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第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二二试

发布时间:2013-12-04 12:26:38  

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第2试

一、选择题 (以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。)

1.若a,b均为正整数,m?ab(a?b),则( )

(A)m一定是奇数 (B)m一定是偶数

(B)只有当a,b一个为偶数时,m是偶数

(D)只有当a,b一个为偶数,另一个为奇数时,m是偶数

2.设b<a<0,a?b?(A)

3.Given a,b,c are positive integers,and a,b are prime numbers,ab?a?2005,then the value of a+b+c is ( )

(A)14 (B)13 (C)12 (D)11

(英汉词典 positive integer:正整数。Prime number:质数。) 3c225a?b等于( ) ab,则2a?b11 (B)? (C)?3 (D)3 33

4.购买铅笔7支,作业本3个,圆珠笔1支共需3元;购买铅笔10支,作业本4个,圆珠笔1支共需4元,则购买铅笔11支,作业本5个,圆珠笔2支共需( )

(A)4.5元 (B)5元 (C)6元 (D)6.5元

5.计算机将信息转换成二进制数来处理。二进制是“逢二进一”,如二进制数(1101)2转换成十进制数是1?2?1?2?0?2?1?2?13,那么二进制数(111?111)2转换成十进制3210

?????

2005个1

数是( )

(A)2

6.已知△ABC的三个内角的比是m:(m?1):(m?2),其中m是大于1的正整数,那么△ABC是( )

(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形

2004?1 (B)22005 (C)22005?1 (D)22005?1

7.已知△ABC的三条高的比是3:4:5,且三条边的长均为整数,则△ABC的边长可能是( )

(A)10 (B)12 (C)14 (D)16

8.已知两位数ab能够被3整除,它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字,且它的任意次幂的个位数字等于它的个位数字。这样的两位数共有( )

(A)1个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

9.放成一排的2005个盒子中共有4010个小球,其中最左端的盒子中放了a个小球,最右端的盒子中放了b个小球,如果任何相邻的12个盒子中的小球共有24个,则( )

(A)a?b?2 (B)a?b?1 (C)a?1,b?2 (D)a?2,b?1

10.已知整数x , y , z满足x≤y<z,且???x?y?y?z?z?x?4222那么x?y?z的值

??x?y?y?z?z?x?2

等于( )

(A)2 (B)14 (C)2或14 (D)14或17

二、填空题

11.如果a?3,b?5,那么a?b?a?b的绝对值等于__________。

12.已知112x?5xy?2y??5,则?_____________。 xyx?2xy?y

13.某汽车从A地驶向B地,若每分钟行驶a千米,则11点到达,若每分钟行驶

则11:20时距离B地还有10千米;如果改变出发时间,若每分钟行驶2a千米,33a千米,则11点4

到达,若每分钟行驶a千米,则11:20时已经超过B地30千米。A、B两地的路程是_____千米。

14.若M?abc321是一个六位数,其中a,b,c是三个互异的数字,且都不等于0,1,2,3,又M是7的倍数,那么M的最小值是__________。

15.分解因式:(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x?____________。

16.若在凸n(n为大于3的自然数)边形的内角中,最多有M个锐角,最少有m个锐角,则M =___________;m =____________。

17.如图1,等腰RT△ABC的直角边长为32,从直角顶点A作斜边BC的垂线交BC于D1,再从D1作D1D2?AC交AC于D2,再从D2作D2D3?BC交BC于D3,?,则2AD1?D2D3?D4D5?D6D7?D8D9?__________;

D1D2?D3D4?D5D6?D7D8?D9D10?___________。

18.如图2,将三角形纸片ABC沿EF折叠可得图3(其中EF∥BC),已知图3的面积与原三角形的面积之比为3:4,且阴影部分的面积为8平方厘米,则原三角形面积为________平方厘米。

BE

A

图 2FC

19.如图4,△ABC中,BC:AC=3:5,四边形BDEC和ACFG均为正方形,已知△ABC与正方形BDEC的面积比是3:5,那么△CEF与整个图形的面积比等于__________。 图 3

F

E

GC

D

A

图 4

20.如果正整数n有以下性质:n的八分之一是平方数,n的九分之一是立方数,它的二十五分之一是五次方数,那么n就称为“希望数”,则最小的希望数是_________。

三、解答题:(要求:写出推算过程)

21.图5是一个长为400米的环形跑道,其中A、B为跑道对称轴上的两点,且A、B之间有一条50米的直线通道,甲、乙两人同时从A点处出发,甲按逆时针方向以速度v1沿跑道跑步,当跑到B点处时继续沿跑道前进,乙按顺时针方向以速度v2沿跑道跑步。当跑到B点处时沿直线通道跑回到A点处,假设两人跑步时间足够长。求:

(1)如果v1:v2?3:2,那么甲跑了多少路程后,两人首次在A点处相遇? B

(2)如果v1:v2?5:6,那么乙跑了多少路程后,两人首次在B点处相遇?

A

B

22.(1)如果a是小于20的质数,且

图 5

1

可化为一个循环小数,那么a的取值有哪几个? a1

(2)如果a是小于20的合数,且可化为一个循环小数,那么a的取值有哪几个?

a

23.如图6,正三角形ABC的边长为a,D是BC的中点,P是AC边上的动点,连结PB和PD得到△PBD。求:

(1)当点P运动到AC的中点时,△PBD的周长; (2)△PBD的周长的最小值。

A

P

B

D图 6

C

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