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第十五届华杯赛总决赛二试试题及答案

发布时间:2013-12-04 15:30:27  

第十五届华杯赛总决赛二试试题及答案

1、在静水中,甲船的速度是乙船速度的两倍。甲乙二船沿河分别从A、B两地同时出发,相向而行,相遇时距A、B的距离之比为3:1,如果甲乙分别从B、A同时出发,相向而行,相遇时距A、B的距离之比为。

【分析】设乙船静水速度为x,甲船静水速度为2x,水速为y,有2x+y=3(x-y),所以x=4y,且A到B为顺水,那么第二次速度比为(2x-y):(x+y)=7:5,相遇时距A、B的距离之比为5:7。

2、一个8行n列的阵列队伍,如果排列成若干个15行15列的方阵,还余下3人,1人举旗,2人护旗。则n最小等于。

【分析】设有k个方阵,那么8n=225k+3,考虑除以8的余数,k最小为5,n最小为141。

3、自三角形ABC内一点P,分别向BC,CA,AB边引垂线,垂足依次为D,E,F。以BD,CD,CE,AE,AF,BF为直径分别向形外作半圆。如图所示这六个半圆面积分别记为S1,S2,S3,S4,S5,S6。若S5-S6=2,S1-S2=1,那么S4-S3=。

【分析】连接AP,BP,CP,由勾股定理,,相加得到,所以S5+ S3+ S1=S6+ S2+ S4,所以S4-S3=3

4、小华把数字2~9分成4对,使得每对数的和为质数。问一共有多少种不同的分法?

【分析】显然这4对数均为1奇1偶,6只能和5或7一组。

(1)6与5一组,那么7与4一组,剩下4个数有2种排法。

(2)6与7一组,○14和3一组,剩下4个数2种排法。

○24和9一组,剩下4个数2种排法。

一共有6种排法。

5、将1,2,3,……,37,这37个不同的自然数重新排成一行,记作,其中,,并使得能被整除(),求

【分析】显然这37个数的总和是的倍数,所以总和是的倍数,所以,对于,有38是的倍数,所以

6、15张卡片,每张卡片上写有3个不同的汉字,任意2张上的汉字不完全相同;任意6张中,一定有2张,它们上面有共同的汉字。问:这15张卡片上最多有多少个不同的汉字?

【分析】考察1~6张卡片,至少有2个汉字重复,不妨设第一张有汉字重复,考察2~7张卡片,至少有2个汉字重复,不妨设第二张有汉字重复,……,考察10~15张卡片,至少有2个汉字重复,这样的话,至少重复了10次,15张卡片共45个汉字,至多还有35个不同的汉字。构造一种35个汉字的方案:前11张卡片都恰好有同一个汉字,其余22个汉字各不相同,后4张卡片12个汉字各不相同。这样的35个汉字满足要求。

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