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备战2014年数学中考————初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第27讲 动态几何问题透视

发布时间:2013-12-06 09:05:06  

第二十七讲 动态几何问题透视

春去秋来,花开花落,物转星移,世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中,事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来.

动态几何问题,是指以几何知识和图形为背景,渗入运动变化观点的一类问题,常见的形式是:点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等,解这类问题的基本策略是:

1.动中觅静

这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系,动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.

2.动静互化

“静”只是“动”的瞬间,是运动的一种特殊形式,动静互化就是抓住“静”的瞬间,使一般情形转化为特殊问题,从而找到“动”与“静”的关系.

3.以动制动

以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系,通过研究运动函数,用联系发展的观点来研究变动元素的关系.

注:几何动态既是一类问题,也是一种观点与思维方法,运用几何动态的观点,可以把表面看来不同的定理统一起来,可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法;更一般情况是,对于一个数学问题,努力去发掘更多结论,不同解法,通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等,这就是常说的“动态思维”.

【例题求解】

【例1】 如图,把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上,按顺时针方向在l上转动两次,使它转到A″B″C″的位置,设BC=1,AC=3,则顶点A运动到点A″的位置时,点A经过的路线与直线l所围成的面积是 .

思路点拨 解题的关键是将转动的图形准确分割.RtΔABC的两次转动,顶点A所经过 的路线是两段圆弧,其中圆心角分别为120°和90°,半径分别为2和3,但该路线与直线l所围成的面积不只是两个扇形面积之和.

【例2】如图,在⊙O中,P是直径AB上一动点,在AB同侧作AA′⊥AB,BB′⊥AB,且AA′=AP,BB′=BP,连结A′B′,当点P从点A移到点B时,A′B′的中点的位置( )

A.在平分AB的某直线上移动 B.在垂直AB的某直线上移动 ⌒

C.在AmB上移动 D.保持固定不移动

思路点拨 画图、操作、实验,从中发现规律.

【例3】 如图,菱形OABC的长为4厘米,∠AOC=60°,动点P从O出发,以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动,点P出发2秒后,动点Q从O出发,在OA上以每秒1厘米的速度,在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动,过P、Q两点分别作对角线AC的平行线.设P点运动的时间为x秒,这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y厘米,请你回答下列问题:

(1)当x=3时,y的值是多少?

(2)就下列各种情形:

①0≤x≤2;②2≤x≤4;③4≤x≤6;④6≤x≤8.求y与x之间的函数关系式.

(3)在给出的直角坐标系中,用图象表示(2)中的各种情形下y与x的关系.

思路点拨 本例是一个动态几何问题,又是一个“分段函数”问题,需运用动态的观点,将各段分别讨论、画图、计算.

注:动与静是对立的,又是统:一的,无论图形运动变化的哪一类问题,都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面,从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题,是一种重要的解题策略.

建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题,许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值.

【例4】 如图,正方形ABCD中,有一直径为BC的半圆,BC=2cm,现有两点E、F,分别从点B、点A同时出发,点E沿线段BA以1m/秒的速度向点A运动,点F沿折线A—D—C以2cm/秒的速度向点C运动,设点E离开点B的时间为2 (秒).

(1)当t为何值时,线段EF与BC平行?

(2)设1<t<2,当t为何值时,EF与半圆相切?

(3)当1≤t<2时,设EF与AC相交于点P,问点E、F运动时,点P的位置是否发生变化?若发生变化,请说明理由;若不发生变化,请给予证明,并求AP:PC的值.

思路点拨 动中取静,根据题意画出不同位置的图形,然后分别求解,这是解本例的基本策略,对于(1)、(2),运用相关几何性质建立关于t的方程;对于(3),点P的位置是否发生变化,只需看AP是否为一定值. PC

注:动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律,而把特定的运动状态,通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想.

【例5】 ⊙O1与⊙O2相交于A、B两点;如图(1),连结O2 O1并延长交⊙O1于P点,连结PA、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点,连结C O2并延长交⊙O2于E点.已知⊙O2的半径为R,设∠CAD=?.

(1)求:CD的长(用含R、?的式子表示);

(2)试判断CD与PO1的位置关系,并说明理由;

(3)设点P′为⊙O1上(⊙O2外)的动点,连结P′A、P′B并分别延长交⊙O2于C′、D′,请你探究∠C′AD′是否等于?? C′D′与P′Ol的位置关系如何?并说明理由.

思路点拨 对于(1)、(2),作出圆中常见辅助线;对于(3),P点虽为OOl上的一个动点,但⊙ ⌒

O1、⊙O2一些量(如半径、AB)都是定值或定弧,运用圆的性质,把角与孤联系起来.

学力训练

1.如图, ΔABC中,∠C=90°,AB=12cm,∠ABC=60°,将ΔABC以点B为中心顺时针旋转,使点C旋转到AB延长线上的D处,则AC边扫过的图形的面积是 cm (π=3.14159?,最后结果保留三个有效数字).

2.如图,在RtΔ ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=3 cm,将ΔABC绕点B旋转至ΔA'BC'的位置,且使A、B、C'三点在同一条直线上,则点A经过的最短路线的长度是cm.

3.一块等边三角形的木板,边长为l,现将木板沿水平线翻滚,那么B点从开始至结束走过的路径长度为( )

A.3?3?4? B. C.4 D.2? 223

4.把ΔABC沿AB边平移到ΔA'B'C'的位置,它们的重叠部分的面积是ΔABC的面积的一半,若AB=,则此三角形移动的距离AA'是( )

A.?1 B.21 C.1 D. 22

5.如图,正三角形ABC的边长为63厘米,⊙O的半径为r厘米,当圆心O从点A出发,沿着线路AB—BC—CA运动,回到点A时,⊙O随着点O的运动而移动.

(1)若r=3厘米,求⊙O首次与BC边相切时AO的长;

(2)在O移动过程中,从切点的个数来考虑,相切有几种不同的情况?写出不同的情况下,r的取值范围及相应的切点个数;

(3)设O在整个移动过程中,在ΔABC内部,⊙O未经过的部分的面积为S,在S>0时,求关于r的函数解析式,并写出自变量r的取值范围.

6.已知:如图,⊙O韵直径为10,弦AC=8,点B在圆周上运动(与A、C两点不重合),连结BC、BA,过点C作CD⊥AB于D.设CB的长为x,CD的长为y.

(1)求y关于x的函数关系式;当以BC为直径的圆与AC相切时,求y的值;

(2)在点B运动的过程中,以CD为直径的圆与⊙O有几种位置关系,并求出不同位置时y 的取值范围;

(3)在点B运动的过程中,如果过B作BE⊥AC于E,那么以BE为直径的圆与⊙O能内切吗?若不能,说明理由;若能,求出BE的长.

7.如图,已知A为∠POQ的边OQ上一点,以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点,且∠MAN=∠POQ=?(?为锐角).当∠MAN以点A为旋转中心,AM边从与AO重合的位置开始,按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时,M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动.设OM=x,ON= (y>x≥0),ΔAOM的面积为S,若cos?、OA是方程2z2?5z?2?0的两个根.

(1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM=30°)时,求点N移动的距离;

(2)求证:AN2=ON·MN;

(3)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围;

(4)试写出S随x变化的函数关系式,并确定S的取值范围.

8.已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=3cm,∠C=60°,BD⊥CD.

(1)求BC、AD的长度;

(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动,点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/s的速度运动,当P、Q分别从B、C同时出发时,写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况);

(3)在(2)的前提下,是否存在某一时刻t,使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1:5?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

9.已知:如图①,E、F、G、H按照AE=CG,BF=DH,BF=nAE(n是正整数)的关系,分别在两邻边长a、na的矩形ABCD各边上运动.

设AE=x,四边形EFGH的面积为S.

(1)当n=l、2时,如图②、③,观察运动情况,写出四边形EFGH各顶点运动到何位置,使?

(2)当n=3时,如图④,求S与x之间的函数关系式(写出自变量x的取值范围),探索S随x增大而变化的规律;猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置,使S?1S矩形ABCD; 2

(3)当n=k (k≥1)时,你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由.

10.如图1,在直角坐标系中,点E从O点出发,以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动,点F从O点出发,以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动,B(4,2),以BE为直径作⊙O1.

(1)若点E、F同时出发,设线段EF与线段OB交于点G,试判断点G与⊙O1的位置关系,并证明你的结论;

(2)在(1)的条件下,连结FB,几秒时FB与⊙O1相切?

(3)如图2,若E点提前2秒出发,点F再出发,当点F出发后,E点在A点左侧时,设BA⊥x轴于A点,连结AF交⊙O1于点P,试问PA·FA的值是否会发生变化?若不变,请说明理由,并求其值;若变化,请求其值的变化范围.

参考答案

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