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2006年全国初中数学联合竞赛试题

发布时间:2013-12-07 09:30:24  

2006年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1.已知四边形ABCD为任意凸四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点用S、p分别表示四边形ABCD的面积和周长;S1、p1,分别表示四边形EFGH的面积和周长.设k?Sp,k1?.则下面关于k、k1的说法中,正确的是( ) S1p1

A. k、k1均为常值 B. k为常值,k1不为常值

C. k不为常值,k1为常值

D. k、k1均不为常值

cos?是关于x的方程3x2-mx+1=0的两根.2.已知m为实数,且sin?、则sin

的值为( )

A.

4??cos4?217. B.. C.. D.1. 939

x2

?a仅有两个不同的实根.则实数a的取值范围是( ) 3.关于x的方程x?1

A.a>0 B.a≥4 C.2<a<4 D.0<a<4

4.设b>0,a2-2ab+c2=0,bc>a2.则实数a、b、c的大小关系是( ).

A.b>c>a. B.c>a>b. C.a>b>c. D.b>a>c.

5.a、b

为有理数,且满足等式a??a+b的值为( )

A.2. B.4. C.6. D.8.

6.将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数:20,40,60,80,100,104,….则这列数中的第158个数为( )

A.2000. B.2004. C.2008. D.2012.

1

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

1.函数y?x?2006x?2008的图像与x轴交点的横坐标之和等于_________.

2.在等腰Rt△ABC中,AC=BC=1,M是BC的中点,CE⊥AM于点E,交AB于点F,则S△MBF= .

3.

x的值为.

4.在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)、A(100,0)、B(100,100)、C(0,100).若正方形OABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足S?POA?S?PBC?S?PAB?S?POC.就称格点P为“好点”.则正方形OABC内部好点的个数为 .

注:所谓格点,是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.

2

第二试 (A)

一、(本题满分20分)已知关于x的一元二次方程x?2(a?2b?3)?(a?4b?99)?0无相异两实根.则满足条件的有序正整数组(a,b)有多少组.

2

222

二.(本题满分25分)如图,D为等腰△ABC底边BC的中点,E、F分别为AC及其延长线上的点.已知∠EDF=90°.ED=DF=1,AD=5.求线段BC的长.

A

三.(本题满分25分)如图,在平行四边形ABCD中,∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F,点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心.求证:

(1)O、E、O1三点共线;

(2) ?OBD?1

2?ABC.

B

3

第二试 (B)

一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.

二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.

三.(本题满分25分)如图,在平行四边形ABCD中,∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F,点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心.求证:

(1)O、E、O1三点共线;

(2) 若∠ABC=70°,求∠OBD的度数.

B4

第二试 (C)

一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第二题相同.

二.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第三题相同.

三.(本题满分25分)设p为正整数,且p≥2.在平面直角坐标系中,点A(0,P)和点B(P,0)的连线段通过P-1个格点C1(1,p?1),?,Ci(i,p?i).?,Cp?1(p?1,1).证明:

(1)若P为质数,则在原点O(0,0)与点Ci(i,p?i)的连线段OCi(i?1,2,?,p?1)上除端点外无其他格点;

(2)若在原点O(0,0)与点Ci(i,p?i)的连线段OCi(i?1,2,?,p?1)上除端点外无其他格点,则p为质数.

5

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