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30届全国中学生物理竞赛(复赛)模拟试题(三)(黄爱国)

发布时间:2013-09-20 13:46:43  

30届全国中学生物理竞赛(复赛)模拟试题(三)

17(P)(13一. (20分)在用质子轰击固定锂Li)靶的核反应中,(1)计算放出α粒子的反应能。(2)

如果质子能量为1兆电子伏特,问在垂直质子束的方向观测到α粒子的能量大约有多大?

1有关原子核的质量如下:17H,1.007825;4He2,4.002603;3Li,7.015999。

二.(20分)2mol初始温度为270C,初始体积为20L的氦气,先等压膨胀到体积加倍,然后是绝热膨胀回到初始温度。(1)在P—V图上画出过程方程;(2)在这一过程中系统总吸收热量等于多少?

(3)氦气对外界做的总功等于多少?其中绝热膨胀过程对外界做功是多少?

1

三.(15分)观测者S测得两个事件的空间和时间间隔分别为600m和8×10-7s,而观测者S1测得这两个事件同时发生。试求S1相对S的速度,以及S1测得这两个事件的空间距离。

四.(20分)神奇的自聚焦透镜:自聚焦透镜依靠折射率的恰当变化对近轴光线成像。该透镜呈圆柱状,截面半径为R,长为l。其折射率在截面内延半径方向呈抛物线状连续变小,可表示为

12nr2?n0(1?a2r2) 2

式中n0为中心的折射率,a为比1小得多的正数。

(1) 求从圆心入射与圆柱平面夹角为?0的光线在自聚焦透镜内传播的轨迹方程。

(2) 平行于z 轴的平行入射光经过自聚焦透镜后交汇于一点,求自聚焦透镜的焦距。

2

五.(20分)如图所示,有二平行金属导轨,相距l,位于同一水平面内(图中纸面),处在磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向竖直向下(垂直纸面向里).质量均为m的两金属杆ab和cd放在导轨上,与导轨垂直.初始时刻, 金属杆ab和cd分别位于x = x0和x = 0处。假设导轨及金属杆的电阻都为零,由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L。今对金属杆cd施以沿导轨向右的瞬时冲量,使它获得初速v0.设导轨足够长,x0也足够大,在运动过程中,两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距x0,因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L是恒定不变的。杆与导轨之间摩擦可不计。求两杆之间的距离第一次达到最大值时导轨构成的回路中的电流i。(由第21届复赛试题改编)

六.(20分)两个相同质量为M,半径为a

的粗糙的均质圆柱体置于粗糙的水平面上,两轴线相距,第三个半径为a、质量为2M的粗糙均质圆柱体对称地置于上述两个圆柱体上面。要使三圆柱体保持平衡状态,圆柱体之间的摩擦因数?1和圆柱体与水平面之间的摩擦因数?2应满足什么条件?大题典力学上 P425

3

?七.(20分)如图所示,两平行的电极板之间形成一均匀的电场E,在此电场上另加有一均匀的磁

场B,其方向为向内垂直于纸面,两者构成一均匀的正交电磁场。现有一质量为m,带有正电量q的粒子,从左方沿着平行于两极板之间的中央平分线(即向着+x方向),且垂直于磁场的方向,以速度v射入此正交电磁场内。回答下列问题:

1.若入射粒子的速度值恰好等于某一特定值v0,则此粒子将沿同一直线作等速度运动,试求此v0值。

2.若粒子的入射速度v,不等于v0,则该粒子的运动轨迹将不会是一条直线,那么粒子的入射速度v为何值时,有可能使该粒子在整个运动过程中,会出现逆转向左方运动的情形(即向着-x方向运动)?

3.承2小题,分成下列两种情况,分别导出带电粒子的运动轨迹方程式,并画出其图形:

(i) 若v?v0;

(ii) 若0?v?v0。

?

八.(25分)一宇宙飞船围绕质量为M的恒星作半径为r0的圆周运动,宇宙飞船的发动机可以迅速点燃起动,使速度瞬间改变?v,点燃的方位用飞船速度v和?v之间的夹角?来说明(如图所示)。为了节省燃料,在连续N次点燃中,希望?v=?|?v|减至最小,称?v叫做比冲量。 i

i?1N

(1)假设我们要利用飞船的发动机逃离这个恒星,且发动机只点燃一次,需要的最少的比冲量有多大?在什么方位点燃?

(2)假设我们希望在半径r1(r1>r0)圆轨道上视察一颗行星,让发动机再次点燃,达到该行星轨道所需要的最小比冲量多大?

(3)假如我们要使飞船撞上恒星(假定恒星的半径可忽略),对下列两种点火策略计算最小比冲量:

A、在?=1800一次迅速点燃;B、在?=00第一次迅速点燃,然后在晚些时候在?=1800第二次点燃,为使总的比冲量最小,如何选择第二次点燃的时间和每次点燃的强度(即速度的改变量)。

4

2011年高中物理竞赛复赛模拟训练卷参考答案

一.解:(1)核反应方程如下:

144Li?P?He?122He 7

3静质量

动 能 M0 M1 M3 M2 E0 E1 E3 E2 p1由总质量和总能量守恒:

M0?E0E3E1E2?M??M??M?123c2c2c2c2 由反应能Q的定义得:

Q?(E2?E3)?(E0?E1)

2?[(M?M)?(M?M)]c0123

?[(7.015999?1.007825)?2?4.002603]?931.5

2?17.35MeV ?27[其中:1u?c?(1.66?10

千克)?(2.997925?108米/秒)2 ?931.5?106MeV =931.5MeV

4粒子(2(2)设锂靶是静止的,根据动量守恒,可知,反应所产生的两个相同的α

沿入射质子的方向对称分开,如图51-21所示。

由动量守恒定律有 p1?p2?p3 矢量p1,p2,p3合成的三角形,两底角皆为θ,又因M2已知反应能Q=17.35 MeV,且 He核),应?M3,因而有E2?E3 Q?E2?E3?E1其中E1?1 MeV,可得 E2?E3?11(Q?E1)??(17.35?1)2 2 =9.175 MeV 即反应所生成的α粒子其能量为9.175 MeV。

5

α粒子飞出方向与入射质子的方向之间的夹角为θ,因此

由于P2P32?P12?P22?2p1p2cos? ?2ME,得: M3E3?M1E1?M2E2?2M1M2E1E2cos?

代入反应能Q的定义式: Q?E2?E3?E1

2M1M2E1E2??M2?M1??????1?E?1?E?cos?21????M3?M3?M3? ? 2A1A2E1E2??A2?A1?????Q??1?cos??E2??1?A?E1?AA3?3?3??将上式中质量数改为质量比得

3Q?2E2?E1?E1E2co?sA?1A?A?443其中1,2,代入上式: 332E2?Q?E12?9.175?17.35??1cos????0.0825?EE?9.17512所以 所以 ??8516?

4由此可知,在垂直于质子束的方向上观察到2He的能量近似就是9.175 MeV。

6

五解:设在任意时刻t,ab杆和cd杆的速度分别为v1和v2(相对地面参考系S),当v1、v2为正时,表示速度沿x轴正方向;若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向,则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势

E?Bl?v1?v2? (1)

7

当回路中的电流i随时间的变化率为?i?t时,回路中的自感电动势

根据欧姆定律,注意到回路没有电阻,有

EL??L?i ?t(2) E?EL?0 (3) 金属杆在导轨上运动过程中,两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零,系统的质心作匀速直线运动.设系统质心的速度为VC,有

得 mv0?2mVC (4) VC?v0 2(5) VC方向与v0相同,沿x轴的正方向.

现取一新的参考系S?,它与质心固连在一起,并把质心作为坐标原点O?,取坐标轴O?x?与x轴平行.设相对S?系,金属杆ab的速度为u,cd杆的速度为u?,则有

v1?VC?u v2?VC?u? (6) (7) 因相对S?系,两杆的总动量为零,即有

mu?mu??0

由(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式,得 (8) ?i (9) ?t

在S?系中,在t时刻,金属杆ab坐标为x?,在t+?t时刻,它的坐标为x???x?,则由速度的定义 ?x? (10) u??t

代入 (9) 式得

(11) 2Bl?x??L?i 2Blu?L

若将x?视为i的函数,由(11)式知?x??i为常数,所以x?与i的关系可用一直线方程表示 x??Li?b 2Bl(12) 式中b为常数,其值待定.现已知在t=?时刻,金属杆ab在S?系中的坐标x?=

故得 1x0,这时i = 0,2(13) x??

i?L1i?x0 2Bl2或 2Bl?1??x??x0? L?2?(14)

8

1?1?x0表示t=?时刻金属杆ab的位置.x?表示在任意时刻t,杆ab的位置,故?x??x0?就是2?2?

杆ab在t时刻相对初始位置的位移,用X表示,

1(15) x0 2

当X>0时,ab杆位于其初始位置的右侧;当X<0时,ab杆位于其初始位置的左侧.代入(14)式,得

2Bl (16) i?X L

这时作用于ab杆的安培力 X?x??

2B2l2

(17) F??iBl??X L

ab杆在初始位置右侧时,安培力的方向指向左侧;ab杆在初始位置左侧时,安培力的方向指向右侧,可知该安培力具有弹性力的性质.金属杆ab的运动是简谐振动,振动的周期

T?2πm 2B2l2(18) 在任意时刻t, ab杆离开其初始位置的位移

?2π? X?Acos?t??? (19) ?T?

A为简谐振动的振幅,??为初相位,都是待定的常量.通过参考圆可求得ab杆的振动速度

?2π??2π? u??A??sin?t??? ?T??T?(20)

(19)、(20)式分别表示任意时刻ab杆离开初始位置的位移和运动速度.现已知在t=0时刻,ab杆位于初始位置,即

X = 0

速度

故有

解这两式,并注意到(18)式得

u?v0?VC?v0?11v0?v0 220?Acos? v0?2π???A??sin? 2?T???3π2

A?v0vT?0

4?2BlmL 2 (21)

由此得ab杆的位移 (22)

9

X?v0

2BlmL3π?v?2πcos?t???0

22?2Bl?TmL2πsint 2T(23)

由参考圆可以知道,经过t=3T/4时间,两杆距离第一次达到最大值。回路中的电流由(16) 式得

i=2Bl2Blv0X=LL2BlmL2π3msin(T)=v0

2T42L

?????七.解:带电粒子在电磁场中所受的电力FE?qE;所受的磁力FM?qv?B,故粒子所受的合力为

??????F?FE?FM?q?E?v?B?

?若该粒子沿直线作等速度运动,则F?0,其速度v0必须满足下列条件:

???E?v0?B?0?E?v0B?0?v0?E B

(1) 若v?v0,则入射粒子的速度可写为v?v0?(v?v0),即可分成两个速度分量v0和v?v0,前者使粒子沿直线作等速度运动,后者使粒子受到磁力的作用,而作等速率圆周运动。粒子的运动方程式可写为 ???????

10

??????F?qE?q?v0?(v?v0)??B???????q?E?v0?B??q(v?v0)?B ????q(v?v0)?B

粒子的运动轨迹为上述等速度直线运动和等速率圆周运动的合成。单就等速率圆周运动而言,上式中的速度分量v?v0所引起的磁力,提供粒子作圆周运动所需的向心力,设其圆轨迹的半径为R,若v?v0,则圆心位在x轴的上方,得

m(v?v0)m(v?v0)2

?q(v?v0)B ?R?qBR??

圆周运动的角频率为??

v?v0qB。 ?Rm粒子在x方向的速度分量是由等速度直线运动的vo和等速率圆周运动的x轴速度分量共同

??决定,即vx?v0?(v?v0)x。等速率圆周运动的x轴速度分量,向

-x方向的最大速度值为v?vo,故vx的最小值为

(vx)min?v0?(v?v0)?2v0?v。因此若欲使粒子的运动转向-x方向,则需满足下列的条件:

(vx)min2E ?2v0?v?0?v?2v0?B (2) 由于粒子的运动轨迹为等速度直线运动和等速率圆周运动的合成,因此可先分别求出这两个运动在x和y方向的位移,再求其合位移。

?x1?v0t(i) 若v?v0 等速度直线运动: ? ?y1?0

等速率圆周运动:

由于v?v0?0,故粒子沿逆时钟方向作圆运动,圆心位在x轴的上方。参考上图,由图上

?x?Rsin?t的几何关系可得 ?2 y?R?Rcos?t?2

?x?x1?x2?v0t?Rsin?t粒子轨迹的参数方程式为 ? y?y?y?R?Rcos?t?12

上式为摆线方程式。粒子的轨迹图形可分成三种情况,如下所述:

(1)v?2v0(粒子会出现向-x方向的运动)下左图

11

(2)v?2v0(粒子的运动方向恒朝向+x方向)下右图

(3)2v0?v?v0(粒子的运动方向恒朝向+x方向)

y ?x1?v0t(ii) 若v?v0

等速度直线运动:? 等速率圆周运动: y?0?1

由于v?v0?0,故粒子沿逆时钟方向作圆运动,圆心位在x轴的下方。参考下图,可得

?x?x1?x2?v0t?R?sin?t?x2??R?sin?t 粒子轨迹的参数方程式为 ??????y??(R?Rcos?t)y?y?y??R?Rcos?t?2?12

m(v0?v)式中R??。粒子在xqB

(vx)min?v0?(v0?v)?v?0 (x2,y??v?v012

故粒子的运动方向恒朝向+x方向,其轨迹图形如下所示: y

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