haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

(非数学大学生数学竞赛模拟(一)试题与答案

发布时间:2013-12-08 14:42:00  

合肥工业大学2011年大学生(非数学)高数竞赛模拟题答案(一)

一、简答题

?a1?a2???an

1. 求极限lim?x

x?0?a?ax???ax

2n?1

2

2

x2x2x2

?

? (ai?0,i?1,2,?n)。 ??

2

1x

a1x?a2x???anx?a1x?a2x???anx1?

解:原式1lim(1?)x xxxx?0a1?a2???an

?a?a2???an?a1?a2???an?lim?1?1

x?0?a1x?a2x???anx

?

x

x

2

2

2

x2x2x2

x

????

a1x?a2x???anx

a1x

?an

x?a1x???anx

?

a1x???anx?a1x???anx

x(a1???an)

22

a1x?a2x???anx?a1x?a2x???anx

其中lim

x?0x(a1x?a2x??

?anx)

a1x?a2x???anx?a1x?a2x???anx1?limnx?0x0

22201

lim((a1xlna1?a2xlna2???anx)2x?a1xlna1?a2xlna2???anxlnan)

L?nx?0?

1

(?lna1a2?an)??lnn

1

222

?

原式?

2. 设函数y(x)具有一阶连续的导数,且满足x

?

x

y(t)dt?(x?1)?ty(t)dt,求x?0时

x

y(x)的表达式。

解:对等式两边关于x同时求导可得xy(x)?

?

x

y(t)dt?x(x?1)y(x)??ty(t)dt,所以有

x

?

x

2

再求导可得(1?x)y(x)?2xy(x)?xy?(x),解方程可得y(x)的(1?t)y(t)dt?x2y(x),

C?1

表达式为y(x)?3ex,此处C为任意常数。

x

x2??x?1x

edx一个初等函数,试求出?的值。 3. 如果积分是?x3

x2??x?1x(1?2?)x?1x11x1x

edx?e?(??)edx解: 因为?,而edx不是初等函32??x2x2xx

数,故有???

1。 2

1

4. 设函数z?f(x,y)?sin(x?1)cosy?ycosx?1,求dzx?siny(1,0)。

sin?x?0f(1??x,0)?f(1,0)1??x?(1,0)?lim解:f(1,0)?0,fx

?lim?1, ?x?0?x?0?x?x

??y?0f(1,?y)?f(1,0)1?sin?yfy?(1,0)?lim?lim?? ?y?0?y?0?y?

y

?dz(1,0)?fx?(1,0)dx?fy?(1,0)dy?dx?y。

(x?y)dS。

?5. 设曲面Σ:x?y?z?1,求

解:利用对称性,

???xdS?0,?????xdS????ydS????zdS ??

???(x?)dS?

?1(x??

??3??yz)d S

?1?dS?? ??3?3?

二、设函数f(x)?sinxn!(x?0),记f(n)(x)?(?1)n

n?1?pn(x)cosx?qn(x)sinx?,其中xx

n??n??pn(x),qn(x)是x的多项式,求limpn(x)和limqn(x)。

解:由Leibniz公式得f

n(n)in1(i)n?i(n?i)i(?1)i!(x)??c()(sinx)??cni?1sin(x??) xx2i?0i?0nini??cn(?1)i

i?0i!?n?in?i?sin?cosx?cos?sinx?xi?1?22??

??nn!??n1n?in?i?1n?in?i?n?i?(?1)n?1???(?1)sin?x?cosx???(?1)n?icos?x?sinx?x??i?0(n?i)!2(n?i)!2??i?0??n

pn(x)??(?1)n?i

i?0

nn1(n?i)?n?isinx(n?i)!2

n?2m?1k?n?i?(?1)k

k?0

n??1k?k111sinx??x?x3?x5???(?1)mx2m?1k!23!5!(2m?1)!n???limpn(x)??sinx,同理limqn(x)?cosx。

2

三、计算定积分?1

e?2n?d?1?1cos?ln?lndx,其中n为正整数。 dx?x?x

解:由于d?1??1?1cos?ln??sin?ln? dx?x??x?x

1d?1?1?1?11cos?ln?lndx=??2n?sin?ln?lndx。 edx?x?x?x?xx所以?1

e?2n?

n?12n?(2k?1)?(2k?2)?1令t?ln, 原式??tsintt??(?tsintdt??tsintdt) 02k?(2k?1)?xk?0

n?1

??(?tcost?sint)

k?0

n?1?(2k?1)?2k??(?tcost?sint)n?1(2k?2)?(2k?1)?? 2?????4k?1????4k?3?????4???2k?1??4n。

k?0k?0

四、设u?x?ysinu确定了可微函数u?u(x,y),试证明:(1)?u?u?sinu?; ?y?x

?nu?n?1?u(2)n?n?1(sinnu?)。 ?y?x?x

证明:(1)由u?x?ysinu两边对x求偏导数得?u?u?1?ycosu?, 所以?x?x

?u1?u?u??sinu?ycosu?, . 由u?x?ysinu两边对y求偏导数得?x1?ycosu?y?y所以?usinu?u??sinu?.. ?y1?ycosu?x

(2) 由?u?u与的表达式易知,u对x,y可求任意阶连续偏导数,且n?1时(2)成立,设?x?y

?ku?k?1?uk对n?k时,k?k?1(sinu?) 成立,于是有 ?y?x?x

?k?1u?k?1??u?k?1?u?u?2ukk?1k?k?1((sinu?))?k?1(ksinu?cosu???sinu) k?1?y?x?y?x?x?y?x?x?y

?k?1??u??u??k?1(ksink?1u?cosu?sinu???sinku(sinu?) ?x?x?x??x?

3 2

?k?1?2u??u???u?kkk?1

?k?1[ksinu?cosu????sinucosu????sinu2] ?x?x??x???x?

22

?k?1??u?k?uk?1

?k?1((sinu?))?k(sink?1u?). ?x?x?x?x?x

即当n?k?1时,(2)也成立,由数学归纳法,对一切正整数n,(2)成立. 五、设函数f(x,y,z)连续,

?dx?dy?

11

x2?y2

f(x,y,z)dz????f(x,y,z)dv记?在xoz平

?

面上的投影区域为D

zx,求二重积分I?

Dzx

??

?。

2

解:由所给的积分等式知??

2

??x,y,z?0?z?x

?y2,0?y?1,0?x?1

?

即?是由抛物线面z?x?y,平面x?1,y?1及三坐标平面围成的立体,它在xoz平面

2

?z?x2?y2,2?上的投影Dxz为的曲边梯形OABC,其中曲边BC:z?x?1是曲线?在xoz平

y?1,?

面的投影,其余三条为直线x?0,x?1及z?0。用z?x将Dxz划分成D1和D2两部分,

2

D1?

??x,z?0?z?x,0?x?1?,D???x,z?x

2

2

2

?z?x2?1,0?x?1,

?

于是Dxz

??D1

??

D2

?

1

x2???dx?

1

x2

z??dx?2

x

z?

?

5

. 6

六、设{an}为单调递增且各项为正的数列,证明

n

收敛的充分必要条件?n?1a1?a2???an

1

收敛。 ?an?1n

?

证明:“?”因为a1?a2???an??,所以a1?a2???an?nan,因而有

?

n1n

?,由正项级数的比较审敛法可知当级数?收敛时级

a?a???aana1?a2???ann?112n

?

?a

n?1

1

n

也是收敛的;

4

“?”因为a1?a2???an?[]an,所以n?2时有[]2n2nn3, ??a1?a2???an[]aan[]n22[2]

??113?s,级数?级数?收敛,不妨设?的前n项部分和为 aaan?1nn?1nn?2n?[]2

3?33???,n?2,4,6,??aaa12n??[]3?2,因而有sn?3s,即级数?的前n项部分和数sn??

n?2an?3?3??3,n?1,3,5,?[]2?a1a2an?1[]??2

列有上界,因而是收敛的,由此可得级数n也是收敛的。 ?n?1a1?a2???an?

?ex,x?0,?1,0?x?2,g(x)??七.设函数f(x)???x计算0,其他.??e,x?0,?Lf(x)g(y?x)ds,其中

L:x?y?1。

?ex,x?0,???y???,?1,0?y?x?2,g(y?x)??解:由于f(x)???x 其他.?0,?e,x?0,???y???,

?ex,x?0,0?y?x?2,? 所以f(x)g(y?x)??e?x,x?0,0?y?x?2,

?0,其他,?

因此f(x)g(y?x)的函数值仅为y?x与y?x?2两直线

之间不为零.(如图) 于是?Lf(x)g(y?x)ds?exds?e?xds??e?xds。 ABBCCD

而AB的参数方程?

1

2

0?x?t,1A的参数为t?,B的参数t?0。

2?y?1?t,因此eds??et?ABx1。 ?

0?x?t,BC的参数方程为? B点t?0,C点t??

1因此?BCe?xds???1e?t?e?1?。y?1?t,?

CD的参数方程为??x?t,1C点t??1,D点t??, 2?y??1?t,

5

因此eds??e?te?。

?x12?1?所以?Lf(x)g(y?x)ds?

1?

e?1??e?e?1?。 ?

6

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com