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酒泉四中“希望杯”八年级数学奥赛模拟试卷(三)附答案

发布时间:2013-12-07 14:35:38  

酒泉四中“希望杯”八年级数学奥赛模拟试卷(三)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.若实数a满足|a|??a,则|a?a2|一定等于( ). A. 2a B. 0 C. -2a D. -a

2.如图1是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C为图上三点,则在正方体盒子中,∠ABC的度数为( ) A. 120° B.90° C. 60° D.45° 3.有甲、乙两班,甲班有m个人,乙班有n个人。在一次考试中甲班平均分是a分,乙班平均分是b分。则甲乙两班在这次考试中的总平均分是( ). A.

am?bn

m?n

a?bm?nam?bn

B. C. D. 2a?b2

E

B

10.已知在?ABC中,?C?90?,AD是?BAC的平分线交 BC于点D,BD:DC?2:1,则?B的度数是 。 11.如图3所示的长方形中,甲、乙、丙、丁四块面

积相等,甲的长是宽的2倍,设乙的长和宽分别是

a和b, 则a:b?12.已知平面直角坐标系内A、B两点的坐标分别是

A(2, ?3),B(4, ?1),P(x, 0)是x轴上的一个动 点,则当x? 时,△PAB的周长最短.

三、解答题(本大题共5小题,满分90分)

13.(本题满分20分)在平面直角坐标系中,A(2,0),B(3,0),P是直线y?x上的点,当PA?PB最小时,试求P点的坐标。

D

4.方程x??2008?x 的解的个数是( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个 A

FC

5.如图2,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,

( 图2 )

AD的延长线交BF于E,且E为垂足,则结论①AD=BF,

②CF=CD,③AC+CD=AB,④BE=CF,⑤BF=2BE,其中正确的结论的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 6. 已知a、b、c在数轴上位置如图:

则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于( )

A.-3a B. 2c-a C.2a-2b D. b

二、填空题(每小题5分,共30分)

a 41?)7.若Q(a?2011,是第三象限内的点,且a为整数,则a 49

11

,b?8.已知a?,则a2?b2?7的值为 3?1?1

9.在?ABC中,?A?80?,I是?B,?C的角平分线的交点,

则?BIC的度数为 .

14.(本题满分20分)如图4,在△ABC中,AD交边BC于点D,∠BAD=15°,∠ADC=4∠BAD,DC=2BD.(1)求∠B的度数;(2)求证:∠CAD=∠B. A 16. (本题满分15分) 已知|ab-2|与|a-1|互为相互数,试求下式的值.

1111

???……?

CD

( 图4 )

15.(本题满分20分)已知

aba?b?4 aca?c?5 bc

b?c

?6. 求17a?13b?7c的值.

ab B

17. (a?1)(b?1)(a?2)(a?2)(a?2007)(b?2007)

15分)已知a2?a?1?0,求a3?2a2?2007的值..

(本题满分

一、

八年级数学竞赛(决赛)试题答案

选择题:1.C 2.D 3.B 4.D 5.A 6.A 二、填空题:7. 2010 8.答:由题设有:

a2?

4?2324?2,则a2?b2?7?3。 ,b?

44

9.130° 10. 60° 11. 9:2 12. 3.5 13、解:如图,作A关于直线y?x的对称点A’,

则PA?PA',

故PA?PB?PA'?PB。 …………………5分

由图知,只有当A、P、B共线时,PA?PB最小。 ……10分 又由A与A’关于y?x对称知,A’(0,2)。 …………15分 由A'、B两点坐标得AB直线方程:

2题

111111

同理得:?? ②, ?? ③

ac5bc6

11137

将①②③式相加得: ??? ④

abc120

17120

?c?④-①得 ?

c1207113120

?b?④-②得 ?

b12013117120

?a?④-③得 ?

a12017

∴17a?13b?7c?120?120?120?120

16.解,利用绝对值的非负性,我们可以得到:|ab-2|=|a-1|=0,解得:a=1,b=2

于是

1111

???……?

ab(a?1)(b?1)(a?2)(a?2)(a?2007)(b?2007)

xy

??1。 ……20分 32

?xy

6???1

联立?32解得x?y?,

5?y?x?

故当PA?PB最小时,P的坐标为(,)。…………………25分

66

55

14、解:⑴∵∠BAD=15°,∠ADC=4∠BAD,

∴∠ADC=60°,

∴∠B=60°-15°=45°,

⑵ 过C作CE⊥AD于E,连接EB. ∵∠ECD=90°-60°=30° ∴DC=2ED, ∵DC=2BD, ∴ED=BD

∴∠DBE=∠DEB=∠ECD=30°,

∴∠EBA=45°-30°=15°=∠BAD

∴AE=EC=EB

∴∠CAD=∠B=45°

aba?b1111

?4????? ① 15、解:由

a?bab4ab4

1111

?????22?33?42008?20091111111?????????2233420082009

1?1?

20092008?

2009?17.

分析:解法一(整体代人):由a?a?1?0 得 a?a?a?0

所以: a3?2a2?2007

2

3

2

A

( 图4 )

?a3?a2?a2?2007

?a?a2?2007

?1?2007

?2008解法二(降次):方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型,还具有降次的功能。

由a?a?1?0,得a?1?a, 所以:

2

2

a3?2a2?2007

?a2a?2a2?2007?(1?a)a?2a2?2007?a?a2?2a2?2007?a?a2?2007

?1?2007

解法三(降次、消元):a2?a?1(消元、、减项)

a3?2a2?2007

?a3?a2?a2?2007

2

?a(a?a)?a2?2007

?a?a2 ?2007

?1?2007

?2008

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