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2010年广东增城中学“鹤岭杯”高二数学竞赛试卷

发布时间:2013-12-06 18:11:14  

2010年广东增城中学鹤岭杯高二数学竞赛试卷

班级 姓名 考号

考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答;

⒉不准使用计算器;

⒊考试用时120分钟,全卷满分150分.

一、选择题:本大题共4小题,每小题6分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内. 1.已知集合P??a,b?,M?{A|A?P},则集合P与集合M的关系为( ).

A. P?M B.P?M C.P?M D P?M

?1?x2,0?x?1,2. 已知函数f?x???x 则f[f(?0.5)]等于( ) .

?1?x?0.?2,

A.?0.5 B.?1 C.0.5 D.1

3.若四面体的一条棱长为x,其余的棱长都是1,它的体积为F?x?,则F?x?在其定义域上( ).

A.是增函数,但无最大值 B.是增函数,且有最大值 C.不是增函数,但有最大值 D.不是增函数,且无最大值 4. 已知方程(x?2x?m)x?2x?n?0的四个根组成一个首项为

2

?

2

?

1

的等差数列,则4

|m?n|?( ) .

A.1 B.

313 C. D. 428

二、填空题:本大题共6小题,每小题6分,共36分.把答案填在题中横线上. 5. 设△ABC的三边长分别是a、b、c,外心、垂心分别为O、H,那么

?

?

?

?

OA?OB?OC?OH?______.

第 1 页 共 14 页

?x?y?2≤0x2?y2?6.设实数x、y满足?x?2y?5≥0,则u?的取值范围是__________. xy?y?2≤0?

7. 数列{an}满足a1?0,an?1?an?2n,求数列{an}的通项公式 .

28.多项式x?x?1???2x?1?94展开式中x的奇次项系数之和为.

9.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…,叫做三角形数,它有一定的规律性,则第24个三角形数与第22个三角形数的差为__________.

10.设m?R,M?{?

x,y?|y??m}

,,且N?{?x,y?|x?cos?,y?sin?,0???2?}

M?N?{??1???c??的取值范围为?1,则mo,2

三、解答题:本大题共5小题,共90分.要求写出解答过程.

11.(本小题满分15分)

已知函数f(x)?2sin(2?

4?x)2x?1,x?R.

(1)若函数h(x)?f(x?t)的图象关于点(?

(2)设p:x?[

?6,0)对称,且t?(0,?),求t的值; ??,],q:f(x)?m?3,若p是q的充分条件,求实数m的取值范围. 42

12.(本小题满分15分)如图,已知正方形ABCD,E、F分别是AB、CD的中点,将

ADE沿DE折起,如图所示,记二面角A?DE?C的大小为?(0????).

(1)证明:BF//平面ADE;

(2)若△ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角?的余弦值.

第 2 页 共 14 页

F

C

E

D

13.(本小题满分20分)

C

x22

已知椭圆2?y?1(a?1),直线l过点A??a,0?和点B?a,t?a??t?0?交椭圆于M,直

a

线MO交椭圆于N.

(1)用a,t表示△AMN的面积S;

(2)若t?[1,2],a为定值,求S的最大值.

14.(本小题满分20分)

,y1),P2(x2,y2),?,Pn(xn,yn),?, 如图,在xOy平面上有一系列点P1(x1

对每个自然数n,点Pn位于函数y?x(x?0)的图象上.以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴都相切,且⊙Pn与⊙Pn?1又彼此外切,若x1?1,且xn?1?xn(n?N). (1)求证:数列?

?

2

?1?

?是等差数列; ?xn?

??Tn?

(2)设⊙P

n的面积为Sn,

Tn?

. ?

第 3 页 共 14 页

15.(本小题满分20分)

1?x2

已知函数f?x??x?R?. 2?1?x?x

(1)求函数f?x?的单调区间和极值;

(2)若et?2x2?etx?et?2≥0对满足x≤1的任意实数x恒成立,求实数t的取值范围(这里e是自然对数的底数);

(3)求证:对任意正数??a、b、?、?,恒有???a??b?2?f???????a2??b2

f????a??b??≥?? 2?????????

?a2??b2

????.

第 4 页 共 14 页 ???? ??????

2010年广东增城中学鹤岭杯高二数学竞赛答卷 学号 姓名 分数

一.选择题(本大题共4小题,每小题6分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只.)

二.填空题(本大题共6小题,每小题6分,共36分.把答案填在题中横线上.)

5. 6. 7.

8. 9. 10.

三.解答题:(本大题共5小题,共90分.请在相应位置作答,要求写出解答过程.)

11.(本小题满分15分)

第 5 页 共 14 页

第 7 页 共 14 页

15.(本小题满分20分)

2010年广东增城中学鹤岭杯高二数学竞赛参考答案

一、选择题:本大题共4小题,每小题6分,共24分. 1.A 2.C 3.D 4.B

3、D 将两个边长都为1的正三角形一条边重合,一个三角形不动,另一个三角形由重合的位置逐渐张开,当张开到两三角形垂直位置时体积最大,再继续张开则体积逐渐减少。故选C。当两三角形趋向重合时,F?x??0,故值域为(0,] 二、填空题:本大题共6小题,每小题6分,共36分. 5.答:0。如图,作直径BD,因AD⊥AB, ∴AD∥CH。同理AH∥CD

于是四边形AHCD是平行四边形。

所以OH?OA?AH?OA?DC?OA?(OC?OD)?OA?OB?OC

∴OA?OB?OC?OH?0。也可根据特殊值法,令△ABC为等边三角形得答案。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

18

D

?

?10?

6.?2,?

?3?

7.an??

?n?1,n为奇数,?n,n为偶数.

2

8.解 设f?x??x?x?1

???2x?1?

9

4

?a0?a1x?a2x2?…?a22x22

令x?1,f?1??3?a0?a1?a2?…?a22;①

4

令x??1,f??1???1?a0?a1?a2?a3?…?a21?a22②

①-②得,3?1?2?a1?a3?a5?…?a21?,所以奇次项系数之和为41.

4

9.解 引入自变量n和因变量s,列表得

n 1 2 3 s 3 6

4

10 5 15

2

… …

在猜想一次关系未获通过的情况下,调整为二次函数关系s?an?bn?c,把

6s??1,1??,2,?3?,3,?分别代入解之,得关系式为

n?n?1?121

。以n?n,或化为s?

222

5,15?验证均获通过。因此可求得第24个与第22个三角形数分别为300,253,?4,10?,?

故这两个三角形数的差为47. 10

.??

?

2

?

第 9 页 共 14 页

三、解答题:本大题共5小题,共90分.要求写出解答过程.

11.(本小题满分15分)

解:解:(Ⅰ)∵

f(x)?2sin2(??x)?2x?1?1?cos(?2x)2x?1 42?

?sin2x2x?2sin(2x?

∴h(x)?f(x?t)?2sin(2x?2t?

∴h(x)的图象的对称中心为(

又已知点(??3) ?3), k????t,0),k?Z. 26k???(k?Z). 23?6,0)为h(x)的图象的一个对称中心,∴t?

而t?(0,?),∴t??

3或5?. 6

(Ⅱ)若p成立,即x?[??2?,]时,2x??[,], 42363

f(x)?[1,2],由f(x)?m?3?m?3?f(x)?m?3, ??

?m?3?1,解得?1?m?4, m?3?2? ∵ p是q的充分条件,∴?

即m的取值范围是(?1,4).

12.(本小题满分15分)(1)EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,?EB//FD,且EB=FD,

? 四边形EBFD为平行四边形.?BF//ED

?EF?平面AED,而BF?平面AED?BF//平面ADE.

(2)法一:如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.??ACD为正三角形,

? AC=AD?CG=GD ?G在CD的垂直平分线上,

? 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AH?DE,所以?AHD为二面角A-DE-C的平面角.即?AHG??

设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的?AEF中,AF

,EF=2AE=2a,

即?AEF为直角三角形, AG?EF?

AE?AF?AG?a 2

在Rt?ADE中, AH?DE?AE?AD

?AH?

a?GH? co?s?GH1?. AH4

法二:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

第 10 页 共 14 页

连结AF,在平面AEF内过点作AG??EF,垂足为G?.

??ACD为正三角形,F为CD的中点, ?AF?CD

??平面AE F又因EF?CD, 所以CD?平面AEF ?AG?AG??CD

又AG??EF且CD?EF?F,CD?平面BCDE,EF?平面BCDE

?AG??平面BCDE ?G?为A在平面BCDE内的射影G.

即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AH?DE,所以?AHD为二面角A-DE-C的平面角.即?AHG?? 设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的?AEF中, AF

,EF=2AE=2a,

即?AEF为直角三角形, AG?EF?AE?

AF ?AG?a 2

在Rt?ADE中, AH?DE?AE?AD

?AH?

a?GH? co?s?GH1?. AH4

法三: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

连结AF,在平面AEF内过点作AG??EF,垂足为G?.

??ACD为正三角形, F为CD的中点,

?AF?CD 又因EF?CD, 所以CD?平面AEF

?CD?平面BCDE ?平面AEF?平面BCDE

??EF又?平面AEF?平面BCDE=EF,AG??EF AG

?AG??平面BCDE ?G?为A在平面BCDE内的射影G.

即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AH?DE,所以?AHD为二面角A-DE-C的平面角.即?AHG?? 设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的?AEF中,AF

,EF=2AE=2a,

即?AEF为直角三角形, AG?EF?AE?AF

?AG?a 2

在Rt?ADE中, AH?DE?AE?AD

?AH? a第 11 页 共 14 页

?GH?, cos??GH1?. AH4

13.(本小题满分20分)

t?y?(x?a)?t2222?aty解:(1)易得l的方程为y?(x?a)…1分 由?,得at?4y?422?x?y2?1??a2???0

解得y?0或y?4at4aty? 即点M的纵坐标M a2t2?4a2t2?4

4?at2S?S?AMN?2S?AOM?|OA|?yM?4a2t2…7分

224at4a(2)由(1)得,S??(t?0) 22424?at?att

2令V?4?a2t,V???4?a2 由V??0?t? att2

22当t?2时,…10分 若,则?[1,2)1?a?2??V?0;当0?t?时,V?0aaa

Smax?a

若a?2,则0?,故当t?2时,a24?1.?V??a2t在[1,2]上递增,进而S?t?为减函数. at

∴当t?1时,Smax4a2 ?24?a

综上可得Smax?a(1?a?2)? ??4a2

(a?2)??4?a2

14.(本小题满分20分)

解: 证明:(1)依题意,⊙Pn的半径rn?yn?x,n?2Pn与?Pn?1彼此外切,则PnPn?1?rn?rn?1.

?yn?yn?1,

两边平方,化简得(xn?xn?1)?4ynyn?1, 即(xn?xn?1)?4xnxn?1. 2222

?xn?xn?1?2xnxn?1, ∵xn?xn?1?0,

第 12 页 共 14 页

11??2(n?N?). xn?1xn

∴数列??1??是等差数列; x?n?

(2)由题设,∵x1?1?1

xn1?(n?1)?2, x1

∴xn?1?4, ,Sn??xn?2n?1??n????

Tn???111?1?2?2???(2n?1)2?35?

≤1??111???? ?1?33?5(2n?3)?(2n?1)?

1?1???1??1???22n?1??????????n?1?2

?2x?1?x?x2???2x?1??1?x2???x??2???x??2???? ??

2?1?x?x2?

3,?2

3和,f?x?减区间

为??15.(本小题满分20分) 解:(Ⅰ)f??x???

??

1?x?x2?2∴f?x?的增区间

为?2,?????2??.

?

f?2?.…………6′ 221?x??由(Ⅰ)知,x≤1时,f(x)的最大值为2. (Ⅱ)原不等式可化为et≥1?x?x23极大值为f?2??

?

?

t

由恒成立的意义知道,

从而12′ et≥1?x?

x21?x2

(Ⅲ)设g?x??f?x??x??x?x?0? 1?x?x2

??x2?4x?1?x4?2x3?4x2?6x?2则g??x??f??x??1?. ?1??2222?1?x?x??1?x?x?∴∴当x?0时,g??x??0,故g?x?在?0,???上是减函数, 2?1?x2?

???a?b???a??b??a2??b2

???≤0 又当a、b、?、?是正实数时,??2?????????????

第 13 页 共 14 页 22

??a??b??a2??b2

∴?. ?≤????????

???a??b?2???a??b?2??a2??b2??a2??b2

由g?x?的单调性有:f??, ???????≥f???????????????????????

2???a??b?2???a2??b2???a??b??a2??b2

即f??.…………20′ ?≥????f?????????????????????????2

第 14 页 共 14 页

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