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30届全国中学生物理竞赛(复赛)模拟试题(二)

发布时间:2013-09-20 13:46:43  

30届全国中学生物理竞赛(复赛)模拟试题(二)

第一题(18分)。1917年由斯图尔特和道尔曼首次测定了以匀角加速度运动的圆线圈中产生的电流。每一匝圆线圈电流设为I。在圆中心处产生的磁感应强度为B=μ0I/2r (r为圆半径)

第二题(20分)。1个球形肥皂泡,质量为m,其内充有空气(不计空气质量),泡外为真空,平衡时半径为r0,由于受到扰动,肥皂泡做微小的径向振动,求振动周期。(设振动过程中泡内空气温度保持不变;肥皂膜的表面张力系数为α)

第三题(20分)假设大气的折射率n与空气密度的关系为:n-1 = aρ0e-(r-r0)/b式中a为常数,ρ0为地球表面的大气密度,r0=6400km.b=8772m大气折射率随高度的增加而递减,为使光线能沿着地球表面的圆弧弯曲传播,地表的空气密度应是实际密度的多少倍?已知地表空气的实际

x折射率n0=1.0003(取e=1+x)

第四题(20分)。如大家所知,海洋的潮汐基本上来自月球的引力作用,而在较小一些的程度上也来自太阳的引力作用。为使问题简化,作如下假设: a)地球和月球组成1个封闭系统; b)月球到地球的距离为1个常量; c)地球完全由海洋覆盖; d)不计地球的自转。

1、试求月球在地球上任意位置对单位质量的海水产生的潮汐力。设月球质量为M,地月中心间距离为r,万有引力常量为G,地球半径为R。2、求地球上任意位置处的水位变化h(θ)

1

第五题(21分)

已知停靠在公路边的1辆大卡车全长为5m,设有长度为10m的飞船队从近旁飞过。在地面参照系中观测,飞船前端通过车头A的同时,飞船的后端刚好经过车尾B,试问:

1、在地面参照系K中观测,飞船飞行的速度有多大?

2、从飞船参照系K′中观测,A与B相距多远?

3、在K′系观测飞船前、后端是否同时分别通过A、B?

4、在K系中测得飞船的长度不是10m,从K′系来看,在K系中的观测有什么问题?应该怎样进行修正?

第六题(25分)一物体质量为m=1.0kg,置于水平面上,物体与水平面间的静摩擦系数和滑动摩擦系数均为μ=0 .4,如图所示,在原点有一完全弹性的墙,且物体始终受到

F=-20x(N)的水平力,x的单位为米(m)。现将物体于x0=1.1m处静止释放,

求: 1、物体从静止释放到停止运动,共用了多少时间? 2、物体最后停在什

2么位置? 3、物体克服摩擦力做了多少功?(g取10m/s)

第七题(26分)用测不准关系估算氢原子:1、玻尔半径;2、基态能量;3、若被激发到高能态

-8的电子在10s 内就跃回基态过程中发出的光波波长λ0的不确定量。

2

30届全国中学生物理竞赛(复赛)模拟试题(二)参考解答

第一题:现考察1个均匀的细金属导线(单位长度的电阻等于ρ0)做成的1个圆环,围绕其中心进行匀加速转动,角加速度为β。试计算在环中心的磁感应强度B的值(电子电荷为e,质量为m)

取与金属环上一小段孤长一起做加速运动的坐标系,该坐标系与构成金属晶格的离子相连。在该坐标中,电子受惯性力作用,切向大小为mrβ,法向惯性力对本题无实质意义,不考虑。最后由于电子与晶格的作用,当达到某状态时,电子受力平衡而做稳定的运动,从而在其中发现有电流,虽然在导线中并没加电动势。

电子所有切向惯性力可以用1个假想的电场力做类比,设此电场强度为E,则 eE=mrβ

又由电阻定律 R=ρl/s 单位长度的电阻ρ0=R/l =ρ/s 所以 I = U/R =E/ρ0mrβ/ρ0e

这圆环中心处的磁感应强度为: B =μ0I/2r=μ0mβ/2ρ0e

第二题:如图a所示,1个肥皂泡内外气体压强分别为p1、p2,则:p1-p2=4a/r.

对本题外界为真空,则泡内压强为p=4a/r。平衡时泡内气压为p0,泡半径为r0,如图b所示,当受到扰动,肥皂泡作径向振动。设振动泡半径为r,r=r0+x(x<<r0)时,泡内气压为p,则有p0 =4a/r0

由等温变化规律:pv=p0v0 所以 p= p0v0/v=(r0/r)3 p0

则整个泡在振动中受到的径向合外力为 (p?4a)4?r2

r

?4?r2[(

r034a )p0?]rr

x

?4?[r03p0/r?4ar]?4?[r02p0(1?)?4ar0?4ax]

r0??(4??8a)x??32?axT?

2??2?

m?m

? 32?a8a

所以

?2?

32?a

m

周期

?

第三题:如图所示,O为地心,r0为地球半径,地表有1个薄环形层为光的圆折射通道,由惠更斯原理,波前与波线处正交,所以波前形状保持径向不变,故有 其中,n'0为地表处大气折射率,n为距地心r处的大气折射率。

ccn'0

?r0r

题设

(a?'0?1)?r0?a?'0(e

取e

?r?r0

b

?

r?r0b

?1)?r 其中?'0是所能发生圆折射的地球表面的空气密度。

?1?

r?r0

,得 b

a?'0(r?r0)?(r?r0)?a?'0

r?r01

?r 即 a?

'0?rb

?1b

3

而r?r0,有 a?'?01r0?1b ① 对地表大气: a?0?n0?1 ②

对比①、②两式得 ?'0?r0?0(b1?1)(n0?1)?4.58

第四题:1.地球一月球系统绕其质心转动,对连接于地心的转动参照系,分析地球表面上任一点P处的水粒m运动规律。

对于地面上任意一点P处的水粒m,其受力为月球的万有引力和惯性离心力,则在x方向的合力为(如图所示)

Fx?GMmGMm?cosa?2r?x2r()cosa?GMmGMm2?cosa?(r?x)2r2(因为a很小)

?GMmGMm2GMm?2?x 22(r?x)rr

所以单位质量物质位于P处受到的潮汐力为(x分量)2GM2GM fx?2x?2Rcos? rr

GMy 同理,得y方向的潮汐力为: fy??2sin?,sin?? 所以rr

GMMyfy??3??G3Rs? inrr

2.如图所示,考察一水粒(质量为m)被潮汐力从D点带到任意点P的过程中所

GMm做的功W??(Fx?x?Fy?y)?3?(2x??x?y?y) r

GMm2y2GMm?122??(x?)?(Rcos?)?(Rsin?) ? 22r3?r3??

?GMm2122由W?mg(hP(?)?hD),得R(cos??sin?) 32r

2GMR2

hP(?)?hD?h(?)?cos(gr31??si22?)

第五题:分析:本题属狭义相对论运动学中时空观和时空间隔变换问题。

1、设K′系相对于K系的速率为V,已知飞船的本征长度l0=10m,非本征长度为l=5m,

根据动杆缩短公式l= l0

21-(v/c) 可得 v=c1-(l/l0)21-(5/10)2 ≈ 0。87c ①

2、已知卡车的本征长度为l0=5m,K与k/的相对速率v=0.87c,根据动杆缩短公式

2

1-(v/c) 可得l/= l0/=2.5m②

3、已知K系中,飞船前端通过A(坐标为x2),后墙通过B(坐标为x1)。这两件事

发生于同一时刻t,根据时空间隔变换式,这两事件在飞船参照系K′中并非同时发生,时间差为:

4

t/2-t/1=-γ(v/c)2(x2-x1)=-3 /(2c)s③ t/2<t/1即K′系中观察的结果是A通过飞船前端早于B通过飞船后端3 /(2c) 换言之,B3 /(2c)s才能经过飞船后端。

4、在K系中测得飞船长度为5m,就K系而言,这是正确的。但从K′系看来,K系中的测量存在两个问题:其一,大卡车的长度不是5m,而是2.5m;其二,A通过飞船前端早于B3 /(2c)s,而不是同时通过!在| t/2-t/1|=3 /(2c)s时间内,大卡车朝飞船后端移动了距离:v| t/2-t/1|=7.5m ④

其车尾B才通过飞船后端,K系的观测漏掉了这段距离,应该补加上。这样,从飞船参照系K′来说,K系对飞船长度的测量值5m,应修正为: 2.5+7.5=10(m)⑤ 这正是飞船的本征长度。

评分标准:①、②、③各4分;④6分;⑤4分。

第六题:本题中,物体受耗散力的作用,做减幅振动。物体在水平方向仅受弹性力F=-20x和摩擦力、合力为:F合 =-20x±μmg 物体向左运动时,第二项取正号,向右运动取负号,设弹性力与滑动摩擦力平衡时的位置为a. -20a±μmg=0,a=±0.2m.显然,物体速度为零时的位置在0≤x≤0.2m区间时,静摩擦力能与弹性力平衡,物体将静止。

1、开始时,物体从x0向左运动,受力为: F合 =-20x±μmg=-20(x-a) 由此可知,物体从x0→0是作平衡点为x=a的简谐振动的一部分,振幅和周期分别为:

A1=x0-a=0.9m T=2π

m/k =1.4s从x0→0运动时间为

△t1,如图所示,物体在x=0处反弹,速度大小不变,方向相反。

2、物体向右运动受力为:F合 =-20x-μmg=-20(x+a)

所以物体向右运动可看成是平衡点为x=-a的简谐振动的一部分,周期不变: T=2π

m/k =1.4s

3、由于在x=0,振动的总能量对于平衡点为a和-a的振动是相等的,所以两振动的振幅一样,即物体从x=0向右运动到x1=A1-a=x0-2a=0.7m处再向左运动,时间为△t2(如图)。显然,△t1+△t2=T/2 ①

同理,物体从x1=0.7m处向左运动(振幅A2=x1-a)经碰撞后向右运动至x2= x1-2a=0.3m时间仍为半个周期②

从x2=0.3m再向左运动,其振幅为A3=x2-a=0.1m,以x=a=0.2为平衡点,所以运动至x=0.1m处物体停止,这一段时间也是半个周期。 ③

所以物体运动的时间为: △t =3×T/2=2.1 s ④ 物体克服摩擦力做功为: A=kx02/2- kx2/2=12J ⑤

评分标准:结果①、8分;②、4分;③、4分;④、4分;⑤、5分。

第七题:1、氢原子由原子核和1个电子构成,电子的总能量E为:E=p2/2me-e2/4πε0r ① 式中p为电子动量,me为电子本征质量,r氢原子半径。

电子在原子内坐标的不确定量可用r估计,电子在原子内动量的不确定量可用p估计,则由不确定关系,得: rp?? ② 将②代入①,得

5

E??2/(2mer2)?e2/(4?E0r)③

式中r是待求的,只有能使E具有极小值的r才能形成稳定的氢原子系统。取E(r)-r曲线斜率为零的r=r1处的E=E1,有可能是E的极小值。考虑总能改变量为:

222222??/(2m(r??r))?e/(4?E(r??r))??/(2mr)?e/(4??0r) ?E??e0e????

?E/?r?(??2(2r??r))/(2m?r2(r??r)2)?e2/(4??0r(r??r)) ④ ????

由于?r是小量,在估算中可忽略,所以上式可近似写为: ?E/?r???2/(m?r3)?e2/(4?E0r2)⑤

22?10令?E/?r?0可得: r?(4??0?)/(mee)?0.53?10m?r1 ⑥

22、将⑥代入③可得: E1??(m1e4)/(8?2?2

0?)??13.6(eV)⑦ 这一结果与玻尔理

论得到的一致。

3、原子发出光波的波长由下式决定: ?/??(E?Eg)/h⑧ 即波长?的不确定量是由两个能级能量不确定量之差(?E??Eg)所引起的。式中的Eg表示基态的能量。

对于?Eg有: ?Eg?tg??或?Eg??/?tg

而电子回到基态后可长时间停留,即?tg很大,所以?Eg很小。因此有: ?E??Eg??E⑨

已知电子处于高能态E的时间为10?8s,所以?t?10?8s,代入测不准关系,得?E?10?8?h或?E?10?8?⑩ 波长能量的改变量与能量的改变量之间的联系可由⑧进行估算:

?E???Eg?hc/(????)?????Eg?hc/?????(hc??)/??(????)? ??与?相比较为小量,在估算中可忽略,所以上式可近似写为?E??(hc??)/?2 (11) 联立⑩、(11)可得: ?????2?108/(2?c) (12)

当???0时????0.053?2

0 (13)

评分标准:①~(13),均为2分

6

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