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2006年全国初中数学联合竞赛试题及解答

发布时间:2013-12-07 09:30:24  

2006年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1.已知四边形ABCD为任意凸四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点用S、p分别表示四边形ABCD的面积和周长;S1、p1,分别表示四边形EFGH的面积和周长.设k?Sp,k1?.则下面关于k、k1的说法中,正确的是( ) S1p1

A. k、k1均为常值 B. k为常值,k1不为常值

C. k不为常值,k1为常值

【答】B.

如图,易知 S?AEH?

于是S?AEH?S?CFG

同理S?BEF?S?DHG

故SEFGH? D. k、k1均不为常值 11S?ABD, S?CFG?S?CBD. 441?SABCD, 41?SABCD, 4B1SABCD即 k =2为常值. 2

又易知,p1=AC+BD,特别地,若取邻边长分别为1、2

的矩形,则k1?

再取边长为1

的正方形,则k1?

k1不是常值.

cos?是关于x的方程3x2-mx+1=0的两根.2.已知m为实数,且sin?、则sin

的值为( )

A.4??cos4?217. B.. C.. D.1. 939

1,

3

1 【答】C. 由韦达定理可得sin??cos??

故sin

4??cos4??(sin2??cos2?)2?2sin2??cos2??1??. 2979

x2

?a仅有两个不同的实根.则实数a的取值范围是( ) 3.关于x的方程x?1

A.a>0 B.a≥4 C.2<a<4 D.0<a<4

【答】D.

当a<0时,无解;

当a=0时,x=0,不合题意;

x2

当a>0时,原方程化为??a,整理得 x2-ax+a=0(1)或x2+ax-a=0(2) x?1

因为方程(2)的判别式Δ2=a2+4a>0, 即方程(2)有两个不同实根.

又因为原方程仅有两个不同实根,故必有方程(1)的判别式Δ1=a2-4a<0,

从而,0<a<4.

4.设b>0,a2-2ab+c2=0,bc>a2.则实数a、b、c的大小关系是( ).

A.b>c>a. B.c>a>b. C.a>b>c. D.b>a>c.

【答】A.

由bc>a2及b>0知c>0;由2ab=a2+c2及b>0知a>0.

由a2-2ab+c2=0得b2-c2=(a-b)2,从而b≥c.

若b=c,由a2-2ab+c2=0知a=b,从而a=b=c与bc>a2矛盾,故b>c.

又由b2>bc>a2,故b>a;由a2+c2=2ab>2a2,故c>a.

从而b>c>a.

5.a、b

为有理数,且满足等式a??a+b的值为( )

A.2. B.4. C.6. D.8.

【答】 B.

??1)?3

∴a??32

∴(a?3)?(b??0

∵a、b为有理数

∴a=3,b=1

∴a+b=4.

6.将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数:20,40,60,80,100,104,….则这列数中的第158个数为( )

A.2000. B.2004. C.2008. D.2012.

【答】C

在正整数中,是4的倍数为末两位是4的倍数,其中包含数字0的情况“00,04,08,20,40,60,80”和不包含数字0的18种情形.

显然,满足条件的两位数仅有4个;满足条件三数共9×7=63个;满足条件且千数为1的四位数:共有7×10+18×1=88个,

因为4+63+88=155,则从小到大第155个满足条件的数为1980,

下面满足条件的数依次为2000,2004,2008. 故这列数中的第158个数为2008.

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

1.函数y?x?2006x?2008的图像与x轴交点的横坐标之和等于_________.

【答】 0. 原问题可转化为求方程x?2006x?2008?0①的所有实根之和.若实数x0为方程①的根,则其相反数-x0也为方程①的根,即与x轴交点的横坐标之和等于0.

2.在等腰Rt△ABC中,AC=BC=1,M是BC的中点,CE⊥AM于点E,交AB于点F,则S△MBF= .

【答】221. 12

B

3 将△ABC补成正方形,延长CF交BD于点N, 易证△ACM≌△CBN,所以N为BD的中点, 故NBFBN1??.

AFAC2

所以S?MBF=S?ABM=?

13111S?ABC?. 3212

3.

x的值为 【答】8. 3

如图构造线段AB=2,BC=8,CD=4,且AB⊥BC

于点B,CD⊥BC于点C,点O在线段BC上,且OB=x,则OC=8-x.则OA+OD

知当O、A、B

小值.连接AB交BC于点P,易证△ABP∽△DCP,所以BPAB188??,所以BP?.

x的值为. CPCD233

4.在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)、A(100,0)、B(100,100)、C(0,100).若正方形OABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足S?POA?S?PBC?S?PAB?S?POC.就称格点P为“好点”.则正方形OABC内部好点的个数为 .

注:所谓格点,是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.

【答】 197.

设P的坐标为(x,y),由已知易得:x(100-x)=y(100-y).

整理得(x-y)(x+y-100)=0.所以点P在直线y=x或y=-x+100上.

又因为P在正方形OABC内部,所以满足条件的好点个数共有99+99-1=197个.

第二试 (A)

一、(本题满分20分)已知关于x的一元二次方程x?2(a?2b?3)?(a?4b?99)?0无相异两实根.则满足条件的有序正整数组(a,b)有多少组.

解 由题意得:??4(a?2b?3)?4(a?4b?99)?4(4ab?12b?6a?90)?0.

即2ab?6b?3a?45.

即(a+3)(2b?3)?54.

4

222222

∵a,b为正整数 ∴2b?3?∴b?

5454

? a?34

21 4

故b?5

54

,故a?7,符合条件的有序正整数组(a,b)有7组; 554

当b=2时,a+3?,故a?4,符合条件的有序正整数组(a,b)有4组;

754

当b=3时,a+3??6,故a?3,符合条件的有序正整数组(a,b)有3组;

954

当b=4时,a+3?,故a?1,符合条件的有序正整数组(a,b)有1组;

1154

当b=5时,a+3?,故a?1,符合条件的有序正整数组(a,b)有1组.

13

当b=1时,a+3?

综上所述,符合条件的有序正整数组(a,b)有7+4+3+1+1=16组.

二.(本题满分25分)如图,D为等腰△ABC底边BC的中点,E、F分别为AC及其延长线上的点.已知∠EDF=90°.ED=DF=1,AD=5.求线段BC的长.

解 过点E作EG⊥AD于点G,过点F作FH⊥AD于点H.易证Rt△EGD≌Rt△DHF

设EG=DH=x,DG=FH=y. 则x?y?1.………………① 由Rt△AEG∽Rt△AFH得:

2

2

A

A

x5?y

. ?

y5?x

联立①化简得:y?x?

1

…………② 5

3?x???5

联立①②解得:?

?y?4?5?

又由Rt△AEG∽Rt△ACD得

CDADAD355

????. ,所以CD?EG?EGAGAG55?47

5

所以BC?2CD?

10. 7

5

三.(本题满分25分)如图,在平行四边形ABCD中,∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F,点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心.求证: (1)O、E、O1三点共线; (2) ?OBD?

12

?ABC.

证明 (1)连接O1A,O1E,OE,OF.

∵点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心 ∴O1A=O1E,OE=OF

∠A O1E=2∠ABC=2∠FCE=∠EOF ∴△A O1E∽△EOF

∴∠AE O1 =∠OEF ∴O、E、O1三点共线 (2) 连接OD、OC.

∵四边形ABCD为平行四边形,且AF为∠A的角平分线 ∴∠CEF=∠DAE=∠BAF=∠CFE. ∴CE=CF.

又∵O为△CEF的外心 ∴OE=OF=OC. ∴△OCE≌△OCF ∴∠OEC=∠OFC=∠OCF ∴∠OEB=∠OCD. 又∠BAE=∠EAD=∠AEB ∴EB=AB=DC. ∴△OCE≌△OEB

∴∠ODC=∠OBE,OD=OB,∠ODC=∠OBC,∠OBD=∠ODB,

∴∠OBD=∠OBC+∠CBD=∠ODC+∠BDA=∠ADC-∠BDO=∠ABC-∠OBD ∴?OBD?

6

B

B

12

?ABC

第二试 (B)

一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.

二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.

三.(本题满分25分)如图,在平行四边形ABCD中,∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F,点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心.求证:

(1)O、E、O1三点共线;

(2) 若∠ABC=70°,求∠OBD的度数.

提示:参考(A)卷第三题,易得∠OBD=35°.

B第二试 (C)

一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第二题相同.

二.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第三题相同.

三.(本题满分25分)设p为正整数,且p≥2.在平面直角坐标系中,点A(0,P)和点B(P,0)的连线段通过P-1个格点C1(1,p?1),?,Ci(i,p?i).?,Cp?1(p?1,1).证明:

(1)若P为质数,则在原点O(0,0)与点Ci(i,p?i)的连线段OCi(i?1,2,?,p?1)上除端点外无其他格点;

(2)若在原点O(0,0)与点Ci(i,p?i)的连线段OCi(i?1,2,?,p?1)上除端点外无其他格点,则p为质数.

解 (1)假设线段OCi上除端点外有一格点P(a,b),其中a<i,b<p-i. 则易得bp?i.整理得:(a+b)i=ap.从而i|ap. ?ai

因为p是质数,且1≤i≤p-1,故i与p互质.从而,i|a,故i≤a.

这与a<i矛盾.所以,假设不成立.从而原结论成立.

(2)假设结论不成立,即p为合数,设p=xy,其中x、y为正整数,且2≤x,y≤p-1. 显然,必存在一格点P(a,b),满足a+b=x.

于是(a+b)y=xy=p.即ay+by=p.

7

因此(ay,by)必是C1(1,p?1),?,Ci(i,p?i).?,Cp?1(p?1,1)中的一个点. 设为Ci(i,p?i).从而,有ay=i,by=p-i.故bp?i. ?ai 所以,点P(a,b)在线段OCi内部.即在线段OCi上除端点外还有其他个点,

这与已知矛盾.故原结论成立.

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