haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

初中数学多功能词典——第3章 一元方程

发布时间:2013-12-08 09:32:21  

b§3.1 一元一次方程

3.1.1★ 已知下面两个方程

3(x?2)?5x ①

4x?3(a?x)?6x?7(a?x) ② 有相同的解,试求a的值.

★ 解方程:(a?x?b)(a?b?x)?(a2?x)(b2?x)?a2b2

★★ 若abc?1,解方程

2ax2bx2cx???1. ab?a?1bc?b?1ca?c?1

58★★ 已知关于x的方程:x?a?x?142,且a为某些正整数时,方程的解为正整25

数,试求正整数a的最小值.

★★ 已知关于x的方程ax?3?2x?b有两个不同的解,求(4a?3b)2005的值.

★ 已知关于x的方程a(2x?1)?3x?2无解,求a的值. ★★ 已知关于x的方程a(2x?3)?3bx?12x?5有无限多个解,求a、b的值. ★ k为何正数时,方程k2x?k2?2kx?5k的解是正数? ★★ 若a、b、c是正数,解方程x?a?bx?b?cx?c?a???3 cab ★★★ 设n为正整数,[x]表示不超过x的最大整数,解方程

n2(n?1)2

x?2[x]?3[x]???n[x]?2

§3.2 一元二次方程

★ 若方程x2+bx?1?0与方程x2?x?b?0至少有一个相同的实数根,求实数b的值. 2★ 已知实数a?b,且满足,3求(a+b)=3?3(a?1)(b?1)?3?(b?1)2,

的值. ★★ 已知a是方程x2?2008x?1?0的一个根,求a2?2007a?

★★ 三个不同的的实数a、b、c使得方程x2?ax?1?0和x2?bx?c?0有一个相同的实数根s,且使得方程x2+x?a?0和x2+cx?b?0也有一个相同的实数根r,求a?b?c的值.★★ 对于一切不小于2的整数n,关于x的一元二次方程x2?(n?2)x?2n2?0的两个根记作an、bn(n?2),求111????的值. (a2?2)(b2?2)(a3?2)(b3?2)(a2007?2)(b2007?2)2008的值. a2+1 3.2.6 ★★ 已知互不相等的实数a、b、c满足a?

★ 如果a、b都是质数,且a2?13a?m?0,b2?13b?m?0,求

bx2?cx?a?0,cx2?ax?b?0 ★★ 已知三个关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0,111?b??c??t,求t的值. bcaba??2的值. ab

a2b2c2

恰有一个公共实数根,求??的值. bccaab

★★ 设实数s和t满足方程19s2?99s?1?0,t2?99t?19?0,并且s和t的积不等于

st?4s?11,求的值. t

★★★ 已知方程x2?3x?1?0的两个根?、?也是方程x6?px2?q?0的根,求p、q

的值.

2006x?1?0的大根为a,★ 已知方程(2005x)2?2004?方程x2?2005x?2006?0的小

根为b,求a?b的值.

★★ 设a是给定的非零实数,解关于x的方程x?

★★ 已知?、?是方程x2?x?1?0的两实根,求?6?8?的值. ★★ 设一元二次方程ax2?bx?c?0的两个实根的和为S1,平方和为S2,立方和为

S3,求aS3?bS2?cS1的值.11?a?. xa

★★★ 设抛物线y?x2?(2a?1)x?2a?

的值.

5的图像与x轴只有一个交点,求a18?323a?6 4

3.2.16 ★★ 若方程x2?2px?3p?2?0的两个不相等的实数根x1、x2,满足

x12?x13?4?(x22?x23),求实数p的所有可能的值之和. 3.2.17 ★★★ 设a、b是方程x2?4x?1?0的两个根,c、d是方程x2?5x?2?0的两个根,abcd记t?,用t表示. ???a?c?da?c?da?b?da?b?c

a2b2c2d2

. ???a?c?da?c?da?b?da?b?c

§3.3 判别式及其应用

★ 已知方程x2?2x?m?0没有实数根,其中m是实数,试判定方程

x2?2mx?m(m?1)?0有无实数根.★★ 已知常数a为实数,讨论关于x的方程(a?2)x2?(?2a?1)x?a?0的实数根的个

数情况. ★★ 若对任何实数a,关于x的方程x2?2ax?a?2b?0都有实数根,求实数b的取

值范围. ★★ 已知关于x的二次方程x2?k?2x无实根,其中k为实数,试判断二次方程

x2?2kx?1?2(k2?1)(x2?1)=0的实根情况.

Bx2?2Cx?A=0,★★ A、B、C是不全相等且都不为零的实数,求证:Ax2?2Bx?C=0,

Cx2?2Ax?B=0这三个一元二次方程中,至少有一个方程有两个不相等的实数根. 1★ 对于实数u、v,定义一种运算“*”为:u?v?uv?v,若关于x的方程x?(a?x)?? 4

有两个不同的实数根,求满足条件的实数a的取值范围. ★ 若方程x2?2(1?a)x?3a2?4ab?4b2?2?0有实根,求a、b的值. ★?ABC的一边长为5,另两边长恰好是方程2x2?12x?m?0的两个根,求m的取值

范围.

★ 求方程5x2?5y2?8xy?2y?2x?2?0的实数解. ??xy?1★★

解方程组? ??7x?y?2

3.3.11 设p为实常数,方程x2?3px?p?0有两个不同的实数根x1,x2.

(1证明:3px1?x22?p?0;

3px2?x12?3pp2

?(2)求A?的最小可能值,并求A取最小值时p的值.3px1?x22?3pp2

3.3.12 ★★★ 设m是不小于?1的实数,使得关于x的方程x2?2(m?2)x?m2?3m?3?0有两个不相等于的实数根x1,x2.

(1)若x12?x22?6,求m的值.

mx12mx22?(2)求的最大值. 1?x11?x2

3.3.13 ★★★ 设a、b、c为互不相等的实数,且满足关系式b2?c2?2a2?16a+14及bc?a2?4a?5,求a的取值范围.

3.3.14 ★★ 求使得关于x的方程x3?ax2?2ax?a2?1?0恰有一个实数根的所有实数a.

3.3.15★★★ 已知实数a、b、c满足a?b?c?10,abc?23a?40及a?b?c,求a?b?c

的最小值.

2??a?a?bc?1?03.3.16 ★★ 已知实数a、b、c满足:?2.求证:a?1. ??a?2bc?b?c?2?0

3.3.17★★★ 设实数a、b、c满足a?b?c?0,abc?1.求证:a、b、c中必有一个大于

3.3.18 ★★ 满足(x?3)2?(y?3)2?6的所有实数对(x,y)中,

3. 2y的最大值是多少? x

2x,求y的最大值和最小值. x+x?1

3.3.20 ★★ 实数a、b、c满足a?b?c?2,且对任何实数t,都有不等式3.3.19 ★★ x、y为实数,且满足y?2

4. 3

3.3.21★★ 实数x、y、z满足x?y?z?5,xy?yz?zx?3,求z的最大值. ?t2?2t?ab?bc?ca?9t2?18t?10,求证:0?a,b,c?

§3.4 一元二次方程根的分布

3.4.1 ★ 若二次方程x2?(2?a)x?(5?a)?0的两个根都大于2,求实数a的取值范围.

3.4.2 ★ 设关于x的方程ax2?(a?2)x?9a?0有两个不相等的实数根x1、x2,且x1?x2,求a的取值范围.

3.4.3★ 已知关于x的实系数二次方程x2?ax?b?0有两个实数根?、?,证明:如果??2,??2,那么2??4?b且b?4.

3.4.4 ★★ 已知m、n、p、q是实数,为了使二次方程x2?mx?n?0与x2?px?q?0都有实根,并且其中任一方程的两根被另一方程的根分隔开来,系数m、n、p、q应满足什么条件?

3.4.5★★ 方程7x2?(k?13)x?k2?k?2?0(k是常数)有两实根?、?,且0???1,1???2,那么k的取值范围是( )

(A)3?k?4

(B)?2?k??1

(C)3?k?4或?2?k??1

(D)无解

3.4.6 ★★ 已知方程2x2?k2x?6k?0有一个根小于2,另一个根大于0,求k的取值范围.

3.4.7★★ 设二次方程ax2?bx?c?0的系数a、b、c都是奇数,它的两个实根x1、x2满足?1?x1<0,x2?1.若b2?4ac?5,求x1、x2.

3.4.8 ★★★ 设二次函数f(x)?a2x?bx?(c?a0,)方程f(x)?x的根为x1、x2,且x2?x1?

1,当0?t?x1时,试比较f(t)与x1的大小关系. a

1?0至少有一个实根大于0且小于1,求实数a的取值23.4.9 ★★ 若关于x的方程x2?ax?

范围.

3.4.10 ★★★ 若关于x的方程(1?m2)x2?2mx?1?0的所有根都是比1小的正实数根,求实数m的取值范围.

3.4.11★★★ 使关于x的不等式(3a?1)x?x2?a2?a成立的x的最小值为?2,试求a的值.

3.4.12 ★★ 设a、b是整数,且方程2ax2?bx?2?0的两个不同的正数根都小于1,求a的最小值.

3.4.13★★★★ 设实数a、b、c、m满足条件abc???0,且a?0,m?0,求证:m?2m?1m方程ax2?bx?c?0有一根x0,满足0?x0?1.

3.4.14 ★★★ 已知a、b、c为实数,ac?

0??0.证明:一元二次方程ax2?bx?c?

01之间.

§3.5 一元二次方程的整数根

3.5.1★★ 设p、q为质数,且方程x2?px?q4?0有整数解,求p、q的值.

3.5.2 ★★ 已知p是质数,使得关于x的二次方程x2?2px?p2?5p?1?0的两根都是整数,求出所有可能的p的值.

)3.5.3★★ 已知a、b、c都是整数,且对一切x,(x?a)(x?2005)?2?(x?b)(x?c都成立,

(a,b,c)求所有这样的有序数组

3.5.4 ★★★ 求所有的有理数r,使得关于x的方程rx2?(r?1)x?r?1?0的所有根是整数.

3.5.5★★ 已知a是正整数,且使得关于x的一元二次方程ax2?2(2a?1)x?4(a?3)?0至少有一个整数根,求a的值.

3.5.6 ★★★ 关于x的二次方程(k2?8k?15)x2?2(13?3k)?8?0的两根都是整数,求实数k的值.

3.5.7 ★★ 设p是质数,并使得方程x2?px?580p?0有两个整数根,求p值.

13.5.8 ★★★ 已知a、b是正整数,试问关于x的方程x2?abx?(a?b)?0是否有两个整数2

解?如果有,请把它们求出来;如果没有,请给予证明.

3.5.9★★★ 已知p、q都是质数,且使关于x的二次方程x2?(8p?10q)x?5pq?0至少有一个正整数根,求所有的质数对(p,q)

3.5.10 ★★★ 已知关于x的一元二次方程(6?k)(9?k)x2?(117?15k)?54?0的两个根均为整数,求所有满足条件的实数k的值.

3.5.11★★★ 设关于x的二次方程(k2?6k?8)x2?(2k2?6k?4)x?k2?4的两根都是整数,求满足条件的所有实数k的值.

3.5.12 ★★ 已知关于x的一元二次方程x2?2(a?2b?3)x?(a2?4b2?99)?0无相异两实根,则满足条件的有序正整数组(a,b)有多少组?

a2?93.5.13★★★ 若正整数a、b是关于x

的方程x?x?10b?56??0的两个13

根,求a、b的值. 2

p2+11153.5.14 ★★★ p、q为整数,并且是关于x的方程x?x?(p?q)?16?0的两个根,134

求p、q的值.

2

3.5.15 ★★ a、b为正整数,a?b?2005,若关于x的方程x2?ax?b?0有正整数解,求a的最小值.

3.5.16 ★★ 是否存在整数a,使得关于x的方程x2?4ax?a2?3?0有整数解?

3.5.17★★ 求所有的正整数x,使得x2?x?10可以表示为两个连续正整数的乘积.

3.5.18 ★★★ 是否存在整数a、b、c,使得方程ax2?bx?c?0和(a?1)x2?(b?1)x?(c?1)?0都有两个整数根?

3.5.19★★★ 已知a是正整数,如果关于x的方程x3?(a?17)x2?(38?a)x?56?0的根都是整数,求a的值及方程的整数根.

3.5.20 ★★★★ 求所有的正整数组(a、b、c),使得如下三个关于x的二次方程x2?3ax?2b?0,x2?3bx?2c?0,x2?3cx?2a?0的根都是正整数.

3.5.21★★★ 证明:存在无穷多对正整数(m,n),满足方程m2?25n2?10mn?7(m?n) §3.6 列方程解应用题

3.6.1★★ 甲乙二人用相同的速度,沿着同一条道路A地到B地,甲先出发,当甲所行的路

1程是乙的2倍时,甲又行了5千米到达B地,然后立即返回,行了全程的时,与乙还相8

距3千米,那么A、B两地相距多少千米 ?

3.6.2 ★ 轮船从A城到B城需行5昼夜,而从B城到A城需行7昼夜,现由A城放一木筏于水中漂流至B(木筏无任何动力),途中需多少昼夜?

3.6.3 ★一艘轮船从A港到B港顺水行需6小时,从B港到A港逆水航行需8小时,若在静水条件下,从A港到B港需多少小时?

3.6.4 ★★ 一辆汽车在上坡路上行驶的速度是每小时40千米,在下坡路上行驶的速度是每小时50千米,在平路上行驶的速度是每小时45千米.某日这辆汽车从甲地开往乙,先用了1

3

11的时间走上坡路,然后用了的时是走下坡路,最后用了的时间走平路,已知汽车从乙地33

按原路返回甲地时,比从甲地开往乙地所用时间多15分钟,那么甲、乙两地的距离是多少?

3.6.5 ★★ 汽车从甲镇的日用品运到乙村,要经过上坡路20公里,下坡路14公里,平路5公里,然后再将乙村的粮食运往甲镇,汽车往返所用的时间相差10分钟,已知汽车在上坡时、下坡时、走平路时的平均速度之比为3:6:5,求

(1)汽车在上坡时、下坡时、走平路时的各个平均速度;

(2)自甲镇到乙村及乙村到甲镇汽车各需要的时间.

3.6.6 ★★ 甲乙两人在一圆形道上跑步,甲用40秒钟就能跑完一圈,乙反向跑每15秒钟和甲相遇一次,求乙跑完一圈所需时间.

3.6.7★★ 旅行者从下午3时步行到晚上8时,他先走平路,然后上山,到达山顶后就按原路下山,再走平路返回出发地,若他走平路每小时行4千米,上山每小时行3千米,下山每小时行6千米,问旅行者一共行多少千米? 3.6.8 ★★ 在四点到五点之间,时针和分针在什么时刻重合?

3.6.9★ 某城市按以下规定收取煤气费:(1)每月所用煤气按整立方米数计算;(2)若每月用煤气不超过60立方米,按每立方米0.8元收费,若超过60立方米,超过部分按每立方米

1.2元收费.已知某户人家某月的煤气费平均每立米0.88元,则这户人家需要煤气费( ). (A) 60元 (B) 66元 (C) 70元 (D) 75元

3.6.10 ★★某寺院有甲、乙、丙三口铜钟,甲钟每4秒敲响一声,乙钟每5秒敲响一声,丙钟每6秒敲响一声,新年到来时,三口钟同时开始敲响且同时停敲,某人共听到365声钟响,若在此期间,甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别为x次、y次、z次,,求x?y?z的值.

3.6.11★★ 准备将若干个零件放入盒子里,盒子至少10个,每个盒子中的零件的零件个数必须相等.如果每个盒子放12个,最后剩下一个;,如果增加3个盒子,便可将零件全部放完,问原有多少个盒子?

3.6.12 ★★ 我们在运动场上踢的足球大多是由许多小黑白块的皮缝合而成的,如图,若已知黒块共12块,求白块有多少块? 3.6.13 ★★★ 从两个重量分别为12千克和8千克,且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块,把切下的每块和另一块剩余的合金放在一起,熔炼后两个合金含铜的百分数相等,求所切下的合金的重量是多少千克?

3.6.14 ★★★ 设甲、乙两个杯子,甲杯中装有10升A溶液,乙杯中装有10升B溶液,现在从甲杯中取出一定量的A溶液,倒入乙杯并搅拌均匀,再从乙杯中取出等量的混合液倒入甲杯,测得甲杯A溶液和B溶液的比为5:1,求第一次从甲杯中取出的A溶液是多少升?

3.6.15 ★★★★ 游泳者在河中逆流而上,于桥A下将水壶遗失被水冲走,继续向前游了20分钟后他发现水壶遗失,于是立即返回,在桥A下游距桥A2千米桥B下追到水壶,求该河水流的速度.

3.6.16 ★★★ 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个小孩嫌自动扶梯太慢,于是在行驶的自动扶梯上,男孩每秒钟向上走2个梯级,女孩每2秒钟向上走3个梯级,结果男孩用了40秒钟,女孩用了50秒钟到达楼上,当该自动扶梯静止时,可看到的自动扶梯的梯级共有多少级?

3.6.17★★★ 在一次象棋循环赛中,每个棋手有一半的得分是在与最后三名次的棋手交锋中获得的,试问,这次比赛有多少人参加?(规定每一局对弈的得分全部属于胜者或由互成和局的对手平分,负者不失分.)

§3.7 含绝对值的方程

3.7.1★ 解方程 7x?1??x?18

3.7.2 ★ 解方程5x?6?2?6x?3

3.7.3★ 解方程3x?2?x?1?x?2.

3.7.4 ★解方程3x?2?3x?6?8

3.7.5 ★★解方程3x??2x?2

3.7.6 ★★已知方程x?ax?1有一负根,且无正根,求a的取值范围.

3.7.7★★ 若方程

3.7.8 ★★ a、b为有理数,且a?0,方程x?a?b?3有三个不相等的解,求b的值.

3.7.9★★ 已知关于x的方程为:11?.(1)解这个方程;(2)若a是一个奇质x?2x?52aax?x?1997?0只有负根,求实数a的取值范围. 1997

数的平方,证明这个方程的解是合数.

§3.8 分式方程

3.8.1★ 解方程:

3.8.2 ★ 解方程

111?????0. x(x?2)(x?1)(x?3)(x?8)(x?10)111???0. x2?11x?8x2?2x?8x2?13x?8

x2?4x72x?723.8.3 ★ 解方程?2?18?0 x?1x?4x

3.8.4 ★★ 解方程

3.8.5 ★★ 解方程

11111????=。 x(x?1)x(x?1)(x?9)(x+10)12x?1x?6x?2x?5 ???x?2x?7x?3x?6

3.8.6 ★★ 解方程

3.8.7 ★★ 解方程

111???0 2226x?13x?386x?46x?386x?59x?384x3x7?2?? x?2x?4x?3x?432

3x2?4x?1x2?4x?13.8.8 ★★ 解方程 2 ?23x?4x?1x?4x?1

3.8.9★★★ 解方程x2?(

2x2)?5 x?2

x2?x?12x2?x?2193.8.10★★解方程2?2? x?1x?x?16

x2?3x?83x?3193.8.11★★★ 解方程 ??x2?5x2?3x?815

13x?x213?x3.8.12 ★★ 解方程(x?=42 x?1x?1

3.8.13 ★★解关于x的方程

3.8.14 ★★ 如果方程

的根. xx?22x?a???0只有一个实数根,求a的值及对应的原方程x?2xx(x?2)a?xb?x1??2 b?xa?x2

§3.9 无理方程

3.9.1 ★

?0

3.9.2 ★ 解方程

x2?18x?30?

3.9.3★★

解方程:4x2?2x?9?0

3.9.4 ★★

解方程3x2?25x?38?0

3.9.5

4?2x

3.9.6

★★解方程x?

3.9.7

13

3.9.8

7

3.9.9

3.9.10★★★解方程

3.9.11

2(x?(x?12

3.9.12★★解方程

3.9.13★★已知实数x

?2x?x的取值范围.

3.9.14★★ 设实数x?

2,并且满足方程x?1?

3.9.15★★★ 关于x

的方程x2?2x?3?1有几个实数根?

3.9.16★★★ 当0?k?

?x 2a?1 x?1?x的值. x?21kx. 2

13.9.17

?(x?y?z) 2

3.9.18

11(x?y?z2?) 22

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com