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八年级第三届“睿达杯”数学智能竞赛一试试卷

发布时间:2013-12-05 14:27:49  

第三届“睿达杯”中小学数学智能竞赛试题卷

八年级 第一试 考试时间 90分钟 满分120分

考生须知:

1.作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写,答案必须写在答题纸上,答题时不得超出答题框,否则无效。

2.保持卷面清洁,不要折叠,不要弄破。

3.答题前,在答题纸左侧考生信息框中填写所在地、学校、姓名等信息。

4.本次考试采用网上阅卷,务必要正确填涂准考证号,准考证号填涂时需用2B铅笔。

【未经组委会授权,任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷,也不准以任何形式(包括网络)转载.本卷复印无效.】

一、填空题 (本大题共18小题,每小题5分,共90分)

1.若a,b均为正整数,且2a?b,2a?b?10,则b的值为 ▲ .

2.已知11??ab(a?b),则ab?的值为 ▲ . b(a?b)a(a?b)

3.小王在课外学习时,发现数学等式有下面有趣的结果:

1?2?3

4?5?6?7?8

9?10?11?12?13?14?15

16?17?18?19?20?21?22?23?24

?

由上我们可知第2000行的最后一个数是 ▲ .

4.在△ABC中,AB?AC?10,BC?12,若点P在边AC上移动,则BP的

最小值是 ▲ .

5.如图所示的4个圆的半径均为1,那么图中的阴影部分的面积为 ▲ .

6.有三张正面分别写有数字?2,?1,1的卡片,它们的背面完全相同,将这三张(第5题)

卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张,以其正面的数字作为x的值,然后放回卡片洗匀,再从三张卡片中随机抽取一张,以其正面的数字作为y的值,两次结果记为(x,y).则使分式x2?3xyy有意义的(x,y)出现的概率是 ▲ . ?22x?yx?y

7.方程5x?6y?98的正整数解的个数是 .

?4x?3y?68.已知方程组?有整数解,则整数m的值是 ▲

. 6x?my?26?

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9.如图所示,△ABC为等边三角形,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,

且 ED?EC.若△ABC的边长为4,AE?2,则BD的长为 ▲ .

?x?3y?4?a10.已知关于x、y的方程组?,其中?3?a?1,给出下列结论: x?y?3a?

?x?5①?是方程组的解;②当a??2时,x、y的值互为相反数;

?y??1(第9题)

③当a?1时,方程组的解也是方程x?y?4?a的解;④若x?1,则1?y?4.

其中正确的是 ▲ .

11.在1,2,3,…,2012共2012个自然数中,能够表示成两个整数平方差的数有 个.

12.如果a,b是不超过10的自然数,则使方程ax?b的解大于而小于的a,b有 组. 2

13.在线段AB上选取3种点:第一种点是将线段AB十等分的点;第二种点是将它十二等分的点;

第三种点是将它十五等分的点,这些点连同线段AB的两个端点可组成的线段的条数为 ▲ .

14.若A,B,C三位老师在睿达资优教育的三个校区文三校区、华星校区、庆春校区的辅导班里教

不同课程:数学竞赛、科学竞赛、国际美语.已知:

(1)A不在文三校区上课,B不在华星校区上课;(2)在文三校区上课的老师不教国际美语;

(3)在华星校区上课的老师教数学竞赛; (4)B不教科学竞赛.

则A在 ▲ 校区教 ▲ 课程.

15.n是小于100的正整数,且满足等式[]?[?[]?n,其中[x]表示不超过x的最大整数. 那么符合条件的正整数n的个数是 ▲ . 2n

16.设an?2n?1(n为正整数),则a1?a2?...?a2012的值n?1n2?2?2?1

(填“>”,“=”或“<”)

17.因式分解x?7x?6的结果是18.已知k,x,y,z是整数,且k?x?y?z,若k,x,y,z满足方程16(2?2?2?2)?330,

则k的值为 .

二、解答题(本大题共2小题,每小题15分,共30分)

19.某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:设∠BAC??(0°<?< 90°).现把小棒依

次摆放在两条射线AB,AC之间,并使小棒两端分别落在两射线上.

活动一:如图甲所示,从点A

1开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在两端点处互相垂直,

睿达资优教育 第 2 页 共 3 页 kxyz3

A1A2为第1根小棒.

数学思考:

(1)小棒能无限摆下去吗?答: ▲ .(填“能”或“不能”)

(2)设AA1=A1A2=A2A3=1.① ??A2n?1A2n的长度为an(n为正整数,如A1A2?a1,A3A4?a2),求此时a2,a3的值,并直接写出an(用含n的式子表示).

活动二:如图乙所示,从点A1开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且

A1A2=AA1.

数学思考:

(3)若已经向右摆放了3根小棒,则?1?,?2?,?3?(用含?的式子表示)

(4)若只能摆放4根小棒,求?的范围. ..

20.有n盏灯排成一排,依次标号1,2,?,n,每盏灯都有一根拉线开关,最初电灯都是关着的.现

有n个人,都沿着电灯路线走过,第一个走过时,把凡是号码是1的倍数的灯的开关拉一下;接着第二个人走过时,把凡是号码是2的倍数的灯的开关拉一下;第三个走过时,把凡是号码是3的倍数的灯的开关拉一下;…;最后,第n个人走过时,把最后那盏灯的开关拉一下. (1)填空:

n

10 20

最后第n个人走过后,那些亮着灯的号码

(2)猜想n?100时,即最后第100个人走过后,那些亮着灯的号码.说明你猜想的理由.

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