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全国初中数学竞赛_1998~2012_试题集锦(附解答)

发布时间:2013-12-09 09:30:23  

1998年全国初中数学竞赛试卷

一、选择题:(每小题6分,共30分)

1、已知a、b、c都是实数,并且a?b?c,那么下列式子中正确的是( )

(A)ab?bc(B)a?b?b?c(C)a?b?b?c(D)

2ab? cc2、如果方程x?px?1?0?p?0?的两根之差是1,那么p的值为( )

(A)2(B)4(C)(D)

3、在△ABC中,已知BD和CE分别是两边上的中线,并且BD⊥CE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面积等于( )

(A)12(B)14(C)16(D)18

4、已知abc?0,并且a?bb?cc?a???p,那么直线y?px?p一定通过第( )cab

象限

(A)一、二(B)二、三(C)三、四(D)一、四

5、如果不等式组??9x?a?0的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数a、b的

?8x?b?0

有序数对(a、b)共有( )

(A)17个(B)64个(C)72个(D)81个

二、填空题:(每小题6分,共30分)

6、在矩形ABCD中,已知两邻边AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F分别是垂足,那么PE+PF=___________。

7、已知直线y??2x?3与抛物线y?x相交于A、B两点,O为坐标原点,那么△OAB的面积等于___________。

8、已知圆环内直径为acm,外直径为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链,那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。

9、已知方程ax?3a?8ax?2a?13a?15?0(其中a是非负整数),至少有一个整数根,那么a=___________。

10、B船在A船的西偏北450处,两船相距102km,若A船向西航行,B船同时向南航行,且B船的速度为A船速度的2倍,那么A、B两船的最近距离是___________km。

三、解答题:(每小题20分,共60分) 222?2?2

第1页

11、如图,在等腰三角形ABC中,AB=1,∠A=900,点

E为腰AC中点,点F在底边BC上,且FE⊥BE,求△

CEF的面积。

12、设抛物线y?x2??2a?1?x?2a?A5的图象与x轴4BFC只有一个交点,(1)求a的值;(2)求a18?323a?6的值。

13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台,现在决定把这些机器支援给D市18台,E市10台。已知:从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元;从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元;从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。

(1)设从A市、B市各调x台到D市,当28台机器调运完毕后,求总运费W(元)关于x(台)的函数关系式,并求W的最大值和最小值。

(2)设从A市调x台到D市,B市调y台到D市,当28台机器调运完毕后,用x、y表示总运费W(元),并求W的最大值和最小值。

解 答

1.根据不等式性质,选B..

2111 2.由△=p-4>0及p>2,设x,x2为方程两根,那么有x+x2=-p,xx2=1.又由

12121(x-x2)=(x+x2)-4xx2,

3.如图3-271,连ED,则

又因为DE是△ABC两边中点连线,所以

故选C.

4.由条件得

第2页

三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c),所以有p=2或a+b+c=0.

当p=2时,y=2x+2,则直线通过第一、二、三象限.

线通过第二、三、四象限.

综合上述两种情况,直线一定通过第二、三象限.故选B., y=-x-1,则直

如图3-272. 的可以区间,

+1,3×8+2,3×8+3,??3×8+8,共8个,9×8=72(个).故选C.

6.如图3-273,过A作AG⊥BD于G.因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高,所以PE+PF=AG.因为AD=12,AB=5,所以BD=13

,所

第3页

7.如图3-274,直线y=-2x+3与抛物线y=x的交点坐标为A(1,1),B(-3,9).作AA,111BB分别垂直于x轴,垂足为A,B,所以

21

8.如图3-275,当圆环为3个时,链长为

当圆环为50个时,链长为

9.因为a≠0,解得

故a可取1,3或5.

10.如图3-276,设经过t小时后,A船、B船分别航行到A,

AC=|10-x|,BC=|10-2x|, 111

第4页

所以

11.解法1如图3-277,过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D.因为

∠ABE+∠AEB=90°,

∠CED+∠AEB=90°,

所以 ∠ABE=∠CED.

于是Rt△ABE∽Rt△CED,所以

又∠ECF=∠DCF=45°,所以CF是∠DCE的平分线,点F到CE和CD的距离相等,所以

所以

解法2 如图3-278,作FH⊥CE于H,设FH=h.因为

∠ABE+∠AEB=90°,

∠FEH+∠AEB=90°,

所以 ∠ABE=∠FEH,

于是Rt△EHF∽Rt△BAE.因为

第5页

所以

12.(1)因为抛物线与x轴只有一个交点,所以一元二次方程

有两个相等的实根,于是

(2)由(1)知,a=a+1,反复利用此式可得 422 a=(a+1)=a+2a+1=3a+2, 822 a=(3a+2)=9a+12a+4=21a+13, 1622 a=(21a+13)=441a+546a+169 =987a+610, 182 a=(987a+610)(a+1)=987a+1597a+610 =2584a+1597. 2

因为a-a-1=0,所以64a-64a-65=-1,即

(8a+5)(8a-13)=-1.

所以

a+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796.

13.(1)由题设知,A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x,x,18-2x,发往E市的机器台数分别为10-x,10-x,2x-10.于是

W=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)

=-800x+17200.

1822

第6页

W=-800x+17200(5≤x≤9,x是整数).

由上式可知,W是随着x的增加而减少的,所以当x=9时,W取到最小值10000元;当x=5时,W取到最大值13200元.

(2)由题设知,A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x,y,18-x-y,发往E市的机器台数分别为10-x,10-y,x+y-10.于是

W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)

=-500x-300y+17200.

W=-500x-300y+17200,

W=-200x-300(x+y)+17200 ≥-200×10-300×18+17200=9800. 当x=10,y=8时,W=9800,所以W的最小值为9800.又 W=-200x-300(x+y)+17200 ≤-200×0-300×10+17200=14200, 当x=0,y=10时,W=14200,所以W的最大值为14200.

第7页

1999年全国初中数学竞赛试卷

一、选择题(本题共6小题,每小题5分,满分30分.每小题均给出了代号为A,B, C,D的四个结论,其中只有一个是正确的.请将正确答案的代号填在题后的括号里)

1.一个凸n边形的内角和小于1999°,那么n的最大值是( ).

A.11 B.12 C.13 D.14

2.某城市按以下规定收取每月煤气费:用煤气如果不超过60立方米,按每立方米0.8元收费;如果超过60立方米,超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元,那么4月份该用户应交煤气费( ).

A.60元 B.66元 C.75元 D.78元

3.已知,那么代数式的值为( ).

A. B.- C.- D.

4.在三角形ABC中,D是边BC上的一点,已知AC=5,AD=6,BD=10,CD=5,那么三角形ABC的面积是( ).

A.30 B.36 C.72 D.125

5.如果抛物线与x轴的交点为A,B,项点为C,那么三角形ABC的面积的最小值是( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

6.在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P,使得△PCD与△BCD的面积相等,并且△ABP为等腰三角形,这样的不同的点P的个数为( ).

A.2 B.3 C.4 D.5

二、填空题(本题共6小题,每小题5分,满分30分)

7.已知,那么x + y22的值为 .

8.如图1,正方形ABCD的边长为10cm,点E在边CB的延长线上,且EB=10cm,点P

在 第8页

边DC上运动,EP与

AFPD的面积和为

(0<x<10).

22AB的交点为F.设DP=xcm,△EFB与四边形2ycm,那么,y与x之间的函数关系式是 9.已知ab≠0,a + ab-2b = 0,那么的值为 .

10.如图2,已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中,A,B两点在第Ⅰ象限内,OA与x轴的夹角为30°,那么点B的坐标是 .

11.设有一个边长为1的正三角形,记作A1(如图3),将A1的每条边三等分,在中间的线段上向形外作正三角形,去掉中间的线段后所得到的图形记作A2(如图4);将A2的每条边三等分,并重复上述过程,所得到的图形记作A3(如图5);再将A3的每条边三等分,并重复上述过程,所得到的图形记作A4,那么A4的周长是 .

12.江堤边一洼地发生了管涌,江水不断地涌出,假定每分钟涌出的水量相等.如果用两 台抽水机抽水,40分钟可抽完;如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水,那么至少需要抽水机 台.

三、解答题(本题共3小题,每小题20分,满分60分)

13.设实数s,t分别满足19s + 99s + 1 = 0,t + 99t + 19 = 0,并且st≠1,求

的值.

22

第9页

14.如图6,已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O,对角线AC是直径,对角线AC和

BD的交点是P,AB=BD,且PC=0.6,求四边形ABCD的周长.

15.有人编了一个程序:从1开始,交错地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可以是乘法)每次加法,将上次的运算结果加2或加3;每次乘法,将上次的运算结果乘2或乘3.例如,30可以这样得到:

(1)(10分)证明:可以得到22;

10097 (2)(10分)证明:可以得到2 + 2-2.

1999年全国初中数学竞赛答案

一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.D

二、7.10 8.y = 5x + 50 9. 10. 11. 12.6

三、13.解:∵s≠0,∴第一个等式可以变形为:

又∵st≠1, .

∴,t是一元二次方程x + 99x + 19 = 0的两个不同的实根,于是,有

即st + 1 =-99s,t = 19s.

∴.

14.解:设圆心为O,连接BO并延长交AD于H.

∵AB=BD,O是圆心,

2

第10页

∴BH⊥AD. 又∵∠ADC=90°, ∴BH∥CD.

从而△OPB∽△CPD.

∴CD=1.

于是AD= 又OH=CD= AB= BC=

所以,四边形ABCD的周长为

15.证明: (1)

,于是

, .

也可以倒过来考虑:

(或者 (

2

.)

或倒过来考虑:

第11页

注意:加法与乘法必须是交错的,否则不能得分.

第12页

2000年全国初中数学竞赛试题解答

一、选择题(只有一个结论正确)

1、设a,b,c的平均数为M,a,b的平均数为N,N,c的平均数为P,若a>b>c,则M与P的大小关系是( )。

(A)M=P;(B)M>P;(C)M<P;(D)不确定。

a?b?ca?bN?ca?b?2ca?b?2c,N=,P=,M-P=, ?232212

a?b?2cc?c?2c∵a>b>c,∴>?0,即M-P>0,即M>P。 1212答:(B)。∵M=

2、某人骑车沿直线旅行,先前进了a千米,休息了一段时间,又原路返回b千米(b﹤a),再前进c千米,则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是( )。

答:(C)。因为图(A)中没有反映休息所消耗的时间;图(B)虽表明折返后S的变化,但没有表示消耗的时间;图(D)中没有反映沿原始返回的一段路程,唯图(C)正确地表述了题意。

3、甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么( )。

(A)甲比乙大5岁;(B)甲比乙大10岁;(C)乙比甲大10岁;(D)乙比甲大5岁。 答:(A)。由题意知3×(甲-乙)=25-10,∴甲-乙=5。

4、一个一次函数图象与直线y=595与x轴、y轴的交点分别为A、B,并且过点(-x?平行,44

1,-25),则在线段AB上(包括端点A、B),横、纵坐标都是整数的点有( )。

(A)4个;(B)5个;(C)6个;(D)7个。

答:(B)。在直线AB上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是x=-1+4N,y=-25+5N,(N是整数).在线段AB上这样的点应满足-1+4N>0,且-25+5N≤0,∴

2,3,4,5。

5、设a,b,c分别是△ABC的三边的长,且1≤N≤5,即N=1,4aa?b,则它的内角∠A、∠B的关系是( )。 ?ba?b?c

(A)∠B>2∠A;(B)∠B=2∠A;(C)∠B<2∠A;(D)不确定。

第13页

答:(B)。由aa?bab得?,延长CB至D,使BD=AB,于是CD=a+c,在△ABC?ba?b?cba?c

与△DAC中,∠C为公共角,且BC:AC=AC:DC,∴△ABC∽△DAC,∠BAC=∠D,∵∠BAD=∠D,∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D=2∠BAC。

6、已知△ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,△A1B1C1的三边长分别为a1,b1,C1面积为S1,且a>a1,b>b1,c>c1则S与S1的大小关系一定是( )。

(A)S>S1;(B)S<S1;(C)S=S1;(D)不确定。

答:(D)。分别构造△ABC与△A1B1C1如下:①作△ABC∽△A1B1C1,显然

即S>S1;②设,则,S=10,,,则S1=×100>10,即S<S1;③设,则,则,S=10

,,S1=10,即S=S1;因此,S与S1的大小关系不确

定。

二、填空题

7、已知:,那么=________。

答:1。∵,即。∴

第14页

8、如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=8,BC=6

形ABCD的面积等于________。

,∠BCD=45°,∠BAD=120°,则梯

答:66+6(平方单位)。作AE、BF垂直于DC,垂足分别为E、F,由BC=6,∠BCD

,=45°,得AE=BF=FC=6。由∠BAD=120°,得∠DAE=30°,因为AE=6得DE=2

AB=EF=8,DC=2+8+6=14+2,∴

9、已知关于的方程。 的根都是整数,那么符合条件的整数有________个。

答:5。①当时,;②当时,易知

是方程的一个整数根,再由且合条件的整数是整数,知,∴;由①、②得符有5个。

10、如图,工地上竖立着两根电线杆AB、CD,它们相距15米,分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处,向两侧地面上的E、D;B、F点处,用钢丝绳拉紧,以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。

第15页

答:2.4米。作PQ⊥BD于Q,设BQ=米,QD=米,PQ=米,由AB∥PQ∥CD,得及,两式相加得,由此得米。即点P离地面的高度为2.4米。(注:由上述解法知,AB、CD之间相距多远,与题目结论无关。)

11、如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(15,6),直线

好将矩形OABC分成面积相等的两部分,那么=________。 恰

答:。直线通过点D(15,5),故BD=1。当时,直线通过,两点,则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。

12、某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润率增加了8个百分点,那么经销这种商品原来的利润率是________。 (注:×100%)

答:17%。设原进价为元,销售价为元,那么按原进价销售的利润率为×100%,原进价降低6.4%后,在销售时的利润率为×100%,依题意得:

×100%+8%=×100%,解得=1.17,故这种商品原来的利润率为

三、解答题

13、设是不小于×100%=17%。 的实数,使得关于

的方程有两个不相等的实数根。

第16页

(1)若,求的值。

(2)求的最大值。

解:因为方程有两个不相等的实数根,所以

,∴

(1)因为

,即

。根据题设,有

。 由于(2

,故。

设上是递减的,所以当时,取最大值10。故的最大值为10。 第17页

14、如上图:已知四边形ABCD外接圆O的半径为2,对角线AC与BD的交点为E,AE=EC,AB=2AE,且BD=2,求四边形ABCD的面积。

解:由题设得AB=2AE=AE·AC,∴AB:AC=AE:AB,又∠EAB=∠BAC,∴△ABE∽△ACB,∴∠ABE=∠ACB,从而AB=AD。连结AD,交BD于H,则BH=HD=。 ∴OH==1,AH=OA-OH=2-1=1。 22

∴,

,∴,∴,∵E是AC的中点,。

15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层,它一次最多能容纳32人,而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说,他往下走一层楼梯感到1分不满意,往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层,并且他们分别住在第2至第33层的每一层,问:电梯停在哪一层,可以使得这32个人不满意的总分达到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)

解:易知,这32个人恰好是第2至第33层各住1人。

对于每个乘电梯上、下楼的人,他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上,设住第s层的人乘电梯,而住第t层的人直接走楼梯上楼,

其余的人不变,则不满意总分不增,现分别考虑如下: 设电梯停在第

①当

满意总分为

。 层。 时,若住第s层的人乘电梯,而住第t层的人直接走楼梯上楼,则这两者不;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分也为。交换两人上楼方式,

第18页

②当

满意总分为③当

满意总分为

时,若住第s层的人乘电梯,而住第t层的人直接走楼梯上楼,则这两者不;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分也为。 时,若住第s层的人乘电梯,而住第t层的人直接走楼梯上楼,则这两者不;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分为,前者比后者多。 ④当意总分为时,若住第层的人乘电梯,而住第层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分为

。 ,前者比后者多

⑤当

意总分为前者比后者多

今设电梯停在第时,若住第层的人乘电梯,而住第层的人直接走楼梯上楼,则这两者不满;交换两人上楼方式,则这两者不满意总分为。 层,在第一层有人直接走楼梯上楼,那么不满意总分为:

当x=27,y=6时,s=316。

所以,当电梯停在第27层时,这32个人不满意的总分达到最小,最小值为316分。

第19页

2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷

姓名

一、选择题(30分)

2n?4?2(2n)1、化简,得( ) n?32(2)

771 (B) ?2n?1 (C) (D) 848

a?bb?cc?a2、如果a,b,c是三个任意整数,那么 ( ) ,,222(A)2n?1?

(A)都不是整数 (B)至少有两个整数 (C)至少有一个整数 (D)都是整数

3、如果a,b是质数,且a?13a?m?0,b?13b?m?0,那么

(A)22ba?的值为( ) ab123125125123 (B) (D)或2 (C)或2 22222222

4、如图,若将正方形分成k个全等的矩形,其中上、 1 2

下各横排两个,中间竖排若干个,则k的值为( ) ??

(A)6 (B)8 (C)10 (D)12

3 4

5、如图,若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB

交于点D,且PB=4,PD=3,则AD?DC等于( ) P

(A)6 (B)7 (C)12 (D)16

D A B 6、若a,b是正数,且满足12345?(111?a)(111?b),则a和 (A)a?b (B)a?b (C)a?b (D二、填空题(30分)

7、已知:x?

2?2?2,y?23?23?2。那么yx?? x2y28、若x?xy?y?14,y?xy?x?28,则x?y的值为

9、用长为1,4,4,5的线段为边作梯形,那么这个梯形的面积等于

10、销售某种商品,如果单价上涨m%,则售出的数量就将减少

销售总金额最大,那么m的值应该确定为

11、在直角坐标系xOy中,x轴上的动点M(x,0)到定点P(5,5)、Q(2,1)的距 第20页 m。为了使该商品的150

离分别为MP和MQ,那么当MP+MQ取最小值时,点M的横坐标x?

12、已知实数a,b满足a?ab?b?1,且t?ab?a?b,那么t的取值范围是

三、解答题(60分)

13、某个学生参加军训,进行打靶训练,必须射击10次。在第6、第7、第8、第9次射击中,分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环。他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环。那么他在第10次射击中至少要得多少环?(每次射击所得环数都精确到0.1环)

14、如图,已知点P是⊙O外一点,PS、PT是⊙O的两条切线,过点P作⊙O的割线PAB,交⊙O于A,B两点,并交ST于点C。 求证:22221111?(?).

PC2PAPB

S A

C

O

15、已知:关于x的方程

(a2?1)(x2x)?(2a?7)(?11?0 x?1x?1

有实根。

(1) 求a取值范围;

(2) 若原方程的两个实数根为x1,x2,且

,

x1x3?2?,求a的值。 x1?1x2?111

第21页

2002年全国初中数学竞赛试题

一、选择题(每小题5分,共30分)

1、设a<b<0,a2+b2=4ab,则a?b的值为 a?b

A、3 B、6 C、2 D、3

2、已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为

A、0 B、1 C、2 D、3

3、如图,点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点,连AF、CE交于点G,则

等于 S四边形AGCDS矩形ABCD

54D B、 65

32C、 D、 43AA、CG2F?B2??4、设a、b、c为实数,x=a-2b+,y=b-2c+,z=c2-2a+,则x、y、z中至少333

有一个值

A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0

5、设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0,有两个不等的实数根x1、x2,且x1<1<x2,那么a的取值范围是

222<a< B、a> 557

22C、a<? D、?<a<0 711A、?

6、A1A2A3?A9是一个正九边形,A1A2=a,A1A3=b,则A1A5等于

A、a?b B、a?ab?b

C、22221?a?b? D、a+b 2

二、填空题(每小题5分,共30分)

7、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实数根,

则(x1-2x2)(x2-2x1)的最大值为

8、已知a、b为抛物线y=(x-c)(x-c-d)-2与x轴交点的横坐标,a<b,则a?c?c?b的值为 。

第22页

9、如图,在△ABC中,∠ABC=600,点P是△ABC内的一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB= 。

A

BA P

B

10、如图,大圆O的直径AB=acm,分别以OA、OA为直径作⊙O1、⊙O2,并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4,

这些圆互相内切或外切,则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。

+11、满足(n2-n-1)n2=1的整数n有 ___________个。

12、某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏本,售价的折扣(即降价的百分数)不得超过d%,则d可以用p表示为 。

三、解答题(每小题20分,共60分)

23天完成,需付180000元;由乙、丙两队承包,354

6天完成,需付150000元;由甲、丙两队承包,2天完成,需付160000元。现在工程由一个713、某项工程,如果由甲、乙两队承包,2

队单独承包,在保证一周完成的前提下,哪个队的承包费用最少?

14、如图,圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF,且对角线AD、BE、CF交于一点Q,设AD与CE的交点为P。

(1) 求证:QDAC ?

EDECAB

Q

P

EDCCPAC2F?(2)求证: 2PECE

第23页

15、如果对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数(即整数的平方)。 证明:(1)2a、2b、c都是整数;

(2)a、b、c都是整数,并且c是平方数;反过来,如果(2)成立,是否对一切的x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数?

第24页

2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结

论,其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填

或错填,得零分)

5x2?2y2?z2

1.若4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),则2的值等于 ( ). 2x?3y2?10z2

(A) ?119 (B) ? (C) ?15 (D) ?13 22

2.在本埠投寄平信,每封信质量不超过20g时付邮费0.80元,超过20g而不超过40g时付邮

费1.60元,依次类推,每增加20g需增加邮费0.80元(信的质量在100g以内)。如果所寄一

封信的质量为72.5g,那么应付邮费 ( ).

(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元

3.如下图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=( ).

(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°

A A B

D F C O C

E D B (第4题图) 4.四条线段的长分别为9,,用它们拼成两个直角三角形,且AB(第3题图) 5,x,1(其中x为正实数)

与CD是其中的两条线段(如上图),则x可取值的个数为( ).

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个

5.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将其排

列成前多后少的梯形队阵(排数≥3),且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后

一排的人均站在前一排两人间的空挡处,那么,满足上述要求的排法的方案有( ).

(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6.已知x?1?3,那么

7.若实数x,y,z满足x?111?2??. x?2x?4x?21117?4,y??1,z??,则xyz的值为yzx3

8.观察下列图形:

第25页

① ②

③ ④

根据图①、②、③的规律,图④中三角形的个数为 .

9.如图所示,已知电线杆AB直立于地面上,它的

影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上,如果CD

与地面成45o,∠A=60o CD=4m,

BC=46?22m,则电线杆AB的长为_______m.

??

10.已知二次函数y?ax?bx?c(其中a是正整2

(第9题图)

数)的图象经 过点A(-1,4)与点B(2,1),并且与x轴有两个不同的交点,则b+c的最大值为 .

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P. 问EP与PD是否相等?证明你的结论.

解:

(第11题图)

第26页

12.某人租用一辆汽车由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所

需的时间(单位:小时)如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指

出此人从A城出发到B城的最短路线(要有

推理过程),并求出所需费用最少为多少元?

解:

13B.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°. CD2?BD2AD?BD?(1)当点D在斜边AB内部时,求证:. BC2AB

(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.

(3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.

B

第27页

14B.已知实数a,b,c满足:a+b+c=2,abc=4.

(1)求a,b,c中的最大者的最小值;

(2)求a?b?c的最小值.

注:13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题. 13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A和14A两题可留作考试后的研究题。

13A.如图所示,⊙O的直径的长是关于x的二次方程x?2(k?2)x?k?0(k是整数)的最大整数根. P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B,C是直线PBC与⊙O的交点.若PA,PB,PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求2PA2?PB2?PC2的值.

解:

P

14A.沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4

个数a,b,c,d满足不等式(a?d)(b?c)>0,那

么就可以交换b,c的位置,这称为一次操作. 第28页

(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a?d)(b?c)≤0?请说明理由.

(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,?,2003,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a?d)(b?c)≤0?请说明理由.

解:(1)

6

5

4 3 (2)

2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案与评分标准

一、选择题(每小题6分,满分30分)

1.D

?4x?3y?6z?0,?x?3z,由? 解得? 代入即得. x?2y?7z?0,y?2z.??

2.D

因为20×3<72.5<20×4,所以根据题意,可知需付邮费0.8×4=3.2(元).

3.C

如图所示,∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°,∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°, 第29页

而∠BMN +∠FNM =∠D+180°,所以

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

A G

AB

C O F M C

N

4.D

显然AB是四条线段中最长的,故AB=9或AB=x。

222(1)若AB=9,当CD=x时,9?x?(1?5),x?35; D B 当CD=5时,9?5?(x?1),x?2?1;

222当CD=1时,9?1?(x?5),x?4?5.

222(2)若AB=x,当CD=9时,x?9?(1?5),x?3;

222当CD=5时,x?5?(1?9),x?5;

222当CD=1时,x?1?(5?9),x?. 222

故x可取值的个数为6个.

5.B

设最后一排有k个人,共有n排,那么从后往前各排的人数分别为k,k+1,k+2,?,k+(n-1),由题意可知kn?n(n?1)?100,即n?2k??n?1???200. 2

因为k,n都是正整数,且n≥3,所以n<2k+(n-1),且n与2k+(n-1)的奇偶性不同. 将200分解质因数,可知n=5或n=8. 当n=5时,k=18;当n=8时,k=9. 共有两种不同方案.

6.?3. 2

?33111?41?3??=。 ?2??2?2?222x?2x?4x?2x?4x?4x?4(1?)?4

7.71?11z7x?3?x??x??x?因为4?x??x?, 171yz?14x?31???1z3x

所以 4(4x?3)?x(4x?3)?7x?3, 第30页

3. 2

71725132从而 z?????,y?1??1??. 3x333z55

325于是 xyz?

??

?1. 253解得 x?

8.根据图中①、②、③的规律,可知图④中三角形的个数为

1+4+3×4+32?4+33?4=1+4+12+36+108=161(个).

9.62.

如图,延长AD交地面于E,过D作DF⊥

CE于F.

因为∠DCF=45°,∠A=60°,CD=4m,所以

CF=DF=22m, EF=DFtan60°=2(m). 因为AB?tan30??BE3

3?62(m). 3,所以AB?BE?

10.-4.

由于二次函数的图象过点A(-1,4),点B(2,1),所以??a?b?c?4, 4a?2b?c?1,?

?b??a?1,解得 ? c?3?2a.?

因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点,所以??b2?4ac?0, (?a?1)2?4a(3?2a)?0,即(9a?1)(a?1)?0,由于a是正整数,故a?1, 所以a≥2. 又因为b+c=-3a+2≤-4,且当 a=2,b=-3,c=-1时,满足

题意,故b+c的最大值为-4.

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O

的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点

E,连结AC,与DE交于点P. 问EP与PD是否相 第31页

等?证明你的结论.

解:DP=PE. 证明如下:

因为AB是⊙O的直径,BC是切线,

所以AB⊥BC.

由Rt△AEP∽Rt△ABC,得

EPAE . ① ??(6分) ?BCAB

又AD∥OC,所以∠DAE=∠COB,于是Rt△AED∽Rt△OBC.

故EDAEAE2AE ② ??(12分) ???BCOB1ABAB2

由①,②得 ED=2EP.

所以 DP=PE. ??(15分)

12.某人租用一辆汽车由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线(要有推理过程),并求出所需费用最少为多少元?

解:从A城出发到达B城的路线分成如下两类:

(1)从A城出发到达B城,经过O城. 因为从A城到O城所需最短时间为26小时,从O城到B城所需最短时间为22小时. 所以,此类路线所需 最短时间为26+22=48(小时). ??(5分)

(2)从A城出发到达B城,不经过O城. 这时从A城到达B城,必定经过C,D,E城或F,G,H城,所需时间至少为49小

时. ??(10分) 综上,从A城到达B城所需的最短时间为48 小时,所走的路线为:

A→F→O→E→B. ??(12分) 所需的费用最少为: 80×48×1.2=4608(元)?(14分) 答:此人从A城到B城最短路线是A→

F→O→E→B,所需的费用最少为4608

元 ??(15分) 13B.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°. (1)当点D在斜边AB内部时,求证:22CD?BDAD?BD?. 2BCAB

(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.

(3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小题中的

等式是否存在?请说明理由. E 第32页

B D A

解:(1)作DE⊥BC,垂足为E. 由勾股定理得

CD2?BD2?(CE2?DE2)?(BE2?DE2)

?CE2?BE2?(CE?BE)BC.

CD2?BD2CE?BECEBE所以 . ???BCBCBCBC2

因为DE∥AC,所以 CEADBEBD. ?,?BCABBCAB

CD2?BD2ADBDAD?BD故 . ??(10分) ???ABABABBC2

(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式仍然成立。此时有

AD=0,CD=AC,BD=AB.

CD2?BD2AC2?AB2?BC2

所以 ????1, 222BCBCBC

AD?BD?AB???1. ABAB

从而第(1)小题中的等式成立. ??(13分)

(3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小题中的等式不成立.

作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,则

2222E CD?BDCE?BE?BC2BC2

CE?BE2CE????1?,BCBCAD?BD?AB而???1, ABABBA D

CD2?BD2AD?BD?所以 . ??(15分) ABBC2

〖说明〗第(3)小题只要回答等式不成立即可(不成立的理由表述不甚清 者不扣分).

14B.已知实数a,b,c满足:a+b+c=2,abc=4.

(1)求a,b,c中的最大者的最小值;

(2)求a?b?c的最小值.

解:(1)不妨设a是a,b,c中的最大者,即a≥b,a≥c,由题设知a>0, 且b+c=2-a,bc?4. a

第33页

于是b,c是一元二次方程x2?(2?a)x?4?0的两实根, a

4??(2?a)2?4?≥0, a

a3?4a2?4a?16≥0,(a2?4)(a?4)≥0. 所以a≥4. ??(8分)

又当a=4,b=c=-1时,满足题意.

故a,b,c中最大者的最小值为4. ??(10分)

(2)因为abc>0,所以a,b,c为全大于0或一正二负.

1) 若a,b,c均大于0,则由(1)知,a,b,c中的最大者不小于4,这与a+b+c=2矛

盾.

2)若a,b,c为或一正二负,设a>0,b<0,c<0,则

a?b?c?a?b?c?a?(2?a)?2a?2,

由(1)知a≥4,故2a-2≥6,当a=4,b=c=-1时,满足题设条件且使得不等式等号成立。故a?b?c的最小值为6. ??(15分)

13A.如图所示,⊙O的直径的长是关于x的二次方程x?2(k?2)x?k?0(k是整数)的最大整数根. P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B,C是直线PBC与⊙O的交点. 若PA,PB,PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求 2PA2?PB2?PC2的值.

解:设方程x?2(k?2)x?k?0的两个根

为x1,x2,x1≤x2.由根与系数的关系得 2

x1?x2?4?2k, ①

Px1x2?k. ②

由题设及①知,x1,x2都是整数. 从①,②消去k,得 2x1x2?x1?x2?4,

(2x1?1)(2x2?1)?9.

由上式知,x2?4,且当k=0时,x2?4,故最大的整数根为4.

第34页

于是⊙O的直径为4,所以BC≤4.

因为BC=PC-PB为正整数,所以BC=1,2,3或4. ??(6分)

连结AB,AC,因为∠PAB=∠PCA,所以PAB∽△PCA,

PAPC。 ?PBPA

故 PA?PB(PB?BC) ③ ??(10分)

(1)当BC=1时,由③得,PA2?PB2?PB,于是 2

PB2?PA2?(PB?1)2,矛盾!

(2)当BC=2时,由③得,PA?PB?2PB,于是 22

PB2?PA2?(PB?1)2,矛盾!

(3)当BC=3时,由③得,PA2?PB2?3PB,于是

(PA?PB)(PA?PB)?3PB,

由于PB不是合数,结合PA?PB?PA?PB,故只可能

?PA?PB?1,??PA?PB?3PB,

解得 ??PA?PB?3,?PA?PB?PB, ? ?PA?PB?PB,PA?PB?3,???PA?2,

?PB?1.

此时 PA2?PB2?PC2?21.

(4)当BC=4,由③得,PA?PB?4PB,于是 22

(PB?1)2?PB2?4PB?PA2?(PB?2)2,矛盾.

综上所述

PA2?PB2?PC2?21. ??(15分)

14A.沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式(a?d)(b?c)>0,那么就可以交换b,c的位置,这称为一次操作.

(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a?d)(b?c)≤0?请说明理由.

第35页

(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,?,2003,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有(a?d)(b?c)≤0?请说明理由.

解:(1)答案是肯定的. 具体操作如下:

2

??(5分)

(2)答案是肯定的. 考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P. ??(7分) 开始时,P0=1×2+2×3+3×4+?+2002×2003+2003×1,经过k(k≥0)次操作后,这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk,此时若圆周上依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式(a?d)(b?c)>0,即ab+cd>ac+bd,交换b,c的位置后,这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk?1,有

Pk?1?Pk?(ac?cb?bd)?(ab?bc?cd)?ac?bd?ab?cd?0.

所以Pk?1?Pk??1,即每一次操作,相邻两数乘积的和至少减少1,由于相邻两数乘积总大于0,故经过有限次操作后,对任意依次相连的4个数a,b,c,d,一定有(a?d)(b?c)≤0. ?

第36页

2004年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案和评分标准

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分)

1. 已知实数a?b,且满足(a?1)?3?3(a?1),3(b?1)?3?(b?1).则b

值为( ).

(A)23 (B)?23 (C)?2 (D)?13

答:选(B)

∵ a、b是关于x的方程 22ba?a的ab

?x?1?2?3(x?1)?3?0

的两个根,整理此方程,得

x2?5x?1?0,

∵ ??25?4?0,

∴ a?b??5,ab?1.

故a、b均为负数. 因此 babaa2?b2

b?a??ab?ab??ababab2?a?b??2abab????23. ab

2. 若直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有 ( ).

(A)ab?h2 (B)

答:选(C)

∵ a?h?0,b?h?0,

∴ ab?h2,a2?b2?h2?h2?2h2;

因此,结论(A)、(D)显然不正确.

设斜边为c,则有a?b?c,111111?? (C)2?2?2 (D)a2?b2?2h2 abhabh111(a?b)h?ch?ab,即有 222

111??, abh

因此,结论(B)也不正确. 由11111a2?b2h?ab化简整理后,得2?2?2, 22abh

因此结论(C)是正确的.

第37页

3.一条抛物线y?ax?bx?c的顶点为(4,?11),且与x轴的两个交点的横坐标为一正

一负,则a、b、c中为正数的( ).

(A)只有a (B)只有b (C)只有c (D)只有a和b 2

答:选(A)

由顶点为(4,?11),抛物线交x轴于两点,知a>0.

设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,即为方程

ax2?bx?c?0

的两个根.

由题设xc

1x2?0,知a?0,所以c?0.

根据对称轴x=4,即有?b

2a?0,知b<0.

故知结论(A)是正确的.

4.如图所示,在△ABC中,DE∥AB∥FG,且FG到DE、AB的距

离之比为1:2. 若△ABC的面积为32,△CDE的面积为2,则△

CFG的面积S等于 ( ).

(A)6 (B)8

(C)10 (D)12

答:选(B)

由DE∥AB∥FG知,△CDE∽△CAB,△CDE∽△CFG,所以

CDS?CDE2

CA?S?32?1

?CAB4, 又由题设知FD

FA?1

2,所以

FD1

AD?3,

FD?11

3AD?3?3

4AC?1

4AC,

故FD?DC,于是

S2

?CDE?

S??1?

2???1

4,S?CFG?8.

?CFG?

因此,结论(B)是正确的.

5.如果x和y是非零实数,使得

x?y?3和xy?x3?0,

那么x+y等于( ).

第38页

(A)3 (B) (C)

答:选(D) 1? (D)4? 2

将y?3?x代入xy?x?0,得x?x?3x?0.

(1)当x>0时,x3?x2?3x?0,方程x2?x?3?0无实根;

(2)当x<0时,x3?x2?3x?0,得方程x2?x?3?0

解得x?3321?1?,正根舍去,从而x?. 22

于是y?3?x?3?

故x?y?4?. 1?7?. ?22

因此,结论(D)是在正确的.

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6. 如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,?BAD?60?,

则?EDC? (度).

答:30°

解:设?CAD?2?,由AB=AC知

1(180??60??2?)?60???, 2

?ADB?180???B?60??60???,

由AD=AE知,?ADE?90???,

所以?EDC?180???ADE??ADB?30?. ?B?

位:万人)以及两城市间的距离d(单位:km)有T?7.据有关资料统计,两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n(单kmn的关系(k为常数) . 现测得A、B、2d

C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示,且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t,那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为t表示). 答:t 2

解:据题意,有t?

∴k?50?80k, 216032t. 5

因此,B、C两个城市间每天的电话通话次

数为

TBC?k?

8.已知实数80?10032t5t. ???56423202a、b、x、y满足a?b?x?y?2,ax?by?5,则(a2?b2)xy?ab(x2?y2)?.

答:?5

解:由a?b?x?y?2,得(a?b)(x?y)?ax?by?ay?bx?4,

∵ ax?by?5,

∴ ay?bx??1.

因而,(a?b)xy?ab(x?y)?(ay?bx)(ax?by)??5.

9. 如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC (BC>AD),2222

?D?90?,BC=CD=12, ?ABE?45?,若AE=10,则CE

的长为 .

答:4或6

解:延长DA至M,使BM⊥BE. 过B作BG⊥AM,G为垂

足.易知四边形BCDG为正方形, 所以BC=BG. 又

?CBE??GBM,

∴ Rt△BEC≌Rt△BMG.

∴ BM=BE,?ABE??ABM?45?,

∴△ABE≌△ABM,AM=AE=10.

设CE=x,则AG=10?x,AD=12?(10?x)?2?x,DE=12?x.

在Rt△ADE中,AE?AD?DE,

∴ 100?(x?2)?(12?x),

即x2?10x?24?0,

解之,得x1?4,x2?6.

故CE的长为4或6.

10.实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,则z的最大值是 答:2222213 3

2解:∵ x?y?5?z,xy?3?z(x?y)?3?z(5?z)?z?5z?3,

第40页

∴ x、y是关于t的一元二次方程

t2?(5?z)t?z2?5z?3?0

的两实根.

∵ ??(5?z)?4(z?5z?3)?0,即 22

3z2?10z?13?0,(3z?13)(z?1)?0.

13131,当x?y?时,z?. 333

13故z的最大值为. 3∴ z?

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.通过实验研究,专家们发现:初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持平稳的状态,随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示(y越大表示学生注意力越集中). 当0?x?10时,图象是抛物线的一部分,当10?x?20和20?x?40时,图象是线段.

(1)当0?x?10时,求注意力指标数y与时间x的函数关系式;

(2)一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排,使学生在听这道题时,注意力的指标数都不低于36.

解:(1)当0?x?10时,设抛物线的函数关系式

为y?ax?bx?c,由于它的图象经过点(0,20),

(5,39),(10,48),所以

2

?c?20,??25a?5b?c?39, ?100a?10b?c?48.?

241解得,a??,b?,c?20. 55

所以 124y??x2?x?20,0?x?10. ???????(5分) 55

7(2)当20?x?40时,y??x?76. 5

124所以,当0?x?10时,令y=36,得36??x2?x?20, 55

解得x=4,x?20(舍去);

第41页

当20?x?40时,令 y=36,得36??7x?76,解得 5

2004x??28. ????????(10分) 77

因为2844?4?24?24,所以,老师可以经过适当的安排,在学生注意力指标数不低于3677

时,讲授完这道竞赛题. ????????(15分)

12.已知a,b是实数,关于x,y的方程组

?y?x3?ax2?bx, ??y?ax?b

有整数解(x,y),求a,b满足的关系式.

解:将y?ax?b代入y?x?ax?bx,消去a、b,得

y?x?xy, ?????????(5分) 332

(x?1)y?x3.

若x+1=0,即x??1,则上式左边为0,右边为?1不可能. 所以x+1≠0,于是

x31y??x2?x?1?. x?1x?1

因为x、y都是整数,所以x?1??1,即x??2或x?0,进而y=8或y?0. 故

??x??2 或 y?8??x?0 ?????????(10分) ?y?0?

当??x??2时,代入y?ax?b得,2a?b?8?0;

?y?8

当??x?0时,代入y?ax?b得,b?0. y?0?

综上所述,a、b满足关系式是2a?b?8?0,或者b?0,a是任意实数.

??????

???(15分)

13.D是△ABC的边AB上的一点,使得AB=3AD,P是△ABC外

PB的值. PD

解:连结AP,则?APB??ACB??ADP, 接圆上一点,使得?ADP??ACB,求

第42页

所以,△APB∽△ADP, ??????????(5分) ∴ABAP, ?APAD

所以AP2?AB?AD?3AD2, ∴AP?

所以AD, ??????????(10分) PBAP??3. ??????????(15分) PDAD

214.已知a?0,b?0,c?0,且b?4ac?b?2ac,求b2?4ac的最小值.

解:令y?ax?bx?c,由a?0,b?0,c?0,判别式2

??b2?4ac?0,所以这个二次函数的图象是一条开口向下的

抛物线,且与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0),因为

c?0,不妨设x1?x2,则x1?0?x2,对称轴a

bx???0,于是 2ax1x2??b?b2?4acb?b2?4acx1???c, ??????(5分) 2a2a

4ac?b2b?b2?4acb2?4ac?c???所以, ???????(10分) 4a2a2a

故b2?4ac?4,

当a??1,b=0,c=1时,等号成立.

所以,b2?4ac的最小值为4. ?????????(15分)

2005年全国初中数学竞赛试卷

第43页

一、选择题(满分30分)

1.如图a,ABCD是一矩形纸片,AB=6cm,AD=8cm,E是AD上一点,且AE=6cm,操作:⑴将AB向AE折过去,使AB与AE重合,得折痕AF,如图b;⑵将△AFB以BF为折痕向右折过去,得图c,则△GFC的面积为( )

EB(E)DDB(E)DAAA

CBFFCFC 图a图c图b

A.2 B.3 C.4 D.5

2.若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是实数),则M的值一定是( )

A.正数 B.负数 C.零 D.整数

3.已知点I是锐角△ABC的内心,A1,B1,C1分别是点I关于边BC,CA,AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接圆上,则∠ABC等于( )

A.30° B.45° C.60° D.90°

4.设A?48?(111???),则与A最接近的正整数是( ) 32?442?41002?4

A.18 B.20 C.24 D.25

5.在自变量x的取值范围59≤x≤60内,二次函数y?x2?x?1的函数值中整数的个数是( ) 2

A.59 B.120 C.118 D.60

二、填空题(满分30分)

6.在一个圆形的时钟的表面,OA表示秒针,OB表示分针(O为两针的旋转中心)。若现在时间恰好是12点整,则经过_____秒后,△OAB的面积第一次达到最大。

32m(m?0)与x轴交于A,B的两点。若A,B两4112点到原点的距离分别为OA,OB,且满足??,则m=_____. OBOA37.在直角坐标系中,抛物线y?x2?mx?

第44页

8.有两幅扑克牌,每幅的排列顺序是:第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列,每种花色的牌又按A,2,3,?,J,Q,K的顺序排列。某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放在一起,然后从一到下把第一张丢去,把第二张放在最底层,再把第三张丢去,把第四张放在底层,??如此下去,直至最后只剩下一张牌,则所剩的这张牌是_________

9.已知D,E分别是△ABC的边BC,CA上的点,且BD=4,DC=1,AE=5,EC=2。连结AD

和BE,它们交于点P。过P分别作PQ∥CA,PR∥CB,它们分

别与边AB交于点Q,R,则△PQR的面积与△ABC的面积的比

是________ 10.已知x1,x2,x3,?x19都是正整数,且x1+x2+x3+?+x19=59,

x12+x22+x32+?+x192的最大值为A,最小值为B,则A+B的值等

于_________。

三、解答题、(满分60分)

11.8 人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘4人(不包括司机)。其中一辆小汽车在距离火车站15km地方出现故障,此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可用的交通工具是另一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘5人,且这辆车的平均速度是60km/h,人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案,通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。

12.如图,半径不等的两圆相交于A、B两点,线段CD经过点A,且分别交两圆于C、D两点。连结BC、BD,设P,Q,K分别是BC,BD,CD的中点。M,N分别是弧BC和弧BD的中点。求证:(1)

BBPNQ (2) ①△KPM∽△NQK ?MPBQCDPQM第14题图N

第45页

13. .已知p,q都是质数,且使得关于x的二次方程x2-(8p-10q)x+5pq=0

至少有一个正整数根,求所有的质数对(p,q).

14.从1,2….,205个共205 个正整数中,最多能取出多少个数。使得对于取出来的数中的任意三个数a,b,c (a,<b<c),都有ab≠c.

2006年全国初中数学竞赛试题

考试时间 2006年4月2日上午 9∶30-11∶30 满分120分

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分)

第46页

1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )

(A)36 (B)37 (C)55 (D)90

2.已知m?1?222,n?1?2,且(7m?14m?a)(3n?6n?7)=8,则a的值等于( )

(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)9

3.Rt△ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y?x上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h,则( )

(A)h<1 (B)h=1 (C)1<h<2 (D)h>2

4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分??如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( )

(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007

5.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连结DP,交AC于点Q.若QP=QO,则2QC的值为( ) QAC (A)2?1 (B)2

(C)3?2 (第5题图) B (D)?2

二、填空题 (共5小题,每小题6分,满分30分)

6.已知a,b,c为整数,且a+b=2006,c-a=2005.若a<b,则a+b+c的最大值为 . 7.如图,面积为ab?c的正方形DEFG内接于

面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c为整数,

且b不能被任何质数的平方整除,则a?c的值 bG

等于 . 8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A、C两点同时出发,沿A→B

(第467题图) →C→D→E→A→?方向绕广场行走,甲的速度为50米/分,乙的速度为米/分.那么出发

后经过 分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上.

第47页

9.已知0<a<1,且满足?a??

?1??2?29???a????a??????18,则?10a?的值等于 30?3030?????

.(?x?表示不超过x的最大整数)

10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是 .

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.已知x?b,a,b为互质的正整数(即a,b是正整数,且它们的最大公约数为1),且a

a≤8,2?1?x?3?1.

(1) 试写出一个满足条件的x;

(2) 求所有满足条件的x.

12.设a,b,c为互不相等的实数,且满足关系式

b2?c2?2a2?16a?14 ①

bc?a2?4a?5 ②

求a的取值范围.

13.如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K.求证:PE·AC=CE·KB.

P

K

第48页

14.10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.求n的最小值.

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分)

第49页

1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )

(A)36 (B)37 (C)55 (D)90

答:C.

解:因为4和9的最小公倍数为36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处.

故选C.

2.已知m?1?2,n?1?2,且(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8,则a的值等于( )

(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)9

答:C.

解:由已知可得m2?2m?1,n2?2n?1.又

(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8,所以 (7?a)(3?7)?8 解得a=-9

故选C.

3.Rt△ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y?x上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h,则( )

(A)h<1 (B)h=1 (C)1<h<2 (D)h>2

答:B.

解:设点A的坐标为(a,a2),点C的坐标为(c,c2)(|c|<|a|),则点B的坐标为 (-a,a2),由勾股定理,得AC?(c?a)?(c?a), 222222

BC2?(c?a)2?(c2?a2)2, AC2?BC2?AB2

所以 (a?c)?a?c.

由于a2?c2,所以a2-c2=1,故斜边AB上高h= a2-c2=1

故选B.

4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分??如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( )

(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007

答:B.

解:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加360°.于是,剪过k次后,可得(k+1)个多边形,这些多边形的内角和为(k+1)×22222 第50页

360°.

因为这(k+1)个多边形中有34个六十二边形,它们的内角和为34×(62-2)×180°=34×60×180°,其余多边形有(k+1)-34= k-33(个),而这些多边形的内角和不少于(k-33) ×180°.所以(k+1)×360°≥34×60×180°+(k-33)×180°,解得k≥2005.

当我们按如下方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形;再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形??如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形.再取33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便34个六十二边形和33×58个三角形.于是共剪了 58+33+33×58=2005(刀).

故选B.

5.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连结DP,交AC于点Q.若QP=QO,则

QC

的值为( ) QA

C

(A)23?1 (B)23 (C)?

2

(第5题图)

B

(D)?2

答:D.

解:如图,设⊙O的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r

QA=r-m.

在⊙O中,根据相交弦定理,得QA·QC=QP·QD.

(第5题图)

C

r2?m2

即 (r-m)(r+m)=m·QD ,所以 QD=.

m

连结DO,由勾股定理,得QD2=DO2+QO2, 即 ??

2

?r?m

?m

22

?22?m?r , 解得?r?m?3?

3?13?1

?3?2

B

所以,

QCr?m??QAr?m

故选D.

二、填空题 (共5小题,每小题6分,满分30分)

6.已知a,b,c为整数,且a+b=2006,c-a=2005.若a<b,则a+b+c的最大值为 .

第51页

答:5013.

解:由a?b?2006,c?a?2005,得 a?b?c?a?4011.

因为a?b?2006,a<b,a为整数,所以,a的最大值为1002.

于是,a+b+c的最大值为5013.

7.如图,面积为a?c的正方形DEFG内接于

面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c为整数, a?c且b不能被任何质数的平方整除,则的值 b

等于 . G

20答:?. 34C (第7题图) 2解:设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长为m,则m?,

3m?xx由△ADG∽△ABC,可得?, 解得x?(23?3)m m3m2

于是 x2?(23?3)2m2?28?48,

由题意,a?28,b?3,c?48,所以a?c20. ??b3

8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A、C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→?方向绕广场行走,甲的速度为50米/分,乙的速度为46米/分.那么出发后经过 分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上.

答:104.

解:设甲走完x条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x

400x=368x米.于是368(x-1)+800-400(x-1)>400, 50

400?13所以,12.5≤x<13.5. 故x=13,此时t??104. 50米,乙走了46×

9.已知0<a<1,且满足?a??

?1??2?29???a????a??????18,则?10a?的值等30?3030?????

于 .(?x?表示不超过x的最大整数)

答:6.

解:因为0<a?1??2?1229??a????a??2,所以?a??,?a??,?,30??30?303030?

第52页

29??a???等于0或1.由题设知,其中有18个等于1,所以 30??

1??2?11?12??13?29?????=0,=1, a??a????a?a??a????a?????????????30??30?30?30??30?30?????

1211<2. ?1,1≤a?3030

19故18≤30a<19,于是6≤10 a<,所以?10a?=6. 3所以 0?a?

10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是

答:282500. 解:设原来电话号码的六位数为abcdef,则经过两次升位后电话号码的八位数为

2a8bcdef.根据题意,有81×abcdef=2a8bcdef.

记x?b?10?c?10?d?10?e?10?f,于是

81?a?105?81x?208?105?a?106?x,

解得x=1250×(208-71a) .

因为0≤x<105,所以0≤1250×(208-71a)<105,故432208128. ?a≤7171

因为a为整数,所以a=2.于是x=1250×(208-71×2)=82500.

所以,小明家原来的电话号码为282500.

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.已知x?b,a,b为互质的正整数(即a,b是正整数,且它们的最大公约数为a

1),且a≤8,2?1?x??1.

(1)试写出一个满足条件的x;

(2)求所有满足条件的x.

1满足条件. ?????5分 2

b(2)因为x?,a,为互质的正整数,且a≤8,所以 a

b2?1??3?1, 即 (2?1)a?b?(3?1)a. a解:(1)x?

第53页

当a=1时,(2?1)?1?b?(3?1)?1,这样的正整数b不存在.

1. 2

2当a=3时,(2?1)?3?b?(3?1)?3,故b=2,此时x?. 3当a=2时,(2?1)?2?b?(3?1)?2,故b=1,此时x?

当a=4时,(2?1)?4?b?(3?1)?4,与a互质的正整数b不存在. 当a=5时,(2?1)?5?b?(3?1)?5,故b=3,此时x?3. 5

当a=6时,(2?1)?6?b?(3?1)?6,与a互质的正整数b不存在. 当a=7时,(2?1)?7?b?(3?1)?7,故b=3,4,5此时x?

当a=8时,(2?1)?8?b?(3?1)?8,故b=5,此时x?

所以,满足条件的所有分数为345,,. 7775 81233455,,,,,,.??????15分 2357778

12.设a,b,c为互不相等的实数,且满足关系式

b2?c2?2a2?16a?14 ①

bc?a2?4a?5 ②

求a的取值范围.

解法一:由①-2×②得(b?c)?24(a?1)?0,所以a>-1.

当a>-1时, b2?c2?2a2?16a?14=2(a?1)(a?7)?0.??????10分 又当a?b时,由①,②得 c2?a2?16a?14, ③ 2

ac?a2?4a?5 ④

将④两边平方,结合③得a(a?16a?14)?(a?4a?5)

化简得 24a3?8a2?40a?25?0, 故 (6a?5)(4a?2a?5)?0, 22222

解得a??1?215,或a?. 46

1?215,a?.?????????15分 46所以,a的取值范围为a>-1且a??

第54页

解法二:因为b2?c2?2a2?16a?14,bc?a2?4a?5,所以

(b?c)2?2a2?16a?14?2(a2?4a?5)?4a2?8a?4?4(a?1)2,

所以 b?c??2(a?1). 又bc?a2?4a?5,所以b,c为一元二次方程

x2?2(a?1)x?a2?4a?5?0 ⑤

的两个不相等实数根,故??4(a?1)?4(a?4a?5)?0,所以a>-1.

当a>-1时, b2?c2?2a2?16a?14=2(a?1)(a?7)?0.??????10分 另外,当a?b时,由⑤式有 a?2(a?1)a?a?4a?5?0,

即 4a2?2a?5?0 或 ?6a?5?0,解得,a?22221?215或a??. 46

当a?c时,同理可得a??1?215或a?. 46

1?215,a?.?????????15分 46所以,a的取值范围为a>-1且a??

13.如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K.求证:PE·AC=CE·KB.

证明:因为AC∥PB,所以∠KPE=∠ACE.又PA是⊙O的切线, 所以∠KAP=∠ACE,故∠KPE=∠KAP,于是

△KPE∽△KAP,

所以 KPKE2, 即 KP?KE?KA. ?KAKP

2 由切割线定理得 KB?KE?KA 第55页

所以 KP?KB. ??????????10分

因为AC∥PB,△KPE∽△ACE,于是

PEKPPEKB 故 , ??CEACCEAC

即 PE·AC=CE·KB. ????????????15分

14.10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.求n的最小值.

解:设10个学生为S1,S2,?,S10,n个课外小组G1,G2,?,Gn.

首先,每个学生至少参加两个课外小组.否则,若有一个学生只参加一个课外小组,设这个学生为S1,由于每两个学生至少在某一个小组内出现过,所以其它9个学生都与他在同一组出现,于是这一组就有10个人了,矛盾. ????????????5分

若有一学生恰好参加两个课外小组,不妨设S1恰好参加G1,G2,由题设,对于这两组,至少有两个学生,他们没有参加这两组,于是他们与S1没有同过组,矛盾.

所以,每一个学生至少参加三个课外小组.于是n个课外小组G1,G2,?,Gn的人数之和不小于3×10=30.

另一方面,每一课外小组的人数不超过5,所以n个课外小组G1,G2,?,Gn的人数不超过5n, 故 5n≥30, 所以n≥6. ???????????10分

下面构造一个例子说明n=6是可以的.

G1??S1,S2,S3,S4,S5?,G2??S1,S2,S6,S7,S8?,G3??S1,S3,S6,S9,S10?,

G4??S2,S4,S7,S9,S10?,G5??S3,S5,S7,S8,S9?,G6??S4,S5,S6,S8,S10?. 容易验证,这样的6个课外小组满足题设条件.

所以,n的最小值为6. ???????????15分

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分)

第56页

??x?y?12,1.方程组?的解的个数为( ).

??x?y?6

(A)1 (B) 2 (C) 3 (D)4

答:(A).

??x?y?12,解:若x≥0,则?于是y?y??6,显然不可能. x?y?6,??若x?0,则 ????x?y?12, ??x?y?6,

于是y?y?18,解得y?9,进而求得x??3.

?x??3,所以,原方程组的解为?只有1个解. y?9,?

故选(A).

2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是( ).

(A) 14 (B) 16 (C)18 (D)20

答:(B).

解:用枚举法:

红球个数 白球个数 黑球个数 种 数

5 2,3,4,5 3,2,1,0 4

4 3,4,5,6 3,2,1,0 4

3 4,5,6,7 3,2,1,0 4

2 5,6,7,8 3,2,1,0 4

所以,共16种.

故选(B).

3.已知△ABC为锐角三角形,⊙O经过点B,C,且与边AB,AC分别相交于点D,E. 若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等,则⊙O一定经过△ABC的( ).

(A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心

答:(B).

解: 如图,连接BE,因为△ABC为锐角三角形,所以?BAC,

?ABE均为锐角.又因为⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相

等,且DE为两圆的公共弦,所以?BAC??ABE.于是,

?BEC??BAC??ABE?2?BAC.

若△ABC的外心为O1,则?BO1C?2?BAC,所以,⊙O一

定过△ABC的外心.

故选(B).

第57页

4.已知三个关于x的一元二次方程

ax2?bx?c?0,bx2?cx?a?0,cx2?ax?b?0 a2b2c2

恰有一个公共实数根,则的值为( ). ??bccaab

(A) 0 (B)1 (C)2 (D)3

答:(D).

解:设x0是它们的一个公共实数根,则

ax0?bx0?c?0,bx0?cx0?a?0,cx0?ax0?b?0.

把上面三个式子相加,并整理得

2(a?b?c)(x0?x0?1)?0. 222

2因为x0?x0?1?(x0?)2?1

23?0,所以a?b?c?0. 4

于是

a2b2c2a3?b3?c3a3?b3?(a?b)3

???? bccaababcabc

?

故选(D).

5.方程x?6x?5x?y?y?2的整数解(x,y)的个数是( ).

(A)0 (B)1 (C)3 (D)无穷多

答:(A).

解:原方程可化为 323?3ab(a?b)?3. abc

x(x?1)(x?2)?(3x2?x)?y(y?1)(y?1)?2,

因为三个连续整数的乘积是3的倍数,所以上式左边是3的倍数,而右边除以3余2,这是不可能的.所以,原方程无整数解.

故选(A).

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6.如图,在直角三角形ABC中,?ACB?90?,CA=4.点P是半圆弧AC的中点,连接BP,线段BP把图形APCB分成两部分,则这两部分面积之差的绝对值

是 .

答:4.

解:如图,设AC与BP相交于点D,点D关于圆心O

的对称点记为点

第58页

E,线段BP把图形APCB分成两部分,这两部分面积之差的绝对值是△BEP的面积,即△BOP面积的两倍.而

S?BPO?11PO?CO??2?2?2. 22因此,这两部分面积之差的绝对值是4.

点B,D都在x轴上,且使得△OAB,x?0)的图象上,△BCD都是等边三角形,则点D的坐标为 . 7.如图, 点A,C

都在函数y?

答:

(0).

解:如图,分别过点A,C作x轴的垂线,垂足分别为E,F.设

OE=a,BF=b, 则AE

,CF

,所以,点A,C的

坐标为

(a

),(2a+b

),

2a?所以

(2a?b)?

解得

??a? ???b?因此,点D

的坐标为(0).

8.已知点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0). 若二次函数y?x??a?3?x?3的图2

象与线段AB恰有一个交点,则a的取值范围是 .

答:?1≤a??1,

或者a?3? 2

2解:分两种情况: (Ⅰ)因为二次函数y?x??a?3?x?3的图象与线段AB只有一个交点,且点A,B

的坐标分别为(1,0),(2,0),所以

?1

得?1?a??2?(a?3)?1?3?22?(a?3)?2?3?0, ???1. 2

2由1?(a?3)?1?3?0,得a??1,此时x1?1,x2?3,符合题意;

第59页

由2?(a?3)?2?3?0,得a??

2213,此时x1?2,x2?,不符合题意. 22(Ⅱ)令x??a?3?x?3?0,由判别式??

0,得a?3?.

当a?3?

时,x1?x2?

a?3?

x1?x2?,符合题意.

综上所述,a的取值范围是?1≤a??

1,或者a?3? 2

9.如图,?A??B??C??D??E??F??G?n?90?,则n=. 答:6.

解:如图,设AF与BG相交于点Q,则

?AQG??A??D??G,

于是

?A??B??C??D??E??F??G

??B??C??E??F??AQG

??B??C??E??F??BQF

?540??6?90?.

所以,n=6.

10.已知对于任意正整数n,都有

a1?a2???an?n3,

则 111????? a2?1a3?1a100?1

答:33. 100

3 a1?a2???an?1?an?n, 解:当n≥2时,有

a1?a2???an?1?(n?1)3,

2两式相减,得 an?3n?3n?1,

所以 11111??(?), n

?2,3,4,? an?13n(n?1)3n?1n

第60页

因此 111 ????a2?1a3?1a100?1

11111111?(1?)?(?)???(?) 32323399100

1133. ?(1?)?3100100

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11(A).已知点M,N的坐标分别为(0,1),(0,-1),点P是抛物线y?

个动点.

(1)判断以点P为圆心,PM为半径的圆与直线y??1的位置关系;

(2)设直线PM与抛物线y?12x上的一412x的另一个交点为点Q,连接NP,NQ,求证:4

?PNM??QNM.

解:(1)设点P的坐标为(x0,

12x0),则 4PM

?

又因为点P到直线y??1的距离为12?x0?1; 41212x0?(?1)?x0?1, 44

所以,以点P为圆心,PM为半径的圆与直线y??1相切.

????5分

(2)如图,分别过点P,Q作直线y??1的垂线,垂足分别

为H,R.由(1)知,PH=PM,同理可得,QM=QR.

因为PH,MN,QR都垂直于直线y??1,所以,PH∥MN

∥QR,于是 QMMP, ?RNNH

QRPH所以 , ?RNHN

因此,Rt△PHN∽Rt△QRN.

于是?HNP??RNQ,从而?PNM??QNM.

第61页

????15分

12(A).已知a,b都是正整数,试问关于x的方程x2?abx?1(a?b)?0是 2

否有两个整数解?如果有,请把它们求出来;如果没有,请给出证明.

解:不妨设a≤b,且方程的两个整数根为x1,x2(x1≤x2),则有

?x1?x2?ab,? ?1xx?(a?b),12?2?

所以 x1x2?x1?x2?11a?b?ab, 22

4(x1?1)(x2?1)?(2a?1)(2b?1)?5.

????5分

因为a,b都是正整数,所以x1,x2均是正整数,于是,x1?1≥0,x2?1≥0,2a?1≥1,2b?1≥1,所以

(?x1?1)(x2?1)?1,?(x1?1)(x2?1)?0, ? 或 ? (2a?1)(2b?1)?5,(2a?1)(2b?1)?1.??

?(x?1)(x2?1)?0, (1)当?1时,由于a,b都是正整数,且a≤b,可得 (2a?1)(2b?1)?5?

a=1,b=3,

此时,一元二次方程为x2?3x?2?0,它的两个根为x1?1,x2?2.

?(x?1)(x2?1)?1,(2)当?1时,可得

?(2a?1)(2b?1)?1

a=1,b=1,

此时,一元二次方程为x2?x?1?0,它无整数解.

综上所述,当且仅当a=1,b=3时,题设方程有整数解,且它的两个整数解为x1?1,x2?2. ?????15分

13(A).已知AB为半圆O的直径,点P为直径AB上的任

意一点.以点A为圆心,AP为半径作⊙A,⊙A与半圆O相交于

点C;以点B为圆心,BP为半径作⊙B,⊙B与半圆O

相交于点

第62页

D,且线段CD的中点为M.求证:MP分别与⊙A和⊙B相切.

证明:如图,连接AC,AD,BC,BD,并且分别过点C,D作AB

则CE∥DF.

因为AB是⊙O的直径,所以

?ACB??ADB?90?.

在Rt△ABC和Rt△ABD中,由射影定理得

PA2?AC2?AE?AB,

PB2?BD2?BF?AB.

?????5分

两式相减可得

PA2?PB2?AB?AE?BF?,

又 PA?PB?(PA?PB)(PA?PB)?AB?PA?PB?, 22

于是有 AE?BF?PA?PB,

即 PA?AE?PB?BF,

所以PE?PF,也就是说,点P是线段EF的中点.

因此,MP是直角梯形CDFE的中位线,于是有MP?AB,从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切.

?????15分

14(A).(1)是否存在正整数m,n,使得m(m?2)?n(n?1)?

(2)设k(k≥3)是给定的正整数,是否存在正整数m,n,使得

m(m?k)?n(n?1)?

解:(1)答案是否定的.若存在正整数m,n,使得m(m?2)?n(n?1),则

(m?1)2?n2?n?1,

显然n?1,于是

n2?n2?n?1?(n?1)2,

所以,n2?n?1不是平方数,矛盾. ?????5分

(2)当k?3时,若存在正整数m,n,满足m(m?3)?n(n?1),则

4m2?12m?4n2?4n,

第63页

(2m?3)2?(2n?1)2?8,

(2m?3?2n?1)(2m?3?2n?1)?8,

(m?n?1)(m?n?2)?2,

而m?n?2?2,故上式不可能成立.

??????10分

当k≥4时,若k?2t(t是不小于2的整数)为偶数,取

m?t2?t,n?t2?1,

则 m(m?k)?(t?t)(t?t)?t?t,

n(n?1)?(t?1)t?t?t,

因此这样的(m,n)满足条件.

若k?2t+1(t是不小于2的整数)为奇数,取 22422242

t2?tt2?t?2, m?,n?22

t2?tt2?t1(?2t?1)?(t4?2t3?t2?2t), 则 m(m?k)?224

t2?t?2t2?t14??(t?2t3?t2?2t), n(n?1)?224

因此这样的(m,n)满足条件.

综上所述,当k?3时,答案是否定的;当k≥4时,答案是肯定的.

?????15分

注:当k≥4时,构造的例子不是唯一的.

11(B).已知抛物线C1:y??x?3x?4和抛物线C2:y?x?3x?4相交 于A,B两点. 点P在抛物线C1上,且位于点A和点B之间;点Q在抛物线C2上,也位于点A和点B之间.

(1)求线段AB的长; 22

第64页

(2)当PQ∥y轴时,求PQ长度的最大值.

解:(1)解方程组

2??y??x?3x?4, ?2??y?x?3x?4,

?x1??2,?x2?2,得 ? ? y?6,y??6,?1?2

所以,点A,B的坐标分别是(-2,6),(2,-6).

于是

AB??.

????5分

(2)如图,当PQ∥y轴时,设点P,Q的坐标分别为

(t,?t2?3t?4), (t,t2?3t?4), ?2?t?2,

因此 PQ?2(4?t)≤8,

当t?0时等号成立,所以,PQ的长的最大值8.

?????15分

2

12(B).实数a,b,c满足a≤b≤c,且ab?bc?ca?0,abc=1.求最大的实数k,使得不等式

a?b≥kc

恒成立.

解:

当a?b?

c?时,实数a,b,c满足题设条件,此时k≤4. 2

?????5分 下面证明:不等式a?b≥4c对满足题设条件的实数a,b,c恒成立.

由已知条件知,a,b,c都不等于0,且c?0.因为

ab?1?0,ca?b??1?0, c2

所以a≤b?0.

由一元二次方程根与系数的关系知,a,b是一元二次方程

x2?

的两个实数根,于是

11x??0 2cc

第65页

??

所以 c3≤14?≥0, c4c1. 4

?????10分

因此 a?b??(a?b)?1≥4c?4c. 2c

?????15分

DEAD.若?CFBC

△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P,CD,FE的延长线相交于点G,13(B).如图,点E,F分别在四边形ABCD的边AD,BC的延长线上,且满足

连接PA,PB,PC,PD.求证:

ADPD; ?BCPC

(2)△PAB∽△PDC. (1)

证明:(1)连接PE,PF,PG,因为?PDG??PEG,所以

?PDC??PEF.

又因为?PCG??PFG,所以

△PDC∽△PEF,

PDPE?,?CPD??FPE, PCPF

从而 △PDE∽△PCF,

PDDE所以 . ?PCCF

DEADADPD又已知,所以,. ??CFBCBCPC于是有

??????10分

(2)由于?PDA??PGE??PCB,结合(1)知,△PDA∽△PCB,从而有

PAPD?, ?DPA??CPB, PBPC

所以?APB??DPC,因此

△PAB∽△PDC. ??????15分

14(B).证明:对任意三角形,一定存在两条边,它们的长u,v满足

1

≤u? v证明:设任意△ABC的三边长为a,b,c,不妨设a?b?c.若结论不成立,则必有

a, ○1

b

第66页

b. ○2 c

??????5分

记b?c?s,a?b?t?c?s?t,显然s,t?0,代入○1得

c?s?t1?≥, 2c?

s

st1??, s1?

c

令x?st,y?,则 cc

1?x?y. ○3 1?

x

由a?b?c,得c?s?t?c?s?c,即t?c,于是y?

由○2得 t?1. c

bc?s, ○4 ??1?

xcc

由○3,○4得

??1(1?x)?1, y

≥????

此式与y?1矛盾.从而命题得证.

??????15分

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题

班级__________学号__________姓名______________得分______________

第67页

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填都得0分)

4241.已知实数x,y满足:3,y4+y2=3,则y4的值为 xxx(A)7 1+13(B)27+13(C)2(D)5 ( )

2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若

两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴有两个不同交点的概率是 ( )

5(A) 124(B)917(C)361(D) 2

3.有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可确定

的不同直线最少有 ( )

(A)6条 (B)8条 (C)10条 (D)12

4.已知AB是半径为1的圆O的一条弦,且AB=a<1.以AB为一边在圆O内作正△ABC,

点D为圆O上不同于点A的一点,且DB=AB=a,DC的延长线交圆O于点E,则AE的长为 ( ) (A)5a 2(B)1 (C)3 2(D)a

5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数

之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有 ( )

(A)2种 (B)3种 (C)4种 (D)5种

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

16.对于实数u,v,定义一种运算“*”为:u*v=uv+v.若关于x的方程x*(a*x)=-有4

两个不同的实数根,则满足条件的实数a的取值范围是_______.

7.小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶

来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是_____分钟.

8.如图,在△ABC中,AB=7,AC=11,点M是BC的中点,

AAD是∠BAC的平分线,MF∥AD,则FC的长为______. 9.△ABC中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ABC的内切圆圆心

I作DE∥BC,分别与AB,AC相交于点D,E,则DE的长为

______. BDM2210.关于x,y的方程x+y=208(x-y)的所有正整数解为________.

三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)

11.在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于

A,B两点,且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3.(1)用b表示k;(2)求△OAB面积的最小值.

第68页

12.是否存在质数p,q,使得关于x的一元二次方程px2-qx+p=0有有理数根?

13.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的△

ABC?证明你的结论.

14.从1,2,?,9中任取n个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),

它们的和能被10整除,求n的最小值.

第69页

简答:

一.选择题 ACBBD;

二.填空题 6. a > 0 或 a <-1; 7. 4; 8. 9; 9. 16; 10. x=48, x =160, 3

y=32; y=32.

2b-b2

三.解答题:11. (1)k=b > 2; (2)当 b=2+10, k=-1时,△OAB2(b+3)

面积的最小值为7+210; 12. 存在满足题设条件的质数p,q. 当p=2,q=5时,方程2x2

1-5x+ 2=0 的两根为 x1=, x2=2. 它们都是有理数; 13. 存在满足条件的三角形. △2

ABC的边 a=6,b=4,c=5,且∠A=2∠B,证明略. 14. n 的最小值是5,证明略.

第70页

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.已知非零实数a,b 满足

2a?4?b?2?4?2a,则a?b等于( ).

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

【答】C.

解:由题设知a≥3

,所以,题设的等式为b?2??0,于是a?3,b??2,从而a?b=1.

2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,

OB=OC=OD=1,则a等于( ).

(A

(B

(C)1 (D)2 【答】A.

解:因为△BOC ∽ △ABC,所以

BOBC,即 ?ABAC1a, ?aa?1

所以, a2?a?1?0.

由a?

0,解得a? 3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先

后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于x,y的方程组?ax?by?3, 只有正数解的概率为( ). ??x?2y?2

(A)12513 (B) (C) (D) 9121836

【答】D.

解:当2a?b?0时,方程组无解.

6?2b?x?,??2a?b当2a?b?0时,方程组的解为?

?y?2a?3.?2a?b?

第71页

?2a?b?0,?2a?b?0,?6?2b?0,???33?2a?b??由已知,得?即?a?,或?a?, 22??2a?3?0,?????2a?b?b?3,?b?3.

由a,b的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得

3,4,5,6,?a?2,?a?1,共有 5×2=10种情况;或?共3种情况. ?b?1,2,b?4,5,6,??

又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为13. 36

4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,?B?90?. 动点P从点

B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. 把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为( ).

(A)10 (B)16 (C)18 (D)32

【答】B. 解:根据图像可得BC=4,CDAB=8,故

S△ABC=

21×8×4=16. 225.关于x,y的方程x?xy?2y?29的整数解(x,y)的组数为( ).

(A)2组 (B)3组 (C)4组 (D)无穷多组

【答】C.

解:可将原方程视为关于x的二次方程,将其变形为

x?yx?(2y?29)?0.

由于该方程有整数根,则判别式?≥0,且是完全平方数.

由 ??y?4(2y?29)??7y?116≥0,

解得 y≤222222116?16.57.于是 2显然,只有y?16时,??4是完全平方数,符合要求.

2当y?4时,原方程为x?4x?3?0,此时x1??1,x2??3;

第72页

当y=-4时,原方程为x2?4x?3?0,此时x3?1,x4?3.

所以,原方程的整数解为

?x1??1, ??y1?4;?x2??3, ??y2?4;?x3?1, ??y3??4;?x4?3, ??y4??4.

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km .

【答】3750.

解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为kk,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置50003000

前走了x km,交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

ky?kx??k,??50003000 ??ky?kx?k,??50003000

k(x?y)k(x?y)??2k, 50003000

2则 x?y??3750. 11?50003000两式相加,得

7.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G

AH两点,连接FG交AB于点H,则的值为 . AB

解:如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF,EF . 由题设知AC?11AD,AB?AE,在△FHA和△EFA中, 33

?EFA??FHA?90?,?FAH??EAF

所以 Rt△FHA∽Rt△EFA, AHAF?. AFAE

AH1而AF?AB,所以?.

AB3 第73页

8.已知a1,a2,a3,a4,a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个不同的整数,若

b是关于x的方程?x?a1??x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009的整数根,则b的值

为 . 【答】 10.

解:因为?b?a1??b?a2??b?a3??b?a4??b?a5??2009,且a1,a2,a3,a4,a5是五个不同的整数,所有b?a1,b?a2,b?a3,b?a4,b?a5也是五个不同的整数.

又因为2009?1???1??7???7??41,所以

b?a1?b?a2?b?a3?b?a4?b?a5?41.

由a1?a2?a3?a4?a5?9,可得b?10.

9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为?ACB的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于.

【答】

. 7

解:如图,由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25 . 故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且?ACB?90?. 作EF⊥BC,垂足为F.设EF=x,由?ECF?=20-x.由于EF∥AC,所以

1

?ACB?45?,得CF=x,于是BF2

EFBF

, ?

ACBCx20?x

即 , ?

1520

60

解得x?

.所以CE??

7

10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:每个人

里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.若出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是 . 【答】?2.

解:设报3的人心里想的数是x,则报5的人心里想的数是8?x.

人,报

于是报7的人心里想的数是 12?(8?x)?4?x,报9

数是

第74页

16?(4?x)?12?x,报1的人心里想的数是 20?(12?x)?8?x,报3的人心里想的数是4?(8?x)??4?x.所以

x??4?x,

解得x??2.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.已知抛物线y?x与动直线y?(2t?1)x?c有公共点(x1,y1),(x2,y2), 且x1?x2?t?2t?3.

(1)求实数t的取值范围;

(2)当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.

解:(1)联立y?x与y?(2t?1)x?c,消去y得二次方程 22222

x2?(2t?1)x?c?0 ①

有实数根x1,x2,则x1?x2?2t?1,

c?x1x2?x1x2?c.所以 12[(x1?x2)2?(x12?x2)] 2

11=[(2t?1)2?(t2?2t?3)]=(3t2?6t?4). ② 22

??????5分 把②式代入方程①得

1x2?(2t?1)x?(3t2?6t?4)?0. ③ 2

??????10分

t的取值应满足

2t2?2t?3?x12?x2≥0, ④

且使方程③有实数根,即

??(2t?1)2?2(3t2?6t?4)=?2t2?8t?7≥0, ⑤

解不等式④得 t≤-3或t≥1,解不等式⑤得

2?

所以,t的取值范围为

≤t

≤2?. 22

2?≤t

≤2?. ⑥ 22

第75页

??????15分

(2) 由②式知c?1231(3t?6t?4)?(t?1)2?. 222

由于c?31≤t

≤2?

时是递增的,所以,当t?2? (t?1)2?

在2?22222

,cmin?3111?. ??????20分 (2??1)2??2224

312.已知正整数a满足192a?191,且a?2009,求满足条件的所有可能的正整数a的

和.

解:由192a?191可得192a?1.192?3?26,且 33

a3?1??a?1??a(a?1)?1??(a?1)a(a?1)?(a?1).

??????5分

636因为a?a?1??1是奇数,所以2a?1等价于2a?1,又因为3(a?1)a(a?1),所以

3a3?1等价于3a?1.因此有192a?1,于是可得a?192k?1.

??????15分

又0?a?2009,所以k?01,,?,10.因此,满足条件的所有可能的正整数a的和为

11+192(1+2+?+10)=10571. ??????20分

13.如图,给定锐角三角形ABC,BC?CA,AD,BE是它的两条高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,过点D,E分别作l的垂线,垂足分别为F,G.试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论.

解法1:结论是DF?EG.下面给出证明. ??????5分

因为?FCD??EAB,所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB.于是可得

CD. AB

CE同理可得 EG?AD?. ABDF?BE?

??????10分 ADBE又因为tan?ACB?,所以有BE?CD?AD?CE,于是可?CDCE

DF?EG. ??

????20分

解法2:结论是DF?EG.下面给出证明.

?????? 5分

第76页

连接DE,因为?ADB??AEB?90?,所以A,B,D,E四点共圆,故

?CED??ABC.

又l是⊙O的过点C的切线,所以?ACG??ABC. 所以,?CED??ACG,于是DE∥FG,故DF=EG.

??????20分

?,an满足如下条件:1?a1?a2???an?2009; 14.n个正整数a1,a2,

?,an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值. 且a1,a2,

?,an中去掉ai后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数bi,解:设a1,a2,

i?1,2,?,n.即 bi?(a1?a2???an)?ai. n?1

于是,对于任意的1≤i?j≤n,都有

bi?bj?aj?ai

n?1,

从而 n?1(aj?ai). ??????5分

由于 b1?bn?an?a12008是正整数,故 ?n?1n?1

3 n?12?251. ??????10分

由于 an?1??an?an?1???an?1?an?2?????a2?a1?

≥?n?1???n?1?????n?1??(n?1), 2

所以,(n?1)≤2008,于是n ≤45.

3 结合n?12?251,所以,n ≤9. ??????15分 2

另一方面,令a1?8?0?1,a2?8?1?1,a3?8?2?1,?,a8?8?7?1, a9?8?251?1,则这9个数满足题设要求.

综上所述,n的最大值为9. ??????20分

第77页

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.若a?bab的值为( ). ?20, ?10,则b?cbc

1121110210(A) (B) (C) (D) 21112111

a?1a?b20?1210解:D 由题设得. ???b?c1?111?b10

代数式变形,同除b

2.若实数a,b满足1. a?ab?b2?2?0,则a的取值范围是 ( )2

(A)a??2 (B)a?4 (C)a≤?2或 a≥4 (D)?2≤a≤4

1a?2?0 2解.C 因为b是实数,所以关于b的一元二次方程b2?ab?

的判别式 ?=(?a)2?4?1?(a?2)≥0,解得a≤?2或 a≥4.

方程思想,未达定理;要解一元二次不等式

3.如图,在四边形ABCD中,∠B=135°,∠C=120°,AB

=BC

=4?CD

=则AD边的长为( ).

(A

) (B)4

(D)2?26 12(C)4?6 解:D

如图,过点A,D分别作AE,DF垂直于直线BC,垂足

分别为E,F.

由已知可得

BE=AE

,CF

=DF=

于是 EF=4

过点A作AG⊥DF,垂足为G.在Rt△ADG中,根据勾股定理得

AD??

2?

第78页

勾股定理、涉及双重二次根式的化简,补全图形法

4.在一列数x1,x2,x3,??中,已知x1?1,且当k≥2时,

??k?1??k?2??xk?xk?1?1?4????? ??44??????

(取整符号?a?表示不超过实数a的最大整数,例如?2.6??2,?0.2??0),则x2010等于( ).

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

解:B

由x1?1和xk?xk?1?1?4????k?1??k?2?????可得 ??44??????

x1?1,x2?2,x3?3,x4?4,

x5?1,x6?2,x7?3,x8?4,

??

因为2010=4×502+2,所以x2010=2.

高斯函数;找规律。

5.如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,-1),C(-2,-1),D(-1,1).y轴上一点P(0,2)绕点A旋转180°得点P1,点P1绕点B旋转180°得点P2,点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3绕点D旋转180°得点P4,??,重复操作依次得到点P1,P2,?, 则点P2010的坐标是( ).

(A)(2010,2) (B)(2010,?2)

(C)(2012,?2) (D)(0,2)

解:B由已知可以得到,点P,(2,1,P2的坐标分别为(2,0)

. ?2)

( b2),其中a2?2,b2??2. 记P2a2,

根据对称关系,依次可以求得:

P3(?4?a2,-2-b2),P4(2?a2,4?b2),P5(?a2,?2?b2),P6(4?a2,b2).

令P,即P, 10的坐标为(4?a6,b2)10(4?2?a2,b2)6(a6,b2),同样可以求得,点P

第79页

由于2010=4?502+2,所以点P2010的坐标为(2010,?2).

二、填空题

6.已知a=5-1,则2a3+7a2-2a-12 的值等于 .

解:0

由已知得 (a+1)2=5,所以a2+2a=4,于是

2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0.

7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车;再过t分钟,货车追上了客车,则t= . 解:15

设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为a,b,c(千米/分),并设货车经x分钟追上客车,由题意得

10?a?b??S, ①

15?a?c??2S, ② x?b?c??S. ③

由①②,得30. (b?c)?S,所以,x=30. 故 t?30?10?5?15(分)

8.如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,

6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是 .

111解:y??x+ (第8题 33如图,延长BC交x轴于点F;连接OB,AF;连接CE,DF,且相交于点N.

由已知得点M(2,3)是OB,AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分.又因为点N(5,2)是矩形CDEF的中心,所以, 过点N(5,2)的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分.

于是,直线MN即为所求的直线l.

设直线l的函数表达式为y?kx?b,则??2k+b?3, 5k?b?2,?

第80页

1?k??,?111?3解得 ?,故所求直线l的函数表达式为y??x+. 33?b?11.?3?

9.如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D.若CD=CF,则AE?. AD

解: 5?1 2

见题图,设FC?m,AF?n.

(第9题)

因为Rt△AFB∽Rt△ABC,所以 AB?AF?AC.

又因为 FC=DC=AB,所以 m?n(n?m),即 (22n2n)??1?,0

mm

解得nn?

?(舍去). mm又Rt△AFE∽Rt△CFB,所以

AEAEAFn???

?ADBCFCmAE, 即. AD

10.对于i=2,3,?,k,正整数n除以i所得的余数为i-1.若n的最小值n0满足2000?n0?3000,则正整数k的最小值为

3 ?,k的倍数,所以n的最小值n0满足 解:9 因为n?1为2,,

n0?1??2,, 3 ?,k?,

3 ?,k?表示2,, 3 ?,k的最小公倍数. 其中?2,,

3 ?, 8??840, 3 ?, 9??2520, 由于?2,,?2,,

3 ?, 10??2520, 3 ?, 11??27720,

?2,,?2,,

第81页

因此满足2000?n0?3000的正整数k的最小值为9.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,连接EF. 求证: tan?PAD?

证明:如图,连接ED,FD. 因为BE和CF都是直径,

所以

ED⊥BC, FD⊥BC,

因此D,E,F三点共线. ????(5分)

连接AE,AF,则 EF. BC?AEF??ABC??ACB??AFD,

所以,△ABC∽△AEF. ????(10分)

作AH⊥EF,垂足为H,则AH=PD. 由△ABC∽△

AEF可得 EFAH, ?BCAP

EFPD从而 , ?BCAP

PDEF所以 tan?PAD?. ????(20分) ?APBC

12.如图,抛物线y?ax?bx(a?0)与双曲线y?2k相交于x

点A,B. 已知点A的坐标为(1,4),点B

在第三象限内,且

第82页

△AOB的面积为3(O为坐标原点).

(1)求实数a,b,k的值;

(2)过抛物线上点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C,求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.

k

上, x

4所以k=4. 故双曲线的函数表达式为y?. x

4设点B(t,),t?0,AB所在直线的函数表达式为y?mx?n,则有 t解:(1)因为点A(1,4)在双曲线y?

?4?m?n,44(t?1)? 解得m??,n?. ?4tt?mt?n,??t

于是,直线AB与y轴的交点坐标为?0,?

?4(t?1)??,故 t?

1(4t?1)S?AOB???1?t??3,整理得2t2?3t?2?0, 2t

1解得t??2,或t=(舍去).所以点B的坐标为(?2,?2). 2

因为点A,B都在抛物线y?ax?bx(a?0)上,所以2

?a?1,?a?b?4, 解得? ????(10分) ?b?3.4a?2b??2,??

(2)如图,因为AC∥x轴,所以C(?4,4),于是CO

=42. 又BO=22,所以

2CO?2. BO设抛物线y?ax?bx(a?0)与x轴负半轴相交于点D,

则点D的坐标为(?3,0).

因为∠COD=∠BOD=45?,所以∠COB=90?. (i)将△BOA绕点O顺时针旋转90?,得到△B?OA1.这时,点B?(?2,2)是CO的中点,点A1的坐标为(4,?1).

延长OA1到点E1,使得OE1=2OA1,这时点E1(8,?2)是符合条件的点

.

第83页

(ii)作△BOA关于x轴的对称图形△B?OA2,得到点A2(1,?4);延长OA2到点E2,使得OE2=2OA2,这时点E2(2,?8)是符合条件的点.

所以,点E的坐标是(8,?2),或(2,?8). ????(20分)

13.求满足2p?p?8?m?2m的所有素数p和正整数m.

.解:由题设得p(2p?1)?(m?4)(m?2), 所以p(m?4)(m?2),由于p是素数,故p(m?4),或p(m?2). ??(5分)

(1)若p(m?4),令m?4?kp,k是正整数,于是m?2?kp, 22

3p2?p(2p?1)?(m?4)(m?2)?k2p2,

故k2?3,从而k?1.

?m?4?p,?p?5,所以?解得? ????(10分) m?9.m?2?2p?1,??

(2)若p(m?2),令m?2?kp,k是正整数.

当p?5时,有m?4?kp?6?kp?p?p(k?1),

3p2?p(2p?1)?(m?4)(m?2)?k(k?1)p2,

故k(k?1)?3,从而k?1,或2.

由于p(2p?1)?(m?4)(m?2)是奇数,所以k?2,从而k?1.

于是??m?4?2p?1, m?2?p,?

这不可能.

当p?5时,m2?2m?63,m?9;当p?3,m2?2m?29,无正整数解;当p?2时,m?2m?18,无正整数解.

综上所述,所求素数p=5,正整数m=9. ????(20分) 2 第84页

14.从1,2,?,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?

解:首先,如下61个数:11,11?33,11?2?33,?,11?60?33(即1991)满足题设条件. ????(5分)

另一方面,设a1?a2???an是从1,2,?,2010中取出的满足题设条件的数,对于这n个数中的任意4个数ai,aj,ak,am,因为

33(ai?ak?am), 33(aj?ak?am),

所以 33(aj?ai).

因此,所取的数中任意两数之差都是33的倍数. ????(10分)

设ai?a1?33di,i=1,2,3,?,n. 由33(a1?a2?a3),得33(3a1?33d2?33d3), 所以333a1,11a1,即a1≥11. ????(15分)

dn?故dn≤60. 所以,n≤61. an?a12010?11≤?61, 3333

综上所述,n的最大值为61. ????(20分)

第85页

2011年全国初中数学联赛决赛试卷

(4月10日 上午8:45——11:15)

考生注意:1.本试卷共三大题(13个小题),全卷满分140分.

2.用圆珠笔、签字笔或钢笔作答.

3.解题书写不要超出装订线.

4.不能使用计算器.

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1.一个凸多边形的每一个内角都等于150°,则这个凸多边形所有对角线的条数总共有( )

A.42条 B.54条 C.66条 D.78条

A2.如图,矩形ABCD的对角线相交于O,AE平分∠BAD交BC于E.若∠CAE

=15°,则∠BOE=( )

A.30° B.45° C.60° D.75°

3.设方程(x?a)(x?b)?x?0的两根是c,d,则方程(x?c)(x?d)?x?0的根BE

分别是( )

A.a,b B.-a,-b C.c,d D.-c,-d

4.若不等式2x?1?3x?3?a有解,则实数a的最小值是( )

A.1 B.2 C.4 D.6

5.若一个三角形的任意两条边都不相等,则称它为“不规则三角形”.用一个正方体上的任意

三个顶点构成的所有三角形中,“不规则三角形”的个数是( )

A.18 B.24 C.30 D.36

6.不定方程x2?2y2?5的正整数解(x,y)的组数是( )

A.0组 B.2组 C.4组 D.无穷多组.

二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)

本题共有4小题,要求直接将答案写在横线上.

1.二次函数y?x2?ax?2的图象关于直线x=1对称,则y的最小值是__________.

2

.已知a?1,则a2012?2a2011?2a2010的值为_____________.

3.已知△ABC中,AB

BC=6,CA

,点M是BC的中点,过点B作AM延长线

的垂线,垂足为D,则线段BD的长度是_______________.

4.一次棋赛,有n个女选手和9n个男选手参赛,每位选手都与其余10n-1个选手各对局一

次.计分方式为:胜者得2分,负者得0分,平局各得1分.比赛结束后统计发现,所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍.则n的所有可能值是__________.

三、解答题(本题共三小题,第1题20分,第2、3题各25分)

1.(本题满分20分)

已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2?(3a?1)x?2a2?1?0的两个实数根,使得D 第86页

(3x1?x2)(x1?3x2)??80成立.求实数a的所有可能值.

2.(本题满分25分)

抛物线y?ax2?bx?c的图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0),且经过点A(0,

1),其中0<x1<x2.过点A的直线l与x轴交于点C,与抛物线交于点B(异于点A),满足△CAN是等腰直角三角形,

且S△BMN=5S△AMN.求该抛物线的解析式. 2

3.(本题满分25分)

如图,AD、AH分别是△ABC(其中AB>AC)的角平分线、高线,M是AD的中点.△MDH的外接圆交CM于E.求证:∠AEB=90°. A

E

BHD C

第87页

2011年全国初中数学联合竞赛

试题参考答案

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准:选择题和填空题只设7分和0分两档;其余各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1、B 凸多边形的每一个外角都等于30°,则n=12,这个凸多边形所有对角线的条数总共有n(n?3)?54 2

2、D AB=AO=BO=BE

3、A (x?a)(x?b)?x?0?x2?(a?b?1)x?ab?0x1?x2?a?b?1?c?d;x1x2?ab?cd (x?c)(x?d)?x?0?x2?(c?d?1)x?cd?0x1?x2?c?d?1?a?b;x1x2?cd?ab

故x1?a,x2?b

4、C 设y?2x?1?3x?3,讨论当x?1;1?x?3;x?3,得出当x=3时y的最小值为4.

5、B 如图,当选定一个面的一条对角线后,对应了两个“不规则三角形”,而每个面有2条,一共有8个面,故有2×2×8=24

6、A

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1、1 2、0 3、3 4、1 2三、解答题(本题共三小题,第1题20分,第2、3题各25分)

1、(本题满分20分)

已知x1,x2是关于x的一元二次方程x?(3a?1)x?2a?1?0的两个实数根,使得222

(3x1?x2)(x1?3x2)??80成立。求实数a的所有可能值。

`解:由条件知??(3a?1)?4(2a?1)?a?6a?5?0,

解得a?5或a?1. (5分)

又由根与系数的关系知x1?x2??(3a?1),x1x2?2a?1,

于是(3x1?x2)(x1?3x2)?3(x1?x2)?10x1x2?3(x1?x2)?16x1x2 2222222

?3(3a?1)2?16(2a2?1)??5a2?18a?19, (10分)

第88页

由?5a?18a?19??80,解得a?3(舍去)或a??

于是a??233. (15分) 53333.综上所述,所求的实数a??. ( 20分 ) 55

22、(本题满分25分) 抛物线y?ax?bx?c的图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0),且经过点A(0,1),

其中0?x1?x2.过点A的直线l与x轴交于点C.,与抛物线交于点B(异于点A),满足?CAN是等腰直角三角形,且S?BMN?5S?AMN.求该抛物线的解析式. 2

解:由条件知该抛物线开口向上,与x的两个交点在y轴的右侧.

由于?CAN是等腰直角三角形,故点C在x轴的左侧,且?CAN?90.

故?ACN?45,从而C(?1,0),N(1,0). (5分)

于是直线l的方程为:y?x?1.

设B(x3,y3),由S?BMN?

从而x3???55S?AMN知y3?, (10分) 22335,即B(,). (15分) 222

综上可知,该抛物线通过点A(0,1),B(,),N(1,0). 35

22

?1?c?593于是??a?b?c, (20分) 2?24

?0?a?b?c

?a?4?解得?b??5.

?c?1?

所以所求抛物线的解析式为y?4x?5x?1. (25分)

3、(本题满分25分)

如图,AD、AH分别是?ABC(其中AB?AC)的角平分线、高线,M是AD的中点.?MDH的外接圆交CM于E.求证:?AEB?90.

证明:如图,连结MH,EH, 2?

第89页

∵M是Rt?AHD斜边AD的中点

∴MA?MH?MD (5分)

∴?MHD??MDH

∵M,D,H,E四点共圆

∴?CEH??MDH

∴?MHD??MDH??HEC

∴?MHC?180??MHD?180??HEC??MEH (10分) ??

∵?CMH??HME,∴?CMH∽?HME ∴MHME

MC?MH,即MH2?ME?MC (15分)

∴MA2?ME?MC,又∵?CMA??AME

∴?CMA∽?AME,

∴?MCA??MAE (20分)

∴?BHE??BAE??DHE??BAD??MAE

??DHE??MAC??MCA??DHE??DME?180?

∴A,B,H,E四点共圆,∴?AEB??AHB?90?.

第90页 (25分)

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年

全国初中数学竞赛试题

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)

1.如果实数a,b,c

在数轴上的位置如图所示,那么代数式

|a?b||b?c|可以化简为( ).

(A)2ca (B)2a2b (C)a (D)a b2.如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数y =(b ≠0 )的图象有两个交点,其x

中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).

(A)(2,3) (B)(3,-2) (C)(-2,3) (D)(3,2)

3.如果a,b为给定的实数,且1?a?b,那么1,a?1, 2a?b,a?b?1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ).

2a?111 (C) (D) 244

4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

5.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设 (A)1 (B)其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为p0,p1,p2,p3,则p0,p1,p2,p3中最大的是( ).

(A)p0 (B)p1 (C)p2 (D)p3

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是 .

7.如图,正方形ABCD的边长为

,E,F分别是AB,BC

分别交于点M,N,则△DMN的面积是 .

第91页

x32928.如果关于x的方程x+kx+k-3k+= 0的两个实数根分别为x1,x2,那么1

2012 的值24x2

为 .

9.2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 .

10.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,交点为E. 作BF⊥EC,并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO,BC = 6,则CF的长为 .

三、解答题(共4题,每题20分,共80分) 2011

(m?3)x?m?2,当?1?x?3时,恒有y?0;关于x的方程11.已知二次函数y?x?2

x2?(m?3)x?m?2?0的两个实数根的倒数和小于?9.求m的取值范围. 10

12.如图,⊙O的直径为AB,⊙O 1过点O,且与⊙O内切于点B.C为⊙O上的点,OC与⊙O 且OD?CD.点E在OD上,且DC?DE,BE的延长线与⊙O 1交于点D,1交于点F,求证:△BOC∽△DO1F.

13.已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数. 当a≥2012时,求a的最小值.

?x2012,满足x1?x2???x2012,且14.求所有正整数n,使得存在正整数x1,x2, ,

122012?????n. x1x2x2012

第92页

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年

全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1.C

解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知

b?a?0?c,且b?c,

所以

|a?b||b?c|??a?(a?b)?(c?a)?(b?c)??a.

2.D

2解:由题设知,?2?a?(?3),(?3)?(?2)?b,所以a?,b?6. 3

2?y?x,??x??3,?x?3,?3解方程组?得? ? y?2.y??2;6??y?,??x?

所以另一个交点的坐标为(3,2).

注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).

3.D

解:由题设知,1?a?1?a?b?1?2a?b,所以这四个数据的平均数为

1?(a?1)?(a?b?1)?(2a?b)3?4a?2b, ?44

(a?1)?(a?b?1)4?4a?2b中位数为 , ?24

4?4a?2b3?4a?2b1于是 ??. 444

4.D

解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,x,y均为非负整数. 由题设可得

?x?2?n(y?2), ??y?n?2(x?n),

消去x得 (2y-7)n = y+4, 2n =(2y?7)?1515. ?1?2y?72y?7

因为15为正整数,所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,6,2y?7

11.从而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7.

第93页

5.D

解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以p0?98910,因此p3最大. ,p1?,p2?,p3?36363636

二、填空题

6.7<x≤19

解:前四次操作的结果分别为

3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.

由已知得

26≤487,

-80>487.

解得 7<x≤19.

容易验证,当7<x≤19时,3x?2≤487 9x?8≤487,故x的取值范围是

7<x≤19.

7.8

解:连接DF,记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN,所以

ADANDN2???, BFNFBN1

2由此得AN?2NF,所以AN?AF. 3

在Rt△ABF中,因为AB?2a,BF?a,所以

AF??,

于是 cos?BAF?AB. ?AF由题设可知△ADE≌△BAF,所以 ?AED??AFB,

?AME?1800??BAF??AED?1800??BAF??AFB?90?.

于是 AM?AE?cos?BAF, 2MN?AN?AM?AF?AM?, 3S?MNDMN4??. S?AFDAF15

又S?AFD?148?(2a)?(2a)?2a2,所以S?MND?S?AFD?a2. 21515

因为a?S?MND?8.

第94页

8.?2 3

39?=k2-4(k2?3k?)≥0, 42解:根据题意,关于x的方程有

由此得 (k-3)≤0.

又(k-3)≥0,所以(k-3)=0,从而k=3. 此时方程为x+3x+222293=0,解得x1=x2=?. 4

2011

故x11

x2012=

2x=?2. 23

9.8

解:设平局数为a,胜(负)局数为b,由题设知

2a?3b?130,

由此得0≤b≤43.

又 a?b?(m?1)(m?2)

2,所以2a?2b?(m?1)(m?2). 于是

0≤b?130?(m?1)(m?2)≤43,

87≤(m?1)(m?2)≤130,

由此得 m?8,或m?9.

当m?8时,b?40,a?5;当m?9时,b?20,a?35,

a?a?b

2?55

2,不合题设.

故m?8.

10.32

2

解:如图,连接AC,BD,OD.

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.

依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD是⊙O

的内接四边形,所以

∠BCF =∠BAD,

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ,因此 BCBA

CF?AD.

因为OD是⊙O的半径,AD = CD,所以OD垂直平分AC,OD∥BC,于是 DE

DC?OE

OB?2. 因此

DE?2CD?2AD,

CE?3AD.

第95页 2

由△AED∽△CEB,知DE?EC?AE?BE.因为AE?所以 2AD?3AD?BA3,BE?BA, 22BA3?BA,BA=22AD ,故 22

CF?AD?. ?

BC?2BA三、解答题

11.解: 因为当?1?x?3时,恒有y?0,所以

2??(m?3)?(4m?2)?0,

即(m?1)?0,所以m??1. ???(5分)

当x??1时,y≤0;当x?3时,y≤0,即 2

(?1)2?(m?3)(?1)?m?2≤0,

且 3?3(m?3)?m?2≤0,

解得m≤?5. ???(10分)

设方程x??m?3?x??m?2??0的两个实数根分别为x1,x2,由一元二次方程根与系22

数的关系得

x1?x2???m?3?,x1x2?m?2. 因为119???,所以 x1x210

x1?x2m?39????, x1x2m?210

解得m??12,或m??2.

因此m??12. ????(20分)

12. 证明:连接BD,因为OB为?O1的直径,所以?ODB?90?.又因为DC?DE,所以△CBE是等腰三角形.

????(5分)

设BC与?O1交于点M,连接OM,则?OMB?90?.又因为OC?

OB,

第96页

所以

?BOC?2?DOM?2?DBC?2?DBF??DO1F.

????(15分)

又因为?BOC,?DO1F分别是等腰△BOC,等腰△DO1F的顶角,所以

△BOC∽△DO1F. ????(20分)

13.解:设a-b = m(m是素数),ab = n(n是正整数).

22

因为 (a+b)-4ab = (a-b),

22 2

所以 (2a-m)-4n= m,

2

(2a-m+2n)(2a-m-2n) = m. ???(5分)

因为2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n (m为素数),所以

2

2a-m+2n?m,2a-m-2n?1.

2

(m?1)2m2?1

解得 a?,n?.

44

2

(m?1)

于是 b= a-m?. ????(10分)

4

(m?1)2

又a≥2012,即≥2012.

4

(89?1)2

又因为m是素数,解得m≥89. 此时,a≥=2025.

4

当a?2025时,m?89,b?1936,n?1980.

因此,a的最小值为2025. ????(20分)

?x2012都是正整数,且x1?x2???x2012,所以 14.解:由于x1,x2, ,

x1≥1,x2≥2,?,x2012≥2012.

于是 n?

122012122012

????≤?????2012.????(10分) x1x2x2012122012

?x2012?2012?2012,则 当n?1时,令x1?2012,x2?2?2012, ,

122012

?????1.????(15分) x1x2x2012

,x2?2, ,?xk?k, 当n?k?1时,其中1≤k≤2011,令 x1?1

第97页

xk?1?(2012?k)(k?1),xk?2?(2012?k)(k?2),x2012?(2012?k)?2012,则

1220121?????k?(2012?k)??k?1?n. x1x2x20122012?k

综上,满足条件的所有正整数n为1, 2, , ?2012. ????(20分)

第98页

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