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2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题和答案

发布时间:2013-12-06 18:11:12  

2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题解答

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.

1.某同学使用计算器求50个数据的平均数时,错将其中的一个数据150输入为15,那么由此求出的平均值与实际平均值的差是( ▲ )

A.2.7 B.?2.7 C.3 D.?0.3

解:求出的平均值?实际平均值?(15?150)?50??2.7,选B.

2.设集合A?{x|log1(x?1)??2},B?{x|2x?x?1},则A?B等于( ▲ )

22

A.{x|x?0,或1?x?3}

C.{x|?1?x?0,或1?x?3} B.{x|x?3} D.{x|0?x?1}

解:可得A?{x|?1?x?3},所以A?B?{x|?1?x?0,或1?x?3},B?{x|x?0,或x?1},

选C.

3.已知sin??sin?,则?与?的关系是( ▲ )

A.???或?????

C.??(2k?1)???,k?Z B.??2k???,k?Z D.??k??(?1)k?,k?Z

解:由于sin??sin?,?与?的终边位置相同或关于y轴对称,所以??2k???,k?Z或??(2k?1)???,k?Z,合幵得??k??(?1)k?,k?Z.选D.

???4.下列函数中在区间?0,?上单调递增的是( ▲ ) ?4?

????1?A.y?log2?sin?x???? 6?2???????1?B.y?log2?sin?2x???? 6?2???

C

.y? ???D.y?sin3??x? ?6?

???解:将选择支中各函数用区间?0,?逐一检验知,只有C中函数满足要求.选C. ?4?

5.若?sin50????tan50????sin50??xx?y??tan50??则( ▲ ) ?y

A.x?y?0 B.x?y?0 C.x?y?0 D.x?y?0

tt解:因为0?sin50??1,tan50??1,可知函数f(t)??sin50????tan50??单调递减,已

高一数学竞赛试题答案 第1页(共8页)

知不等式即f(x)?f(?y),所以x??y,选A.

6.函数f(x)?ln|x?1|?x?3的零点个数为( ▲ )

A.0 B.1 C.2 D.3

解:f(x)?0?ln|x?1|?x?3,所以f(x)的零点

个数即函数y?ln|x?1|与函数y?x?3的交

点的个数,作图可知有3个交点,选D.

????????7.记O为坐标原点,已知向量OA?(3,2), OB?(0,?2),

????5又有点C,满足AC?,则?ABC 的取值范围为2( ▲ )

???A.?0? ?6????B. ?0? ?3????C. ?0? ?2?????D. ?? ?63?????55 解:?AC?,点C在以点A为圆心,为半 22???? 径的圆周上.可得AB?5,如图可知,当 线BC与圆周相切时,?ABC有最大值为

?,当A,B,C三点共线时?ABC6????ABC的取值范围为?0?.选A. ?6?

????????????8.已知k?Z,AC?(2,2),AB?(k,2),AB?5,则?ABC是直角三角形的概率是( ▲ )

1A. 9B.21 C. 98D.1 4

???? 解:由AB?5与ABC构成三角形及k?Z知k???4,?3,?2,?1,0,1,3,4?,可得????????????????????BC?(2?k,0) AC与AB垂直,则k??2;若AC与BC垂直,则k?2(舍去).;????????若BC与AB垂直k?0,或k?2(舍去);综上知,满足要求的k有2个,所求概率为1.故选 D.

4

高一数学竞赛试题答案 第2页(共8页)

9.设S?x2?2xy?2y2?2x?1,其中x?R,y?R,则S的最小值为( ▲ )

A.1

B. ?1

3C.?

4

2

D.0

解1:x2?(2y?2)x?(2y2?1?S)?0,由???2y?2??4?2y2?1?S??0

得S?y2?2y??y?1??1??1.当且仅当y?1,x??2时,Smin??1.选B.

解2:S?x2?2xy?2y2?2x?1?x2?2(y?1)x?(y?1)2?y2?2y

??x?y?1???y?1??1??1.

2

22

????????

10.点Q在x轴上,若存在过Q的直线交函数y?2的图象于A,B两点,满足QA?AB,则

x

当且仅当y?1,x??2时,Smin??1.选B.

称点Q为“Ω点”,那么下列结论中正确的是 ( ▲ )

A.x轴上仅有有限个点是“Ω点”; B.x轴上所有的点都是“Ω点”; C.x轴上所有的点都不是“Ω点”;

D.x轴上有无穷多个点(但不是所有的点)是“Ω点”.

????????

2x1?,B?x2,2x2?,因为QA?AB,所以x2?2x1?a,2x2?2?2x1,解1:设Q,A?x1,(a,0)

得x1?a?1,x2?a?2.即对于x轴上任意Q点,总有(,Aa?1,2a?1)(Ba?2,2a?2)(a,0)满足题设要求,故选B.

解2:(动态想象):任取x轴上Q点,将直线l由x轴位置开始绕Q点逆时针旋转

?

,l与2

函数y?2x的图象的位置关系必将经历从不交到相切再到交于两个点A,B(由下至

上)直到最后只交于一个点.当交于两个点时,在|QA|?|AB|由正到负的过程中必

????????

将经历零点.当|QA|?|AB|?0时,即有QA?AB,所以x轴上所有的点都是“Ω点”.

二、填空题:本大题共7小题,每小题7分,共49分.

11.同时抛掷三枚均匀的硬币,出现两个正面一个背面的概率是 .

解:同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能基本事件共有8种,其

中两个正面一个背面的情况有(正,正,背),(正,背,正)3与(背,正,正)三种,故所求概率为.

8

12.如图执行右面的程序框图,那么输出的S值为.

解:S?

12

1?32?52?72?92??55. ?3

13.函数f(x)?3[sinx]的值域是.(其中[x]表示不超过实数x的

高一数学竞赛试题答案 第3页(共8页)

最大整数)

?1?解:?1?sinx?1,所以?sinx? 的所有可能取值为?1,0,1,从而f(x)值域为?,1,3?. ?3?

14.已知定义域为R的函数y?f(x)对任意x?R都满足条件

f(x)+f(4?x)=0与f(x?2)?f(x?2)=0,则对函数y?f(x),

下列结论中必定正确的是 ▲ .(填上所有正确结论的序号) ①y?f(x)是奇函数; ②y?f(x)是偶函数; ③y?f(x)是周期函数; ④y?f(x)的图象是轴对称的. 解:由f(x?2)?f(x?2)=0知f(x)有周期T?4,于是f(x)??f(4?x)??f(?x),知

f(x) 为奇函数,填①③.

15.若n为整数,关于x的方程(x?2011)(x?n)2011?1?0有整数根,则n?.

?x?n?1 解:设x?x0为方程的整数根,则(x0?2011)(x0?n)2011??1,必有?0或x?2011??1?0

?x0?n??1 得n?2009或n?2013. ?x?2011?1?0

16.y?f(x)是定义域为R的函数,g,若函数y?g有且仅有4个(x)?f(x?1)?(f5?x)(x)

不同的零点,则这4个零点乊和为 ▲ .

解:g,y?g有对称轴x?2,故4个零点和为8. (x)(4-x)?g(x)

17.求值:sin6??sin78??sin222??sin294??.

解1:如图,构造边长为1的正五边形ABCDE,使得

????????AB?(cos6?,sin6?),则依次可得BC?(cos78?,sin78?),

????????CD?(cos150?,sin150?),DE?(cos222?,sin222?),

????EA?(cos294?,sin294?),

?????????????????????由于AB?BC?CD?DE?EA?0,

所以sin6??sin78??sin150??sin222??sin294??0, 从而sin6??sin78??sin222??sin294???sin150???

解2:原式??sin6??sin294????sin78??sin222?? 1. 2?2sin150?cos144??2sin150?cos72?

?2sin150??cos144??cos72???2cos108?cos36?

高一数学竞赛试题答案 第4页(共8页)

??2sin18?cos36???

sin72?1??. 2cos18?2sin36??cos36? cos18???

三、解答题:本大题共3小题,共51分.

??????18.(本题满分16分)

已知函数f(x)?sin2x?xcosx?sin?x??sin?x??. 4??4??

⑴求f(x)的最小正周期和f(x)的值域;

???⑵若x?x0?0?x0??为f(x)的一个零点,求f(2x0)的值.

2??

??????解:⑴f(x)?sin2x?xcosx?sin?x??sin?x?? 4??4??

?1?cos2x?2x?xxxx

??? 2????

1?2x?cos2x? 2

??1??2sin?2x???.…………………………………………………..4分 6?2?

所以f(x)的最小正周期T??;……………………………..……….…..5分 ????35?由?1?sin?2x???1,得f(x)的值域为??,?.…………………..7分 6???22?

??1??1??⑵f(x)?2sin?2x???,由题设知f(x0)?0?sin?2x0????,….8分 6?26?4??

?????5????由0?x0????2x0??,结合sin?2x0???0知??2x0??0,

6?266666?

???可得cos?2x0??…………………………………………………..10分 6??

??????????????sin2x0?sin??2x0?????sin?2x0??cos?cos?2x0??sin 6?6?6?66?

6????

11………………………...………..12分 ??

?42??????????????cos2x0?cos??2x0?????cos?2x0??cos?sin?2x0??sin 6?6?6?66?

6????

?11,……………………………..………..14分

??42

高一数学竞赛试题答案 第5页(共8页)

??????????sin?4x0???sin2x0cos?2x0???cos2x0sin?2x0?? 6?6?6?

???

?1?????

4?

?

??11?.……….……..16分 ?f(2x0)?2sin?4x0????2

?622?

?

19.(本题满分17分)设函数f(x)?x2?bx?3,对于给定的实数b,f(x)在区间?b?2,b?2?上有最大值M(b)和最小值m(b),记g(b)?M(b)?m(b). ⑴求g(b)的解析式;

⑵问b为何值时,g(b)有最小值?幵求出g(b)的最小值. b?b2b?解:⑴f(x)??x???3?,抛物线开口向上,其对称轴方程为x??,下面就对称轴与区间2?42?2

?b?2,b?2?端点的相对位置分段讨论:……………….………………………..1分 ①当0?b?b4b?b?时,b?2???b?2且(b?2)???????(b?2), 232?2?

2b29此时M(b)?f(b?2)?2b?6b?1,m(b)??3?.g(b)?b2?6b?4.…3分 44

b4b?b?②当??b?0时,b?2???b?2且(b?2)???????(b?2), 232?2?

b29此时M(b)?f(b?2)?2b?6b?1,m(b)??3?.g(b)?b2?6b?4.…5分 442

③当b?4b时,??b?2,f(x)在区间?b?2,b?2?上递增, 32

此时M(b)?f(b?2)?2b2?6b?1,m(b)?f(b?2)?2b2?6b?1.g(b)?12b.…7分 4b④当b??时,??b?2,f(x)在区间?b?2,b?2?上递减, 32

此时M(b)?f(b?2)?2b2?6b?1,m(b)?f(b?2)?2b2?6b?1.g(b)??12b.…9分

高一数学竞赛试题答案 第6页(共8页)

4??12b, b??; ?3??9b2?6b?4, ?4?b?0;?43综上所得g(b)??………………………………………………10分 94?b2?6b?4, 0?b?; ?43?4?12b, b?. 3?

4?4?⑵当b??时, g(b)??12b?g????16;…………………………………………11分 3?3?

49当??b?0时, g(b)?b2?6b?4递减,g(b)?g(0)?4;…………..….……13分 34

当0?b?49时, g(b)?b2?6b?4递增,g(b)?g(0)?4;…………....………15分 34

当b?4?4?时, g(b)?12b?g???16.……………………………………..………16分 3?3?

综上所述,当b?0时,?g(b)?min?4.…………..…………………………………17分

20.(本题满分18分)定义在正实数集上的函数f(x)满足下列条件:

①存在常数a,使得f(a)?1;②对任意实数m, 当x?R?时,有f(xm)?mf(x). (0?a?1)

⑴求证:对于任意正数x,y,f(xy)?f(x)?f(y);

⑵证明:f(x)在正实数集上单调递减;

8⑶若不等式f?log2

a?4?x??2??f?loga(4?x)??3恒成立,求实数a的取值范围.

⑴证明:?x,y均为正数,且0?a?1,根据指数函数性质可知,总有实数m,n使得x?am,y?an,于是f?xy??faman?fam?n??m?n?f?a??m?n,..…2分 又f?x??f?y??f(am)?f(an)?mf(a)?nf(a)?m?n, ?f(xy)?f(x)?f(y)..5分 ⑵证明:任设x1,x2?R,x1?x2,可令x1?x2t?t?1?,t?a?(??0).…………….7分 ?????

则由⑴知f?x1??f?x2??f?x2t??f?x2??f?x2??f?t??f?x2? ?f?t??f?a????f?a????0,………………………………………………………..9分 即f?x1??f?x2?.?f(x)在正实数集上单调递减;..……………………………..10分 ⑶解:令loga(4?x)?t,原不等式化为f?t2?2??f?8t??3,其中t?0.

高一数学竞赛试题答案 第7页(共8页)

??f(x)?f(y)?f(x)?f(y?1)?f??x??且f(a)?1(0?a?1), y?

?t2?2?3不等式可进一步化为f???f?a?,……………………….……..12分 ?8t?

t2?2又由于单调递减,??a3对于t?0恒成立.……………………..13分

8t

2?t?21?,………………….……….…..15分

而??8t8???2

?t2?2?且当t?

时?.……………………………………..16分

??8t??min

?a3?0?a?

1,终得0?a?.…………………………..18分

高一数学竞赛试题答案 第8页(共8页)

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