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初三数学竞赛材料

发布时间:2013-12-07 09:30:23  

初三数学竞赛材料

班级 姓名 号数

一、选择题

??x?y?12,1.方程组?的解的个数为( ).

??x?y?6

(A)1 (B) 2 (C) 3 (D)4

2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是( ).

(A) 14 (B) 16 (C)18 (D)20

3.已知△ABC为锐角三角形,⊙O经过点B,C,且与边AB,AC分别相交于点D,E. 若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等,则⊙O一定经过△ABC的( ).

(A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心

4.已知三个关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0,bx2?cx?a?0,

a2b2c2

的值为( ). cx?ax?b?0恰有一个公共实数根,则??bccaab2

(A) 0 (B)1 (C)2 (D)3

5.方程x3?6x2?5x?y3?y?2的整数解(x,y)的个数是( ).

(A)0 (B)1 (C)3 (D)无穷多

6、如果a、b、c是非零实数,且a+b+c=0,那么a?b?c?abc的所|a||b||c||abc|有可能的值为

A. 0 B. 1或-1 ( ) C. 2或-2 D. 0或-2

7、一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需a小时,逆流航行这段路程需b小时,那么一木块顺水漂流这段路需( )小时

A. 2ab a?bB. 2ab b?aC. ab a?b

?2????3????6???D. ab b?a8、正整数n小于100,并且满足等式?n???n???n??n,其中?x?表示不超过

x的最大整数,这样的正整数n有( )个

A. 2 B. 3 C. 12 D. 16

1

二、填空题

1.如图,在直角三角形ABC中,?ACB?90?,CA

=4.点P是半圆弧AC的中点,连接BP,线段BP把图

形APCB分成两部分,则这两部分面积之差的绝对值

是 .

2、已知甲、乙、丙三人的年龄都是正整数,甲的年龄是乙的两倍,乙比丙小7岁,三人的年龄之和是小于70的质数,且质数的各位数字之和为13,则甲、乙、丙三人的年龄分别是

3.如图, 点A,C

都在函数yx?0)的 图象上,点B,D都在x轴上,且使得

△OAB,△BCD都是等边三角形,

则点D的坐标为 .

4.已知点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0). 若二次函数y?x2??a?3?x?3的图象与线段AB恰有一个交点,则a的取值范围是 .

2

5.如图,?A??B??C??D??E??F??G?n?90?,

则n= .

6.已知对于任意正整数n,都有a1?a2???an?n3,

111?????. 则 a2?1a3?1a100?1

7、如图8-7,甲楼楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°,此时求①如果两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高? ②如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是 米。

图8-7

8、如图8-8,在△ABC中,∠ABC=60°,点P是△ABC内的一点,

使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB=

B

3 图8-8 C

三、解答题

1.如图1,在平面直角坐标系xoy中,一动直线l从y轴出发,以每秒1个单位

长度的速度沿x轴向右平移,直线l与直线y?x相交于点P,以OP为半径的⊙P与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B.设直线l的运动时间为t秒.

(1)填空:当t?1时,⊙P的半径为 ,OA? ,OB? ;

(2)若点C是坐标平面内一点,且以点O、P、C、B为顶点的四边形为

平行四边形.

①请你直接写出所有符合条件的点C的坐标;(用含t的代数式表示) ②当点C在直线y?x上方时,过A、B、C三点的⊙Q与y轴的另一..

个交点为

点D,连接DC、DA,试判断?DAC的形状,并说明理由.

(图1) (备用图)

4

2.已知直线y=kx+6(k<0)分别交x轴、y轴于A、B两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒2个单位长度,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为t秒.

(1)当k=-1时,线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动,它与点P以相同速度同时出发,当点P到达点A时两点同时停止运动(如图1). ①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标;

②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似,求t的值.

3(2)当k??时,设以C为顶点的抛物线y=(x+m)2+n与直线AB的另一交4

点为D(如图2),①求CD的长; ②设△COD的OC边上的高为h,当t为何值时,h的值最大?

5

3、如图9-16

ABCD中,P1、P2、

P3……Pn-1是BD的n等分点,连结AP2,并延长交BC于点E,连结APn-2并延长交CD于点F。

①求证:EF∥BD D 3 ABCD的面积是S,若S△AEF=S,求n8 B

6 E 图9-16

4、如图9-17,△ABC是等腰三角形,∠C=90°,O是△ABC内一点,点O到

△ABC各边的距离等于1,将△ABC绕点O顺时针旋转45°得到△A1B1C1,两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ。

①证明:△AKL,△BMN,△CPQ都是等腰直角三角形。

②求证:△ABC与△A1B1C1公共部分的面积

A1

图9-17

7

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