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第二十一届希望杯竞赛试题

发布时间:2013-12-08 09:32:21  

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛

一、选择题 (每小题4分,共40分) 以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答

案前的英文字母写在下面的表格内。

1. 下列图案都是由字母m组合而成的,其中不是中心对称图形的是

(A) (B) (C) (D)

2. 若a2?a3?0,则 (A)

3. 若代数式a?a (B) a?a (C) a?1 (D) 0<a<1 。 2010?x有意义,则x的取值范围是 |x|?2009

(A) x?2010 (B) x?2010,且x??2009

(C) x?2010,且x?2009 (D) x?2010,且x? ?20092 。

4. 正整数a,b,c是等腰三角形三边的长,并且a?bc?b?ca=24,则这样的三角形有

(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 。

5. 顺次连接一个凸四边形各边的中点,得到一个菱形,则这个四边形一定是

(A) 任意的四边形 (B) 两条对角线等长的四边形 (C) 矩形 (D) 平行四边形 。

6. 设p=7a?1?b?1?7c?1?7d?1,其中a,b,c,d是正实数,并且a?b?c?d=1,则

(A) p>5 (B) p<5 (C) p<4 (D) p=5 。

7. Given a,b,c satisfy c<b<a and ac<0,then which one is not sure to be correct in the following inequalities?

bcb?ab2a2

(A) > (B) >0 (C) > (D) ccaac

a?c<0 。 ac

(英汉词典:be sure to 确定;correct 正确的;inequality 不等式)

8. 某公司的员工分别住在A、B、C三个小区,A区住员 工30人,B区住员工15人,C区住员工10人,三个

B区 A区

小区在一条直线上,位置如图所示。若公司的班车只设

一个停靠点,为使所有员工步行到停靠点的路程总和最

短,那么停靠点的位置应在

(A) A区 (B) B区 (C) C区 (D) A、B、C区以外的一个位置 。

ADAC29. ?ABC的内角A和B都是锐角,CD是高,若=(),则?ABC是 DBBC

(A) 直角三角形 (B) 等腰三角形 (C) 等腰直角三角形 (D) 等腰三角形或直角三角形。

10. 某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下,用了24秒;若他站在自动扶梯上不动,

从楼上到楼下要用56秒。若扶梯停止运动,他从楼上走到楼下要用

(A) 32秒 (B) 38秒 (C) 42秒 (D) 48秒

二、A组填空题 (每小题4分,共40分。)

11. 四个多项式:? ?a2?b2; ? ?x2?y2; ? 49x2y2?z2;? 16m4?25n2p2,其中不能用平方差公

式分解的是(填写序号)

12. 若a=111,b=,c=,则a与d的大小关系是a d。(填“>”、“=”或“<”) 1?d1?b1?c

2x25113. 分式方程2??的解是x= 。 x?1x?1x?1

14. 甲、乙两人从A点同时同向出发沿400米的环形跑道跑步,过一段时间后,甲在跑道上离

A点200米处,而乙在离A点不到100米处正向A点跑去。若甲、乙两人的速度比是4:3,

则此时乙至少跑了

15. 已知等腰三角形三边的长分别是4x?2,x?1,15?6x,则它的周长是。

294516. 若a= ?,b= ?,则a3?6ab?b3

3737

59517. 直线y=x?与x轴、y轴的交点分别为A、B,则线段AB上(包括端点A、B)横坐标44

和纵

坐标都是整数的点有

1a2?3x?>(2?a)x的解是x> ?1,则a= 。 18. 已知关于x的不等式3?4

19. 当a分别取?2,?1,0,1,2,3,…,97这100个数时,关于x的分式方程

a12(a?1)?=2 x?12?xx?3x?2

有解的概率是。

20. 十位数2010888abc能被11整除,则三位数abc最大是。

(注:能被11整除的自然数的特点是:奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的整数倍)

三、B组填空题 (每小题8分,共40分。)

21. 一个矩形的长与宽是两个不相等的整数,它的周长与面积的数直相等,那么这个矩形的长与宽分别是 和 。

22. 用[x]表示不大于x的最大整数,如[4.1]=4,[?2.5]= ?3,则方程6x?3[x]?7=0的解是 或

23. As in right figure,in a quadrilateral ABCD,we have its diagonal AC

bisects ?DAB,and AB=21,AD=9,BC=DC=10,then the distance

from point C to line AB is and the length of AC is 。 10 (英汉词典:quadrilateral 四边形;bisect 平分)

1

21

24. 如图,Rt?ABC位于第一象限内,A点的坐标为(1,1),两条

直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴,AB=4,AC=3,若反

比例函数y=k (k?0)的图象与Rt?ABC有交点,则k的最大 x

值是 ,最小值是 。

x

25. 设A0,A1,…,An?1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点,

考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形,如四边形A3A4A5A6、七边形An?2An?1A0A1A2A3A4 等,如果所有这样的凸多边形的面积之和是231,那么n的最大值是,此时正n边形的面积是 。

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛 答案.评分标准 初二 第1试

1. 答案

(1) 选择题

1. B; 2. B; 3. B; 4. C; 5. B; 6. A; 7. C; 8. A; 9. D; 10. C;

(2) A组填空题

11. ?; 12. =; 13. ?2; 14. 750; 15. 12.3; 16. ?8; 17. 5; 18. 0; 19.

20. 990;

(3) B组填空题

21. 6,3; 22. x= ?49; 50198361,x= ?; 23. 8,17; 24. ,1; 25. 23,1; 3648

2. 评分标准

(1) 第1~10题;答对得4分;答错或不答,得0分。

(2) 第11~20题;答对得4分;答错或不答,得0分。

(3) 第21~25题;答对得8分,每空4分;答错或不答,得0分。

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