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备战2014年数学中考————初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第21讲 从三角形的内切圆谈起

发布时间:2013-12-06 09:05:07  

第二十一讲 从三角形的内切圆谈起

和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心,圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质:

1.三角形的内心是三角形的三内角平分线交点,它到三角形的三边距离相等;

2.圆外切四边形的两组对边之和相等,其逆亦真,是判定四边形是否有外切圆的主要方法.

当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时,就得到隐含丰富结论的下列图形:

注:设Rt△ABC的各边长分别为a、b、c (斜边),运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式:

(1)r?

(2)r?a?b?c; 2ab. a?b?c

请读者给出证

【例题求解】

【例1】 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°°,BC=5,⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F,若⊙O的半径r=2,则Rt△ABC的周长为.

思路点拨 AF=AD,BE=BD,连OE、OF,则OECF为正方形,只需求出AF(或AD)即可.

【例2】 如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A、B),过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C,AC、BD相交于N点,连结ON,NP,下列结论:①四边形ANPD是梯形;②ON=NP:③DP·P C为定值;④FA为∠NPD的平分线,其中一定成立的是( )

A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①④

思路点拨 本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形,判定性质等重要几何知识,注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换,推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键.

【例3】 如图,已知∠ACP=∠CDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,过A、C、D三点的圆交AB于F,求证:F为△CDE的内心.

(全国初中数学联赛试题) 思路点拨 连CF、DF,即需证F为△CDE角平分线的交点,充分利用与圆有关的角,将问题转化为角相等问题的证明.

【例4】 如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=1,以AB为直径作半圆O切CD于E,连结OE,并延长交AD的延长线于F.

(1)问∠BOZ能否为120°,并简要说明理由;

(2)证明△AOF∽△EDF,且DFDE1??; OFOA2

(3)求DF的长.

思路点拨 分解出基本图形,作出基本辅助线.(1)若∠BOZ=120°,看能否推出矛盾;(2)把计算与推理融合;(3)把相应线段用DF的代数式表示,利用勾股定理建立关于DF的一元二次方程.

注: 如图,在直角梯形ABCD中,若AD+BC=CD,则可得到应用广泛的两个性质:

(1)以边AB为直径的圆与边CD相切;

(2)以边CD为直径的圆与边AB相切.

类似地,三角形三条中线的交点叫三角形的重心,三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心.外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心,它们处在三角而中的特殊位置上,有着丰富的性质,在解题中有广泛的应用.

【例5】 如图,已知Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,O、O1、O2分别是△ABC;△ACD、△BCD的角平分线的交点,求证:(1) O1O⊥C O2;(2)OC= O1O2.

(武汉市选拔赛试题)

思路点拨 在直角三角形中,斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似,得对应角相等,所以通过证交角为90°的方法得两线垂直,又利用全等三角形证明两线段相 等.

学力训练

1.如图,已知圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm,那么等腰梯形ABCD的周长等于= cm.

2.如图,在直角,坐标系中A、B的坐标分别为(3,0)、(0,4),则Rt△ABO内心的坐标是 .

3.如图,梯形ABCD中,AD∥BC, DC⊥BC,AB=8,BC=5,若以AB为直径的⊙O与DC相切于E,则

4.如图,⊙O为△ABC的内切圆,∠C=90°,AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的半径等于( )

A.5345 B. C. D. 4456

5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,以CD为直径的半圆O切AB于点E,这个梯形的面积为21cm2,周长为20cm,那么半圆O的半径为( )

A.3cm B.7cm C .3cm或7cm D. 2cm

6.如图,△ABC中,内切圆O和边B、CA、AB分别相切于点D、EF,则以下四个结论中,错误的结论是( )

A.点O是△DEF的外心 B.∠AFE=

C.∠BOC=90°+1(∠B+∠C) 211∠A D.∠DFE=90°一∠B 22

7.如图,BC是⊙O的直径,AB、AD是⊙O的切线,切点分别为B、P,过C点的切线与AD交于点D,连结AO、DO.

(1)求证:△ABO∽△OCD;

5 (2)若AB、CD是关于x的方程x2?(m?1)x?(m?1)2?0的两个实数根,且S△ABO+ S△2

OCD=20,求m的值.

8.如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC与⊙O相交于点D,连结AD并延长,BC相交于点E.

(1)若BC=3,CD=1,求⊙O的半径;

(2)取BE的中点F,连结DF,求证:DF是⊙O的切线;

(3)过D点作DG⊥BC于G,OG与DG相交于点M,求证:DM=GM.

9.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=13cm,BC=16cm,CD=5cm,AB为⊙O的直径,动点P沿AD方向从点A开始向点D以1cm/秒的速度运动,动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2cm/秒的速度运动,点P、Q分别从A、C两点同时出发,当其中一点停止时,另一点也随之停止运动.

(1)求⊙O的直径;

(2)求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式,并求当四边形PQCD为等腰梯形时,四边形PQCP的面积;

(3)是否存在某时刻t,使直线PQ与⊙O相切,若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. (2002年烟台市中考题)

10.已知在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,CD为AB上的高,Ol、O2分别为△ACD、△BCD的内心,则OlO2.

11.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A和∠B的平分线相交于P点,又PE⊥AB于点E,若BC=2,AC=3,则AE·EB= .

12.如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角形的

( )

A.内心 B.外心 C.圆心 D.重心

13.如图,AD是△ABC的角平分线,⊙O过点AB和BC相切于点P,和AB、AC分别交于点E,F,若BD=AE,且BE=a,CF=b,则AF的长为( )

A.1?51?31?1?3a B.a C.b D.b 2222

14.如图,在矩形ABCD中,连结AC,如果O为△ABC的内心,过O作OE⊥AD于E,作OF⊥CD于F,则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为( )

A.132 B. C. D.不能确定 243

(《学习报》公开赛试题)

15.如图,AB是半圆的直径,AC为半圆的切线,AC=AB.在半圆上任取一点D,作DE⊥CD,交直线AB于点F,BF⊥AB,交线段AD的延长线于点F.

x°的弧,并要使点E在线段BA的延长线上,则x的取值范围是 (1)设 AD是

(2)不论D点取在半圆什么位置,图中除AB=AC外,还有两条线段一定相等,指出这两条相等的线段,并予证明.

16.如图,△ABC的三边满足关系BC=1(AB+AC),O、I分别为△ABC的外心、内心,2

∠ BAC的外角平分线交⊙O于E,AI的延长线交⊙O于D,DE交BC于H.

求证:(1)AI=BD;(2)OI=1AE. 2

17.如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点F,问EP与PD是否相等?证明你的结论.

18.如图,已知点P在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的AB(不含端点)上运动,PH⊥OA于H,△OPH的重心为G.

⌒ 上运动时,线段

(1)当点P在 ABGO、GP、GH中有无长度保持不变的线段?如果有,

请指出并求出其相应的长度;

(2)设PH= x,GP=y,求y关于x的函数解析式,并指出自变量x的取值范围;

(3)如果△PGH为等腰三角形,试求出线段PH的长.

参考答案

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