干个同样大的正方形,纸张不能有剩余,正方形边长最大多少厘米?

18.某数与24的最大公约数是4,最小公倍数是168,这个数是多少?

19.所有形如abcabc的六位数中(其中a,b,c均为从0到9的整数a≠0)它们的最大公约数是多少?

20.某公共汽车站有三条线路通往不同地方。第一条线路每隔5分钟发车一次,第二条线路每隔6分钟发车一次,第三条线路每隔10分钟发车一次,三条线路在同一时间发车后,再过多少分钟又同时发车?

[能力拓展平台]

1、(北京市第三届迎春杯试题)四个连续奇数的最小公倍数是6435,这四个数中最大的一个数是多少?

2、(天津市“我爱数学”试题)两个数的积是5766,它们的最大公约数是31,这两个数是几?

3、(南京市第二届“兴趣杯”决赛题)七个不同的三位数的最大公约数中,最大的是几?

4、两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是多少?

5、设a与b为两个不相等的自然数,如果它们的最小公倍数是72那么a与b之和可以有多少种不同的值?

6、在被除数小于100的条件下,在方格中填上适当的数

44

□=4??4

□=5??5

□=6??6

7、有三根铁丝,长度分别是120厘米、180厘米和300厘米,现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余,至少可截成多少段?

8、将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料,锯成同样大小的正方体小木块,问当正方体的边长是多少时,用料最省且小木块的体积总和最大?(不计锯时的损耗,锯完后木料不许有剩余)

9、一排电线杆的每相邻两根的距离,原来都是45米,现在改成60米,如果起点的一根不动,再过多远又有一根不移动?如果马路全长5400米,一共有多少根可以不移动?

10、某厂加工一种机器零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个,第二道工序每个工人每小时完成12个,第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使生产顺利进行,又不浪费人力、时间,三道工序至少各分配几个工人?

11、两个数的差是48,最小公倍数是60,求这两个数。

12、(全国小学数学竞赛试题)甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数,商是12,如果甲、乙两数相差为18,求此二数。

13、(第二届华杯赛决赛一试题)在一根长木棍上,有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成10等分,第二种刻度线把木棍分成12等分,第三种刻度线把木棍分成15等分,如果沿每条刻度线把木棍锯断,木棍总共被锯成多少段?

14、写出小于20的三个自然数,使它们的最大公约数是1,但其中任意两个数都不互质。

15、用2、3、4、5、6、7六个数组成两个三位数,使这两个三位数与540的公约数尽可能地大。

16、写出三个小于10的自然数,使它们三个数中有两个数的最大公约数为1,其余的最大公约数大于1。

17、已知[a,b]=1000,[b,c]=2000,[c,a]=2000,满足上述要求的数组{a,b,c}共有多少组?

[全讲综合训练]

1、王斌每隔7天去图书馆借一次书,李兴每隔10天去借一次书,陈军每隔15天去借一次书。已知4月20日他们在一起借书,那么离4月20日最近的、他们三人又在同一天借书是几月几日?

2、化肥厂包装车间对化肥进行包装,需要经过:扎编织袋、装化肥入袋,缝袋口以及搬运4道工序。每人每小时能扎编织袋24个,或装化肥36袋,或缝袋口18只,或搬运化肥16袋。这个车间至少要多少名工人才能进行合理分工?

3、从甲、乙两地原来每隔36米安装一根电线,现在改成每隔54米安装一根电线杆。在安装过程中,除两端的两根不需要移动外,途中还有14根不需要移动。那么甲、乙两地相距多少米?

4、甲、乙两位同学写了两个数给老师看,老师看后告诉大家:甲、乙写的是两个不互质的自然数,甲写的数除以9,乙写的数除以10后,不改变这两个数的最大公约数,甲、乙写的两个数的最小公倍数是180。你知道甲、乙两位同学分别写的是什么数?

5、设A,B两个数都只含有质因数3和5,它们的最大公约数是75,已知A有12个约数,B有10个约数,那么A,B两数的和等于多少?

6、已知两个自然数的差为3,它们的最大公约数与最小公倍数之积为180,求这两个自然数。

45

7、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛,狐狸每次跳4

都只跳一次,比赛途中,从起点开始,每隔12

阱时,另一个跳了多少米? 13米,黄鼠狼每次跳2米,它们每秒钟243米设有一个陷阱,当他们之中有一个掉进陷8

8、某班学生人数不超过60人,一次测验成绩分为优、良、及格和不及格四等,已知这次测验该班有111的学生及格,问该班不及格的学生有多少人? 732

9、(第二届华杯赛试题)有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每船坐6人,如果减少一条船,正好每船坐9人,这个班有多少人?

10、(全国奥赛题,1992)把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组,要求每组中任两个数的最大公约数都是1,那么,至少要分几组?

11、把1~1999这1999个数分成n个小组,使每个数都至少在一个小组中,且第一组中没有2倍数,第二组中没有3倍数,第三组中没有4的倍数,?,第n组中没有n+1的倍数,那么,n至少是几?

12、一组五个连续自然数的和能分别被2,3,4,5,6整除,求满足此条件的最小一组数。

13、有15位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说:“这个数能被2整除”,3号说:“这个数能被3整除”,?15号说:“这个数能被15整除”1号同学一一验证后发现,只有(编号连续的)两位同学说得不对,其余同学都对,问:

(1)说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?

(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请求出这个数。

46

第十讲 质数、合数和分解质因数

10.1质数和合数

[同步巩固演练]

1、(南京市外校招生试题)若a是最小的自然数,b是最小的质数,c是最小的合数则a+b+c= 。

2、把1至8这8个自然数填入图5-2大圆上的小圆圈内,使任意相邻两圆圈内数的和都是质数(绕大圆圆心旋转而变成相同的填法算一种填法)。

第2题

3、两个质数的和是99,这两个质数的积是多少?

4、两个连续自然数的积加上11,其和是一个合数,这两个自然数的和最小是多少?

5、有7个不同的质数,它们的和是偶数,其中最小的质数是几?

6、由1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字组成的九位数可以是质数吗?

7、写出10个连续自然数,个个都是合数。

8、3个质数倒数之和是167,则这三个质数的和是多少? 285

9、有两个质数的积是65,它们的和是多少?差是多少?

10、19乘以一个数积是质数;乘以另一个数积是合数,并能被1,2,3,4,?等自然数整除,问这两个数(不能是分数或小数)分别是什么数?

[能力拓展平台]

1、(全国奥赛决赛题,1990)用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字组成质数,如果每个数字都要用到并且只用到1次,那么,这9个数字最多能组成几质数?

2、(南京第二届兴趣杯赛题)如果a是自然数,(a×a-4)÷7是质数,那么a的最小两个数值是几?

3、(全国竞赛题)请给出5个质数,把它们按从小到大的顺序排列起来,使每相邻两数的差都是6。

4、(北京市第七届迎春杯试题)9个连续自然数,它们都大于80,那么其中质数至多有几个?

5、(第一届华杯赛一决赛题)如下图,四个小三角形的顶点处有六个圆圈,如果在这些圆圈中分别填上六个质数,它们的和是20,而且每个小三角形三个顶点上填的数的和相等,问六个质数的积是多少?

47

第5题

6、(第六届华杯赛试题)“哥德巴赫猜想”是说:每个大于2偶数都可以表示成两个质数的和,问168是哪两个两位质数的和,并且其中一个的个位数是1?

7、(第五届华杯赛复赛试题)把37拆成若干个不同数的和,有多少种不同拆法?将每一种拆法中拆出的那些质数相乘,得到乘积中哪个最小?

8、(第五届华杯赛决赛试题)27名小运动员所穿运动服的号码恰是1,2,3?,26,27这27个自然数,这些小运动员能否站成一个圆圈,使任意两个相邻运动员之和都是质数?说明理由。

10.2 分解质因数

[同步巩固演练]

1、相邻两个自然数的乘积是756,这两个自然数分别是多少?

2、有5个连续偶数的积是3840,求这个数各是多少?

3、有5个连续奇数的积是945,求这五个数各是多少?

4、五个孩子的年龄一个比一个小1岁,他们的年龄的乘积是55440,求这五个孩子的年龄。

5、有3个自然数a、b、c,已知a×b=6,b×c=15,a×c10,则a×b×c=?

6、求自然数N,使得它能被5和49整除,并且有10个约数(包括1和本身)。

7、自然数1111155555是两个连续奇数的乘积,则这两个连续奇数的和是多少?

8、有三个自然数,最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数,且三个数的乘积是42560,求这三个自然数。

9、五个儿童的年龄的和是37,积是18480,如果每一个儿童的年龄都不到13岁,五个儿童的年龄各是多少?

10、用几只船分三次把90袋化肥载过河去,已知每只船载的化肥袋数相同,且至少载6袋,每次应有多少只船?每只船载多少袋化肥?

11、学生1430人参加团体体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100人到200人之间,有几种排法?

12、某班同学在王老师带邻下去植树,学生恰好能分成人数都相等的3组,如果老师与学生每人种树的棵数一样多,共种884棵,那么每人种树多少棵?(学生人数50人左右)

13、一些真分数的分子与分母互质,且分母的乘积是780,这样的真分数有多少个?

[能力拓展平台]

1、自然数a和b恰好都有99个自然数因数(包括1和该数本身),试问,数a×b能不能恰有1000个自然数因数(包括1和该数本身)。

2、有三个自然数,它们的和是338,积是1986,求这三个数。

3、求2310除它本身以外的最大约数。

4、自然数a乘经2376,正好是一个平方数,求a的最小值。

48

5、三个自然数a、b、c,已知a×b=30,b×c=35,a×c=42,求a×b×c是多少?

6、将8个数14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组,每组4个数,要使各组4个数的乘积相等。则其中一组的4个数是14, 、 、 。

7、有24盆花,分成几堆(至少分2堆),使每堆的盆数都相等,可以怎样分?

8、将750元奖金平均分给若干获奖者,如果每人所得的钱化成以角作单位的数就正好是获奖人数的12倍,求获奖人数。

9、边长是自然数,面积是165的形状不同的长方形共多少种?

10、如果两个数的积与308和450的积相等,并且这两个数同时能被30整除,求这两个数。

[全讲综合训练]

1、50以内,由1~7组成的两位数的质数共有多少个?

2、用1,2,4,5,8中的三个数字组成、最大的三位质数。

3、(“小学爱数学”大江杯赛题)100×101×102×?×199×200这101个数相乘,积的末尾上连续有多少个“0”?

4、(全国奥赛题,1992)一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,且它等于两个两位数的积,求此自然数。

5、(全国奥赛题,1992)如果自然数有四个不同的质数,那么,这样的自然数中,最小的是几?

6、(全国数学竞赛题)在947后面添上三个不同的数字,组成一个能被2,3,5整除的六位数,这个数最小是几?

7、(全国奥赛题,1992)找出1992的所有不同的质数,它们的和是多少?

8、(南京市兴趣杯赛题)现有四个数:76550,76551,76552,76554,其中有两个数的乘积能被12整除,写出所有这样的两个数。

9、将60拆成10个质数之和,要求其中最大的质数尽可能小,那么其中最大质数是几?

10、从小到大写出5个质数,使后面的数都比前面的数大12。

11、两个大于10的合数的和是29,这两个合数分别是多少?

12、一个自然数a是一质数,而且a+12,a+22也是质数,那么a最小是多少?

13、(第三届华杯赛复赛题)173□是个四位数,数学老师说:“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的三个四位数,依次可被9,11,6整除”,问数学老先后填入的三个数字的和是多少?

14、把26,33,34,35,63,85,91,143成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公约数是1,那么至少要分成多少组?

15、小明家的电话号码是七位数,它恰好是几个连续质数的乘积,这个积的末四位数是前三位数的10倍,请问小明家的电话号码是多少?

16、A=61×62×63×?×86×87×88。问A能否被6188整除?

17、(第一届祖冲之杯赛题)如果一个数,将它的数字倒排后所得数仍是这个数,我们就称这个数为“回数”例如,22,464,25752等都是“回数”“1991”这个数具有如下两个性质:

(1)1991是一个“回数”

(2)1991可以分解成一个两位素数回数与一个三位素数回数的积,即1991=11×181,其中11,181既是回数又是素数。

在1000到2000这1000个数中,除1991外,具有性质(1)和(2)的整数还有哪些?

18、(第二届华杯赛决赛二试题)已知五个数依次是13,12,15,25,20,它们每相邻的 49

两个数相乘得四个数,这四个数相邻两个相乘得三个数,它三个数每相邻两个相乘得两个数,这两个数相乘得一个数,请问最后这个数从个位起向左数,可以连续地数到几个0(如图)

第18题

50

第十一讲 奇数和偶数

[同步巩固演练]

1、有15支球队进行比赛,如果要求每支球队都与其他5支球队比赛一场,能办到吗?为什么?

2、六(1)班同学毕业前,互相交换照片留念,那么全班用来交换的照片的总张数是奇数还是偶数?

3、已知A、B、C、中有一个是7,一个是8,一个是9,则(A-3)×(B-4)×(C-5)的结果一定是奇数还是偶数。

4、1987个球无论多少人采用什么样的分法,最终每人都分得奇数个球的总人数不能是偶数。为什么?

5、小华买了一本共有96张纸的练习本,并依次将每张 纸的正反两面编号(从第1页编到第192页),小丽从这本练习本中撕下25张纸,并将写在它们上的50个编号相加。试问:小丽所加得的和数能不能是1998?

6、任意写1000个连续自然数,它们的总和是奇数还是偶数?为什么?

7、能不能将1010写成10个连续自然数的和?如果能,把它写出来;如果不能,说明理由。

8、有九只杯口全部向上的杯子,每次将其中四只同时“翻转”,问能不能经过若干次“翻转”使杯口全部向下?为什么?

9、将36支香插进9个香炉中,要使每个香炉中香的支数都是奇数,能否做到?

10、某教室有座位是三排,每排五把椅子,每个椅子上坐着一个学生,要让这些学生都必须换到与他相邻(前、后、左、右)的某一个同学的座位上,能不能实现?

[能力拓展平台]

1、平面上有99个点,每三个点都不在一条直线上,现在从每个点引出五条直线和其余的任意五个点相连,你能连成吗?如果不行,请说明道理。

2、设O点是正12边形,A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12(见图)的中心,用1,2,3,?11,12给正12边形的和边任意编号,又用同样的这12个数把线段OA1,OA2,OA3,?OA12也任意编号,问能不能找到一种编号法,使三角形A1OA2,A2OA3,?A11OA12,A12OA1各边上的号码和都相等?能的话给出一种编法;能的话,请说明原因。

第2题

3、任意改变某个三位数的各数字的次序后得到一个新的三位数(比如三位数432可以改变为432、324等),问这个新三位数与原来那个三位数的和能不能等于999?如能,试举一例;如不能,请说明理由。

4、在黑板上写出三个自然数,然后擦去一个数,换成其它两数的和减1,这样一直进行下去,最后黑板上是17、1993、1997,问原来的三个数能否是8、8、8?

51

5、能不能将1~1993这1993个自然数分成若干组,使得每组中都有一个数等于同组中其余各数的和?为什么?

6、有9只杯口向上的茶杯,每次翻动其中6只,能否翻若干次后使杯口向全部向下?

7、有20个1升的的容器,分别盛有1,2,3,?,20厘米3的水,允许由容器A向B倒进B容器内所盛水体积相同的水(在A中的水不少于B中水的条件下)问:在若干倒水以后能否使其中11个空器中各有11厘米3的水?

8、共考20道题,规定答对一题给5分,答给1分,答错倒扣1分,证明:得分总数一定是偶数?

9、设a1,a2,?,a64是自然数1,2,?,64的任一排列,令

b1=a1-a2,b2=a3-a4,?,b32=a63-a64;

c1=b1-b2,c2=b3-b4,?,c16=b31-b32;

d1=c1-c2,d2=c3-c4,?,d8=c15-c16;

??

这样一直做下去,最后得到的一个整数是奇数还是偶数?

[全讲综合训练]

1、下列每个算式中,最少有一个奇数,一个偶数,那么这12个整数中,至少有几个偶数?

□+□=□ □-□=□

□×□=□ □÷□=□

2、任意取出1234连续自然数,它们的总和是奇数还是偶数?

3、一串数排成一行,它们的规律是:前两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和,如下所示:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,?

试问:这串数的前100个数(包括第100个数)中,有多少个偶数?

4、能不能将1~1993这1993个自然数分成偶数组,使得每一组中最大数都等于这一组内其余各数和的一半?

5、一个游戏的规则为:在黑板上写上三个自然数,然后随便擦去其中一个数,换上未擦去的两个数的和减1,这样做了多次之后,黑板上得到17、123、139这三个数,请问黑板上开始写的三个数可以是2、2、2或3、3、3吗?

6、有30枚2分硬币和8枚5分硬币,5角以内共有49种不同的币值,哪几种币值不能由上面38枚硬币组成?

7、一次数学竞赛共30题,答对一题得2分,错1题扣1分,不答的不扣分,也不加分,考试结束,小华得47分,他只记得未答题数是偶数,他答对几道?

8、从1,2,3,?,100中任选两个不同的数,可以组成两个加法算式(8+2与2+8算两个),这些算式中,有的和是奇数,有的和是偶数,在所有这些算式中,和为奇数的多还是和为偶数的多?多多少?

9、桌上放有77枚正面朝下的硬币,第1次翻动77枚,第2次翻其中的76枚,第3次翻动其中的75枚??第77次翻动其中的1枚,按这样的方法翻动硬币,能否使桌上所有的77枚硬币都正面朝上?说明你的理由。

10、在象棋比赛中,胜者得1分,败者扣1分,若为平局,则双方各得0分,有若干个学生进行比赛,每两人都赛一局,现知,其中有一位学生共得7分,另一学生共得20分,试说明,在比赛过程中至少有过一次平局。

52

第十二讲 带余除法

12.1一般余数问题

[同步巩固演练]

1. 两数相除,商是12,余数是8,被除数比除数多822,求除数。

2. 一个两位数除321,余数是48,这个两位数是多少?

3. 641除以一个两位数,余数是46,这个两位数是多少?

4. 1170除以一个两位数,余数是78,这个两位数是多少?

5. 244除以一个两位数的余数是13,则符合条件的所有两位数有哪些?

6. 109除以一个两位数的余数是4,这些两位数有哪些?

7. 哪些自然数除以6所得的商与余数相同?

8. 一个四位数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,被7除余6,被8除余7, 被9除余8,被10除余9,求出这样的四位数。

9. 一个数除以11所得的余数是3,如果把这个数增加11后,除以13所得的商不变,且余数为0,这个数是多少?

10.某数除1186余1,除2609余2,除4263少3,这个数最大是多少?

11.整数除法,余数比除数小,从1到1994各数都除以9,所有余数的和是多少?

[能力拓展平台]

1.(第三届《小学生数学报》竞赛题)五(3)班同学上体育课,排成3行少1人,排成4行多3人,排成5行少1人,排成6行多5人,问上体育课的同学最少多少名?

2.(第二届新苗杯数学联赛试题)幼儿园有糖115颗,饼干148块,桔子74个,平均分给大班小朋友,结果糖多出7颗,饼干多出4块,桔子多出2个,问这个大班的小朋友最多有多少人?

3.在放暑假的八月份,小明有五天在姥姥家过的,这五天的日期除一天是合数外,其他四天的日期都是质数,这四个质数分别是这个合数减去1,这个合数加上1,这个合数乘上2减去1,这个合数乘上2加上1,问小明是哪几天在姥姥家住的?

4、有5个不同的自然数,它们当中任意3个数的和是3的倍数,任意4个数的和是4的倍数,为了使这5个数的和尽可能小,这5个数分别是什么?

5、自然数a除以25的余数是10,自然数b除以25的余数是17,如果a大于b,那么a减b的差除以25的余数是多少?

6、一个三位数除以37的余数是10,这个三位数减一个两位数的差除以37的余数是27,这个两位数除以37的余数是多少?

7、少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡,这些灯炮或明或暗,十分有趣,这200个灯炮按1~200编号,它们的亮暗规则是:

第一秒,全部灯泡变亮;

第二秒,凡是编号为2的倍数的灯泡由亮变暗;

第三秒,凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态,即亮的变暗,暗的变亮; 一般地,第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来一亮暗状态,这样继续下去,每4分钟一个周期,问:第200秒时,亮着的灯泡有多少个?

8、能被5除尽,被715除余10,被247除余140,被391除余245,被187除余109的最小整数是多少?

53

9、某高场向顾客以放9999张购物券,每张购物券上印有一个四位数的号码,从0001到9999号,如果号码的前两位数之和等于后两位数之和,则称这张购物券为“幸运券”例如如号码0734,因0+7=3+4,所以这个号码的购物券是幸运券,试说明,这个商场所以的购物券中,所有幸运券的号码之和能被101整除。

12·2 同余问题

[同步巩固演练]

1、今天是星期二,从今天算起,第100天是星期几?

2、1990年元旦是星期一,2000年五月一日是星期几?

3、若今天是星期二,在经过19901990??1990??????天是星期几?

1991个1990

4、被3除余2,被5余3,被7除余4的最小自然数是多少?

5、有一个不等于1的整数,它除967,1000,2001得到相同的余数,那么这个整数是多少?

6、某数被3除余1,被5除余3,被7除余2,这个数至少是多少?

7、有一个整数,除300、262、205,得到相同的余数(且余数都不为0),问这个整数是几?

8、某数用3除余1,用5除余3,用7除余5,此数最小为多少?

9、390、369和425被某数除时余数相同(某数≠1),试求2581被这个整数除时的余数。

10、现有水果564千克,分装筐中,每筐54千克,求最后不足一筐的千克数。

11、仓库里有六桶油,分别盛有菜籽油、花生油和豆油,各桶分别盛油16千克、23千克、19千克、21千克、13千克、15千克,可是不知哪一桶盛的是什么油,豆油有多少千克?哪几桶是菜籽油?

12、在自然数中,从1开始往后数,第100个不能被7整除的数是多少?

13、在1~3000之间能同时被3、5、7除都余2的数有多少个?

14、被整除数除以除数11,余数是7,如果被除数扩大6倍,余数是 多少?

15、一副棋,六颗六颗数,会剩下五颗。那么八副同要的棋,六颗六颗数,会剩下几颗?

16、求567987÷10的余数。

[能力拓展平台]

1、(北京市第四届迎春初一竞赛试题)如果69、90、125能被自然数N(N不等于1)除,所得余数相同,求81被N除的余数。

2、(陕西省竞赛题,1994)有四个数:2613、2243、1503、985,它们分别被同一个数相除所得的余数相同,且余数不为零,求此除数和余数。

3、(第四十四届莫斯科数学竞赛林匹克试题)自然数A被1981除余数是35,被1982除的余数也是35,它被14除的余数是多少?

4、(第三届华杯赛复赛题)某年的10月有五个星期六,4个星期日,问这年的10月1日是星期几?

5、(香港竞赛题,1998)有一种挂历上印有月、日、星期,为节约起见,可将此挂历留作日后使用,问公元1998年的挂历,最早可在哪一年再使用(公元2000年是闰年)?

6、(汉城小学生竞赛题)设A是一个有35位循环节的循环小数A=0.a1a2a3?a35:把A的所有奇数数位划去,得到一个新的无限小数;A1=0.a2a4a6a8??再把A1的所有奇数位划去,得到一个新的无限小数A2=0.a4a8an??如此继续下去,问能否经过若干次划去,仍得到原来的循环小数?

54

7、(河南省初中竞赛题)一个盒子里有不多于200个棋子,如果每次2个,或每次3个,或每次4个,或每次6个地取出,最终盒内都剩一个棋子;如果每次11个地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少个棋子?

[全讲综合训练]

1、一个数除200余5,除300余1,除400余10,这个数是多少?

2、如果101位数 33??33a555?5能被7整除,那么数字a是多少? ???????

50个50个

3、科学家进行一项科学实验,每隔5小时做一次记录,做第12次记录时,挂钟的时针恰好指向9,问第一次记录时,时钟指向几?

4、将自然数1~40从左至右依次排列成一个71位数,则这个数除以11的余数是多少?

5、一个每位数字都是3的1992位数,除以13,则商的第100位(从左往右数)数字是多少?商的个位数是多少?最后的余数是多少?

6、下面算式中的两个方框内应填什么数,才能使这道整除题的余数最大。

□÷25=104??□

7、一排吊灯,三个三个数剩两个,四个四个数剩三个,六个六个数剩五个,这排吊灯至少有多少个?

8、一盒围棋子不到200个,三个一堆缺两个,五个一堆多三个,七个一堆多五个,这盒围棋子有多少个?

9、一盒围棋子,四颗四颗数多三颗;六颗六颗数多五颗;十五颗十五颗数多十四颗,棋子数在150~200之间,这盒围棋子有多少颗?

10、一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,适合这些条件的最小数是多少? 11、50枚棋子围成一个圆圈,依次编上号码1,2,3,?,50。按顺时针方向,每隔一枚拿掉一枚,直到剩下一枚棋子为止。如果剩下的这枚棋子的号码是39,那么第一个被取走的棋子是多少?

12、自然数A与B之差是19,A与B的最大公约数最大可以是多少?

13、a和b是1~9中不同的数码,ab和ba的最大公约数最大能是多少?

14、用一个奇数去除288和214,所得的余数都是29,求这个奇数?

15、19941994??1994??????÷11的余数是几?

1994个1994

16、某自然数m在除13511、13903及14589时余数相同,那么m的最大值是多少?

17、在298后面补上三个数字,使组成的六位数同时能被476整除。

18、在569后面补上三个数字,使组成的六位数同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除,这个六位数是多少?

19、(北京市第二届小学生迎春数学竞赛决赛题)有甲、乙、丙三人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米,如果三个人同时、同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道上行走,问:多少分钟后三个人又可以相聚?

20、(北京市第二届小学生迎春数学竞赛决赛题)从401到1000的所有整数中,被8除余数是1的数有多少个?

21、a除以5余1,b除以5余4,如果3a>b,那么3a-b除以5余几?

22、1至1001各数按以下格式排表,如果用正方形框如表中所示框住9个数,这9个数 55

的和能否等于(1)1996,(2)2529,(3)1989。如果不能,简单说明理由;如果能,写出正方形框中的最大数与最小数。

1 2 3 7

8 9 10 14

15 16 17 21

22 23 24 28

? 995 996 997 998 999 1000 1001

23、将奇数按图排好,各列分别用A、B、C、D、E、F、G作为代表,则1991所在列以字母 作为代表。

A B C D E F G

1 3 5 7 9 11

23 21 19 17 15 13

25 27 29 31 33 35

47 45 43 41 39 37

49 51 53 55 57 59

? ? ?

24、两个代表团乘车去参观,每辆车可乘36人,两代表团坐满若干辆车后,第一代表团余下的13人去与第二人代表团余下的成员正好又坐满一辆车,参观完后,第一个代表团的每个成员与第二个代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每卷胶卷可拍36张照片,问:拍完最后一张照片后,相机里的胶卷还可拍几张照片?

56

第十三讲 完全平方数

[同步巩固演练]

1、已知四个数,35□2,3□57,3□36,□329,其中哪几个数可以写成完全平方数。

2、能不能找到自然数n,使n是完全平方数,且n+1999也是完全平方数。

3、能不能找到一个自然数n,使n2+2n+4能被5整除?

4、若1×2×3×?×n+3是一个自然数的平方,试确定n的值。

5、(全国奥赛题,2000)一个两位数等于其个位数字的平方与十位数字之和,这个两位数是多少?

[能力拓展平台]

1、(全国奥赛题,1989)把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数,它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方,这个和数是多少?

2、一个大于0的整数A加上一个大于1的整数B后是一个完全平方数,A加上B的平方后仍是一个完全平方数,当满足条件的B最小时,A是多少?

3、如果x3=1999,y2=1999,其中x、y>0,介于x与y之间共有多少个整数。

4、(我爱数学夏令营数学竞赛试题,1999)五个连续偶数之和为完全平方数,中间三个偶数之和为完全立方数。那么这样一组数中的最大数的最小值是多少?

5、(我爱数学夏令营数学竞赛试题,2002)一个四位数具有这样的性质;用它的后两位数(如果它的十位数是零,就只用个位数字)去除这个四位数得到一个完全平方数(即一个自然数的平方),且这个完全平方数正好是四位数的前两位数加1后的平方,试写出所有具有上述性质的四位数。

[全讲综合训练]

1、(全国奥赛题,1997)下式中的“香港”“中国”均代表一个两位自然数,那么,香港(香港)2+1997=(中国)2+1949

2、第九届华杯赛试题)三个连续正整数,中的一个是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少?

3、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。

4、试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同。

5、求满足下列条件的所有自然数。

(1)它是四位数。

(2)被22除余数为5。

(3)它是完全平方数。

6、矩形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米)这四个长度数可构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这四位数字是一个完全平方数,求这个矩形的面积。

57

第十四讲 分数

14.1分数的意义和性质

[同步巩固演练]

b(a、b是自然数)这个分数含义是什么? a

12、可以写成哪两个分数单位的和。 18

1113、+=,A÷B等于多少? AB971、

4、把51÷( )=3??9,结果用分数表示是多少?

5、用5315、、1分别去除某数,所得的商均是整数,这个数最小的是多少? 285642

6、一个最简真分数,分子、分母之积是30,这个最简真分数是多少?

7、一个最简真分数,分子、分母之和是15,这个最简真分数是多少?

8、分母是51的最简真分数一共有多少个?

9、在3到7之间,分母是2的简分数有多少个?

9的分子加上18,要使分数的大小不变,分母应加上多少? 20

911、的分母加上56,要使分数的大小不变,分子应加上多少? 810、

12、一个最简真分数,把它的分母扩大5倍,而分子缩小4倍,化简后为简分数?

13、分母是5的最大真分数,如果分子增加2倍,分母加上10,得到一个新分数,那么新分数与原分数之和是多少?

14、分数

[能力拓展平台] 1,求这个最52732的分子和分母都减去某一个整数,所得的分约分后是,求减去的数。 1369

11,分子减去1可约分为,求这个分数。 35

112、一个分数,分母加1可约分为,分母减去1可约分为,求这个分数。 431、有一个分数,分子加上1可约分为

3、一个真分数的分子、分母是两个连续的自然数,如果分母加上19后,这个分数约分为1,求原分数是多少? 2

314、的分子、分母同时加上多少后,可约分为? 133

5、一个最简分数,分子、分母的和是86,如果分子、分母都减去9,得到的分数是8,9求原来的最简分数。

58

6、71的分子减去某数,而分母加上某数后约分为,求某数。 133

7、(全国奥赛题,1988)四个不同的真分数的分子都是1,它们的分母有两个是奇数,两个是偶数,而且两个分母是奇数的分数之和与两个分母是偶数的分数之和相等,这样的奇数与偶数很多,小明希望这样的两个偶数之和尽量小,那么这样的两个偶数之和最小可能是多少?

1大,比7小,分母是6的最简分数有哪些? 2

AB179、(全国奥赛题,1993)设A和B都是自然数,并且满足+=,那么 113338、(全国奥赛题,1992)比

14.2 分数与小数的互化

[同步巩固演练]

1、判断下面各题,对的打“√”错的打“×”。

(1)如果一个最简分数的分母是偶数,则这个分数一定能化成有限小数; ( )

(2)如果一个分数的分母中含有7这个质因数,那么这个分数就一定不能化成有限小数。

( )

2、把40114691527,,,,,这些分数分别填入下面有关的括号里。 7122319254

能化成有限小数的有( )。

能化成循环小数的有( )。

3、将下列分数化成小数

517415,,,, 121524722

4、把2.123,3.645化成分数

[能力拓展平台]

1、循环小数0.027与0.179672相乘,取近似值,要求保留100位的小数,问该近似值的小数点后最后一位数字是多少?

2、(第九届华不赛决赛题)一个最简分数M

,化成小数后,如果从小数点后第一位起连

续若干位的数字之和等于,2004,求M的值。

3(第一届小学“希望杯”竞赛题)写出下面等式右边空白处的数,使等式能够成立。 0.6+0.06+0.006+? = 2002÷

4、(浙江省竞赛题,2003)计算0.076923+0.230769+0.307692+0.692307+0.769230+0.923076

????????????????????

59

14.3 分数大小的比较

[同步巩固演练]

1、用“<”和“>”填空。

55555557113( ),( ) 666666666612512

2、用“<”把下列分数连接起来:

139314457,,,,,, 12849546

55553666623、比较和的大小。 5555666665

532000532000—20004、比较1999与1999的大小。 5353—2000

1234612345和的大小。 9876198765

987659876987986、将、、、这四个数按从小到大的次序排列出 。 987669877988995、比较

7、比较下面四个算式的大小。

11111111+ + + + 1129122513211419

[能力拓展平台]

1、用“<”和“>”填空:

34331279514969193433127934331281( ),( ) 34331281514969225149691951496922

2、比较下面三个分数大小:

11111?11111,, 2222222222?2222

7777777758888888833、比较与的大小。 777777779888888887

41710131514、分数、、、、中,哪一个最大? 9352037301

1111111104444444435、比较与的大小。 222222221888888887

1999200019992000?20006、比较与的大小。 199919992000?20002000

?311267、有七个数,0,42、、、0.424、是其中的五个,已知从小到大排列的第72661

11三个数是,求从大到小排列的第三个数。 26

178、比大,比小、分母是40的最简分数有多少个? 410??

60

9、在下面的( )填上适当的整数,使不等号成立。

9 1710< < 75

10、从和式211111+++++中去掉哪几个单位分数,才使余下的分数之和等于1。 369121518

[全讲综合训练]

1大,比5小,分母是13的最简分数有多少个? 2

32、(全国奥赛总决赛题,1993)一个分数,如果分母减2,约分后得,如果分母加9,4

5约分后是,那么,原来的分数是多少? 71、(全国奥赛题,1992)比

3、(全国奥赛总决赛题,1993)同时满足下列条件的分数共有多少个?

(1)大于11,并且小于。 65

(2)分子和分母都是质数。

(3)分母是两位数。

4、(全国奥赛初赛题,1994)分数

是97的分子和分母都减去同一个数,新的分数约分后1812,那么减去的数是多少? 5

5、(全国奥赛总决赛题,1994)有四个分数,12111911,,,,其中最大的分数与25243929

最小的分数的差等于多少?

6、(全国奥赛题,1997)比较271919、、、的大小。 3102629

7、(全国奥赛总决赛题,1998)在下面算式的两个括号中,各填入一个三位数,使等式成立。

1 1 1= — 19988、(全国奥赛初赛题,1999)在圆圈和方框中分别填上适当的自然数,使等式成立。 12911+= ◎?12

9、(我爱数学夏令营接力赛题,1999)有一个分数,以它的分母的2倍与分子之差为分子,以它的分子的8倍与分母之和为分母,所得的分数为149,那么原来的分数是多少? 168

7n2010、(全国奥赛初赛题,2000)所有适合不等式<<的自然数几之和是多少? 1857

2929303111、(全国奥赛决赛题,2001)设A=与B=比较大小。 62626160

61

12、(全国奥赛初赛题,2004)小明在计算3479,,,这四个分数的平均数时,不45911

小心把其中一个数的分子、分母颠倒了,这样他算出的平均值与正确的平均值的差最小是多少?

13、在2,3,4,5,6,7,8中选出两个数可以组成许多不同的最简真分数。在这些真分数中,至少三个的乘积等于1的有哪几组? 2

14、如果a÷b=2??3,那么将a÷b的商表示为分母为4的假分数,分子是多少?

15、在所有分母小于1000,且分子比分母小6的分数中,共有多少个最简分数?

16、在分子为6的最简分数中,与0.2003最接近的分数的分母是多少?

17、(全国奥赛决赛题,2003)有一些分数分别除以

整数,则这些分数中最小的一个是多少?

18、(北京市第十届“迎春杯”试题)一个最简分数

小时a+b等于多少?

19、(第三届“华杯赛”初赛题)请将算式0.1+0.01+0.001的结果写成最简分数。

20、(第三届“华杯赛”团体决赛口试题) ???5620,,,所得的三个商都是221177a1a1满足:<<,当分母b最b7b6

111111+++++=1,请找出六个不同的自然数,分别填入六个方框中,使这个??????

等式成立。

1357991××××??×与相比,哪一个更大,为什么? 246810010

3?a?522、分数中的a是一个自然数,为了使这个分数能够约分,a最小是多少? a?821、问

62

第十五讲 发现规律解题

[同步巩固演练]

5写成循环小数后,小数点后第1000个数字是几? 7

32化成小数后,小数点右边第1991位上的数字是多少?这1991个数字的和是多少? 35

163、化成小数后,小数点后第50位是什么数? 37

14、把化成小数后,小数点后面1001位的各位数字之和是多少? 811、

5、紧接着数字1、9、8、9后面写一串数字,写下的每个数字都是它前面两个数字乘积的个位数。例如8×9=72,则在9的后面写2,又接着9×2=18,则在2的后面写8,?得到一列数字:

1、8、8、9、2、8、6?

请问:这串数字从1开始往右写,第2002个数字是什么?

6、下图是一个三角形数阵:

1

1 2

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4 5

? ?

1 2 3 ? ? 1 989 1 990

1 2 3 ? ? 1 990 1 991

第6题

如果分别求每一行中所有数的和,可以得到1 991个数,其中偶数有多少个? 7、111???1除以7余几? ????

100个

8、连续写100个12得到一个自然数1212????12,这个数除以13的余数是几? ???

200位

9、19931993的个位数字是几?

10、31986+72000的个位数字是几?

11、231001×371002×481003的积的个位数字是多少?

12、31986除以4的余数是几?

13、一列数为1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,?,求第1000个数。

[能力拓展平台]

1、如果全体自然数按图排列,数1003应在哪个字母下面?

A B C D E

1 2 3 4 5

9 8 7 6

10 11 12 13

63

17 16 15 14

18 19 20 21

? ? ? ?

第1题

2、一串数字9213?从第三个数字起,每个数字都是它前面两个数字之和的个位上的数字。问第100个数字是几?前100个数字之和是多少?

3、字母A、J、H、S、M、E和数字1989分别按以下方式变动其次序:

A J H S M E 1 9 8 9

J H S M E A 9 8 9 1(第一次变动)

H S M E A J 8 9 1 9(第二次变动)

S M E A J H 9 1 9 8(第三次变动)

??

至少经过多少次变动,AJHSME1989将重新出现?

4、在平面中任意作20条直线,这些直线最多可把这个平面分成多少个部分?

5、100个圆最多将平面分成多少部分?

6、在平面上,作100条直线,使它们都相交于一点,这时将平面分成多少个部分?

7、证明:32000+42001是5的倍数。

9、如图,把1~8八个号码摆成一个圆圈,现有一个小球,第一天从1号开始顺时针方向前进329个位置,第二天接着按逆时针方向前进485个位置,第三天又顺时针前进329个位置,第四天再逆时针前进485个位置,如此继续下去,问至少经过几天,小球又回到原来的1号位置?

第9题

10、流水线上生产小木球涂色的次序是:先5个红,再4个黄,再3个绿,再2个黑,再1个白,然后又依次是5红,4黄,3绿,2黑,1白??第2004个小球应涂什么颜色?

11、数列5,8,13,21,34,55,89??的规律是:从第三个数起,每个数恰好是前两个数的和。第2004个数被3除余数是几?

12、1×2×3×?×500的末尾有几个连续的零?

13、50位同学站一排,从左到右进行“1,2”报数,凡报1的离开,报2的留下,留下的人再按“1,2”报数,报1的离开,报2的留下??直到剩下一个人为止,这个人在原队列中位于从左至右的第几个?

14、500位同学站成一排,从左到右“1,2,3”报数,凡报1和2的离队,报3的留下,向左看齐后,再重复同样的报数过程,直到剩下两个人,这两人在原来的队列中,位于从左 64

至右的第几个?

15、1994位学生站成一排,从左至右进行“1,2,3,4”报数,凡报4的留下,其余同学离队,如此反复进行,直到不是4为止,问最后剩下几位同学?在原队列位于从左至右的第几个?

16、一列数,第一个是1949,第二个是1994,从第三个开始,每个数是它前面两个数的平均值的整数部分,问这列数的第100个数是多少?

17、在方格纸上画折线(如图),小方格的边长是1,图中的1、2、3、4??分别表示折线的第1、2、3、4??段。求折线中第1994段的长度。

18、八个小于20的不同的正奇数的连乘积,其个位数字可能有哪几个?

19、1~106的所有整数中,有多少整数n,使n3的个位数字为1?有多少整数n,使n4的个位数为1?

[全讲综合训练]

1、(北京市第五届“迎春杯”初一试题)今天是星期日,经过992天是星期几?

2、(第二届《小学生数学报》竞赛试题)有249朵花,按5朵红花、9朵黄花、13朵绿花的顺序排列,问最后一朵花是什么颜色的?这249朵花中,红花、黄花、绿花各有多少朵?

3、(福州市竞赛题,1994)小明爸爸出差离家时,小明看了钟面,他爸爸出差归来时,小明又看钟面,恰好是12点整,而且恰好经过200小时,问:小明爸爸离家出8差时钟面是几点?

4、(福建省第三届小火柜杯小学数学邀请赛决赛试题)(第六届《小学生数学报》竞赛试题)如果按红、橙、黄、绿、青、蓝、紫的顺序,将19921992??1992??????只彩灯依次反复排列,

2000个1992

问哪些颜色的彩灯必定要比其他颜色的彩灯多一个。

9化成小数后,小数点后第100位上的数字是几? 14

6、(北京市第三届“迎春杯”试题)自然数2?2???2—1的个位数字是多少? ?????5.把

67个2

7、(北京市第一届“迎春杯”试题)如图,把16把椅子摆成一个圆圈,依次编上1到16的号码,现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个,再逆时针前进136个又顺时针前进328 65

个,再逆时针前进136个,这时他到了第几号椅子上?

第7题

8、(哈尔滨市第十届未来杯竞赛题)如下图是按照一定规律用数组成的三角形,这个三角形第一排是1个数,第二排2个数,第三排3个数,??,最后一排是10个数,把这55个数相加所得的和的十位上的数字是几?

1991

1991 1991

1991 3982 1991

1991 5973 5973 1991

? ? ?

? ?

10个数

9、(北京市第八届迎春杯试题)一列数1,2,4,7,11,16,22,29,??这列数的组成规律是第2个数比第1个数多1;第3个数比第2个数多2;第4个数比第3个多3;依次类推,那么这列数左起第1992个数,除以5的余数是几?

10、(新加坡竞赛题,1993)观察下表:

1

1

21第二行:, 12

321第三行:,, 123

4321第四行:,,, 1234

? ? ?

99问:位于第几行。 100第一行:

66

11、(北京市第二届迎春杯初一试题)自然数如下表的规则排列:

1 2 5 10 17 ?

| | | |

4— 3 6 11 18 ?

| | |

9— 8— 7 12 19 ?

| |

16—15—14—13 20 ?

|

25—24—23—22—21 ?

? ?

(1)求上起第10行,左起第13列的数;

(2)数127应排在上起第几行,左起第几例?

12、(上海市竞赛题,1999)有20个等式

1+2=3

4+5+6=7+8

9+10+11+12=13+14+15

?? ??

第20个等式的左右两边的和都是多少?

13、(“现代小学数学”竞赛题)

1+2+1

1+2+3+2+1

1+2+3+4+3+2+1

1+2+3+4+5+4+3+2+1

根据上面四式的计算规律求:

1+2+3+?+1992+1993+1992+?+3+2+1

11511,4,4,5,6,??依次排成7列,26626

1如果把最左边的列叫做第一列,从左到右依次编号,那么数列中的64应排在第几行第几例? 6

1151113 4 4 5 6 6 266266

51151110 10 9 8 8 7 662662

11511511 12 12 13 14 14 266266

51151118 18 17 16 16 15 662662

15、(北京市第七届迎春杯试题)设n=2?2?????2,那么n的末两位数是几? ??????14、(第二届新苗杯竞赛题) 将数列3

1991个2

16、(长春市竞赛题,1991)1991个1991相乘的末两位数是几?

17、(南京市竞赛题,1998)A、B、C、D四个盒子中依次放有6、4、5、3个球,第1 67

个小朋友找到放球最少的盒子,从其它盒子中各取一个球放入这个盒子;然后第2个小朋友找到放球最少的盒子,从其它盒子中各取一个球放入这个盒子??,如此进行下去,当34位小朋友放完后,问B盒子中放有多少个?

18、(福州市竞赛题,1992)把珠子一个一个地如图按顺序往返不断地投入A、B、C、D、E、F袋中,问:第1992粒珠子投入哪一个袋中?

第18题

19、(广州市竞赛题,1999)把自然数1,2,3,4,5,??。如表依次排列成5列,问数“1992”在第几列?

20、(“现代小学数学”竞赛题,1993)有一列数:

1、1993、1992、1、1991、1990、1、1989、1988、1??,这一列数的第1993个数是多少?

21、(全国奥赛题,1991)有一串数排成一行,其中第一个数是15,第二个数是40,从第三个数起,每个数恰好是前两个数的和,那么在这串数中,求第1991个数被3除所得的余数。

22、(第六届华杯赛试题)(1)下面的(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图。数一数,每个平面图各有多少个顶点?多少条边?它们分别围成了多少个区域?请将结果填入下表(按填好的样子做)。

68

(2)观察上表,推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?

(3)现已知某个平面图有999顶点,且围成了999个区域,试根据以上关系确定这个图有多少条边。

参考答案

第1讲 小数的巧算

[同步巩固演练]

1、8.8

原式=7.93-1.93+2.8=8.8

2、7336

原式=7736-400=7336

3、17

原式=(3.17+5.29)-(2.74+0.26)+(4.7+6.3)=9-3+11=17

4、5100

原式=17×2×25×2×3=51×100=5100

5、14.8

原式=8.25×(10+8)=82.5+66=148.5

6、0.21

原式=8.4÷(5×8)=8.4÷40=0.21

7、392

原式=(49000×8)÷(125×8)=392000÷1000=392

8、89

原式=(11+0.125)×8=11×8+8×0.125=88+1=89

9、(1)1.79

原式=2.65-1.65+0.97=1.97

(2)5.21

原式=4.74+1.26-0.77=6-0.77=5.21

(3)3.16

原式=5.47-1.47-0.84=4-0.84=3.16

(4)99

原式=9.9×9.9+9.9×0.1=9.9×(9.9+0.1)=99

(5)10000

原式=(8×1.25)×(2.5×4)×100=10×10×100=10000

10、750

原式=2.5×141+159×2.5=2.5×300=750

11、26.0852

原式=22.27+3.8152=26.0852

12、850.85

原式=7142.85÷(3.7×2.7)×1.7×0.7=7142.85÷9.99×1.7×0.7=715×1.7×0.7=850.85 13、100

原式=1.25×(17.6+264)+45=1.25×44+45=55+45=100

69

14、1201.7

原式=(176.2+348.3+252.5)+(42.47+382.23)=777+424.7=1201.7

15、18

原式=(6.4÷3.2)×(7.5÷2.5)×(8.1÷2.7)=2×3×3=18

16、60

原式=15.3×(7.88+2.12)-9.37×(7.38+2.62)=153.7-93.7=60

[能力拓展平台]

1、0.1

因为C.DE和A.CDE的尾数相同,且A、CDE<C、DE,可知A、B=0.1

2、0.00001

原式=1-(0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009)=1-0.99999=0.00001

3、34.56

原式=7.88×(15.37-9.37)-2.12×(15.37-9.37)=7.88×6-21.2×6=6×(7.88-2.12)=6×

5.76=34.56

4、465

原式=4.65×32+4.65×25+4.65×43=4.65×(32+25+43)=4.65×100=465

5、553.5

(4.05+7.02)×100÷2=553.5

6、(1)> (2)= (3)>

7、90

原式=(0.01+0.04+0.09+0.16)2÷(0.001+0.008+0.027+0.064)3=0.32÷0.13=0.09÷0.001=90

8、(1)31.79

原式=2.89×(6.37÷4.63)=31.79

(2)1400

原式=32.7×28+17.3+28=28×(32.7+17.3)=28×50=1400

9、312500000

原式=(0.625?8?2)???(0.6215?8×2)×0.625×8×0.625=10000000×?????????

8个(0.625?8?2)

3.125=312500000

[全讲综合训练]

1、(1)14

原式=(14.529+2.471)-3=17-3=14

(2)36.3

原式=38.68-4.7+2.32=38.68+2.32-4.7=41-4.7=36.3

2、14.8

原式=44.8+16.4-21.7-24.7=14.8

3、31

原式=131-153+53=31

4 345

70

原式=34.5×(8.23+2.77-1)=34.5×10=345

5、280

原式=25×(7.9+3.3)=25×11.2=25×4×2.8=280

6、0.75

原式=(23÷23)×(63÷21)÷4=1×3÷4=0.75

7、71.3

原式=1.83×2.5+5.3×2.5+7.13×7.5=2.5×(1.83+5.3)+7.13×7.5=2.5×7.13+7.13×

7.5=7.13×10=71.3

8、270625157

9、103.25

原式=5.5×5+15.15×5=5×(5.5+15.15)=5×20.65=103.25

10、1

原式=(21+9.7)÷(0.7+30)=30.7÷30.7=1

11、1000

原式=125×0.67875+125×6.7875+125×0.53375=125×(0.67875+6.7875+0.53375)=125×8=1000

12、2104

原式=172.4×6.2+172.4×3.8+100×3.8=172.4×(6.2+3.8)+380=1724+380=2104 13、1.11

原式=0.739×125×8.88÷739=0.739×1000×1.11÷739=1.11

14、454.35

原式=(6.03+7.95)×65÷2=454.35

15、537.5

原式=41.2×8.1+(41.2+12.5)×1.9+11×9.25=41.2×(8.1+1.9)+12.5×1.9+11×

9.25=412+1.25+(19+11)+11×8=412+88+1.25×30=500+37.5=537.5

16、(1)2850

原式=3.15×49+3.51×51+49×51=3.51×(49+51)+49×51=351+50+51-51=300+2550=2850

(2)8711803

原式=862477.1+8703.2=871180.3

17、(1)8.018

原式=7+5.378-4.36=12.378-4.36=8.018

(2)0.05

原式=3.5×[6.8—5.6]÷84=3.5×1.2÷84=0.05

18、(1)4230

原式=4.23×1.25×108—1.25×4.23×=4.23×1.25×(108—28) =4.23×1.25×80 =4.23×1000 =4230

19、(1)47.864

原式=0.76+47.104=47.864

(2)27.25

原式=(0.1+0.9)×5÷2+(0.11+0.99)×45÷2 =2.5+24.75 =27.25

71

第二讲 牛吃草问题

[同步巩固演练]

1、14头

每天生长量:(5×8—10×3)÷(8—3)=2,原有草量:10×3—2×3=24,牛的头数:(24+2×2)÷2=14(头)。

2、24小时

每小时诵进水量:(12×8—10×8)÷(12—8)=4,原有水量:10×8—4×8=48,需要时间:48÷(6—4)=24(小时)

3、12头

每天草生长量:(12×8—24×6)÷(8—6)=12,原有草量:21×8—12×8=72,原有草量不动,只吃生长量,所以至多12头牛

4、17人

12×3=36,10×5=50,(50—36)÷(10—3)=2(小时),36—3×2=30??原有的水量, 30÷2+2=17(个)

5、12台

5×20=100,6×15=90,(100—90)÷(20—15)=2(台),100—20×2=60??原有的水量。60÷6+2=12(台)

6、4人

6×4=24,4×5=20,(24—20)÷(5—4)=4(人)

7、15分钟

45×3=135,5×25=125,(135—125)÷(45—25)=0.5(根),135—45×0.5=112.5 112.5÷(8—0.5)=15(分)

8、12台

(6×20—8×10)÷(20—10)=4,6×20—4×20=40,4+40÷5=12(台)

[能力拓展平台]

1、40台

10×3—5×5=5,5÷(5—3)=2.5,2.5×3+3×10=37.5,(37.5+2.5)÷1=40(台) 2、8点15分

(3×9—5×5)÷(9—5)=0.5,3×9—0.5×9=22.5,22.5÷0.5=45(分),9∶00—0∶45=8∶15。

3、15.5千米

(5×16—18×3)÷(5—3)=13(千米)??甲速,5×16—5×13=15(千米)??????甲先跑路程,15+13×6)÷6=15.5(千米)??????丁的速度

4、5头

每天青草减少量:(20×5—15×6)÷(6—5)=10,原有草量:20×5+10×5=150,牛的头数:(150-10×10)÷10=5(头)

5、150分米

[(20—15)×5-15+15]×6=150(分米)

6、70亿

[(80×300-100×100)÷(300-100)]÷1=70(亿)

7、150级

72

(20—15)×5×6=150(级)

8、75级

(100-50)÷2=25(级),25+50=75(级)

[全讲综合训练]

1、10分钟

4×20×10=800(个),(800-400)÷20=20(个),400÷(6×10-20)=10(分) 2、11个

(4×15-8×7)÷(15-7)=0.5,4×15-0.5×15=52.5,(52.5+0.5×5)÷5=11(个) 3、4分钟

每分钟有游客:(10×2×20-100)÷20=15(人),每分钟减少人:10×4-15=25(人) 开门后时间:100÷25=4(分钟).

4、36头

一公亩一天新生长草量可供牛吃一天的头数:(63×21÷30-12×28÷10)÷(63-28)=0.3(头)

一公亩原有牧草可供牛吃一天的头数 : 12×28÷10-0。3×28=25.2(头) 72公亩的牧草可供牛吃126天的头数:72×25.2÷126+72×0.3=36(头)

5、35头

一公亩一天新生长草量可供牛吃一天的头数:(17×84÷28-22×54÷33)÷(84-54)=0.5(头)

一公亩原有牧草可供牛吃一天的头数:22×54÷33-0.5×54=9(头)

40公亩,24天吃完所需牛的头数:40×9÷24+40×0.5=35(头)

6、18天

(4×9-5×6)÷(9-6)=2, 4×9-2×9=18,18÷1=18(天)

7、9个

水池每小时排水量为(2×15-4×5)÷(15-5)=1,原来池水量:4×5-14×5=15,(15+1×2)÷2=8.5≈9(个)

所以至少要打开9个进水管

8、3天

(45+5)÷5+(45-9)÷9-1=10+6-1=15(天),45÷15=3(天)

所以需3天可将仓库装满。

9、19千米

1061066-24×)÷(-)=14(千米),24×-14×6060606060

612191912=1(千米),1+14×=(千米) ÷=19(千米) 60605560行人速度每小时为(20×

所以丙车每小时行19千米

第三讲 多边形的面积

3.1 面积的计算

[同步巩固演练]

1(1)8平方厘米

4×4÷2=8(平方厘米)

73

(2)50平方厘米

10×10÷2=50(平方厘米)

(3)50平方厘米

10×10÷2=50(平方厘米)

(4)6平方厘米

11×2×3+×3×2=6平方厘米 22

(5)3平方厘米

3×4-111×3×3-×4×2-×1×1=3(平方厘米) 222

11×(10+6)×6-×10×10=38(平方方厘米) 22(6)38平方方厘米 10×10+6×6-

(7)6.5平方厘米

4×4+3×3-11×(3+4)×3-×4×4=6.8(平方厘米) 22

(8)64平方厘米

(10-6)×(10+6)=64(平方厘米)

[能力拓展平台]

1、30平方厘米

连接AP、BP、PC,设AB=a,BC=b,AC=c,P到三边的距离为h,则S△ABC=S△APB=S△BPC=S△APC=11111ah+bh+ch=h(a+b+c)= ×3×20=30(平方厘米) 22222

2、3平方厘米

延长BC交EF于H,S△BEH=S△BCM+梯形CMEH的面积,长方形CDEH的面积=S△DEM+梯形CMEH的面积,由此可知S△BEH一长方形CDEH的面积=S△BCM—S△DEM=(2+4)-(10-7)×2=9-6=3(平方方厘米)

3、(1)96平方厘米

16×16+12×12-

方厘米) 1×(10-7)×211×12×12-×12×(16+12)-16×(16-12)=400—304=96(平22

1平方厘米 4

111×1×=(平方厘米) 44(2)

4、97

如图所示,46+Ⅰ+36+15+Ⅱ长方形ABCD面积的一本,I+S积的一本,所以S阴=46+36+15=97 阴+Ⅱ=长方形ABCD面

74

5、48平方厘米

如图用虚线把图形分割后,阴影部分有12个小三角形,空白部分有24个小三角形,可见大正六角星的面积是小正六角星面积的3倍,即16×3=48(平方厘米)

3.2等积变形

1、1∶3

2、3对

S△ABC=S△BDC, S△ABD=S△BCD,S△ABO=S△DCO

3、6平方厘米

因为AE=EC,所以S△ABE= S△BCE=

△BCE12S△ABC =9平方厘米,又因为BD=2DC,所以S△BDE=S23=2×9=6平方厘米。 3

4、30

连结AD,因为AB=5BE,所以S△ABD=5S△BDE=5,又因为BC=6BD,所以S△ABC=6S△ABD=6×5=30。

5、2

连结BD,因为AE=2AB,所以S△ADE= S△EBD,设S△EBD=1,则S△ADE=2,S△BCD=S△ABD=3,3

有S梯形EBCD=1+3=4,故梯形EBCD的面积是三角形AED面积的4÷2=2倍。

6、1 6

12S△ABC又因为ED=2AE,S△BCE=S23

1211111×S△ABC=S△ABC,F是BD中点,S△DEF=S△BDE故阴影部分的面积为×= △ABD=2332326如图,连接BE,因为D是BC的中点,S△ABD=S△ADC=

75

[能力拓展平台]

1、

2、12个

因为E、F分别为BC、DC中点,所以S△ABE=S△AEC=S△ACF=S△ADF=S△BDE=S△DEC=S△BDF=S△BCF=111,O为AC、BD中点,知S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD=,故图中面积为的三角形444共有8+4=12个。

3、30平方方厘米

如图,连接GB,DE,因为E是BC中点,S△BDE=S△DEC,D是AB的中点,S△BDE=S△ADE,同减去S△BEF,S△ADF= S△EFC=5(平方厘米),又知S△DFB=S△ADF,所以S△BDC=5×3=15(平方厘米),S△ACD=S△BDC=15(平方厘米),S△ABC=15×2=30(平方厘米)

4、6平方厘米

如图,连结AE、因为BZ=EF=FC,GA=AH=HC,所以S△AEC=

(平方方厘米)

22S△ABC=S△GEC,故S△GEC=633

5、60

连PD,于是△PDH与△PMN面积的和=1×4×12=24,而△PDG与△PEF面积的和2

76

=1×3×12×2=36,于是阴影部分面积=24+36=60 2

6、AF=6.4厘米,FD=3.2厘米,DC=2.4厘米,AG=4.5厘米,GE=4.5厘米,EB=3厘米 △BCD的面积=△ABC面积×11,故CD=×AC=2.4厘米,△BED的面积=△ABD的的面积×55

11,故BE=×AB=3(厘米),于是AD=9.6(厘米),AE=9厘米,由△DEF的面积=△AED44

11的面积×,故DF=×AD=3.2(厘米),于是AF=12—2.4—3.2=6.4(厘米),由于△AGF与33

△AGF面积相等,故AG=GE=9÷2=4.5(厘米)

7、共48个

设小正方形边长为1,于是阴影三角形面积=1×2×3=3,于是面积为3的三角形在图中可2

能有两类:(1)三角形一边长为2,这边上的高是3,这些三角形的边长只能在大正方形边上,这样的三角形有2×4×4=32个,(2)三角形一边长为3,这边上的高为2,但要注意不要与一情况重复,这样的三角形有8×2=16个,故所求三角形共48个(包括图中给出的一个)

8、18平方厘米

如图,连结AC,有S△ACE= S△DCE(等底等高)。又S△ACF=S△BCF(等底等高),所以S△ACF+ S△CEF=S△BCF+ S△CEF,即S△ACE=S△BEF。故S△BEF=S△DCE=18(平方厘米)。

9、9

如图连结CE,因为BE=3AB,所以S△CBE=3 S△ABC=3。又因为CD=2BC,所以S△CDE=2 S△CBE=2×3=6。故三角形BDE的面积是S△CBE+ S△CDE=3+6=9。

10、18

如图,连接BF、CD,因为AB=AD,所以S△ADC= S△ABC=1。又因为BF=3CB,所以S△DFB=3 S△DBC=3×(1+1)=6。又因为CE=2AC,所以S△BCE=2 S△ABC=2,又由DA=AB,得S△ADE= S△ABE=1+2=3,所以S△DBE=2 S△ABE=6。又因为BF=3CB,所以S△BFE=3 S△BCE=3×2=6。故三角形DEF的面积为S△DFB+ S△CBE+ S△DCE=6+6+6=18。

77

3.3 列方程求面积]

[同步巩固演练]

1、165平方厘米

设正方形的边为x厘米,则有(x+8)×4+8x=116,解得x=7

原长方形铁皮的面积是7×7+116=165(平方厘米)。

2、18平方厘米

设梯形上底AD为x厘米,则(x+9)×6÷2=45,解得x=6。三角形AOD的高是:6×2÷6=2(厘米),三角形BOC的高是:6-2=4(厘米)三角形BOC的面积是:9×4÷2=18(平方厘米)。

3、15平方厘米。

因为S△ADF是长方形ABCD的9÷36=

CE==118,所以F是DC的中点,设DF=x,则AD=,4x18121212-=,S△EFC=×x÷2=6(平方厘米),故S△AEF=36-9-6-6=15(平方厘米) x2xxx

4、3平方厘米

1×(14+10)×5÷3=20(平方厘米),设CE=x,则2

11x×10=20,x=4,DE=5-4=1(平方厘米),设AF=y,则y×5=20,y=8 ,DF=14-8=622

1(厘米),所以S△DFE=×1×6=3(平方厘米) 2S△ABF=S△BEC=四边形BEDF的面积=

[能力拓展平台]

1、315

如图,由S△BOD∶S△COE=70∶35=2∶1,知BO=OE=2∶1,于是S△AOB∶S△ACE=2∶1,设S△AOE=y,则S△AOB=2y,由2y40=,得出y=70,于是S△ABC=140+70+105=315 y?3530

78

2、12平方厘米

设重叠部分的面积为x,则原三角形的面积为2x+4,折叠后所得的图形面积是x+4,由折叠后得到的图形面积是原三角形面积的2知,原三角形面积是折叠后得到的图形面积的1.53

倍,得2x+4(x+4)×1.5,解得x=4。原三角形的面积是2x+4=12平方厘米。

3、268平方厘米 11

10(厘米),所以设DG=x(厘米),根据△面积与3因为ED=8÷2=4(厘米),FC=10÷3=

△CGF面积相等,有:

10×(6—x) 3

30解方程,有 x= 114×x=

所以△ABG的面积为:(8+10)×6÷2—8×

=261201803036÷2—10×÷2=54—— 111111118(平方厘米) 11

4、5平方厘米

如图,连接DE,设S△DEF=x,则SDCE=4x,S△AEF=x,SABF=12×

—x,则 4x+x+x+4—x+4—x=12,4x=4, x=1

故四边形DCEF的面积=x+4x=5x=5(平方厘米)

[全讲综合训练]

1、48平方厘米 1—x=4—x SBDF=43

如图,连接GC,因为DE=EF=FC,所以S△DGE=S△EFG=S△GFC=4(平方厘米),S△DGC=4×3=12(平方厘米)

79

又因为DG=BG,所以S△BCG=S△GDC=12(平方厘米)S△BCD=12×2=24(平方厘米),故平行四边形的面积=24×2=48(平方厘米)

2、36

因为F为BC中点,S△ABF=S△AFC=96÷2=48,又因为D是AB的中点,E是BD的中点,AE=333AB S△AEF=S△ABF=×48=36。 444

3、35平方厘米

如图,连接AF、EC,由AB与CD平行,知△BCF的面积=△ACF的面积,由EF与AC平行,知△ACF的面积=△ACE的面积,由CB与AD平行,知△AEB的面积=△ACE的面积。

4、100平方厘米

如图,作直线OE⊥BC,交BC于E,交AD于F,于是平行四边形ABCD的面积=BC×

1111×BC×OE+AD×OF=BC×(OE+OF)=×BC2222

1×EF=120平方厘米。同理△AOB与△COD面积和=120平方厘米,于是得120×+120×2

1=100。 3EF=240,而△AOD与△BOC的面积和=

5、70平方厘米

连结ND,得S△MND=2S△AMN,S△BNC=3S△AND。S△DNC=

△BNC1S长方形ABCD=60平方厘米,S△AND+S2=1S长方形ABCD=60平方厘米,设S△AMN=x平方厘米,则(x+2x)+3×(x+2x)=60,x=5。 2

所以阴影部分面积为:S△MND+S△DNC=5×2+60=70(平方厘米)。

80

6、7.5平方厘米

如图,连结CF,可知S△CEG=

△CDF1S△CEF。如右图,由于S△CEF=S长方形ABCD—S△AEF—S△BCE—S3=60—37.5=22.5(平方厘米),

所以 S△CEG=11S△CEF=×22.5=7.5(平方厘米)。 33

7、39.2平方厘米

设AB为x,则BC为(21—x),可得方程:

111×7×x=×8×(21—x),解得x=1.2,所以S△ABC=×11.2×7=39.2(平方厘米) 222

18、面积为平方厘米的三角形有5个,最大三角的面积是2.5平方厘米。 2

9、36平方厘米

S△ABC=1×4×6=12(平方厘米),由AC=2CD,知S△BCD=6,所以S△ABD=12+6=18(平方2

厘米),由BE=BD,S△ABE=S△ABD=18(平方厘米),故S△AED=18×2=36(平方厘米)

10、4平方厘米

如图,连结AE、AF、DC,因为AC=3CG,S△AFC=3S△GFC=3平方厘米,又因为BE=EF=FC,所以S△ABE=S△AEF=S△AFC=3平方厘米,S△ABC=3S△AFC=3×3=9(平方厘米)又因为AB 3AD,

221S△ABF=×3=2(平方厘米)。S△ADC=×9=3(平方厘米),由AC=3GC知,S△333

22=S=×3=2(平方厘米)。

△ADGADC33所以S△DBE=

所以阴影部分的面积为S△ABC—S△DBE—S△ADG—S△GFC=9—2—2—1=4(平方厘米) 11.3

连接BD,因为CF=2DF,S△BCF=2SBDF,S△BDF=2÷2=1,S△BDE=4—1=3,又因为DE=EA,所以S△ABE=S△BDE=3。

12、64平方厘米

81

因为BC∶AD=3∶1,BO∶0D=3∶1 S△AOD=12÷3=4(平方厘米),S△BOC=12×3=36,所以梯形ABCD的面积=12×2+4+36=64(平方厘米)

13、

3

如图,给每块标上序号①+②+④=11S平行四边形ABCD ②+③+④+⑤=S平行四边形22

ABCD,①=③+⑤,③=①—⑤,则③+②=①+②—⑤而①+②=5,⑤=2,所以S△PBD=5—2=3

14、5平方厘米

D是BC中点,S△ADC=30÷2=15(平方厘米),AE=2ED,所以S△DCE=

(平方厘米)

15、22.5平方厘米

因为D是BC的中点,S△ABD=180÷2=90(平方厘米) AE=

方厘米) EF=3BF=11S△ADC=15×=5331AD,S△ABE=90÷3=30(平333BE S△AEF=×30=22.5(平方厘米) 44

16、14平方厘米

1122S△ABC=×24=8(平方厘米),S△BDC=S△ABC=×24=163333

1111(平方厘米),S△DEF=S△EFC=S△DEC=S△BDC=×16=4(平方厘米),S△EGC=S△EFG=S△EFC 2442

1=×4=2(平方厘米) 2因为AD=DE=EC,所以S△ABD=

所以阴影部分的面积为8+4+2=14(平方厘米)。

17、23.5平方厘米

如图所示

18、31

作出如图网格后, 每个小三角形面积=1,其中△PQR的面积=8÷2=4,△PSE的面积=6÷2=3,再用数格数的办法可得出结果。

82

19、25

8

如图连线后未画阴影部分面积分成四个三角形,两对三角形面积分别相等,于是 Ⅰ+Ⅱ+Ⅱ=

+Ⅱ)×2=11521545×3×5=;Ⅱ+Ⅰ=Ⅱ÷3×5,即Ⅰ=Ⅱ;于是求出Ⅰ=,Ⅱ=,(Ⅰ22381675; 8

17525∴5×5×-= 288

20、2平方方厘米

连接DF,AE=DE,S△ABC=S△EBD,S△AEF= S△DEF= S△ABG= S△BDF阴影面积的积,BD=2DC,S△CDF=11S△BDF所以阴影部分面积=5÷(1+1+)=2(平方厘米) 22

21、22

连接AC,△ABC和△ADC等高,且AD=2BC,所以S△ADC=2S△ABC=66÷3×2=44,又因为CE=ED,所以S△ADE=S△ACE=44÷2=22。

22、1

如图,

83

11×△ABC的面积,△CDG的面积=×△ACD的面积。故△22

11ABE与△CDG的面积和=×四边形ABCD的面积。同理△BCF与△DAH的面积和=×四边22连AC,则△ABE的面积=

形ABCD的面积。于是△ABE、△BCF、△CDG、△ADH的面积和=四边形ABCD的面积,而阴影部分正是四个三角形的重叠部分,它与四个三角形未盖住的部分面积相等,故阴影部分面积=1。

23、4006平方厘米

因为两个直角三角形重叠部分是一个长方形,所以两个直角三角形的对应边平行,连接BF,S△ADF=S△ABF,S△ECH=S△ECH=S△BHF,由此可知重叠部分正好是S△ADG和S△ECH的和,所以四边形ADEC的面积恰好等于两个直角三角形面积之和,即2×2003=4006(平方厘米)

24、29 7

S△BCE=(7+3)×

25、2厘米 5295050=,S△BEF=—3= 2—5777

因为S△FBC比S△FDE的面积大9平方厘米,也就是S平行四边形ABCD比S△ABE大9平方厘米,所以S△ABE=30—9=21(平方厘米),又知平和地四边形底AD时应的高为30÷5=6(厘米),由此可求AE=21×2÷6=7(厘米),所以DE=7—5=2(厘米)

26、150

连接BM,设S△BDM=a,则S△BME=35—a,S△ABD=S△ABM+S△BDM=3S△BME+a=3×(35—a)+a=105—2a,S△BCE=S△BEM+S△BCM=35—a+2S△BDM=35—a+2a=35+a,根据△ABC的面积可列方程得:2S△ABD=3S△BCE,2×(105—2a)=3×(35+a),解得:a=15,所以S△ABC=3×(35+15)=150。

27、8平方厘米

2?36142?714= △PDC的高为=,平行四边形的高为—aaaaa

688=,所以平行四边形的面积为:×a=8(平方厘米) aaa设AB=a,则△ABP的高为

28、162.5

如图,

以PC为对角线作长方形PBCH,所以S△BPC=S△PCH,S△PMN=S△PNI,S△CKN=S△CJN,则长方形INJH与正方形BKNM的面积相等,长方形INJH的面积=4×9=36,所以正方形 BMNK的边长是6,可知BC=6+9=15,PB=AD=6+4=10,S△DPC=(10+15)×(10+15)÷2—15×10÷2×2=162.5

84

第四讲 图形的切拼

[同步巩固演练]

1、如图所示

2、如图所示

3、先将长方形分割成36个小正方形,然后将它分割成两部分拼成一个正方形,分法如图。

4、分法如图。

5、分法如图

6、如图所示

7、如图所示

85

8、有无数种,过正方形的中心画两条互相垂直的直线或等分,如图

9、如图

10、如图

11、如图

[能力拓展平台]

1、7个,分割如图

2、分割如图

86

3、

首先计算出正方形的边长。因为长方形面积为100×70-60×10=6400(平方厘米) 所以正方形边长为80厘米,因此将图形的长减少20厘米,宽增加10厘米,利用“阶梯形”分法拼成正方形。

4、分割如图

5、各数的切拼方法如图。

6、如图所示

7、如图

87

[全讲综合训练]

1、如图所示

2、如图所示

3、如图所示

4、如图所示

5、为了使划分的正方形个数量少,正方形的边长尽可能地大,因为181÷11=16??5,所以首先可划分16个11×11的正方形,剩下一个5×11的长方形。

(1)若划分为2个5×5的正方形,剩下的划分为5个1×1的正方形,共23个正方形。

(2)若划成一个5×5的正方形,剩下的划分为3个2×2的正方形和2个3×3的正方形共22个正方形,所以至少可划分出22个正方形。

6、先分割成三个大小形状相同的三角形,然后在每个三角形中找内心分割成三个小三角形。如图所示。

88

7、图①取两边中点连线后剪一刀即可,②取两边中点连线及小三角形高剪二刀即可(方法很多)

8、如图所示

9、如图所示

10、如图所示

11、如图所示

面积为16(平方单位)

12、如图所示

13、切拼如图

89

14、切拼如图

15、如图所示

16、如图所示

17、如图所示

18、如图所示

19、如图所示

20、如图所示

90

21、如图所示

第五讲 列方程解应用题(一)

[同步巩固演练]

1、9

设这个数为x,则得3x+8=5x—10,解得x=9

2、40人

设男生有x人,则总人数为x+25,据题意得3x—20=25,解得x=15。所以总人数x+25=15+25=40

3、11道

设他做对了x道题,则做错了(15—x)道,据题意得8x—4×(15—x)=72,解得x=1 所以做对11道题

4、35人

设全班共有x人,据题意知2×5+(x-5)×3=100解得x=35,所以全班共有35人。

5、羊奶x千克,则牛奶5x千克,据题意可知5x+x=2346,解得x=391,牛奶有5x=1955所以每天生产羊奶391千克,牛奶1955千克。

6、第一车间40人,第二车间28人。

设第一车间的有x人,则第二车间的有(68—x)人,据题意知x—6=68—x+6,解得x=40,则68—x=28,所以第一车间有40人,第二车间有28人。

7、90分

设数学考了x分,据题意可得(78+83+81+x)÷4=x—7。解得x=90

8、3小时

设x小时后两人相遇,依题意得15x+3×15x=180解得x=3

9、10岁

设小亮今年x岁,则父亲今年6x岁,依题意得,x+5x+6x+5=45,解得x=5,所以小亮5年后年龄为5+5=10(岁)

10、;甲袋有30个,乙袋有5个

设乙袋有x个球,则甲袋有6x个球,依题意得6x—13=x+12,解得6x+3=33。解得x=5。则6X=30。

91

11.8岁。

设3年前女儿X岁,则3年前母亲是6X岁,依题意得:6X+3=33,解得X=5,所以女儿今年是5+3=8(岁)

12、5小时

设乙车开出x小时后,两车相遇,依题意得32×(x+0.5)+32×2x=496.解得x=5

13、白兰瓜480个,西瓜960个,

设卖了x天,则白兰瓜的个数为40x,西瓜的个数为50x+360,依题意得2×40x=50x360。解得x=12,所白兰瓜有40x=480(个),西瓜有50×12+3600=960(个)

14、20天

设好马走x天追上劣马,依题意得:240x=150×(x+12),解得x=20。

15、38元

设每个排球x元,则篮球每个(x+10)元,足球每个是(x+8)元,依题意得x+x+10+x+8=36×3,解得x=30,所以足球每个是30+8=38(元)

16、4、7、9、11

设四个数的和为x,则有(x—22)+(x—24)+(x—27)+(x—20)=x,解得x=31,则x—22=9,x—24=7,x—27=4,x—20=11

[能力拓展平台]

1、第一车间40人,第二车间121人,第三车间19人

设第一车间有x人,则第二车间是(3x+1)人,第三车间是(xx—1)人,依题意得x+3x+1+22—1=180,解得x=40,第二车间是3×40+1=121(人),第三车间是40÷2—1=19(人)。

2、4小时

设经过x小时后,小李正好在小张与小王相距的中点处,依题意得17x—12.5x=(144—17x)—14.5x,解得x=4。

3、0.91米

设小军用布料x厘米,依题意得(11×85+x)÷12=x—5.5,解得x=91,91厘米=0.91米。 4、4人

设甲班有x人,则乙班有(100—x)人,依题意得73x+(100—x)×78=100×75.4,解得x=52,乙班有100—52=48(人),所以甲班比乙班多52—48=4(人)。

5、哥哥18岁,弟弟12岁

设哥哥现在的年龄是x岁,则弟弟现在的为(30—x)岁,弟弟当年的年龄为

据年龄差不变列方程为:x—(30—x)=(30—x)—

6、1600元

设现在人均车费x元,因为乘车人数与原每人应付车费的元数相等,可知原乘车人数为(x+8)人,而增加的10人共付车费10x元,原(x+8)人共减少车费8×(x+8)元,有 10x=8(x+8),解得x=32。

由此可知,原每人应付车费为32+8=40元,这辆车的租车费是40×40=1600元。

7、甲6张,乙8张,丙12张

设丙分到x张,由丙分到的比乙的一半多2张,知乙分到(x—2)×2,同样由乙分到的比甲的一半多2张,知甲分到[(x—2)×2—2]×2,且x+(x—2)×2+[(x—2)×2—2]×1x岁,根31x,解得:x=18,弟弟为30—18=12(岁) 3 92

2=26,解得x=6。

所以丙分到6张,乙分到(6—2)×2=8张,甲分到(8—2)×2=12张。

8、148

设十位数字为x,则百位数字为x—3,个位数字为2x,依题意得x+x—3+2x=13,解得x=4,所以百位数字是4—3=1,个位数字为2×4=8,故三位数为148。

[全讲综合训练]

1、6元

设1束布x元,依题意得2x+1.8=4x—2.4,解得x=2.1,所以妈妈带的钱为2×2.1+1.8=6(元)。

2、60人

设第二车间人数为x,则第一车间人数是3x,依题意得3x—20=x+20,解得x=20,所以第二车间人数为20×3=60(人)。

3、大凳子8张,小凳子是12张

设大凳子x张,则小凳子是(20—x)张,依题意得6x+(20—x)×4=96,解得x=8,所以小凳子是20—8=12(张)。

4、甲有21本,乙有42本,丙有35本

这道题要先推理后列方程,关键是分析出甲、乙、丙三人中谁最多、谁最少。依题意:甲+乙=63,乙+丙=77,两式相减得丙—甲=14。题目中还给出图书最多的人的书数是图书最少的人的书数的2倍,也即它们的和是图书最少的人的3倍,又3不能整除77,所以不可能是乙和丙两人。由丙大于甲,知丙不是最少。若丙最多,甲最少,设丙有图书x册,则由条件有:x—x=14,x=28 2

求出乙为49本,这样显然丙不是最多,也不是最少。因此,乙最大,甲最小。

设甲有图书x册,则乙有图书2x册

x+2x=63 ,x=21,2x=42 77—42=35

6、125个

设改进技术前每小时加工零件x个,那么改进技术后每小时加工零件2.5x个,由题意得:18×2.5x=(2.5—1)×1500 ,45x=2250,x=50,2.5x=125(个)

7、18人

设男生有x人,依题意得(24+x)×91=89x+92.5×24,解得x=18。

8、36千米

设乙用x小时,则甲用(x+1+2)小时,依题意得6x=(x+1+2)×4,解得x=6,两地的距离为6×6=36(千米)

9、24千米

设风速为每小时x千米,依题意得:(552+x)×5.5=(552—x)×6,解得x=24

10、甲有7只,乙有5只

根据乙回答的话知甲比乙多2只羊,设乙有x只,则甲有(x+2)只,根据甲对乙说的列方程得2×(x—1)=x+2+1,解得x=5,则甲有5+2=7(只)。

11、甲数为7,乙数为11

设甲数为x,则乙数为2x—3,依题意得3x=(2x—3)×2—1,解得x=7,则乙数为2×7—3=11。

12、108千米

93

由题意知,甲、乙两从上午10时到12时共走了36×2=72(千米),设乙的速度为每小时x千米,则甲的速度是每小时(x+2)千米,可得。

(x+x+2)×2=36×2,解得x=17,则甲的速度为17+2=19(千米),所以两地的距离为2×(17+19)+36=108(千米)

13、A的速度为5.5千米,B的速度为4.5千米

由A从甲地出发,两小时和乙相遇后,返回也用2小时,而B离甲地还有2千米,知A的速度每小时比B块2÷2=1(千米),由此设B的速度为x千米,则B的速度为(x+1)千米,依题意得:(x+x+1)×2=20,解得x=4.5,所以A的速度为4.5+1=5.5(千米)。

第六讲 逻辑推理

[同步巩固演练]

1、612

观察四个三位数:612,275,791,362,其中2出现了3次,两次在个位,一次在百位,

表示2。那么第四层表示275,即

表示7。那么第二层表示791,

表示1,那 么第三层应该表示612。 2、甲、乙都是凶手

因为四个证人的证词有真有假,分析时要抓住关键——第四个证人说了实话,那么第三个证人说了假话,所以前两个证人的证词都是假的,也就是说,甲、乙都是凶手。

3、山东1号,湖北2号,陕西3号,吉林4号,甘肃5号。

假设A说:2号陕西是对的,则3号是陕西错的,2号是甘肃对的,矛盾,所以5号是甘肃,3号是陕西,4号是吉林,2号湖北,1号是山东。

4、乙是教师,丙是工人,甲是战士

由条件知,甲、乙不是工人,则丙是工人,由丙比战士年龄大,工人比乙年龄小知乙是教师,则甲是战士。]

5、从贴有一红一白标签的盒中拿出一个球。如果是红的,这个盒中装的是两个红球;贴有两个红球标签的盒中装的是两个白球,而贴两个白球标签的盒中一定是一个红球一个白球。

如果摸出的球是白的,这个盒中装的是两个白球;贴两个白球标签的盒中是两个红球;而贴两个红球标签的盒中一定是一个红球一个白球。

6、甲教数学,乙教外语,丙教语文

这道题我们也用排除法来分析:“外语老师是一个学生的哥哥”,可知外语老师是男的;“甲上课全用汉语”可知甲不教外语;丙是女,不是男的,所以不会是外语老师;则乙一定是外语老师。

丙不是外语老师且比数学老师年轻,那么丙一定是语文老师。剩下的甲一定是数学老师。 7、18封

9个人先将发了消息寄给同一个人,设此人为A,共计发了9封信。此时A已知道了全部好消息;然后A再向其他9人回信,所以共需寄9+9=18(封)信。

8、3场

由题意知,最多赛6场,那么7队分别赛的场次是0,,1,2,3,4,5,6,再通过画图法推理,A学校第二队赛3场。

94

9、C

因为三人中只有1人说了实话,所以可以假设是某人做的,看结论是否符合“三人中只有一人说了实话”这一条件。

(1)假设是A做的,那么A说的是假话,B与C说的都是实话。这样有两人说的实话,不符合“只有一人说了实话”这一条件,说明假设与实际情况相矛盾,而不是A做的。

(2)假设是B做的,那么B说的是假话,A与C说的都是实话。这样有两人说实话,不符合“只有一人说了实话”这一条件,所以不是B做的。

(3)假设是C做的,那么A与C说的是假话,B说的是实话,符合“只有一人说了实话”这一条件,所以是C做的。

10、724

先将五个数数位对齐写,再假设个位的5是对的,推出百位的1和3都对,不合题意。再假设个位的3是对的,推出765和364都是错的,不合题意,所以个位4的对的,推出商品编号为724

[能力拓展平台]

1、数学、语文、体育

因为只有1人说错了,所以根据E所说,可知,A、B是正确的从而可知A、B、C、D均正确,故E说错了。三门课分别是数学、语文和体育。

3、丙第一、甲第二、乙第三、丁第四

根据条件(2)、(4)、(5)可知,第二名不是乙、丙、丁,所以第二名是甲。

由条件(1),假设乙是第三名,根据条件(3)、(5),丁不是第一名,只能是第四名,推出丙是第一名。

若假设乙是第四名,则剩下丙、丁为第一、三名,与条件(3)矛盾。 所以丙第一、甲第二、乙第三、丁第四。

3、赵是售货员,钱是工人,孙是教师,李是个体户

分析:由(4)与(1)可知,赵与钱不是教师。同(2)与(7)可知,孙不是个体户。如果假设孙是个体户,那么由(2)与(7)可知赵不是售货员,不是工人;由(4)与(1)可知,赵也不是教师;这样赵也是个体户,与条件矛盾,这样我们可得到下表。

假设赵是工人,个体户是钱或李,由(6)可知,赵与钱或李应互不认识,可这又与(1)、(3)相矛盾,这样可知赵不是工人。可得下表

95

假设赵是个体户,由(1)、(3)、(6)可知,孙是工人,钱是售货员,但又与(5)矛盾,所以赵是售货员,这样可得下表。

根据(1)、(5)继续分析,可得:

4、坐法如图所示

所以赵是售货员,钱是工人,孙是教师,李是个体户。

因为四句话全错,所以它们的否定形式正确,即: (1)A不在B旁边;

(2)B的左边不是C,也不是D; (3)C与D不挨着;

(4)C不在B的右边。

所以B的左边不是A、C、D,只能是E;B的右边不是A、C,只能是D;D的右边不是C,只能是A;剩下C坐在A、E之间。

5、李明教语文和政治;陈昕教数学和图画,孙梅教地理和音乐。

从(3)可知,李明不是地理老师或数学老师。从(5)可知,陈昕不是音乐老师或语文老师。从(2)、(4)可知,陈昕不是地理老师,所以孙梅是地理老师。

从(3)可知,李明、孙梅都不是数学教师,所以数学老师是陈昕。]

从(4)、(5)可知,孙梅、陈昕都不是语文老师,所以李明是语文老师。 96

从(1)可知,陈昕不教政治,那么他只能教图画了。从(5)可知,孙梅是音乐老师,那么政治老师是李明。

所以李明老师教语文和政治;陈昕老师教数学和图画;孙梅老师教地理和音乐。 6、10分

根据答题数量和得分情况,可知甲答对4题,答错1题。

若第1题错,则正确答案为√√××□×(□表示第5题答案不详),此时无论□表示√与×,乙、丙也不能同时得到7分。

若第2题错了,则正确答案为××××□×,此时无论□表示√与×,乙、丙、也一能同时得到7分。

同理,若第3题错,乙、丙也不能同时得到7分。

若第4题错,则正确答案为×√×√□×,此时若□=√,则乙得7分,丙得7分,满足条件。由此推出丁得10分。

若第6题错,乙、丙也不能同时得到7分。

所以6道题的正确答案分别为×√×√√×,丁得10分。 7、甲在苏州是工人,乙在无锡是教师,丙在南京是农民。

这道题即要考虑工作地点,又要考虑职业,必须从两个方面进行推理判断。这种情况可以用两表相联法。

从(1)、

(2)、(5)可知:

从(2)、(3)可知:

从(4)可知乙不在南京 则:丙在南京 乙在无锡 甲在苏州

97

从(3)可知

8、6环 所以甲在苏州,是工人,乙在无锡,是教师,丙在南京,是农民。

根据已知条件(1)、(2)、(5),可列举出下面四种满足人条件的式子:

1+3+6+7=17

1+4+5+7=17

2+3+5+7=17

2+4+5+6=17

再根据已知条件中的(3)、(4),可知每人四以子弹的环数分别为:

甲:1,3,6,7 ;乙:2,3,5,7或丙:2,4,5,6;甲:1,3,6,7;乙:1,4,5,7;丙:2,4,5,6

两种情况中,甲与丙相同的环数均为6。

9、四人的年龄分别是:16岁、24岁、25岁和64岁。

根据条件可知四人的年龄都应在15岁到129岁之间,并且有三人的年龄是15至129之间的平方数,所以应对15至129之间的平方数进行枚举与筛选。

设四个人的现有年龄分别是a2、b2、c2 和 d(a、b、c、d都是自然数),有a2+b2+c2+d=129且a2>15,b2>15,c2>15,d?15

因此,对于a2、b2、c2来说,可能出现的数字是:16,25,36,49,64,81,100,121。 因为15年前仍有3人的年龄是平方数,所以在a2、b2、c2中至少有两个减增15后仍然是平方数,在上述8个平方数中不难发现,只有16—15=1,64—15=49符合条件,故a2=16,b2=64

此时,c2+d=129-16-64=49,将49分解成两个都大于等于15,且其中之一为平方数的自然数,只有c2=25,d=24,这样,d-15=9,恰好是平方数。

10、A胜B,A胜C,B胜C,三场比分都为3比1

假设B进A2球,那么进C也2球,而A共失2球,那么C进2球,必定胜B,B、C为平局矛盾,所以B进A1球,C进A1球,B进C3球。

[全讲综合训练]

1、十五中学

由条件(1)知A、B、E不在光明中学。由条件(2)、(3)知B、E、D同校且不在第十五中学,又因每校至少一人,所以B、E、D在江滨中学,C在光明中学,A在第十五中学。

2、星期四

10月有31天,而31=4×7+3,所以这个月有4个星期零3天,把10月1日、2日、3日分开来,则4日到31日有完整的四个星期。

如果10月1日是星期六,则10月2日、9日、16日、23日、30日都是星期日,出现了五个星期日,与条件不符,所以10月1日不是星期六。

如果10月2日是星期六,同法可推得也与条件不符。

如果10月3日是星期六,那么10月4日、11日、18日、25日是星期日,恰好有4个星期日,符合条件,由此可知道10月1日是星期四。

98

3、张斌

假设李志明是记者,那么李志明、张斌都说了真话,而三人中只有一个说真话,这说明:假设不正确,李志明不是记者,由此可知王大为说了真话,另一个说假话的是张斌,从而推知:张斌是记者。

4、乙

由于“甲的两边不是乙,丙的两边不是丁”,可以判断甲与丙坐在位于中间的2号、3号座位上。

根据“甲的座位号比丙大”,确定丙坐在2号位上,甲坐在3号座位上,因此丙旁边的1号座位上只能坐乙。

5、4号

如果甲是2号,则乙不是3号;那么李说乙是3号,是错的,从而丁是1号;因此据孙说丁不是2号,于是丙是3号;又据钱说丙不是4号,乙是2号,这与前面假定中甲是2号矛盾。

所以赵说中只能是“甲是2号”不对,乙是3号;于是据钱说乙不是2号,因此钱说中对的只能是“丙是4号”

6、C和D

假设A得优,那么A、B、C、D均得优,这与只有两人得优相矛盾,所以A没有得优。 同理,B也不得优。所以只有C和D得优。

7、4分

因为每盘得分只能是2分或0分,所以每人的得分必为偶数,即0分、2分、4分、6分、8分。

由于A与B并列第一名,它们两人间的比赛的负责都最多只能得6分,因此,A与B最多只能得6分。

同理,并列第四的D与E不可能都得0分,因而最少都得2分,这要C只能是4分。

8、我们先从带某种特殊性的对象入手。

首先从读书最多的学生中找一个人,主设他为甲,由题设,甲至少有一本书C从未读过。 设B是甲读过的书中的一本,由题意,可找至学生乙,乙读过B、C,由于甲是读书最多的学生之一,乙读书数不能超过甲的读书数,而乙读过C书,所以甲一定读过一本书A,乙没读过A书,否则乙就比甲至少多读过一本书,这样一来,甲读过A、B,未读过C;乙读过

B、C,未读过A。

因此可以找到满足要求的两个学生。

9、3,4和11

1+2+3+?+12=(1?12)?12=78 2

甲、乙、丙三人所拿球上的数的和相等,则此和是78÷3=26

我们把不知标号的球用字母表示,甲:5,12,a,b;乙:6,8,c,d;丙:1,e,f,g 那么, a+b=26—5—12=9,c+d=36—6—8=12

由于剩下的球标号为2、3、4、7、9、10、11,因此,9只能是2与7的和即甲的另二个球标号为2和7

同理,乙的另二球标号为2与10,最后剩下的标3、4、11的球,全属于丙。

10、小赵获铜牌,小李获金牌,小刘获银牌,

(1)若小赵得金牌时,小李一定“不得金牌”,这与王老师只猜对了一个相矛盾,不合 99

题意。

(2)若小赵得银牌时,再以小李得奖情况分别讨论:

如果小李得金牌,小刘得铜牌,那么王老师没有猜对一个,不合题意; 如果小李得铜牌,小刘得金牌,那么王老师猜对两个,也不合题意; (3)若小赵得铜牌时,仍以小李得奖情况分别讨论:

如果小李得金牌,小刘得银牌,那么王老师猜对一个,符合题意; 如果小李得银牌,小刘得银牌,那么王老师猜对两个,不符合题意; 综上所述,小赵、小李、小刘分别获铜牌、金牌和银牌。

11、小康在县一小,爱下围棋;小兰在县二小,爱弹琴;小红在县三小,爱画画 由(2)知,小红可能在县一小、县三小。若小红在县一小,由(4)知,小红爱下围棋,这与(5)矛盾,所以小红一定在县三小。由(3)知,小红不爱弹琴,那么,小红爱画画。 由(1)知,小兰不在县一小,所以小兰一定在县二小。由(4)知,小兰不爱下围棋,爱弹琴,那么最后小康一定在县一小,由(4)知,小康爱下围棋。

12、丙在A厂是锻工,甲在B厂是车工,乙在C厂是钳工。

由(1)知甲在B厂或C厂,由(2)知乙在A厂或C厂 若甲在C厂,下面列表求解,满足条件的一栏打“√”,“√”后面的数是表示填写的次序

由(5)知,乙不是锻工,所以假设不成立,则甲在B厂

12、

所以丙在A厂是锻工:甲在B厂是车工;乙在C厂是钳工。

由(1)知1号、6号在前排,由(3)知3号、4号一前一后,因此2号、5号在后排。因5号不能站五号位,5号不是副攻不能站六号位,所以5号站一号位。

13、“我不在F的前面”是正确的,第一名至第八名的名次排列依次是F、B、D、E、G、A、H、C

14、戊

设2班选手为A、B、C、D、E。由于每人每天赛一场,根据题中条件可填出下表中不带圈的数字,数字表示第几天比赛。表示每行、每列都应有数字1~5,又可填上表中带圆圈的数字。见下表。

100

15、99个。 排在最后的一名俘虏(即第一个被询问者——绝顶聪明而又富于自我牺牲精神的军官)可以看到前面99个头上所戴帽子的颜色,由于99是奇数,它是两种不同颜色帽子数的和,因此,必有一色帽子数为奇数(例如白色),那么,这个约定就是:第一位被询问者就报他所看到的该色帽子数为奇数的颜色(即为白色),这个约定每一位被俘者人人皆知,那么,只要依照这个约定,除最后一位军官外其余的人(从第1位到第99位)均能准确推出自己头上帽子的颜色。

不妨假设最后一位军官所报自己头上帽子颜色为“白色”(注意:这意味着,他所看到前面99人同伴头上白色帽子总数为奇数),于是第99位俘虏依共同约定可以这样分析:

1、若他(第99位俘虏)所看到前面98人头白色帽子数是奇数,那么,他自己头上帽子颜色不会是白色(因为奇数+1=偶数),否则,第100位俘虏所看到的白色帽子数为偶数(=奇数+1),按规则他不应报“白色”,而应该报“黑色”!所以,第99位俘虏头上帽子必是黑色。

2、若他(第99位俘虏)所看到的前面98人头上白色帽子数是偶数,依据他后面的军官(第100位)所报的“白色”,按约定知,自己头上所戴帽子颜色应该为白色!

进而考虑第98位俘虏的报色。

1、若第98位俘虏听到第99位俘虏报“黑色”(自然也听到第100位报“白色”),他将观察他所看到的前面97人中白色帽子的奇偶数:若白色帽子数为奇数,则他头上所戴帽子颜色应为黑色,而不是白色(否则第100位俘虏所见白帽数为偶数);若所见白帽数为偶数,则第98位应报“白色”(理由同学们细想一想,为什么?)

2、若第98位俘虏听到第99位俘虏报“白色”。此时,他观察前97人白帽子数的奇偶性:若他听见白帽数为奇数,而他后面的第99位报的是“白色”,因为第100位报“白色”。因此,他应报“白色”;若他所见到前面97人中白帽数为偶数,依据同样推算,第98位此时应报“黑色”。

依次类推,第97位、第96位、?、第1位,均可依据他们各自所听到后面的报色情况及所见到的前面同伴头上白帽数的奇偶性准确推断出自己头上帽子的颜色!

这样,除了排在最后一位被俘者(军官)实在无法确定自己头上帽子颜色外(虽然,他的判断正确概率有80%),其余在他前面的99位同伴,都可按照他所制订的“约定”全部获释!

第七讲 抽屉原理

[同步巩固演练]

1、证明:把100米平均分成100段,每段长1米,把101棵树苗种在这100段中,根据抽屉原理可知,至少有两棵树苗在同一段中。因此,至少有两棵树苗之间的距离不超过1米。

2、证明:100=11×9+1

余数不为0,所以最小数为9+1=10,(10>9)即必有一钞钟,他跑的距离超过了9米。 3、29张

把去掉大、小王后的52张牌,按点数分成13个抽屉,每个抽屉里有4张牌。我们先按最坏的打算,每个抽屉里分别取出2张,共取出13×2=26(张),然后又取出大王和小王,共28张,这时只要再任意取1张,必然有一个抽屉里就取了3张牌,这样就保证有3张牌点数 101

相同。这时共取出13×2+2+1=29张。

4、用12去除每一个数,得到13个余数中必有两个相同,余数相同的两个相同,余数相同的两数之差必是12的倍数。

5、证明:因为在比赛过程中,每人参赛的场次最多有19种情况,共有20名运动员参赛,根据抽屉原理可知,至少有两位选手比赛过的场次相同。

6、19人

每位学生借的书共有以下6种情况:

根据学生借书的情况不同可以分为6个抽屉,由于保证其中必有4人借的书完全相同,故先在每个抽屉中分别取出3套,共要3×6=18(人),这时只要再任意取出一套就可保证必有一套有4位学生拿走,所以至少有:

6+1=19(人)

7、有

因为3×40=120<125,会有人得到4件以上的玩具。

8、首先用这三个数字共可“造”出6个两位数:12、

21、13、31、23、32。将它们看作“抽屉”,共有6个抽屉,将同学看作“苹果”(或物体)。因此至少要有7位同学来造2张卡片,保证有两位同学造的卡片组成的两位数相同。

9、证明:19=4×4+3

最小数为4+1=5,因此至少有一个花瓶里要插入5朵或5朵以上的鲜花。

10、10个

将三种不同颜色作为3个抽屉,那么要保证有

4个球颜色相同,一次至少要摸3×3+1=10个。

11、6人

先考虑共有几种不同的参加情况。设3个兴趣小组为A、B、C,只参加一组的有

3种情况,参加两组的有AB、AC、BC3种不同的情况,参加三组的有1种情况,共有3+3+1=7种不同的情况,根据抽屉原理40÷7=5??5,5+1=6人。

12、16个

考虑极端情况:即把除红色外的所有球都拿出后(已拿5+8+2=15(个)球),再拿1个,即第16个就能保证拿到红球,对于少于16个的情况就无法保证了。因此,至少应取出16个球。

13、2人

一年最多366天,作为366个抽屉,400个小朋友按自己的生日进到366个抽屉中,至少有一个抽屉有两人即至少有两人在同一天过生日。

14、8个

自然数被7除的余数有0,1,?,6这7种可能。这样可以把全体自然数按被7除的余数做成7个抽屉。那么取8个数就保证必有两个数在同一抽屉中,即被7除同余数,这两个数的差就是7的倍数。所以取8个数。

15、证明:6=3×2+0

余数为0,所以最小数就是2,即至少有2个面涂有相同的颜色。

[能力拓展平台]

102

1、6

因为144—120+1=25,而126÷25=5??1,所以几的最小值是6。

2、证明:把正三角形的每条边都会成三等份,将这个三角形划分成9个边长都是1分米3

的小正三角形。把10个点放入这9个小正三角形中,必有两点在同一个小正三角形里,这两点间的距离最长只能是边长11分米,所以这两点间的距离不超过分米。

33

3、8个

用7去除自然数,其余数只有7种:0、1、2、3、4、5、6。若给出8个数则必有两数余数相同,这两个数之差是7的倍数。

4、9个

边长为4的正方形面积为4×4=16,把正方形平均分成4个部分,每一部分最多可放入2个点,那么2×4=8个点,再加入1点,必有3个在同一部分,这3点构成的三角形面积必定不大于2。

5、证明 (1)将100个数分成50组:{1,2},{3,4},?,{99,100,}

在选出的51个数中,必有2个数属于同一组,这一组的2个数是两个相邻的整数,它们一定是互质的。

(2)将100个数分成50组:{1,2},{2,25},?,{50,100},

在选出的51个数中,必有2个数属于同一组,这一组的2个数的差为50。

(3)将100个数分成5类(不同的类内可以有相同的数):

第一类:2的倍数,即{2,4,?,100};

第二类:3的倍数,即{3,6,?,99};

第三类:5的倍数,{5,10,?,100};

第四类:7的倍数,{7,14,?,98};

第五类:1和大于7的质数即,{1,11,13,?,97};

第五类中有22个数,故选出的51个数至少有29个数在第一类到第四类中,根据第一抽屉原理总有8个数在第一类到第四类的某一类中,这8个数的最大公约数大于1,

6、证明:我们把这1991个数排列起来,可以得到1991和(单独一个数也看作一个和),如果这1991个和中有一个是1991的倍数,那么问题解决;如果这1991个和中没有一个是1991 103

的倍数,那么我们用这1991个和分别去除以1991,得到的余数可能是:1,2,3,??1990,那么1991个数中必有两个余数相同,这它们的差必然是1991的倍数,而这个差也是干个数的和。这们就可以得出结论。

7、设这10个数为a1,a2,a3,a?,a9,a10,依顺时针方向排在圆周上,则所有的3个相邻数的和之总和为(a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+?+(a9+a10+a1)+(a10+a1+a2)=3×(a1+a2+?+a10)=3×(1+2+?+10)=3×55=165=10×16+5

由抽屉原理知,必有一组相邻三数之和?16+1=17

8、把这三行七列的队形看作一个3×7的长方形,其中男生站的位置所对应的小方格涂黑色,女生站在位置对应的小方格涂白色,这个问题就转化成涂色问题。

如图第一行有七个方格,因只涂两种颜色,根据抽屉原则,必有一种颜色涂了四个或四个以上的方格。我们不妨设第一行有4个黑方格。

再看第二行。在第一行的四个黑方格下面的四格中,如果有两格黑色,结论是已经有一个长方形,它的四个角都是同一颜色,否则这四个方格中必有三个白色方格。

再看第三行。在第二行的三个白色方格下面的三格中,必有一种颜色涂了两格或两格以上,此色若是黑色,就与第一行组成四个角都是黑色的矩形;若是白色,就与第二行组成四个角都是白色的矩形。

从而我们看出,无论怎么涂,四个角颜色相同的矩形都是存在的。回到原题上,就是这些学生无论怎么站,四个角上都是男生或都是女生的情况都存在。无法找到这种情况不发生的站法。

9、用涂色方法来解决,分两步涂色:

第一步:先将每一个三角形中的最大边涂上同一颜色,比如红色(若在该三角形中有两条相等的最大边,则任选一边涂色)。

第二步:将所有尚未涂色的边涂上蓝色,这些三角形中必有一人同色三角形,而且必定是红色三角形,这是因为:任一个三角形中必有最大边,它已涂上红色,所以这个同色三角形不会是蓝色三角形,这个红色三角形必有一条最小边,它也是红色的,那么,此边必为某一三角形的最大边。

10、证明:如图,等边三角形ABC三边中点为D、E、F,这样DE,EF,FD,把边长为1的等边三角形分割成四个边长为1的等边三角形,如果规定线段DE、EF、FD上的点是属2

于△DEF的,那么△ABC内的所有点被划分为四个不相交的区域,把每个区域看作一个“抽屉”,在△ABC内任意画五个点,根据抽屉原理,必有两个点放入同一抽屉中,也就是一定有一个边长为11的等边三角形,其中包含两个点,显然,它们的距离不超过。 22

104

[全讲综合训练]

1、4个人。

因为分苹果、鸭梨,苹果、橘子,鸭梨、橘子三种情况,所以至少4个小朋友拿过后才一定会出现两人拿的水果是相同的。

2、7个人

因有六个“抽屉”所以至少要7人。

3、15人

10道题全答错得0分,全答对得40分。我们发现从0分到40分这41种分数中,39分、38分都得不到,因第二高分是有一题不答,其它题全对,得37分;有一道答错,其它全对得36分。两道题不答其它题全对时,得34分,35分不可能得到;进一步验算可知,其他的分数都可以得到了。因此0~40分之间只有38种情况,做成38个抽屉,只要有115人就可保证至少4人得分相同。

4、4分

这一行有三位置,每个位置可能是四种颜色小旗中的一种,即每个位置有4种情况,那么三个位置共4×4×4=64(种)情况。因200÷64=3?8,所以这天上午所打200次信号中,至少有4个是相同信号。

5、7个

因每个2×2方格中填的数的和是最小是4=1+1+1+1;最大是16=4+4+4+4。共13种可能,而2×2的方格共有9×9=81(个),81÷13=6?3,所以,这些数中至少有7个相同。

6、24个人

因为可构造七个“抽屉”,而23×7=161<165所以至有24人

7、12个人。

参加一项比赛有4种方法,参加二项比赛有6种方法,参加三项比赛有4种方法,参加四种比赛有1种方法,共有15种方法,168÷15=11??3,故可找出11+1=12个人。

8、11根

设想最坏的可能,拿出了所有的红色筷子,这时已保证有一双红色筷子了;再把黑色、白色、黄色各拿出一根;这时再取一根,无论是白色还是黄色(已不可能是黄色、红色),必然又得到另一双同色且不是红色的筷子。

根据上面的取法知,至少取11根,才能保证有两双不同的筷子。

9、5只

考虑最坏的可能,四种颜色的袜子各取出1只,那么再取1只,、必能有一双同色袜子。即只需取5只就可保证有一双同色。

10、8个

105

在2000位数中,能截取出相邻的四位数,2000—3=1997个,用2,4,6,8这四个数可组成的不同位数,根据乘法原理有4×4×4×4=356种,那么根据抽屉原理,1997÷256=7??205,所以这些四位数中,至少有8个是相同的。

11、11个

在23×23的方格中如“ ”的“十字”共有21×21=441(个)。这是因为,把23×23的方格纸的四个角去掉后,剩下的部分都有“十字”型图形存在。

每个“十字”所填数的和最小是5(五个1),最大是45(五个9),共41种。因441=10×41+31,所以和数相等的“十字”图形至少有11个。

12、6人

分到玩具的情况:

(1)只有一个:白兔、狗、长颈鹿;

(2)只有两个:白兔和狗、白兔和长颈鹿、狗和长颈鹿;

(3)三种都有。

一共7种情况,做成7个抽屉,40个小朋友根据自己拥有的玩具进入相应的抽屉,因为40=5×7+5,所以至少6人在同一抽屉里,即至少有6人拥有的玩具完全相同。

13、4个

自然数可按奇偶数分成两类,我们看作是两个抽屉。当取7个自然数时,必有3对数奇偶性相同;另处三个数也必有两个数同奇偶性相同,这时有两对数奇偶性相同;另外三个数也必有两个数同奇或同偶,这样又得到一对数奇偶性相同。

设这三对数是a1与a2,a3与a4,a5与a6。那么a1+a2=2k1,a3+a4=2k2,a5+a6=2k3。这里k1,k2,k3是整数。

而k1、k2、k3中又必有两个奇偶数性相同,不妨设是k1、k2同奇偶,那么k1+k2是2的倍数,2k1+2k2是4的倍数。

这样,从7个自然数中找到四个数的和是4的倍数。

14、46个

因为每个同学只能从10名候选人中任票两名投票,所以共有1+2+3+?+9=45(种),不同选法。把这45种不同选法看作45个抽屉,根据抽屉原则,至少有46名同学,才能保证必有两名或两名以上的同学投相同的两名候选人的票。

15、取{4,40},{8,44},{12,48},{16,52},{20,56},{24,60},{28,64},{32,68},{36,72},{76}共10组,如取11个数,必有二数在同一组中,而同组二数差为36。

16、25只

根据最不利原则,红、黄、蓝、黑各取4个,而紫球和绿球总数为50—40=10(只),因题目没说明它们各几只,同样根据最不利原则,各取4个,那么共取4×(4+2)+1=25只,才能保证至少有5只同色球。

17、30个

根据题意,先找出两数和为62的情况[4,58]、[6,56]、[8,54]、[10,52]、?共有28种,根据最不利原则,每组中各取一个数加上2这个数共有29个数,那么要保证有两个数的和为62,必须取30个数。

18、40

设计20个抽屉,使得每个抽屉中的两个数的差是5:

106

(1,6),(2,7),(3,8),(4,9),(5,10),

(11,16),(12,17),(13,18),(14,19),(15,20),

(21,26),(22,27),(23,28),(24,29),(25,30),

(31,36),(32,37),(33,38),(34,39),(35,40)。

这样,从前40个自然数中任取21个,必然有两个数在同一抽屉里。所以40里符合题意的n的一个值。事实上也是最大的一个,因为从上述20个抽屉中各取一个数,再取一个41,这样得到的21个数中任意两个数的差都不是5。于是,n的最大值是40。

19、第一袋19个,第二袋5个。

第一袋中有三种颜色的球,故第一次需要拿4个才能保证至少有两个颜色相同,这时,第一袋中剩下8个球,第二个袋中有16个球。

第二次拿球,最坏的情况是第一袋中只有两种同色的球,故至少要从第二袋中拿11个球,才能保证第一袋中缺少的那种颜色的球不少于3个。这时,第一袋中有19个球,第二个袋中剩5个球。

20、证明 现在考察(n+1)个数。

7,77,777,?,77?77,把它们分别记作a1,a2,?,an,an+1,如果将这?7,77????????

n位(n?1)位

(n+1)个数中的某一个数a,除以n,则余数只可能为0,1,2,?,(n—1)中的某一个,由此可作出n个“抽屉”:

第1个——余数为0的;

第2个——余数为1的;

? ?

第个——余数为(n—1)的。

把a1,a2,?,an+1按照被n除后余数的不同情况到各个抽屉中去,由第一抽屉原理可知,必有一个抽屉中含有两个余数相同的数,不妨设为ap=77(假设p>q),?7和aq=77?7,??????

p位q位

于是ap—aq能被n整除,且具有ap—aq=77?700?0的形式,这就是说,n乘以适当的整数??????

(p?q)位q位

之后得到了形式为77?700?0的数,即由7和0组成的数,因而问题得到了证明。 ??????

(p?q)位q位

第八讲 数的整除

[同步巩固演练]

1、算错了

因为1角2分=12(分),每种商品的总价是4的倍数。一共的总价也应是4的倍数。而12元1角=1210(分),不是4的倍数,所以算错了。

2、算错了

因为应付钱数(以角作单位)是8×179+3×179=11×179,即应付数是11的倍数,而1869不是11的倍数,所以算错了。

3、A=5,B=3或A=1,B=7

因为72=8×9,所以7B6能被8整除,根据A427B6能被9整除,可知B=3或7,当B=3 107

时,A=5;当B=7时,A=1。

4、960

因为[4,5,6]=60,60×16=960 60×17=1020,所以是960。

5、222225

因为15=3×5,这个数既能被3整除,又能被5整除,且各个数位上的数字只有2、5两种,所以末位是5,各位数字和能被3整除的最小六位数是222225。

6、532020

因为能被5整降,所以末位最小是0,末两位能被4整除是20,40,60,80,最小是20,而5+3+2+2=12,,能被3整除,所以满足条件的最小六位数是532020。

7、8010,8310,8610,8910 因为8A1B能被5,6整除,而6=2×3,所以8A1B能同时被2,3,5整除,既能被2,又能被5整除的末位是0,即B=0,当B=0时,8+A+1+0=9+A,被3整除A为0,3,6,9,故这样的四位数有8010,8310,8610,8910。

8、38或83

因为3154=2×19×83=38×83,所以这个两位数是38或83。

9、419892或819896

44=11×4,所以□1989□能被11和4同时整除,419□时是92,96,而当末位是2时,9+9+□=18+□,1+8+2=11,18+□—11=7+□,所以□=4,当末位是6时 9+9+□—(1+8+6)=3+□,□=8,故六位数为419892或819896。

10、39675

75=3×25,所以3A6B5能同时被3和25整除,则B5能被25整除,B为2,7,当B=2时,3+A+6+2+5=16+A,A为2,5,8,即五位数为32625,35625,38625,当B=7时,3+A+6+7+5=21+A,则A=3,6,9,所以五位数为33675,36675,39675。故最大的五位数是39675。

11、42972或48978 因7H能被6整除,H为偶数,7+H是3的倍数H为2,8,当H为2时,4+2+9+7+2=24,能被3整除,当H为8时,4+8+9+7+8=36,能被3整除,所以这个五42972或48978。

12、273273273

因为91=7×13,2ABAB=2AB×1001=2AB×7×11×13所以2AB2AB能被91整除,2AB2AB2AB=2AB2AB00+2AB,所以2AB能被91整除,而91×3=273,故2ABABA=273273273B。

13、3600

能被2、5整除,末位数是0,能被4整除末两位是20,40,60,80,能被3、9整除只有3600。

14、连续三个自然数中至少有一个偶数,记作2m,一定有一个数是3的倍数,记作3n,另一个数记作q,则三个数的积是2m×3n×q=6mnq,所以积一定是6的倍数。

108

15、连续四个自然数中至少有一个数是3的倍数,一定有一个数是4的倍数,所以四个连续自然数的积能被12整除。

16、319935或619938

因为33=3×11,设六位数为a1993b,所以a+1+9+3+b=13+a+b,a+b的和为2,5,8,11,14,17,且b+9+1—(a+9+3)=b—a—2,因为a为不为0,b—a=2,根据a+b的和与a—b的差,利用和差求得a=2,b=5,a=6,b=8,故所求数为319935或619938。

17、3

因为5a—15应是11的倍数,所以a=3。

18、7040或7645 设四位数为7a4b,而55=11×5,所以b为0或5,当b=0时,7+4—a=11—a是11的倍数,a=0,当末位是5时7+4—5—a=6—a应是11的倍数,a=6,故四位数为7040或7645。

19、9876504

设最大数为9876543,而9+7+5+3—(8+6+4)=6,不能被11整除,调整为9876504。 20、570,750两个

因为能被2、5整除,末位选0,能被3整除只能选5和7,所以三位数为570,750。 21、30675,38625,39675

因为75=3×25,末两位能被25整除的有25,75,当末两位是25时,3+□+6+2+5=16+□是3的倍数,所以□为2,5,8,但要求无重复数学,只能是8,所求数为38625。当未两位数是75小时,3+□+6+7+5=21+□是3的倍数,所以□为0,3,6,9。3、6原数已有。所以五位数为30675和39675

22、因为3×5×7×11=1155,而1155×87=100485,1155×86=99330,1155×85=98175,就是符合题目要求的数

23.301246

设所求六位数为301245,但3+1+4-(0+2+5)=1,调整个位301246

24、20千克

由题意知两个顾客买走的五箱货物的总重量应是3的倍数,而15+16+18+19+20+31=119。119÷3=39??2,但20÷3=6??2,所以剩下的那箱货物是20千克。

25、16

因为由题意知7+3+1+□=11+□是9的倍数,所以□为7,又7+1-(3+□)=5-□是11的倍数,□=5。能被6整除□为偶数,且7+3+1+□=11+□,□=4,故和为7+5+4=16

26、7

因为51位数123456?282930的奇数位上的数字分别是0,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,9,7,5,3,1这些数字之和为:1+3+5+7+9+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)×2=115

这个数的偶数位上的数字分别是3,2,2,2,2,?,2,1,1,?,1,8,6,4,2。这些数字之和为:2×10+1×10+3+8+6+4+2=53,而115-53=62,62÷11=5??7

所以这个51位数除以11的余数是7。

27、28个,14个,13个,

由题意知甲、乙的和是3的倍数,丙最少,但多于10个,乙最少是10多个,当乙是12 109

时,甲是24,丙是19,不合题意,当乙是13时,甲是26,丙是16个,不合题意,当乙是14时,甲是28个,丙是13个,符合题意,当乙是15时,甲是30个,丙是10个,不合题意。所以甲分别28个乙分得14个,丙分得13个。

28、997

因为346+734+983=2063,被4除余3,而比996大的三位数只有997被4整除作1,且2063+997=3060能被4整除。

29、57

100÷3=33余1,所以100以内有33个3的倍数,同理得到100以内有14个是7的倍数,有4个既是3的倍数也是7的倍数,故100-33-14+4=57个不能被3或7整除。

30、368040 设这个六位数是368abc,因为它能同时被4,5整除,所以C=0,B=0,2,4,6,8,又根据368ab0能被3整除,可检验得出当c=0,b=4时,得到最小的六位数是368040。

31、945,873,621

因为1+2+3+?+9=45,要使这三个数都能被9整除,且和尽可能大,这三个三位数的各个数位的和分别是9,18,18,、而各个数位的和是9的最大三位数是621,还剩3,4,5,7,8,9,分别组成两个最大的三位数,且能被9整除的数分别是954,873。所以所求数分别是954,873,621。

32,4440

因为15=3×5,(3,5)=1,由题意知,A的个位数字是0,又A能被3整除,A的最小值是4440。

[能力拓展]

1、能被3整除的数多,多10个

能被9整除的数一定能被3整除,而能被3整除的数不一定能被9整除。多的10个数分别是237、237、372、372、723、732、903、930、309、390。另外是9的倍数的数还有720、702、207、270、729、792、279、297、972、927。

2、111111

111111这个数在数的整除中具有特殊的地位。它是3、7、11、13、17、37的公倍数。111111=111×1001=3×37×7×11×13。

3、187、363、726、902

能被18整除的两位数有18、36、54、72、90,在末位添一个数字后是11的倍数的有187、363、726、902。而54后面不管添任何数字都不会是11的倍数。

4、987632

最大的并且六个数字各不相同的六位数是987654,987654÷17=58097??5;987654-5=987649(不符合题意,出现了两个9),987649-17=987632符合题意。

5、546

因为5ab5ab=5ab×1001=5ab×11×91,所以91 5ab5ab又 110

5ab5ab?5ab=5ab5ab?5ab×1000+5ab ??????????????

99个5ab98个5ab

由已知:91|5ab5ab?5ab,则91个5ab,而只有546能被91整除,所以5ab=546

6、不能

因为1+2+3+?÷9=45,3145,而19993÷9=221??4所以这个1993位数的最后末4位数字是1234,而1+2+3+4=10,10不能被3整除,故这个1993位数不能被3整除

7 . 五(4)班

因为搬砖人数和校办工厂劳动的人数是3的倍数,而55+54+57+55+54+51+54+53+51+52+48=584。 584÷3=194?2,但53÷3=17?2、,所以打扫卫生的是五(4)班。

8、954、873、621

要使三个三位数尽可能大,必须百位尽可能大,但试分为只有954、873、621符合条件。 9、320

因为[2,3,4,5,6,7,8,9]=2520,设七位数为1993999、试除1993999÷2520=791??679,1993999—679=1993999,所以这个三位数为320

10、36

因为72能被4,8,9整除,能被4整除的未两位12,16,20,24,28,32,36,?,能被8整除的未三位112,920,728,536,?当写到12时,1+2+3?+12=78,不能被9整除,当写到20时,(1+2+3?+9)×2+1×10+2=102,不能被9整除,当写到28时,(1+2+3+4+?+9)×2+(1+2+3—?+8)+1×10+2×9=155,不能被9整除,当写到36时,(1+2+?+9)×3+1×10+2×10+(1+2+3+4+5+6)+3×7=207,91|207,故这个自然数是36。

11、9

多位数奇数位上的数字和为:(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)×4+0=180

多位数偶数位上的数字和为:(1+2+3+4)×10+5=105,180—105=75,75÷11=6??9,所以多位数除以11余9。

4 88□0 ,19□2 88□5 ,19□9 88□5 12、19□

设所求的六位数为19x88y,因为35=5×7,5、7互质,所以35能整除19x88y,则5、7能同时整除19x88y,反过来也成立。

当5能整除19x88y时,y=0或y=5。

如y=0,19x88y=19x880,880—19x=880—190—x=690—x,690=7×98+4,此时x=4。 如y=5,19x88y=19x885,885—19x=695—x,695=7×99+2,此时x=2或x=9,满足要求的六位数有下面三个数:194880,192885,199885。

13、720027

111

设六位数为a2002b,因为能被11整除,所以a=b,又因为2+2+a+b是9的倍数,所以a=b=7。

故这个六位数是720027。

14、859

本题采用倒着除的方法求解

所以满足条件的最小自然数是859

15、102、103、104、105

因为在400—440之间能被9整除的数有405,414,423,432,441,能分成四个连续自然数的数必须是偶数,而414÷2=207,207=103+104,所以四个连续自然数为102,103,104,105。但432÷2=216,不能分成连续的两个自然数。

16、不可能

因为以1,4,6,9为个位数字的自然数乘以7后,其积的个位数字为7,8,2,3与1,4,6,9均不相等。

17、9个

设P为任意一个自然数,将“神奇数”N(N<130接后得PN

(1)当N为一位数时,PN=10P+N,由N|PN知N|10P,由于需对任意数P成立,故N|10,所以N=1,2,5。

(2)当N为两位数时,PN=100P+N,同(1)知N=10,20,25,50。

(3)当N为三位数时,PN=1000P+N,同(1)、(2)约N=100,125。

综上“神奇数”为1,2,5,10,20,25,50,100,125

[全讲综合训练]

1、设a>b,则由a、b这两数字组成的两位数分别为10a+b与10b+a,于是(10a+b)—(10b+a)=9a—9b=9(a—b),即差能被9整除。

2、甲数为40040000000,乙数为10010000,或甲数为40040000,乙数为10010

设甲数=4004 00??0,则由甲数÷乙数=4000知乙数=甲数÷4000=4004 ?????

k个0

4000=1001 0000??0÷??0。即k?3。 ??????????

k个0k—3个0

112

∴甲数+乙数=4004 00??0+1001 00??0=4005001 00??0 ???????????????

k个0k—3个0k—3个0

如果甲数+乙数的万位不是0,则可能有两种可能:

(1)万位数字是1:此时k—3=4,即k=7,此时甲数为40040000000,乙数为10010000。

(2)万位数字是5:此时k—3=1,k=4,此时甲数为40040000,乙数为10010,又万位数字不可能为4,故本题只有上面两解。

故:甲数为40040000000,乙数为10010000,或甲数为40040000,乙数为10010。 3、5460

能同时被5、6、7整除的最小四位数是1050=210×5,(210是5、6、7的最小公倍数)。按从小到大排列210×5(1050),210×6,?,210×47(9870);求最大时,可用10000÷210=47??30的方法。5至47中间的是(5+47)÷2=26,则答案是210×26=5460。

4、60,120,180

如果(a,b)=1,(即a、b互质),那么(a+b,a)=1,(a+b,b)=1,此时a+b不能整除a×b。

设(a,b)=d>1,又设a=a′d,b=b′d,于是(a′,b′)=1,此时a′+b′仍不能整除a′×b′。

(a′,b′)=1得(a′+b′,a′)=1,(a′+b′,b′)=1,故(a′+b′,a′×b′)=1,但a×b=a′d×b′d=a′b′d2。

∴a×b÷(a+b)=a′b′d2÷[(a′+b′)d]=a′b′d÷(a′+b′)

如果a×b能被a+b整除,那么就应该有a′+b′能被除d

根据这一点可知,若(a,d,c)=d,a=a′d,b=b′d,c=c′d,就会有d是a′+b′,b′+c′,c′+a′的倍数。

取a′=1,b′=2,c′=3,于是

a′+b′=3,b′+c′=5,c′+a′=4,而3,4,5的最小公倍数为60。

∴取d=60,a=a′d=60,b=b′d=120,c=c′d=180

这时有 a×b÷(a+b)=60×120÷(60+120)=60×120÷80=40

a×c÷(a+c)=60×180÷(60+180)=60×120÷240=30

a×b÷(b+c)=120×180÷(120+180)=120×180÷300=72

所以60、、120、180是合条件的三个数。

5、丙(14223)

两个互为倒序数的四位数相加,和必为11的倍数。 我们假设这两个倒数分别是ABCD、DCBA。相加之后可以得到关于四个字母的四个和,分别是AOOA、BBO、DOOD,它们都是11的倍数,那么,总和也是11的倍数。而在四个人的答案中只有丙的答案数是11的倍数。所以丙是对的。

6、153846

用算式谜方法解153846

?4 615284

7、在5与7之间剪开

因为396=22×32×11,由于排成两数的差为4的倍数,所以两数的未两位数的差为4倍数。 113

8、9

因为1999位的数中,最大的数是99?9,而它的各位数字之和为9×1999=17991,则a???

1999个9

?17991,其中各位数字之和是最大的数是16999,它的各位数之和为1+6+9×3=34,则b?34,其中各位数字之和最大的数是29,它的各位数字之和为11,则c?11,又因为A能被9整除,所以a能被9整除,同理b能被9整除,c也能被9整除,故c=9。

9、N取1,3,7,9,11,13

N取偶数,甲可以在最右边方格里填一个奇数(六位数的个位),就使六位数不能被N整除,乙不能获胜,N=5,甲可以在六位数的个位填一个不是0或5的数,甲就获胜。

上面已经列出了乙不能获胜的N的取值情况。

如果N=1,很明显乙必获胜。

如果N=3或9,那么乙在填最后一个数时,总是能把六个数字之和凑成3的整数倍或9的整除倍,因此乙必获胜、。

当N=7,11,13时是本题最困难的情况,注意到1001=7×11×13,乙就有一种必胜的办法,我们从左往右数这六个格子,把第一与第四,第二与第五,第三与第六配对,甲在一对格子的一格上填某一个数字后,乙就在这一对格了的另一格上填同样的数字,这就保证所填成的六位数能被1001整除,这个六位数就能被7、11或13整除,故乙就能获胜。

综合起来,使乙获胜的N是1,3,7,9,11,13。

10、从12到2000共有1989个数,1989÷9=221,所以多位数除以9余0

11、不能盖满

由于1997×1999被3除的余数为2×1=2,如能盖满,每个“L”形有3个小正方形,应盖住的方格数应为3的倍数,故不能盖满。

12、38165429 设九位数为abcdef7gh,根据题意可知e=5。b,d,f,g为偶数,则a,c,h为奇数。 因为f7g是8的倍数,f是偶数,所以f00是8的倍数,推出7g是8的倍数,g=2 因为cd是4的倍数,c为奇数,所以d=6。 因为abc是3的倍数,abc65f是6的倍数,所以65f是3的倍数,f=4,由此推出b=8 由a8c是3的倍数,可知a+c=4或10,有a=1,c=3;a=3,c=1;a=1,c=9;a=9,c=1四种情况,经试验可知,a=3,c=1时,3816547是7的倍数,至此可知h=9

所以 381654729为所求

第九讲 约数、倍数和最大公约数、最小公倍数

9、1 约数、倍数

[同步巩固演练]

1、(1)、21

3136=26×72,故约数有(6+1)×(2+1)=21(个)

(2)32个

114

46305=32×5×73,故约数有(3+1)×(2+1)×(3+1)=32(个)

2、(1)4560

1998=2×33×37,故约数和为(1+2)×(1+3+32+33)×(1+37)=4560

(2)56265

16200=23×34×52,故约数和=(1+2+22+23)×(1+2+32+33+34)×(1+5+52)=56265

3、甲数是0

4、63,84

因为100以内21的倍数有21,42,63,84,故最大奇数为63,最大偶数为84

5、192

因14=1×14=2×7,而14=(13+1) 213>200 2×7=(1+1)×(6+1),26×3=192 6、22个

有奇数个约数的数是完全平方数,而在三位数中完全平方数有102=100,112=121,??、312=961,所以共有31—10—1=22(个)

7、60,72,96的约数个数最多,有12个约数。

8、60

12=11+1=(1+1)×(5+1)=(1+1)×(1+1)×(2+1)=(2+1)×(3+1),故该数只有一个质数时,该数至少是211=2048,若该数有2个质数,则该数可能2×35或3×25或22×23或23×32,经比较以23×32=72最小,若该数有3个质因数,则可能为2×3×52,或2×32×5或22×3×5,以22×3×5=60最小,比较可知该数为60。

9、24和30

8=7+1,于是该数可能为n7,由于27>30不符合题意,8=(3+1)×(3+1),故该数可能为a3×b形,取=2,a=2,a=3,得24,又8=(1+1)×(1+1)×(1+1),故该数还可写成a×b×c形,取2=a,b=3,c=5,得30。

10、784

15=14+1,但214>1000,故应舍去,15=(2+1)×(4+1),故可取该数为a2×b4,由于54=625,乘以a2后>1000,故b只能取2或3。22×34=324,32×24=144,52×34>1000,52×24=400,72×24=784。若a>7,则必有a2×b4>1000,故784为最大的一个数。

11、1050

同时被2、3、5、7整除的数必是2×3×5×7=210的倍数,1000÷210=4余160,故取210×5=1050

12、21978

abcd的4倍仍为五位数,故abcde<25000,a?2、e×4的末位数应为偶数,故a=2,而e?4×a=8,又b×4不进位,故b=0,1,2,d×4+3的末位数不可能为0与2,故b=1。d=2或7,又d>1×4=4,故d=7,最后c×4+3=30+c,(注意:千位1×4=4,需百位要进3方可得7),于是c=9,从而abcde=21978

13、264与52,121与195

316÷11=28余8,即11×28+8=316,所以可得11×24+11×4+8=11×24+13×4=316,11×11+11×13+13×4=11×11+13×15=316,故这两个数是264与52;或121与195。

14、6、7、8和9

115

3024=24×18×7=6×7×8×9

15、111,112,113,?,120

设这十个数中最小的数为a,那么这10个数的和为10a+(1+2+3+?+9)=10a+45,由最大数不超过130,故a?121,10a+45?1255,1255÷77=16余23,又10a+45?1045,而1045÷77=13余44,由于77的倍数减45必须是10的倍数,故只能有10a+45=77×15,而a=111,故这十个数是111,112,?,120。

[能力拓展平台]

1、51,55,57,58,62,64,65,69

4=1×4=2×2,有4个约数的自然数一定能表示为a3或a×b,其中a、b都是质数。

如果为a3,符合条件的自然数a=4,a3=64,如果为a×b,符合条件的自然数a=2,b=29,a×b=58;a=2,b=31,a×b=62;a=3,b=17,a×b=51;a=3,b=19,a×b=57;a=3,b=23,a×b=69;a=5,b=13,a×b=65。所以满足条件的所有自然数为:51,55,57,58,62,64,65,69。

2、a=24,b=36

12=22×3,即a、b都至少有二个质因子2与3,由于8=4×2=(3+1)×(1+1)故a=22×3=24;9=3×3=(2+1)×(2+1),故b=22×32=36。

3、80

最小两个约数和为3,那最小两个约数为1与2,如原来自然数为A,则最大的约数为A,其次为A÷2,最大两个约数和为A+A÷2=120从而A=120÷1.5=80。

4、33743

用竖式计算31743÷823,可得

38

82331743

7 0 5 3

4 6 9

由于最后的余数为469,而在计算商的十位数“3”时,有823×3=2469,这说明,如果余 469能增加2000,就恰是823的整数倍了,所以,只要把原数加上2000,得到33743就是823的38+3=41倍,此时恰只修改了一个数字。

5、6与28,496与4128都是完全数

6、166

将数列的各数除以6的余数按次序列表如下:1,1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,3,5,3,2,5,1,0,1,1,2,?

可以看到数列各数除以6的余数24个数一循环,并且每24个数中有2个0,说明有2个数是6的倍数,而2000÷24=83余8。因此在前2000个数中共有6的倍数是2×83=1662个。

9.2最大公约数、最小公倍数

[同步巩固演练]

1、7,3920

2、31,57573

116

3、7本,5支,2块

为(301,215,86)=43,所以全班共有43人,每人拿到笔记本:301÷43=7(本),每人拿到铅笔,215÷43=5(支),每人拿到橡皮:86÷43=2(块)

4.72

504×6÷42=72

5.2521人

[2,3,4,5,6,7,8,9]+1=2521(人)

6.8和64

64÷8=8,将8分成两个互质数的乘积只有1×8,所以两数分别为8×1=8,8×8=64

7.180和252或36和396

432÷36=12,将12分成两个互质数的和,有12=1+11=5+7,所以两效为1×36=36和11×36=396或5×36=180和7×36=252

8.385和175

16分成两个互质数的和有16=1+15=1+11,所以而1925不能被15整除,只有1925÷5=385和1925÷11=175

9.12和15

(180,3)=3,公约数只有1和3,当公约数为1时,没有满足条件的解,当公约数为3时,180÷3÷3=20=4×5,且5-4=1,所以两数为5×3=15,和3×4=12。

10.6棵,60米

(120,60)=60, (120+60)×2÷60=6(棵)

11.31和186或62和93

5766÷31÷31=6,而6=1×6=2×3,所以两数为1×31=31和6×61=186或2×31=62和3×31=93

12.10月25日

[6,8,12]=24 1+24=25,所以是10月25日

13.125立方米,60块

(25,20,15)=5,所以体积为5×5×5=125(立方米),25×20×15÷125=60(块) 14.3千克

(201,183)=3,所以一个地雷的重量是3千克

15.每组最多6人,;甲9组,乙8组,丙12组

(54,48,72)=6,54÷6=9(组) 48÷6=8(组);72÷6=12(组)

16.边长84厘米

[21,12,14,10.5]=84所以包装箱底面的边长至少是84厘米

17.159厘米

用辗转相除法求(2703,1113)=159

117

18.28

168×4÷24=28

19.1001

abcbc=abc×1001,所以它的最大公约数是1001

20.30分钟

[5,6,10]=30,所以再过30分钟又同时发车。

[能力拓展平台]

1、15

6435=5×9×11×13,于是可知9,11,13,15这四个连续奇数的最小公倍数是6435 2、62和93或31,186

5766=2×3×312,故此二数可以是1×31与6×31,也可是2×31与3×31。

3、142

设这个最大的公约数为d,则这七个不同的三位数至少为d,2d,3d,?7d,于是100?7d<1000,即d<142,即这个最大的公约数不超过142,而142,284,426,568,710,852,994这7个三位数的最大公约数为142。

4、40或20

50÷5=10,而10=1+9=3+7, 5×9—1×5=40或7×5—3×5=20

5、17种

14=4??4

6、60÷ 1=5??5

9=6??6

7、10段

(120,180,300)=60,(120+180+300)÷60=10(段)

8、21厘米

3.57米=357厘米,1.05米=105厘米,0.84米=84厘米(357,105,84)=21,所以边长是21厘米

9、180米,31根

[45、60]=180,5400÷180+1=31(根)

10、第一道工序分配20人,第二道工序分配5人,第三道工序分配12人。

[3,12,5]=60,60÷3=20(人),60÷12=5(人) 60÷5=12(人)

11、60和12

(48,60)=12,60÷12=5,5=1×5,且5-1=48÷12=4,所以两数为1×12=12和5×12=60 12、72和54

设甲 =ad,乙=bd,并没a>b,其中d为甲、乙的最大公约数,a,b互质,则甲、乙的最小公倍数=abd,据题意,ab=12,(a—d)b=18,由ab=12知a=12,b=1或a=4,b=3,但只有a=4,b=3能使a—b整除18,故d=18,于是甲=72,乙=54

13、28段

由于[10,12,15]=60,先把木棍60等分,每一等份作为一个单位,则第一种刻度线相邻每两刻度间占6单位,第二种刻度线占5单位,第三种刻度线占4单位,分点共有9+11+14=34 118

个。

由于[5,6]=30,故在30单位处二种刻度重合1次;

[4,5]=20,故在20、40单位处二种刻度重合2次;

[4,6]=12,故在12,25,36,48单位处二种刻度重合4次;

∴共有不重合刻度34—1—2—4=27个,从而分成28段。

14、6、10和15,10、12和15,10、15和18

因为a、b、c是小于20的合数,所以它分解因数后只能含有质因数2、3、5、7,按题目要求适当搭配可得

2×3=6, 2×5=10, 3×5=15

2×3=12, 2×5=10, 3×5=15

3×5=15, 2×5=10, 3×32=18

15、324,756

540=22×33×5,又因为2、3、4、5、6、7中只含一个5,所以两数的最大公约数中不含因数5,则最大公约数可能为22×33=108,经检验,可找到这两个三位数分别是108×3=325和108×7=756。

16、2、3、6

17、70组

已知当a能被b整除时,有[a,b]=a,现在我们先固定a、b、c三个数中的某两个,看第三个数有多少种可能性先让a=1000,c=2000,只要b是1000的约数便有[a、b]=1000,[b,c]=2000,[a、c]=2000。因为1000=23×53,b又是a的约数,a的约数有[(3+1)×(3+1)=]16个,即b有16种可能,所以这样的数组有16组,再让b=1000,c=2000,这时只要a是1000的约数,题目中的条件都满足,去掉与上面16种中相同的一种a=b=1000,c=2000,又有15(=16—1)组。

再看a、b、c三个数中固定一个数的情况。

让c=2000,为保证满足题目中的要求[a、c]=2000,[b,c]=2000,a、b均应为2000的约数。为了使[a,b]=1000,而1000=23×53,所以a=23×5n,b=53×5m。为去掉a=b=1000这一种情况,n可以取0、1、2三个值,m也可以取0、1、2三个值,即a可以是8、40、200这三个数,b可以是125、250、500这三个数。所以这样的数组有(3×3=)9组,交换a、b又有9组,当c=2000时,这样的数组共有18组。

再让a=1000,为保证题目中的条件得到满足,即[a,b]=1000,[a,c]=2000,[b,c]=2000,且不与上面已有的数组重复。又因为1000=23×53,2000=24×53,故应有b=2n×53,c=24×5m。这里n可以取0、1、2、3四个数,m可以取0、1、2三种数,即b可以是125、250、500、1000这四个数,c可以是16、80、400这三个数,此时这样的数组共有(4×3=)12组。

再让b=1000,为保证题目中的条件[a,b]=1000,[a,c]=2000,[b,c]=2000得到满足,且不与上面已有的数组重复,根据1000=23×53,2000=24×53,故应有a=2n×53,c=24×5m。这里n只能取0、1、2三个数,m可以取0、1、2三个数。即a可以是125、250、500这三个数,c可以是16、80、400这三个数,此时这样的数组共有(3×3=)9组。

把上述各种情况下的组数相加,便是所求的答案。

满足要求的a、b、c数组共有:16+15+18+12+9=70

注意:这里125,1000,16和1000,125,16算两组。

[全讲综合讲练]

1、10月13日

119

由题意,每隔7天支一次图书馆,加上去图书馆的那一天,应是每8天去一次;每隔10天去一次就是每11天去一次;每隔15天去一次就是每16天去一次。要求离4月20日最近的那一天,就是要求经过多少天他们三人又在同一天借书,经过的天数,就是8、11、16的最小公倍数,[8,11,16]=176。从4月20日经过176天是10月13日。

2、7名

3、进行合理安排,就要使每道工序生产的产品既不积压,也不会窝工。使包装的化肥袋数既是24的倍数,又分别是36、18和16的倍;又要使车间的人最少,所以每小时包装化肥的袋数就是求24、36、18和16的最小公倍数。

[24,36,18,16]=144。由每小时包装化肥144袋,那么扎编织袋人数144÷24=6(名)。装化肥人数144÷36=4(名),缝袋口人数144÷18=8(名),搬运化肥人数144÷16(名)。所以这个车间至少需工人6+4+8+9=27(名)才能进行合理分工。

3、1620米。

从甲地开始,每隔36米装一根电线杆与每隔54米装一根电线杆,当安装到36米与54米的最小公倍数108时,就有2根不需要移动,只有一个间隔;从甲地到乙地共有2+14=16(根)不需要移动,就有16—1=15(个)间隔。

所以,从甲地到乙地的距离是108×15=1620(米)

8和20

因甲写的数除以9,乙写的数除以10,不改变这两个数的最大公约数,说明9、10分别是两个数独有的约数,而两数的最小公倍数是180,180=9×10×2,所以2是两个数的最大公约数,两位同学写的数分别是9×2=18和10×2=20。

5、2550

A有12个约数12=3×4=(2+1)×(3+1),所以A是32×53=1125,或33×52=675,B有10个约数。10=2×5=(1+1)×(4+1),所以B是3×54=1875,或34×5=405,经试验得675和1875的最大公约数是75,所以A+B=675+1875=675+1875=2550

6、12,15

设A,B且A>B的最大公约数为m,则 ,且a、b互质,依题意得ma—mb=m(a—b)=3,m mab=m2ab=180,而(180,3)=3,所以m为1或3,当m=1时,a—b=3。ab=180,而180=1×180=4×45=5×36=9×20=15×12,刚好15—12=3。所以两数为12×1=12,15×1=15;当m=3时,a—b=1 ab=60 而60=1×60=4×15。没有符合a—b=1的数,故这两个数为12和15。

1

2

999991911999999111[,]==49,49??11(次),[,]=,=9(次),而9<22288282888

9111,所以狐狸跳子9×=40(米)(求几个分数的最小公倍数,就是用几个分数的分子的最227、40米 小公倍数除发分母的最大公约数。)

8、1人

由题意知某班学生人数是7、3、2的公倍数,而[7、3、2]=42,所以不超过60的公倍数只 120

有42。故不及格的人数是42×(1—

9、36人 111——)=1(人) 732

由题意知这个班人数是6和9的公倍数,而[6,9]=18,没总人数为18K,18K÷9=2K,3K-2K=2,K=2,所求人数为18×2=36(人)

10、3组

因为26=2×13,33=3×11,34=2×17,35=5×7,63=32×7,85=5×17,91=7×13,143=11×13

这8个数每个都有2个质因数,要使其中每两个数的最大公约数都为1,则同一质因数最多只能在一个组中出现1次,现在三个数35,63,91中都有质因数7,三个数26,91,143中都有质因数13,因此,至少需分3组,才有可能把这两组数分开。

现取26,33,35为一组,34,63,143为一组,91。85为一组,同组的数中,每两个数的最大公约数都是1,共3组,满足题目的要求。

11、n=8

分2组则6的倍数未分入小组,分3组则12的倍数未分入小组,分4组或5组时,60的倍数未分入小组,分6组时420的倍数未分入小组,分7组时840的倍数未分入小组,而分8组,则1—1999的数均可分入某一组,故n=8

12、10、12、13、14、

由于2、3、4、5、6的最小公倍数为60,得这五个数的和为60的倍数,即至少为60,60÷5=12,得10+11+12+13+14=60,故满足条件的最小一组数为10、11、12、13、14。

13、(1)8和9,(2)60060

(1)我们可以采用试算的方法寻找解题途径。

如果说得不对的两个同学是2号3号,则a不是2和3的倍数,从而也不是6的倍数,也就是说6号同学也说得不对,与1号同学验证结果矛盾,故说得不对的两个同学不是2号与3号。

同理,说得不对的两个同学也不是3号同学和4号同学。

反过来,说得不对的两人中不应包括6号,否则2号与3号也说得不对,与已知矛盾,这样,说是不对的两人不应是5号和6号,6号和7号。

同理,说得不对的两人中也不应包括12,从而说得不对的两人不应是11和12号,12号或13号。

由前面的结论知a应是5、6和7的倍数,故a也是10,14,15的倍数,说得不对的人中不包括10号,14号,15号,从而不是9号和10号,10号和11号,13号和14号,14号15号。

同理,说得不对的人也不应是4号和5号,7号和8号。

综上所述不难得出,两个同学的编号为8和9。

(2)编号为1的同学写在黑板上的数是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的倍数,它们的最小公倍数为22×3×5×7×11×13=60060。

因为60060×2=120120是一个六位数,故编号为1的同学写的数a=60060。

第十讲 质数、合数和分解质因数

10、1 质数和合数

[同步巩固演练]

121

1、7

a=1,b=2,c=4,故a+b+c=7

2、填法如图

相邻二圈内两数和最小可能值为1+2=3,最大可能值为8+7=15,即相邻二圆圈内数之和只能是3、5、7、11、13这5个数,于是圆圈内填的数必奇偶相间,现1可与2、4与6相邻,3可与2、4、8相邻,5可与2、6、8相邻,7可与4、6相邻,故7两边必为4、6,而8的两边必为3与5,即得到④—⑦—⑥与③—⑧—⑤这两个“短链”。考虑1与2插入此二短链之间,④—①—⑤,④—①—③,⑥—①—⑤,⑥—①—③等均不能奇偶相间,故只能4与3相邻或5与6相邻,得6—7—4—3—8—5或4—7—6—5—8—3,在两端分别插入1与2,可得两种填法,如将此二图翻转还可得另二种类似填法(不是旋转)。

3、194

99=2+97,2×97=194

3、21

枚举试验得10×11+11=121是合数,这两个自然数的和为10+11=21。

4、2

5、一定不是质数

因为1+2+3+??+9=45是3的倍数,所以一定不是质数。

6、39916802,39916803,39916804,39916805,39916806,39916807,39916808,39916809,39916810,39916811。

设k=11×10×9×?×2×1,则k+2,k+3,k+4,?k+11为连续10个合数。

7、27

285=5×3×19,而

8、18,8

65=13×5,则13+5=18,13—5=8

9、1和0

[能力拓展平台]

1、6个

末位数为偶数的质数只有2,其余三个偶数都不能作为质数的末位数,故至多可组成6个质数,现有43、61、89、2、5、7这6个数为质数。

2、3,11

设此质数为p,则a2=7p+4,经验算可知p=3,11。

3、5,11,17,23,29

设此质数为p,则此五个数为p、p+6、p+6×2、p+6×3、p+6×4,故p≠2,3,即p?5。即p=5可得一组解。 111167++=,故三个质数和为5+3+19=27。 5319285

122

4、4个

连续9个自然数均大于80,其中至少4个偶数,其中必有3个3的倍数,3个3的倍数中必有一个是奇数,故连续9个自然数中至少有5个合数,故至多有4个质数,又101,103,107,109这四个数为质数,即从101~109这9个数中有4个质数,故知结论正确。

5、

900

如图,中间三个圆圈中填的质数分别为a、b、c,由于四个小三角形中三个顶点填数和相等,故上顶点只能填c,左顶点只能填b,右顶点只能填c,左顶点只能填b,右顶点只能填a,于是可知a+b+c=10。从而只能是填2、3、5,从而六数之积为2×2×3×3×5×5=900。

6、71、97

据已知,这两个质数的个位数分别是1与7,个位数为1的两位质数有11,31,41,61,71;

而168—11=157,168—31=137,168—41=127,168—61=107,168—71=97。只有97是两位的质数,故本题只有惟一解。

7、10种,4325

小于37的质数有31,29,23,19,17,13,11,7,5,3,2共11个

(1)由37=31+6,而6不能用5,3,2这三数中某些数的和得出;

(2)37=29+8,而8=5+3,故得37=29+5+3;

(3)37=23+14,而14=11+3=7+5+2,故得37=23+11+3,37=23+7+5+2;

(4)37=19+18,而18=13+5=13+3+2=11+7=11+5+2,故得37=19+13+5,37=19+13+3+2,37=19+11+7,37=19+11+5+2;

(5)37=17+20,而20=13+7=13+5+2=11+7+2,故得37=17+13+7,37=17+13+2,37=17+11+7+2。

这样共得到10种拆法。积以29×5×3=435最小

8、不能站成一圈

方法一 因为质数除2以外都是奇数,但此27个数中任二个的和都不可能等于2,所以如果能站成的话,所得27个数均应为奇质数。

但若两个数的和为奇数,这两个数必一奇一偶,所以此圆上27个数必奇偶相间排列,这27个数中奇数个数应该等于偶数个数,但这27个数的奇数与偶数个数不等,从而他们不能站成一个圈。

方法二 同上理由,27个质数均为奇数,故它们的和也为奇数。但些27个质数都是由1至27中某两个数相加而得,于是1至27这27个数在和中出现了两次,即和应是(1+2+3+?+27)×2为偶数。

由于奇数不能等于偶数,故他们不能站成一圈。

10、2分解质因数

123

[同步巩固演练]

1、27和28

756=2×2×3×3×3×7=27×28,所以相邻两个自然数是27和28。

2、2、4、6、8、10

3840=2×2×2×2×2×2×2×2×3×5=2×4×6×8×10,所以五个连续偶数是2、4、6、8、10。

3、1、3、5、7、9

945=3×3×3×5×7=1×3×5×7×9,所五个连续奇数是1、3、5、7、9。

4、7岁、8岁、9岁、10岁、11,岁

55440=2×2×2×2×3×3×5×7×11=7×8×9×10×11,所以五个孩子的年龄是7岁、8岁、9岁、10岁、11岁

5、30

(a×b)×(b×c)×(a×c)=6×15×10

=a×a×b×b×c×c =2×3×3×5×2×5

=(a×b×c)×(a×b×c) =(2×3×5)×(2×3×5)

那么a×b×c=2×3×5=30。

6、12005

N=521×751=5×74=12005 ——

7、33333和33335

先大概估各计一下,30000×30000=900000000<1111155555<122500000=35000×35000, 所以这两个奇数应在30000~35000之间。将1111155555分解因数是1111155555=11111×100005 =11111×3×33335=33333×33335

这两个连续奇数是33333和33335

8、32、35、38

先观察条件可知,因为最大的比最小的大6且另一个是它们的平均数,所以这三个数一个比一个大3。再大概估计一下,因为30×30×30=2700<42560<40×40×40=64000,所以要求的三个数在30~40之间。

42560=26×5×7×19=32×35×38

这三个自然数是32、35主38

9、5岁、6岁、7岁、8岁、11,岁

18480=2×2×2×2×5×3×7×11=5×6×7×8×11,而5+6+7+8+11+37,所以五个儿童的年龄各是5岁、6岁、7岁、8岁、11,岁

10、每次2条船,每船15袋;第次3条船,每船10袋;每次5条船,每船6袋。

90=3×2×3×5=3×2×15=3×3×10=3×5×6,所以每次2条船,每船15袋;第次3条船,每船10袋;每次5条船,每船6袋。

11、3种

1430=2×5×11×13=13×110=130×11=143×10,其它都不符合条件,所以只有3种排法。 12、17棵

884=2×2×13×17=52×17, 52-1=51, 51=17×3,51是学生人数,每人种17棵树。

13、8个

124

2?22?2?32?2?5,,共3?5?135?133?13

35133?53个,2×2在分母上时,,,,2?2?5?132?2?3?132?2?3?52?2?13

1共5个,故这样的分数共有3+5=8(个) 2?2?3?5?13因为780=2×2×3×5×13,所以2×2的分子上,有

[能力拓展平台]

1、不能恰有1000个自然数因数。

2、1、 6、 331

因为1986=2×3×331,而2+3+331=336,不合题意,最大的质因数是331,那么另两个数的积是6,和是7,那只能是1和6

3、1155

因为最大的约数是他本身,那么除本身以外最大的约是是2310÷2=1155

4、66

2376=2×2×2×3×3×3×11 ,要使它是一个平方数每个质因的个数必须是偶数,所以a最小是2×3×11=66

5、210

a×b×b×c×a×c=30×35×42

=(a×b×c)×(a×b×c)=2×3×5×5×7×2×3×7

=(2×3×5×7)×(2×3×5×7)

所以a×b×c=2×3×5×7=210

6、14、75、143、4953

14=2×7 30=2×3×5, 33=3×11, 75=3×5×5, 143=11×13, 169=13×13 4445=5×7×127, 4953=3×13×127

所以含有14的组是14、75、143,4953

7、7种分法。

24=2×2×2×3=2×12=3×8=4×6=6×4=8×3=12×2=24×1所以分2堆,每堆12盆;分3堆,每堆8盆;分4堆,每堆6盆;分6堆,每堆4盆;分8堆,每堆3盆;分12堆,每堆2盆。分24堆,每堆1盆。

8、25人

750元=7500角=2×2×3×5×5×5×5=12×25×25

所以获奖人数是25

9、4种

165=5×3×11=3×55=5×33=11×15=1×165,所以共4种

10、30种4620,60和2310,210和660,330和420

308×450=2×2×7×11×3×2×3×5×5=30×30×2×7×11=30×4620=60×2310=210×660=330×420

所以两个数为30和4620,60和2310,210和660,330和420

[全讲综合训练]

1、9

两位数的质数的个位数字只能是1,3,7,当个位数字是1时,质数为11,31,41,当个 125

位数字是3时,质数为13,23,43;当个位数字是7时,质数为17,37,47;所以满足条件的质数共有9个。

2、821

由题意知个位数只能是1,将个位数字是1的三位数从大到小进行试验,只有821不能被2至29的任何一个质数整除,所以821是所求的最大的三位质数。

3、27个0

积的末尾连续0的个位数只与积的分解式中因数2与5的相关,在分解式中有一个“2”及一个“5”,积的末尾就有一个“0”,由于在这个积中,每隔5个数才有一个数有因子5,每2个数就有一个数有因子2,这说明积的分解式中,因子“2”比因子“5”多,所以只要考虑积的分解式中因子“5”的个数:在100,105,110,?,200这21个数中有因子5,其中100、125、150、175、200这5个数有因数52,而125有因数53,于是积的分解式中因数“5:共有21+5+1=27个,从而积的末尾有连续27个“0”

4、195

最小的两个二位数积为10×10=100,故所求数的百位数字为1,且这两个二位数的十位数字都必为1,个位数字为奇数,由于11×1x,(x为1,3,5,7)的积的十位数字必为x+1为偶数,故这二个两位数中没有11;又13×13=169,13×15=195,13×17>200,知只有195满足条件。

5、210

2×3×5×7=210

6、947130

因为能被2、5整除的末位是0设这个数为947abo,则9+4+7+a+b=20+a+b, a+b=1,4,7又要求数字不同,所以只能是4,最小的是947130

7、88

1992=23×3×83 所和为2+3+83=88

8、76550×765554;76551×76552;76552×76554

76550=2×38275,76551=3×25517,76552=23×9569,76554=2×23×4253,但12=22×3,故76550×76554;76551×76552;76552×76554这三对数之积是12的倍数。

9、7

60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2

10、5,17,29,41,53

11、14和15

将29表示成两个大于10的数的和:29=11+18=12+17=13+16=14+15

所以这两个合数是14和15。

12、7

从最小质数进行试验,只有当a=7时,a+12是质数,a+22也是质数,所以符合条件的最小值是7。

13、19

因为 1+7+3=11,11+7=18,故□中填入数字7时,该四位数可被9整除

因为1+3=4,7+8—4=11,故□中填入数字8时,该四位数可被11整除。

因为一个数要能被6整除,则这个数应分别能被2与3整除,当□中填入0,2,34,6,8时,该四位数可被2整除,当□中填入1,4,7,时,该四位数可被3整除,故当中填入数 126

字4时,该 四位数可被6整除。

所以三次填入的数依次为7,8,4,此三数的和为19

14、至少分成三组。

26=2×13,33=3×11,34=2×17,35=5×7,63=7×32,85=5×17,91=7×13,143=11×13。

因为26,91,143都含有质因数13,所以到少应分成三组,这才保证相同的质因数不分在同一组内。

15、9699690 设电话号码为abcabc0,abcabc0,=abc×1001×10=2×5×7×11×13×abc 因为电话号码是连续七个质数的乘积,而abc是三位数,故3×17×19=969

故小明家的电话号码是 9699690

16、能

因为6188=22×7×13×17,而63=7×9,65=5×13,68=22×17,63×65×68=22×7×13×17×(9×5)=6188×45

所以,6188能整除A

17、1111,1441,1661,共有三个

由于20×100=2000,故两位的素数回数只能<20,即只能是11,而11×200=2200>2000,故三位的素数回数只能是1x1,而11×1x1=1(x?1)(x?1)1是一回数(x<9=,但使1x1为素数的x只能为1111,1441,1661。

18、10个0

第二行四个数依次写为13×12,12×15,15×25,25×20;第三行三个数依次为13×122×15,12×152×25,15×252×20;第四行两个数依次为13×123×153×25,12×153×253×20;第五行的数为13×124×156×254×20

13×124×156×254×20=13×34×44×36×56×58×4×5=210×310×515×13

由于最后得数的分解式中有10个因数2及15个因数5,故积可写成1010×a(a为末位数字不为0的整数),故乘积从个位起依次向左数,可以连续地得到10个0

第十一讲 奇数和偶数

[同步巩固演练]

1、办不到

如果一支球队与其他队赛一场,那么两支球队都计为各赛一场,则15支球队实际的比赛数是15×5÷2=37.5场,这显然是办不到。

2、偶数

两人互相交换是2张,所以全班用来交换的照片的总张数是偶数

3、偶数

经过试验易知,A无论是7,8,9哪一个数,保证A—3,B—4,C—5中至少有一个偶数,则偶数乘以任意一个自然数仍是偶数,得(A—3)×(B—4)×(C—5)必是偶数。

4、无论怎么分,每人分得的球的个数不是奇数就是偶数。分得偶数个球的人,他们球的 127

总数一定是偶数。如果分得奇数个球的总人数是偶数,那么他们分得的球的总个数一定也偶数。偶数+偶数=偶数,与条件不符(1987是奇数),所以分得奇数个球的总人数不能是偶数

5、不能

每张纸上两个页码一定是一奇一偶,那么每张纸上两个页码的和一定是奇数,那么25张纸上的页码总和一定是奇数,(奇数个奇数的和是奇数),所以不可能是1998

6、偶数

1000个连续自然数中有500个奇数和500个偶数,500个奇数的和是偶数,500个偶数的和是偶数,所以偶数+偶数=偶数

7、不能

10个连续自然数中有5个奇数和5个偶数,5个奇数之和是奇数,5个偶数之和是偶数,奇数+偶数=奇数,1010是偶数,奇数≠偶数

8、不可能

对每一个杯口向上的杯子,要想使杯口向下,必须“翻转”奇数次,共有9个杯子,每个杯子都要翻转奇数次,9个奇数相加的和仍是奇数,也就是说,翻转的总数是奇数。

题目中只允许每次翻转四只杯子,是个偶数,翻转若干次后,翻转的总数一定是个偶数,因此,按规定不可能经过若干次翻转,使杯口全部向下。

9、不能

如果每个香炉中香的支数是奇数,则9个香炉中香的总和是奇数,而36是偶数,所以不能

10、不能

如图给15个座位按1、2相间标号,由于1有8个,2有7个,所以坐在1上的8个学生不能坐到2的7个座位上。

[能力拓展平台]

1、不能连成。

每个点与另一个点连接成一条直线,可看作两个点各连一次,则连接的直线总条数是99×5÷2,结果是小数,这是不可能的

2、不能

分别用a1;a2?,a12;b1,b2,?,b12代表12条边和12条线段上的号码数,不管怎么编号,总有a1+a2+?a12=b1+b2+?+b12=1+2+?+12,又因为每个三角形三边上的号码和都相等,当我们用s表示这个和时,所以12个三角形三边上号码和总数为12s,另外在计算12个三角形三边上号码之和时,每个b1,b2,?,b12都用了两次,这一来便有:

12s=(a1+a2+?+a12)+(b1+b2+?+b12)×2

即 12s=3×(1+2+?+12)=312?13 2

化简得 2s=3×13=39,39是奇数,2s是偶数,根据奇数不等于偶数,所以满足要求的编号方法不存在。

3、原三位数与新三位数之和不能为999。

128

设原三位数为abc,新三位数为a1b1c1(a1,b1,c1是a,b,c的一个排列),一定有a+b+c=a1+b1+c1,如果abc+a1b1c1=999,因为c+c1≠19,所以c+c1=9,同样有a+a1=9,b+b1=9,(a1+a)+(b1+b)+(c1+c)=27,另外

(a1+a)+(b1+b)+(c1+c)=(a+b+c)+(a+b+c)+(a1+b1+c1)

所以 2(a+b+c)=27。2(a+b+c)是偶数,27是奇数,两者不等,所以原三位数与新三位数之和不能等于999。

4、不能

因8、8、8按要求操作是8、8、17;8、17、26;17、26、44;?,观察发现是两偶一奇,而17,1993,1997都是奇数,所以原来三个数不能是8、8、8

5、不能 假设可以按要求排成。设第一组中最大的数是a1,其余各数的和也是a1,,则第一组中所在数的和是2a1;同理,设第二组中的最大的数是an则第n组所有数的和是2an。

所有数(1~1993)的和就是 2a1+2a2+?+2an=2(a1+a2+?+an)其结果是一个偶数。 其实上(1~1993)的和是:(1+1993)×1993÷2=997×1993,奇数乘以奇数,积一定是奇数

假设的结果与事实矛盾,这说明假设的情况是不可能达到的。

因此不能将1~1993分成若干组,使每组中的某个数等于同组中其余各数的和。

6、不能

翻动若干次的和是偶数,而9只杯口向上要使杯口全部向上,要使杯口全部向下,必须翻动奇数次,所以不能。

7、不可能

在倒水以后,含奇数立方厘米水的容器数是不会增加的,事实上,以(偶,偶)(偶,奇)(奇,奇)来表示两个分别盛有偶数及偶数,偶数及奇数,奇数及奇数立方厘米水的容器,于是在题中条件限制下,在倒水后,(偶,偶)仍为(偶,偶);而(偶,奇)会成为(偶,奇)或(奇,偶);(奇,奇)却成为(偶,偶),在任何情况下,盛奇数立方厘米水的容器没有出来。

因为开始有10个容器里盛有奇数立方厘米的水,所以不会出现有11个盛有奇数立方厘米水的容器。

8、20道题全对,可得5×20=100分。若有一题未答,应给1分,假设全对时给5分,多给4分,若有m题未答,应减去4m分;答错了应倒扣1分,假设全对时给5分,多给6分,若有n题未答,应减去6n分,则实际得分是100—4m—6n,偶数减偶数等于偶数,其结果一定是偶数。

9、偶数。

我们知道,对于整数a与b,a+b与a—b的奇偶性相同,由此可知,上述计算的第二步中,32个数:a1—a2,a3—a4,?,a63—a64,

分别与下列32个数:a1+a2,a3+a4,?,a63+a64,

有相同的奇偶性,这就是说,在只考虑奇偶性时,可以用“和”代替“差”,这样可以把原来的计算过程改为

第一步:a1,a2,a3,a4,?,a61,a62,a63,a64,

第二步:a1+a2,a3+a4,?,a61+a62,a63+a64,

第三步:a1+a2+a3+a4,?,a61+a62+a63+a64,

129

??

最后一步所得到的数是a1+a2+?+a63+a64,由于a1,a2,?,a64是1,2,?,64的一个排列,因此它们的总和为1+2+?+64,是一个偶数,故最后一个整数是偶数。

[全讲综合训练]

1、至少有6个偶数

因每个算式中,最少有一个奇数,一个偶数则□+□=□中,至少有一个偶数,□—□=□中至少有一个偶数,□×□=□和□÷□=□中至少各有两个偶数,所以12个数中,至少有6个偶数。

2、奇数

1234÷2=617,所以在任取的1234个连续自然数中,奇数的个数是奇数,奇数个奇数之和是奇数,所以它们的总和是奇数。

3、33个

因为这串数的排列是以“奇奇偶”循环,所以100÷3=33??1,故有33个偶数。

4、不能

因为根据题意,假设能分成,则每组数中最大数为a,其余各数和为2a,每组和为a+2a=3a,所以无论3a是奇数还是偶数,偶数组的和是偶数,而1+2+3+??+1993=(1+1993)×1993÷2=997×1993是奇数,假设结果与事实矛盾,所以不能达到要求。

5、开始写的三个数可以是3、3、3,不能是2、2、2。

如开始三个数为2、2、2,通过具体分析发现,从第一次开始,以后各次不论怎么换,黑板上的数总是两偶一奇,而17、123、139三个全是奇数,故开始三个数不能是2、2、2。

可以是3、3、3,具体换法如下:

3,3,3→3,3,5→3,5,7,→5,7,11→7,11,17→11,17,27→17,27,43→17,43,59→17,59,75→17,75,91→17,91,107→17,107,123→17,123,129.

6、1分和3分

当币值为偶数时,可以甲若干枚2分硬币组成;

当币值为奇数时,除1分和3分这两种币值外,其余的都可以用1枚5分和若干枚2分硬币组成,所以5角以下的不同币值,只有1分和3分这两种币值不能由题目给出的硬币组成。

7、25道

假设2道题未答,则28×2=56,(56—47)÷(2+1)=3(道)所以答错3道,答对28—3=25(道)

8、和为奇数的多,多100个。

把这些算式分为100类,每类中有99个算式:

第1类:1+2,1+3,1+4,?,1+100;

第2类:2+1,2+3,2+4,?,2+100;

第3类:3+1,3+2,3+4,?3+100;

??

第100类:100+1,100+2,?,100+99

在第1类中,缺少算式1+1,所以算式和为奇数的比算式和为偶数的多1个;

在第2类中,缺少算式2+2,所以算式和为奇数的比算式和为偶数的多1个;

在第3类中,缺少算式3+3,所以算式和为奇数的比算式和为偶数的多1个;

??

130

在第100类中,缺少算式100+100,所以算式和为奇数的比算式和为偶数的多1个。 故在所有这些算式中,和为奇数的比和为偶数的多1×100=100(个)

9、能

按规定的翻法,共翻动1+2+?+77=77×39次,平均每枚硬币翻动了39次,这是奇数。因此,对每一枚硬币来说,都可以使原先朝下的一面翻朝上,注意到77×39=77+(76+1)+(75+2)+?+(39+38),

根据规定,可以设计如下的翻动方法:

第1次翻动77枚,可以将每枚硬币都翻动一次;第2次与第77次共翻动77枚,又可将每枚硬币都翻动一次;同理,第3次与第76次,第4次与第75次??第39次与第40次都可将每枚硬币各翻动一次,这样每枚硬币都翻动了39次,都由正面朝下变为正面朝上。

10、设得7分的学生胜了x1局,败了y1局,得20分的学生胜了x2局,败了y2局,由得分情况知:x1—y1=7,x2—y2=20

如果比赛过程中无平局出现,那么由每人比赛的场次相同可得x1+y1=x2+y2,即x1+y1+x2+y2是偶数,另一方面,由x1—y1=7知x1+y2为奇数,由x2—y2=20知x2+y2知x2+y2为偶数,推知x1+y1+x2+y2为奇数,这便 出现矛盾,所以比赛过程中至少有一次平局。

第十二讲 带余除法

12.1一般余数问题

[同步巩固演练]

1、74

(822-8)÷(12-1)=24

2、91

321-48=273=3×91

3、85

641—46=595=5×7×17,除数大于48,所以除数是5×17=85

4、91

1170-78=1092=2×2×3×91,这个两位数大于78,所以是91。

5.21,33,77.

244-13=231=3×7×11,这个两位数大于13的有:21,33,77。

6.15,21,35

因为109-4=105=3×5×7,所这两位数有15,21,35

7.7,14,21,28,35

因为除数是6,余数是1,2,3,4,5,所以这些数为1×6+1=7,2×6+2=14,3×6+3=21,4×6+4=28,5×6+5=35。

8、2519,5039,7559

因为这个四位数加上1后,能被2,3,4,5,6,7,8,9,10整除,而[2,3,4,5,6,7,8,9,10]=2520,所以该数是2520×k—1,且该数是四位数,只有当k=1,2,3时,即分别为2519,5039,7559。

9、80

设被除数为a,商为b,依题意得:a÷11=b??3,即a=11b+3??①(a+11)÷13=b,即13b=a+11??② 将①代入②得:13b=11b+14,b=7,所以a=11×7+3=80。

10、237

131

根据题意1186—11=1185,2609—2=2607,4263+3=4266一定能被某数整除,而2607—1185=1422,和4266—2607=1659,即(1422,1659)=79,所以这个数最大是79。

11、7971

每9个连续自然数分别除以9,余数和为1+2+3??+8=36,因为1994÷9=221??5,所以所有余数的和=36×221+(1+2+3+4+5)=7971。

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1、59

[3,4,5,6]=60,60—1=59

2、36人

因为115—7=108,148—4=144,74—2=72,而[108,144,72]=36,所以是36人。 3、8月5、6、7、11、13日

设这个合数为a,则四个质数分别为a—1,a+1,2a—1,2a+1,因为a—1与a+1是相差2的质数,在1—31中有5组:3、5;5、7;11、13;17、19;29、31,经过尝试,只有当a=6时,满足题意,所以这五天是8月5、6、7、11、13日。

4、1,13,25,37,49

考虑这五个数分别除以3、4余数都是1,[3,4]=12,那么这五个数最小是1,13,25,37,49

5、18

10+25—17=18

6、20

37+10—27=20

7、14个

某个灯泡,如果它的亮暗变化的次数是奇数,那么它是亮的。根据题意可知,号码为k的灯泡,亮暗变化的次数等于k的约数的个数,而如果k的约数的个数是奇数,则k一定是平方数。所以200秒时,编号是平方数的灯泡是亮的。因为152=225>200>196=142,所以200以内有14个平方数,则200秒时亮着的灯泡有14个。

8、10020

能被715除余10的数一定能被5除尽,可见第一句话是多余的;因为原数是5的倍数,140也是5的倍数,所以由第三句话可直接导致该数被247×5=1235除余数为140,同理,由第四句话知该数被391×5=1955除余数为245。现在从被1955除余245,被1235除余140出发:245+1955n=2200,4155,6110,8065,10020??;140+1235m=1375,2610,3845,5080,6315,7550,8785,10020,??。可发现10020被1955除余245,被1235除余140,而且被187除余109,所以10020即为所求的最小整数。

9、显然,号码为9999的是幸运券,除这张幸运券外,如果某个号码n是幸运券,那么号码m=9999—n的购物券也是幸运券,由于9999是奇数,所以m≠n。由于m+n=9999,相加时不出现进位,这就是说,除去号码是9999这张幸运券之外,其余所有幸运券可全部两两配对,而每一对两个号码之和均为9999,即所有幸运券号码之和是9999的倍数。因为9999=99×101,所以所有幸运券号码之和能被101整除。

12、2 同余问题

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132

1、星期三13

100÷7=14??2,所以是星期三

2、星期日

因为1990年、1991年、1993年、1994年、1995年、1997年、1998年、1999年是平年,而1992年、1996年、2000年是闰年,所以1990年元旦到2000年五月一日共计365×8+366×2+31+30=3773,而3773÷7=539,所以是星期日。

3、星期五

因为199019901990能被7整除,而1991÷3=663??2,所以19901990÷7=284314??3,故是星期五。

4、53

被3除余2的数有2,5,8,11??其中8被5除余3,并且是满足此条件的最小数,而

[3,5]=15,所以8+15=23,23+15=38,38+15=53,??都满足被3除余2且被5除余3。而53又满足了被7除余4这个条件,并且是最小的,因此所求的最小自然数是53。

5、11

因为2001—1000=1001,1000—967=33,(1001,33)=11,所以这个整数是11。

6、16千克

因为56≡2(mod54) 564≡24≡(mod54)所以最后不足一筐是16千克。

7、豆油23千克,13千克、15千克是菜籽油

由题意知花季生油和菜籽油共重应是3的倍数,而(16+23+19+21+13+15)÷3=35??2,但23÷32=7??2,所以豆油是23千克又因为(16+19+21+13+15)÷3=28,刚好13+15=28,所以13千克、15千克是菜籽油。

8、116

因为100以内能被7整除的数有[100÷7]=14(个)不能被7整除的有100-14=86(个),100到112中有105 112能被7整除12—2=10,共86+10=96(个)。所以第100个是112+4=116

9、29个

因为[3、5、7]=105,所以能同时被3、5、7除都余2的数可写成105k+2,当k=0时,是2,当k=28时,是2942,故共有28+1=29(个)

10、9

因为被除数扩大6倍,余数也扩大6倍,是6×7=42,所以余数是42÷11=3??9 11、4题

同上题5×8=40,40÷6=6??4,所以会剩下4题。

12、1

因为567≡7(mod10),7987≡1(mod10),所以余数是1。

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1、4

因为125—90=35,90—69=21,而(35,21)=7,所以N为7,则81÷7=11??4,故余数是4。

2、数可以是74,37,2,对应的余数是23,23,1

2613-2243=370;2243-1503=740;1503-985=518

由余性质知:370、740、518都能被所求除数整除。

又370、740、518和公约数为74、37、2,所以所求除数可以是74、37、2,对应的余数 133

是23、23、1。

3、7

如果A=35,则它被14除的余数是7。

如果A大于35,则A—35能被1981和1982整除。又1981=7×283,能被7整除,且1982能被2整除,所以A—35能被14整除。

由 A=(A—35)+35,知A被14除的余数就是35被14除的余数,为7。

4、星期四

由条件可知,这年的10月31日为星期六,从面可知推知10月1日为星期四。

5、2009年

365=7×52+1即平年的一年相当于52个星期加1天,从1998年起过6年可增加1周(中间2000年是闰年),但1998年加6年后得2004年也是闰年,不能用平年的日历,故需再加5年(因2004、2008两个闰年),即2009的日历与1998年完全一样。

6、要划12次

由于第一次划去后留下第2、4、6、8、10、??位,第二次划去后留下第22、2×22、3×22、4×22、??位,第三次划去后留下第23、2×23、3×23、4×23、??位,但212被35除余1,即第12次划去后留下第212、2×212、3×212、4×212、??位,分别相当于循环节中的第1、2、3、4、??位,于是仍得原来的循环小数。

7、121个

因为2、3、4、6的最小公倍数是12,所以盒子里的棋子数减去1,能被12整除。

因此,棋子数可以是:13、25、37、49、61、73、85、79、109、121、133、145、157、169、181、193,又棋子数能被11整除,所以棋子只能是121。

[全讲综合训练]

1、13

根据被除数减去能被除数整除的原理,得:

200—5=195,300—1=299,400—10=390

均能被这个数整除,故作如下试除:

通过试除与检验可知:这个数是13。

2、3

因333333、55555均能被7整除,将原数改写成下成的形式。

??55 33??33×1053+33a55×1048+55???????

48个48个

∵7|33??55 ??33,7|55???????

48个48个

∴7|33a55×1048

∴7|3a55,∴a=3

3、2

做12次记录共需(12—1)×5=55小时,而55÷12=4余7,所以第一次记录时,时针指 134

向2。

4、10

我们发现,这个71位的奇数位上的数字,前五位是1,3,5,7,9,以后有三组0,1,2,?,9,最后一位是0,其和为160;

偶数位上的数字,前四位是2,4,6,8,以后有十个1,十个2,十个3,最后一位是4,其和为84。而 160—84=6×11余0

所以,这个71位数除以11的余数是10。

说明:某个整数除以11的余数与这个整数奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差除以11的余数相同。

5、4,1,0

考察数33??33除以13所得的商的各位数字,发现它按一定规律变化:?????

1992个

256410256410256410??,即每六位一循环。

∵100被6除余4

∴商的第100位数字为4,而商共有1991位

∴1991被6除余5

∴数33商的个位数字与余数应与数333333相同,而 33333÷13=25641 ??33被13除,?????

1992个

∴数33??33除以13,商的个位数字为1,余数为0。 ?????

1992个

6、2624,24

因为除数是25,依据“余数最大”的条件,可知余数是24。再根据被除数=商×除数+余数,得□=104×25+24=2624

故本题的□内应填2624、24。

7、71个

因为[3,4,6]=72,所以至少有72—1=71(个)

8、103个

因为根据题意围棋子数是3、5、7的公倍数少2,而[3,5,7]=105,所以是105—2=103(个)

9、179棵

因为[4,6,15]=180,所以有180—1=179(棵)

10、23

根据一次同余式问题可知,符合一个数除以3余2,除以7余2的最小数是3×7+2=23。因为23÷5=4余3,所以23也符合一个数除以5余3的条件。故适合这些条件的最小数是23。

11、4号

如果第一个被取走的是1号棋子,那么,第一圈就剩偶数号棋子,且50号棋子没有被取走;第二圈就剩4的倍数号棋子,且50号被取走;第三圈被8除余4的号码的棋子,且48号被取走;继续下去,最后剩下的棋子号码是36。要使最后剩下的号码是39,应该先从1+(39—36)=4号棋子开始取。

12、19

135

因为A与B的最大公约数等于A—B与B的最大公约数,所以A与B的最大公约数是19。

13、12

当a=4,b=8,最大公约数(48,84)=12最大。

14、37

因为288—214=74=2×37,所以这个奇数是37。

15、9

因为奇数位和为(9+4)×1994=25922,偶数位数字和为10×1994=19940而25922-19940=5982 但5982÷11=543??9,所以余数是9。

16、98

因为14589—13511=1078,13903—13511=329,而(1078,392)=98,所以m的最大值是98

17、298452或298928

设这个六位数为298999,而298999÷476=628??71所以这个六位数为298999—71=298928—476=298452

18、569520

因为[2,3,4,5,6,7,8,9]=2520,设后面补上三个数都是9,则569999÷2520=226??479所以这个六位数是569999-479=569520

19、30分钟

甲、乙、丙三人相遇,我们可以把他们走的路程看成关于300同余,设经过x分钟后,甲、乙、丙三人又可以相聚,他们走的路程分别是120x米、100x米、70x米。

则 120x—x100x=20x

120x—70x=50x

100 x—70x=30x

20x、50x、30x都是300的倍数,即10x是300的倍数,x最小取30

20、75个

1000—401=599,599÷8=74??7由于401被8除余1,因此被8除余数为1的数共有:74+1=75(个)

21、4

因为a=1(mod5),所以3a=3(mod5),或者3a=8(mod5),??①

又因为 b=4(mod5),??②

所以①—②得 3a—b=8—4=4(mod5)

因此 3a—b除以5余4

22、1996不能,2529不能,1985可以,最大数是229,最小数是213

观察正方形框中的9个数,其和应是中间数的9倍,而1996不能被9整除,所以不能;2529÷9=281,中间的数为281,而281÷7=40??1,即在第一列,也不可能;1989÷9=221,221÷7=31??4,即在第四列,可以,故最大数为221+7+1=229,最小数为221—1—7=213

23、A

在图中,每一行都有六个奇数。1991在奇数列中,处于第996位。

用12去除996商83余0。说明1991处于第83大段的最后一个(一个大段共有12个奇数)。每一大段的第12个数恰好处于第一列,即以A为代表的那一列。

24、25张

136

设第一代表团与第二代表团的人数分别为x、y,由于第一代表团的每成员与第二代表团的每一成员两两合拍一张照片,所以一共拍的照片总数为x×y(即xy)。求最后一个胶卷中还剩几张未拍,只要求出最后一个胶卷拍照用了几张,由于每个胶卷可拍36张照片,所以只要求出xy除以36所得的余数便可以了。

依题意,x=13(mod36),z=23(mod36),所以xy=13×23=11(mod36)。

故最后一个胶卷中还剩36—11=25(张)未拍。

第十三讲 完全平方数

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1、3□36与□329

完全平方数的一末数字不可能为2与7,故35□2、3□57不可能是完全平方数,又552<3□36<632,且只有一个数的末位数为4或6时,其平方数的末位数为6,562=3136,故3□36可填入1后得完全平方数,而为使□329为完全平方数,可能末位数为3与7,经实验,整数73的平方等于5329,故□中可填入5。

2、9992

设n=k2,n+1999=(k+J)2,于是(k+J)2—k2=1999,J(2k+l)=1999,取J=1,k=999即可

3、找不到

说明n2+2n+4+(n+1)2+3,但(n+1)2是完全平方数,其末位数字只能是0,1,4,5,6,9,加3后的末位数只能是3、4、7、8、9、2,均不能被5整除。

4、1或3

n=1,3时1+3=4,1×2×3+3=9是完全平方数,当n?时,1×2×3?×n+3被4除余3,故均不能完全平方数,故n=1或3

5、89 设这个两位数为AB,依题意有10A+B=B2+A,则

故这个两位数为89

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1、121

设原来两位数的十位上的数字为a个位上的数字为b,根据题目条件可得10a+b+10b+a=11(a+b),从11(a+b)是一个数的平方数可知a+b=11故11×11=121

2、11

设A+B=n2,A+B2=m2,因此有B2—B=m2-n2 B(B—1)=(m—n)(m+n),左边为两个连续自然数的积,因此为偶数,右边也为偶数,由(m—n)与(m+n)的奇偶性相同知,(m—n)与(m+n)均为偶数,因4|(m—n)(m—n),所以4|B(B—1)。

为便B尽量小,令B=4,此时B—1=3,所以12=(m—n)(m+n)=2×6,m—n=2,m+n=6,解得n=2,m=4。由A+4=22,得A=0,不合题意。再令B—1=4,此时B=5。

所以20=(m—n)(m+n)=2×10,m—n=2,m+n=10,得n=4,m=6,由A+5=42,A+52=62,解得A=11

3、32个

132=2197>1999>123=1728, 13>x>12 B(B?1),由上式可知B=9,A=8,9

137

452=2025>1999>442=1936, 45>y>44

介于12与45之间的整数共有(不含12,45)44—13+1=32(个)

4、72004

设这5个连续偶数为n—4,n—2,n,n+2,n+4,n为整数,别n—4+n—2+n+n2+n+4=k2(k,为正整数)即5n=k2,由中间三个数之和为完全立方数得:3n=k23(k2为正整数),因为n为偶数,满足上过两个等式的n中必含有因数2,且必含有26,否则就不能构成完全平方数和完全立方数,从5nk12,还可推得n必含有因数5,从3n=k23中推得n中必含有32,综合两个等式, 必含有53和32,由于题目小是n=26×53×32=72000,所以最大偶数的最小值是72000+4=72004

5、2304,4802,1805,9801

不妨没这个四位数的前两位数为a,后两位数为b,则100a?b2=(a+1),化简得a×(ab+2bb

—100)=0,因为a≠0,,所以ab+2b—100=0,即b×(a+2)=100因为100=10×10=4×25=2×50=5×20=1×100,那么当b=10,4,2,5,1时,a+2=10,25,50,20,100经试验得当b=10,时a=8不合条件,所以对应的组数有b=5,4,2,1,时a=18,23,48,98,故成立的四位数有1805,2304,4802,9801

[全讲综合训练]

1、11、13

由于(香港)2+1997=(中国)2+1949,所以(中国)2—(香港)2=1997—1949=48,而48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8经试算中国—香港=2,中国+香港=24,中国=13,香港=11

2、60

因为小于2008的美妙数有3×4×5=60,8×9×10=720,而15×16×17=4080>2008,(60, 720)=60

3、1981

设此自然数为x依题意得:x—45=m2??⑴

x+45=n2??⑵ (m、n均为自然数)

则②-①得:n2—m2=89=1×89, n—m=1,n+m=89,解得n=45,所以x=452—44=1981 3、7744 设此数为aabb,aabb=a0b×11,此数为完全平方,则a0b必须是11的倍数,因此11|(a+b)而a、b均为数字。故有(2、9),(3、8)??(9、2)等8组,直接验算,可知此数为7744=882

5、1369、2601、2481、5329、6561、9025

设22n+5=N2,其中n,N为自然数,可知N为奇数。

N2—16=11(2n—1)→(N—4)(N+4)=11(2n—1)→11|N—4或11|N+4 N=(2k—1)×11+4 , N=22k—7或N=22K—15K(k=1,2,?)

N=7,N2=49 (不合)

N=15,N2=225 (不合)

138

,N2=841 (不合)

N=37,N2=1369

,N2=5329

N=59,N2=3481

,N2=5329

N=81,N2=6561

,N2=9025

N=103,N2=10609 (不合)

所以此自然数为1369,2601,3481,5329,6561,9025。

6、28平方厘米

解:设矩形的边长为x,y,则四位数N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)

∵N是完全平方数,11为质数 ∴x+y能被11整除。

又 1?x?9,1?y?9,∴2?x+y?18,得x+y=11。

∴N=11(99x+x+y)=112×(9x+1) ∴9x+1是一个完全平方数,而1?x?9,验算知x=7满足条件。又由x+y=11得y=4 ∴S=xy=28(cm2)。

第十四讲 分数

14、1 分数的意义和性质

[同步巩固演练]

1、表示把单位“1”平均分成a份,表示这样的b份的数。

2、

18111=+ 1818020的约数1,2,3,6,9,18,任取一对约数可得

1?911911==+=+。 1818?(1?9)18?1018?1018020

3、97

97的约数有1,97,所以

B=97×98÷98=97

4、1?97111==+ A=97×98,B=98,故A÷9797?(1?97)97?989851 14

因为(51—9)÷3=14,所以分数是

5、45 51 14

因为[5,15,45]=45,所以这个数最小是45。

139

6、51或 630

51或。 306将30分成两个互质数的积是1×30=5×6,所以分数是

7、1247或、、 1413118

1247或、、。 1413118将15分成两个互质数的和为14+1=2+13=4+11=8+7,所以分数为

8、32个

因为51=3×17,[50÷3]=16,[50÷17]=2,所以分母是51的最简真分数有50—16—2=32(个)

9、4个

分母是2,分数值在3到7之间的分数就是指大于614789而小于的分数,即,,,2222210111213,共有7个,由于最简分数,所分母是2的倍数应排除,共有7—3=4(个)。 2222

10、40

因为分子扩大(9+18)÷9=3倍,所以分母应加上20×3—20=40

11、63

因为分母扩大(8+56)÷8=8倍,所以分子应加上9×8—9=63。

5 13

1?55原分数= 52?413

813、 5

44?3448+=+= 55?1055512、

14、55

(136—73)÷(9—2)=9,所以减去的数是136—9×9=55或73—2×9=55。

[能力拓展平台]

1、4 15

155—14=,=。 3151515因为分母没变,所以分母应为[3,5]=15的倍数,所以原分数为

2、2 7

因为分子未变,

3、22121?222=,而=,且=,所以原分数为。 7—1374?288—1720 21

本来分子分母相差1,但分母加上19后是分子的2倍,所以分子为19+1=20,故原分数 140

为20。 21

4、2

设同时加上x,则3+x=3×(13+x),解得x=2。

5、41 45

4?8?941=。 4?9?945根据分子分母的和不变求解(86—9×2)÷(9+8)=4,所以原分数为

根据分子分母和不变求解(13+7)÷(3+1)=5,

7、16 1?55=,而15—13=2。 3?515

11,,不合22因为符合条件的两个偶数之和必为4的倍数。如果是4,则两个真分数是

题意。如果是8,则两个真分数是1111,,此时两奇数分母的真分数是和,不合题意,2633

11111111当是12时,也不合题意,当是16时,四个不同的真分数,恰好+=+,515610515610

所以是

8、13个

1342=,7=,所以有41—4+1=38(个),而6=2×3,去掉分子是2的倍数和3的倍266

数,有一半是偶数,3的倍数有9,15,21,27,33,39共6介,所以,以6为分母的最简分数有38—19—6=13(个)

9、3 通分得

14.2 分数与小数的互化

[同步巩固演练]

1、(1)× (2)√

2、3A?11B17=,所以3A+11B=17,B只能是1,A是2,所以A+B=1+2=3 333346527401191,,;,, 2325712194

???????

3、0.416, 0.06, 0.2916, 0.571428 , 0.681

???517=5÷12=0.416,, = 0.06, =7÷24= 0.2916 121524

????415=4÷7=0.571428 =15÷22=0.681 722

41714、2,3 333110

??123412.123=2=2 999333

141

3.645=3

??645_663971=3=3 990990110

[能力拓展平台]

1、9

??271179672因为0.027==,0.179672= 99937999999??

所以0.027×0.179672 ????

1179672 37999999

4856= 999999=

=0.004856

又因为100÷6=16??4,所以第100位是8,第101位是5,故近似后的最后一位数字是9。

2、3

??????123因为分母是7的分数化成小数是=0.142857 =0.285714, =0.428571 777

??????456=0.571428 =0.714285 =0.857142,它们都是以1,4,2,,8,5,7这六个数777??

字循环,1+4+2+8+5+7=27,而2004÷27=74??6,在分母是7的分数化成分数中只有2+4=6,所以M是3。

3、3003

0.6=

4、3

原式=(0.076923+0.923076)+(0.230769+0.769230)+(0.307692+0.692307)

=1+1+1

=3

14.3 分数大小的比较

1、?????????????622002== 93300355555557113<,< 66666666612512

5555555< 666666666因为6666×5555=30×1234321,555×66666=30×1233321所以6666×5555>555×66666,故

7113< 12512

3413975142、<<<<<< 45128649因为125×13>71×12, 所以

142

131915171145341397514=1,=1 =1,=1,=1,且<<<<<< 1212884466994512864955553666623、< 5555666665

555533666623因为1—=,1—= 55556555566666566665

335555366662 >,所以< 55556666655555666665因为

532000532000?20004、1999<1999 53?200053

因为532000>531999532000532000?2000, 所以1999<1999 53?200053

1234612345> 9876198765

1234612345?112345112345123451234612345因为==+,而>所以> 9876198761987619876198761987659876198765987659876987986、>>> 98766987798899

98765198761因为1—=,1—= 987669876698779877

19879811—= 1—= 9889889999

111987659876987981而 >>>,所以>>> 9876698779889999988987798766

111111117、+>+>+>+ 1129132114191225

111111111222因为(+)—(+)=(—)—(—)=—=—11291225111225291323672643671111>0,所以+>+; 11291225

111111128188因为(+)—(+)=(—)—(—)=—=—1129132111131436095726092129

1111>0,所以+>+; 11291321

111111112221因为(+)—(+)=(+)—(—)=—=—13211419131419211823993643991111>0,所以+>+; 13211419

111111116166因为(+)—(+)=(—)—(—)=—=—1225141912141925844755044755、

143

<0,所以1111+<+。 12251419

11111111故 +<+<+<+。 1225141913211129

[能力拓展平台]

343312795149691934331279343312811、<,<。 34331281514969225149691951496922

3433127925149691922因为1—=,1—=而 >343312813433128151496922514969223433128123433127951496919 所以< 514969223433128151496922

因为34331279×51496922=34331279×(51496919+3)=34331279×51496919+34331279×3 51496919×34331281=51496919×(34331279+2)=51496919×34331279+51496919×2 而51496919×2=102993838>34331279×3=102993837

所以51496919×34331281>34331279×51496922

3433127934331281< 5149691951496922

11111?111112、>> 2222222?2222222故

因为111×222>2222×11,所以

故 11111>。 222222211111?11111>> 2222222?2222222

7777777758888888833、< 777777779888888887

1514、 301

1111111104444444435、< 222222221888888887

11111111011111111144444444因为1—== 222222221222222221888888884

444444443444444444444444444444444441—=,而 > 888888887888888887888888884888888887

111111110444444443所以 < 222222221888888887

1999200019992000?20006、> 199919992000?20002000

7、0.424 ?

144

??311因为=0.428571 =0.4230769?? 726

26=0.4262295?? 61

???32611所以>>0.424>0.42> 76126

故从大到小排列第三个数是0.424

8、7个 因?110728=,=,所以分子为11,12,13,??27,共有27—11+1=17(个),其4401040

中2的倍数有8个,5的倍数有15,20,25,共3个,既是2的倍数又是5的倍数有20,所以分母是40的最简分数有17—8—3+1=7(个)

9、6,7,8,9,10,11, 7?1017=,所( )里填大于5,小于12的数,即6,7,8,9,10,11 5?712

1110、, 1215

1111111112因为+=,+=, +=1,所以去掉和 9186663121533因为

[全讲综合训练]

1、54个 因16.565=,5,因此分子是比6.5大,比65小的整数,因为13是质数,所以7到6421313

这58个连续自然条件中,去掉13,26,39,52,余下54个自然数作分子,可得到54个最简分数。

2、156 222

题中的没法可以简化为下面的关系:

3535分母减 2 原分数 分母加 9 ,和在约分前的两个分数的分子相同,分母相差 4 747约分 约分 33?51555?31515159+2=11,而==,==,这时两分数和的分子相同,分母相差1,44?52077?3212021

1515?111651515?11165165165再由==,==,所以原分数为=。 2020?112202121?11231220?2222

2573711111313131717193、、、、、、、、、、、、、共13个。 11172937415961677173899797

120因为=,所以分子是大于1,小于20的质数。设这个分数为的分母为a 5100

145

2222<<,则a=11,, 12a1011

3333如果分子是3,则<<,有, 18a1517

5555如果分子是5,则<<,有, 2930a25

77777如果分子是7,则<<,有,, 42a353141

111171111如果分子是11,则<<,有,, 66a555966

131313131313如果分子是13,则<<,有,,, a6771737865

1717171717如果分子是17,则<<,有,, 102a858997

19171719如果分子是19,,则<<,有 11497a95如果分子是2,则

3、41

(181—97)÷(5—2)=28,181—5×28=41

122 1131

11111112111很明显<,=—=—, 2924242424224

1212.50.511919.50.5111=—=—,=-=—, 392782525252503939

1111912111911因为<<,所以>>,这四个分数中,最大,最小是,两2978502439252439

1911122者差—= 39291131

1719276、<<< 2629310

217317919399111101—=,1—=,1—=,1—=,而=,=,>>331010262632710302632929

391010191013171927,且>>=,所以>>>,故<<< 10262930326293102629310

1117、=—(不唯一) 19986669995、

因为1998的约数有1,2,3,6,9,18,27,37,54,74,111,222,333,666,999,1998,取约数2和3得

3?211321==—=— 19981998?(3?2)19981998666999

8、○=9,□=36

146

113329?4294291===+=+ 1236363636369

119、 80

y设原分数为,则 2x-y=149 解得x=80,y=11 x

8y+x=168

10、104

因为245126n1800<<, 所以245<126n<1800 1.9<n<14.3, n是2到14的自然630630630

数,(2+14)×13÷2=104

11、A<B

29292929292929293031=<<=B 62626262626160626160

1012、 99

374911910因为<<<,所以(-)÷4= 4951191199

345457456713、××,,××× 4565785678

23234523456357可组成的最简真分数是,,,,,,,,,,,,,, 34555677777888

7631其中最大的两个相乘是×=。如果三个分数的乘积等于,这三个分数必然都不小于8742

1322345567÷=,这样只剩下下面7个分数可选:,,,,,,,容易得到2433456778

34514571××=,×=。 45625782

76551同理,最大的三个分数相乘是×=,如果四个分数的乘积等于,这四个分数87682

154456745671必然都不小于=,这样只剩下4个分数可选,即,正好×=。 285567856782A=

14、11

2×4+3=11

15、331

123992993b,,,?,中有多少个最简分数。因为如果是一个最简789998999a

b分数,那么(1—)也是一个最简分数,所以问题转化为求下列分数中有多少个最简分数:a

66666,,,?,,,7~999中是2的倍数有496个,是3的倍数有331个,既789998999此题实际是求

是2的倍数又是3的倍数有165个,所以所求最简分数共有999—6—(496+331)+165=331 147

(个)

16、29

6÷0.2003=29.955,因为

17、566不是最简分数,所以所求分数是 29365 11

[[5,6,20]6056205,,]===5 221177(22,11,77)1111

18、15

因为6和7之间没有其它整数,所以分子不可能为1。当分子是2时,符号条件的有a1?12a1==,当分子大于2,即不小于3时,由<知,b>6a?6×3=18,所以分母最b7?613b6

小时,a+b=2+13=15

19、

?37 300??11111137++== 990900900300

11111120、+++++=1 248162448

11111111111111因为++++=1,而=+,因此+++++=1 2481616162448248162448

121、 10

135799246898设A=×××…×,B=××××…×。 2468100357999

12因为A组相对应的每一个分数都比B组的分数小,(如<)那么A<B,而A×23

135799246811981B=×…××××…×=,则A<,B>。 246810035791010991000.1+0.01+0.001=

22、a=11

通过试验法求得。

第十五讲 发现规律解题

[同步巩固演练]

1、2

??5=0.714285, 1000÷6=166??4 7

2 1,8958

??3=0.0857142 (1991—1)÷6=331??4,所以小数点右边第1991位上的数字是1。35

(8+5+7+1+4+2)×331+(8+5+7+1)=8959

148

3、3

??16=0.432, 50÷3=16??2. 37

4、4108

??1=0.0123.45679,1001÷9=111??2,(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)×111+1=4108 81

5、4

依照题述的规则多写几个数字:1989286884286884?,可见在1989后面的数字总是不断地循环出现286884,每6个数字一组,即循环周期为6,因为(2002-4)÷6=333,第2002个数字正好是第333个循环的最后一数字,所以为4

6、995个

因为和是按:奇、奇、偶、偶、奇、奇、偶、偶、??的循环,所以有1990÷4×2=995(个)偶数。

7、5.

因为 1÷7=0??1,11÷7=1??4,111÷7=15??6 1111÷7=158??5,11111÷7=1587??2,111111÷7=15873,所以余数按1,4,6,5,2,0循环,100÷6=16??4,数余数是5。

8、12

因为余数按12,3,0,??循环,100÷3=33??1,所以余数是12

9、3

因为19931993的个位数字与31993的个位数字相同,而31993的个位按3,9,7,1,3,9,7,1,??循环,1993÷4=498??1,所以19931993的个位是3

10、0

因31986的个位是9,72000的个位是1,所以31986+72000的个位数字是0。

11、4

因为231001的个位是3,371002的个位是9,481003的个位是2,所以231001×371002×481003的个位数字是4。

12、1

因为31986除以4的余数按3,1,3,0,3,1,3,0,??循环,1986÷4=496??2,所以31986除以4的余数是1。

13、45

因为1+2+3+4+??+44=990,所以1000个数是45

[能力拓展平台]

1、C

1003÷8=125??3,所以在C下面

2、3、495

按规则多写几个就是9213471897639213??观察可发现是按921347189763循环,而100÷12=8??4,所以第100个数字是3,(9+2+1+3+4+7+1+8+9+7+6+3)×8+(9+2+1+3)=495

3、12

因为[6、4]=12,所以至少经过12次变动

149

4、211

1+1+2+3+??+20=211

5、9902

2+2+4+6+8+??+198=2×(1+1+2+3+??+99)=9902

6、200

2×100=200

7、因为32000的个位是1,42001的个位是4,32000+42001的个位是5,所以32000+42001是5的倍数。

8、B2

36÷4=6??2,是B,26÷3=8??2,是2,所以第26组是“B2”

9、4天

(485—329)÷8=19??4,所以至少4天,

10、黄色

2004÷(5+4+3+2+1)=133??9,所以是黄色

11、0

因为这一串数中各数除以3的余数分别是2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,??是按8个循环,2004÷8=250??4,所以第2004个数被3除余数是0。

12、124.

[500÷5]+[500÷25]+[500÷125]=124,所以1×2×3×??×500的末尾有124个连续的零

13、32

从简单的开始分析,发现只含有质因数2的最大数留下,25=32

14、234,486

同上题,只含3的质因数的数是35=243,另一个是2×243=486

15、1、1024

同13题,210=1024,所以最后剩下1个,从左至右第1024个。

16、1977

这列数多写出几个是1949,1994,1971,1982,1976,,1979,1977,1978,1977,1977??从第九个数起,每个数都是1977。

17、997

将图中折线从第一段开始依次写出每段的长度,得到数列如下:

2,1,3,2,4,3,5,4,6,5,7,6,8,7,??,

发现规律如下:(1)第二段、第四段、第六段??的长度依次是1、2、3??,也就是说偶数的长度是该段序号的一半。

(2)第一段比第二段、第三段比第四段、第五段比第六段??的长度都长出1。 所以第1994段的长度是1994÷2=997

18、5和1

小于20的正奇数共10个,如取其中八个,当5或15至少取一个时,积的末位数必为5,当八个数中未取到此二数时,八个正奇数的积的末位数为1。

19、105个,4×105个

首先一个数为奇数时,积的末位数为奇数。

150

N4的末位数都为1,从而得解。

据上表,只有当N的末位数为1时,N的末位数为1,而当N末位数为1、3、7、9时,

[全讲综合训练]

1、星期一

992=9801=7×1400+1,所以经过992天后是星期一。 2、黄花、红花50朵,黄花82朵,绿花117朵。

由于5+9+13=27,因此花的排列以27朵为一周期,249=27×9+6,所以最后一朵是黄色的,其中红花有:5×9+5=50(朵),黄花有:9×9+1=82(朵),绿花有:249-50-82=117(朵)

3、4

因为时针转一圈历时12小时。200÷12=16(圈)??8(小时),这样,以归来时12点整为起点,时针逆转16圈后,再逆轩8小时,时针所指方向就是离家时刻。12-8=4(点)

4、红、橙、黄、绿、青、蓝色灯的紫色多1,

因为199219921992能被7整除,2000÷3=666??2,即末尾还剩19921992,19921992=7×2845998+6,所以除去紫灯外,其它灯都多1。

5、8

??

9

=0.6428571,这是一个循环小数,数字428571周期性地出现。100-1=6×16+3,可14

知小数点后第100位上的数字是8。

6、7

2,2×2,2×2×2,2×2×2,2×2×2×2×2的积的个位数字分别是2,4,8,6,2,因此个位数字变化规律是4个循环。又 67=4×16+3,所以所求数的个位数字与2×2×2-1的个位数相同,即为7。

7、15

328=20×16+8,485=30×16+5,136=8×16+8。因此,本题相当于顺时针前进了:8+8+8=24(个),再逆时针前进了:5+5=10(个),总计顺时针前进了:24—10=14(个),这时他到了第15号。

8、9

仔细观察可知,第三行的3982=1991×2;第四行的5973=1991×3;由此可得:第二行有2个1991,即21个1991;第三行有4个1991,即22个1991;第四行有8个1991,即23个1991;??,第十行有29个1991

这55个数相加的和是:(1+2+4+8+16+32+64+128+256+512)×1991=1023×1991 经计算可知十位上数字是9, 9、2

这列数除以5的余数排列是以5为周期的一列数。1992=5×398+2,所以第1992个数被5除的余数与第2个被5除的余数一样,也就是2。

151

10、198行

由表中前四行数知:每行的所有分数具有分子与分母的和相等;每行分数个数是该行的分子与分母的和减去1。 99+100—1 =199—1 =198 因此99这个分数所在的行数是第198行。 100

11、154,第6行,左起12列

首先,数的排列有如下特点:

①第一列的每个数都是完全平方数,恰好等于它所在行数的平方;

②第一行的第n个数等于[(n—1)2+1];

③第n行中第一个数至第n个数依次递减1;

④第n列中第一个数至第n个数依次增加1。

(1)上起第10行,左起第13列的数应该是第13列的第10个数,第13列的第一个数是:[(12—1)2+1]=145

则第13列第10个数是:145+9=154

(2)数127满足关系式127=112+6=[(12—1)2+1]+5

即127在左起12列,上起第6行的位置。

12、8610

每个等式的第一数都是完全平方数,第20个等式的第一个数是202=400

第20个等式左边加数的个数比第一个等式左边加数多19个,共有21个。

第20个等式左右两边的和是:

400+401+402+?+420=400×21+

13、3972049

1+2+1=4=22

1+2+3+2+1=9=32

1+2+3+4+3+2+1=16=42

1+2+3+4+5+4+3+2+1=52

因此每行的和正好等于中间最大加数的平方,则1+2+3+?+1992+1993+1992+?+3+2+1=19932=3972049。

14、16行第5列

这个数列的每一项的整数部分构成一个数列:3,4,4,5,6,6,7,8,8,9,10,10,11,12,12,?? 分数部分按20?(1?20)=8610 2115,,循环出现。 266

如果把这个数列整数部分所构成的数列每3项一组分组,则(64—3+1)÷3=20??2

1151、64、64为一组,因此64出现在原数列的第31组的第2个。 2666

11每两组排列成一行,64在第16行,按图中的排列方式,第16行右边空一项,所以6466由于排列时以63

在第5列。

所以数列中的641应排在第16行第5列。 6

152

15、48

210的末两位数字为24,220的末两位数为76,230的末两位数字为24,240的末两位数字为76、?,而1991=10×199+1,故n的末位数字为24×2=48。

16、91

1991个1991相乘的末两位数字与1991个91相乘的末两位数字相同,91n的末两位数可由下表给出:

于是1991个91的末两位字=91×01=91 17、6个

先把第1到第5个小朋友放完时四个盒中的球表示出来: 盒子 A B C D 初始状态 6 4 5 3 第1人放过后 5 3 4 6 第2人放过后 4 6 3 5 第3人放过后 3 5 6 4 第4人放过后 6 4 5 3 第5人放过后 5 3 4 6

显然,每经过4人放过后,四个盒子中球的情况重复出现一次,即周期是4,而 34÷4=8??2

可知:第34位小朋友放过后与第2位小朋友放过后的情况相同,即B盒中有球6个。 18、B

由题意可知这六个布袋是回投掷珠子,且除去第一排A袋投珠子数1以后,这样每排都只投掷五只布袋,奇数排是从B袋投掷到F袋,偶数排是从E袋投掷五只布袋,奇数排是从B袋投掷到F袋,偶数排是从E袋投掷到A袋,如此有周期规律地进行。

(1992-1)÷5=1991÷5=398??1,可知第1992粒珠子应投掷在奇数排B袋中。 19、第三列

由图表可知连续自然数是按奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四个数的规律共9个数循环排列.。1992÷9=664??1

可知数1992应排列在第222组中偶数排第3个数的位置上,它在第三列中。 20、1

这列数可依次把三个数作为一组,第组数的第一个数都是1,第二、第三个数从1993开始,依次减1排列。1993÷3=664??1

这说明:第1993个数排列在(664+1)665组的第一个数,这个数是1。 21、2

本题可直接看这串数被3除的余数,在求出A与B除以3的余数后,从第三个数起,把前两个数被3除所得的余数相加,然后除以3,就得到这个数除以3所得的余数,算出前10个被3除的余数,列表如下:

153

从表中可以看出,第九、第十两个数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数对应相同,因此,这串余数,以8个数为一个周期循环出现。1991=8×248+7

所以,第1991个数被3除的余数与第7个数被3除后的余数相同,也就是2。

4+3—6=1

8+5—12=1

6+4—9=1

10+6—15=1

可以推断,任何平面图的顶点数、边数及区域数之间,都有下述关系:顶点数+区域数=边数=1

(3)所求平面图的边数是:边数=顶点数+区域数—1, 999+999—1=1997

(2)该表可以看出,所给四个平面的顶点数、边数及区域数之间有下述关系:

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