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初中数学竞赛辅导七年级三 求代数式的值

发布时间:2013-12-04 09:28:12  

第三讲 求代数式的值

用具体的数代替代数式里的字母进行计算,

求出代数式的值,是一个由一般到特殊的过程.具体求解代数式值的问题时,对于较简单的问题,代入直接计算并不困难,但对于较复杂的代数式,往往是先化简,然后再求值.下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧.

例1

求下列代数式的值:

分析 上面两题均可直接代入求值,但会很麻烦,容易出错.我们可以利用已经学过的有关概念、法则,如合并同类项,添、去括号等,先将代数式化简,然后再求值,这样会大大提高运算的速度和结果的准确性.

=0-4a3b2-a2b-5

=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5

=-16+2-5=-19.

(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]

=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)

=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)

=2xyz-2x2z

=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)

=12+6=18.

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说明 本例中(1)的化简是添括号,将同类项合并后,再代入求值;(2)是先去括号,然后再添括号,合并化简后,再代入求值.去、添括号时,一定要注意各项符号的变化.

例2 已知a-b=-1,求a3+3ab-b3的值.

分析 由已知条件a-b=-1,我们无法求出a,b的确定值,因此本题不能像例1那样,代入a,b的值求代数式的值.下面给出本题的五种解法. 解法1 由a-b=-1得a=b-1,代入所求代数式化简

a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3

=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3

=-1.

说明 这是用代入消元法消去a化简求值的.

解法2 因为a-b=-1,所以

原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab

=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab

=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2

=-(-1)2=-1.

说明 这种解法是利用了乘法公式,将原式化简求值的.解法3 因为a-b=-1,所以

原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3

=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3

=(-1)3=-1.

说明 这种解法巧妙地利用了-1=a-b,并将3ab化为

-3ab(-1)=-3ab(a-b),从而凑成了(a-b)3.

解法4 因为a-b=-1,所以

(a-b)3=(-1)3=1,

即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1,

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a3-b3-3ab(a-b)=-1,

所以 a3-b3-3ab(-1)=-1,

即 a3-b3+3ab=-1.

说明 这种解法是由a-b=-1,演绎推理出所求代数式的值.

解法 5

a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab

=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab

=(-1)3+3ab(-1)+3ab

=-1.

说明 这种解法是添项,凑出(a-b)3,然后化简求值.通过这个例题可以看出,求代数式的值的方法是很灵活的,需要认真思考,才能找到简便的算法.在本例的各种解法中,用到了几个常用的乘法公式,现总结如下:

(a+b)2=a2+2ab+b2;

(a-b)2=a2-2ab+b2;

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ;

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

解 由已知,xy=2(x+y),代入所求代数式中,消去xy,然后化简.所以

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解 因为

a=3b,所以

c=5a=5

×(3b)=15b.

将a,c代入所求代数式,化简得

因为(x-5)2,|m|都是非负数,所以由(1)有

由(2)得y+1=3,所以y=2.

下面先化简所求代数式,然后再代入求值.

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=x2y+5m2x+10xy2

=52×2+0+10×5×22=250

例6 如果4a-3b=7,并且3a+2b=19,求14a-2b的值.

分析 此题可以用方程组求出a,b的值,再分别代入14a-2b求值.下面介绍一种不必求出a,b的值的解法.

解 14a-2b=2(7a-b)

=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]

=2[(4a-3b)+(3a+2b)]

=2(7+19)=52.

|x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|

x-5|的值.

分析 所求代数式中六个绝对值的分界点,分别为:0,1,2,

据绝对值的意义去掉绝对值的符号,将有3个x和3个-x,这样将抵消掉x,使求值变得容易.

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原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)

=-1-2+3+4+5=9.

说明 实际上,本题只要x的值在2与3之间,那么这个代数式的值就是9,即它与x具体的取值无关.

例8 若

x:y:z=3:4:7,且2x-y+z=18,那么x+2y-z

的值是多少? 分析 x:y:z=3:4:7可以写成

的形式,对于等比,我们通常可以设它们的比值为常数k,这样可以给问题的解决带来便利.

x=3k,y=4k,z=7k.

因为

2x-y+z=18,

所以

2×3k-4k+7k=18,

所以k=2,所以x=6,y=8,z=14,所以

x+2y-z=6+16-14=8.

例9 已知x=y=11,求

(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值.

分析 本题是可直接代入求值的.下面采用换元法,先将式子改写得较简洁,然后再求值.

解 设x+y=m,xy=n.

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原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)

=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n

=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2

=(n+1)2-2m(n+1)+m2

=(n+1-m)2

=(11×11+1-22)2

=(121+1-22)2

=1002=10000. 说明 换元法是处理较复杂的代数式的常用手法,通过换元,可以使代数式的特征更加突出,从而简化了题目的表述形式.

练习三

1.求下列代数式的值:

(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2

b-7a2b2-2a

4,其中a=-2,b=1;

的值.

3.已知a=3.5,b=-0.8,求代数式

|6-5b|-|3a-2b|-|8b-1| 的值.

4.已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0,求 a,b的值.

5.已知

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