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2013年江苏省初中数学应用邀请赛模拟试题2(含解答)

发布时间:2013-12-09 10:27:47  

2013年江苏省初中数学应用邀请赛模拟试题2

姓名 得分

一、选择题(共5小题,每小题7分,满分35分)

(1

)设x?x(x?1)(x?2)(x?3)的值为( ). (A). 0 (B).1 (C). ﹣1 (D). 2

【答】C.

解:由已知得x

2?3x?1?0, 于是 22x(x?1)(x?2)(x?3)?(x2?3x)(x2?3x?2)?(x?3x?1)?1??1.

(2)已知x,y,z为实数,且满足x?2y?5z?3,x?2y?z??5,则 x2?y2?z2的最小值为( ).

(A)

【答】D. 154 (B)0 (C)5 (D) 1111

?x?3z?1,?x?2y?5z?3,解:由 ? 可得 ? ?y?z?2.?x?2y?z??5,

于是 x2?y2?z2?11z2?2z?5. 154222时,x?y?z的最小值为. 1111因此,当z?

,x3……中,已知x1?1,且当k≥2时,(3)在一列数x1,x,2

??k?1??k?2??xk?xk?1?1?4????,(取整符号?a?表示不超过实数a的最大整?????4??4??

数,例如?2.6??2,?0.2??0),则x2010等于( )

??k?1??k?2????解:由x1?1和xk?xk?1?1?4???可得 ??44??????

x1?1,x2?2,x3?3,x4?4, x5?1,x6?2,x7?3,x8?4,…… 因为2010=4×502+2,所以x2010=2.

【答】A.

(4)点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点F,设S四边形EADF?S1,S?BDF?S2,S?BCF?S3,S?CEF?S4,

则S1S3与S2S4的大小关系为( ).

(A)S1S3?S2S4 (B)S1S3?S2S4

(C)S1S3?S2S4 (D)不能确定

【答】C.

?, 解:如图,连接DE,设S?DEF?S1

S1?EFS4??,从而有S1?S3?S2S4.因为S1?S1?,S2BFS3

所以S1S3?S2S4.

(5).如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD

的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,-1),C(-2,

-1),D(-1,1).y轴上一点P(0,2)绕点A旋

转180°得点P1,点P1绕点B旋转180°得点P2,点P2

绕点C旋转180°得点P3,点P3绕点D旋转180°得点

P4,……,重复操作依次得到点P1,P2,…, 则点

P2010的坐标是 ( )

(A)(2011,?2) (B)(2009,4) (C)(2008,4) (D)(2010,?2)

解:由已知可以得到,点P1,P2的坐标分别为(2,0),(2,?2). ( b2),其中a2?2,b2??2.根据对称关系,依次可以求得:

记P2a2,

P3(?4?a2,-2-b2),P4(2?a2,4?b2),P5(?a2,?2?b2),P6(4?a2,b2).

令P6(a6,b2),同样可以求得,点P(4?a6,b2),即P, 10的坐标为10(4?2?a2,b2)由于2010=4?502+2,所以点P2010的坐标为(2010,?2).

【答】D.

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

(6)两条直角边长分别是整数a,b(其中b?2011),斜边长是b?1的直角三角形的个数为 .

【答】31.

解:由勾股定理,得 a?(b?1)?b?2b?1.因为b是整数,所以ab?2011,

2

2

2

2222

5, ? , 63.是1到4023之间的奇数,而且是完全平方数,这样的数共有31个,即3,因

此a一定是3,5,?,63,故满足条件的直角三角形的个数为31.

(7)如图,在四边形ABCD中,∠B=135°,∠C

=120°,AB

=BC

=4?CD

=AD边的长为________________.

【答】2?

解:如图,过点A,D分别作AE,DF垂直于直线BC,垂足分别为E,F.

由已知可得

BE=AE=,CF

=DF=

, 于是 EF=4

+.

过点A作AG⊥DF,垂足为G.在Rt△ADG中,根据勾股定理得

AD??

2?

(8)

若y?【答】22a,最小值为b,则a?b的值为 3. 2

11≥0,得≤x≤1.

22解:由1?x≥0,且x?

y2?

由于11??? 22133<<1,所以当x=时,y2取到最大值1,故a=1. 244

113222或1时,y取到最小值,故b=.所以,a?b?. 222

2当x=

(9)如图,双曲线y?2(x>0)与矩形OABC的边CB, BA分别交于点E,F,x

且AF=BF,连接EF,则△OEF的面积为 . 【答】3. 2

b

2解:如图,设点B的坐标为,则点F的坐标为.因为点F在双曲线(a,b)(a2上,所以ab?4. 又点E在双曲线上,且纵坐标 x

2为b,所以点E的坐标为(,b).于是 by?

S?OEF?S梯形OFBC?S?OEC?S?FBE

1b121b2 ??b)a??b????(a?)222b22b

13?ab?1?2)?.22(10)如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为35,正方形CDEF内接于△ABC,且其边长为12,则△ABC的周长为 .

【答】84.

解:如图,设BC=a,AC=b,

则a?b?35=1225. ①

又Rt△AFE∽Rt△ACB, 所以222FEAF12b?12,即, ??CBACab

故12(a?b)?ab. ②

222由①②得 , (a?b)?a?b?2ab?1225?24(a?b)

解得a+b=49(另一个解-25舍去),所以 a?b?c?49?35?84.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

(11)已知关于x的一元二次方程x?cx?a?0的两个整数根恰好比方程2

x2?ax?b?0的两个根都大1,求a?b?c的值.

解:设方程x?ax?b?0的两个根为?,?,其中?,?为整数,且?≤?, 则方程x?cx?a?0的两根为??1,??1,由题意得 22

?????a,???1????1??a, ????????????5分 两式相加,得???2??2??1?0,即 (??2)(??2)?3,

???2?1,???2??3,所以,? 或? ????????????10分 ??2?3;??2??1.??

????1,????5, 解得 ? 或? ??1;???3.??

又因为a?? (???),b???,c??([??1)?(??1)],

所以a?0,b??1,c??2;或者a?8,b?15,c?6,

故a?b?c??3,或29. ??????????????????20分

(12)设实数a,b满足:3a?10ab?8b?5a?10b?0,求u?9a?72b?2的222

最小值.

解:由3a2?10ab?8b2?5a?10b?0 可得?a?2b??3a?4b?5??0,(6分)

所以 a?2b?0,或 3a?4b?5?0. …………(8分)

(i)当a?2b?0时, u?9a2?72b?2?36b2?72b?2?36?b?1??34, 于是b??1时,u的最小值为?34,此时a??2,b??1. …………(13分)

(ii)当时,3a?b??4

u?9a2?72b?2?16b2?32b?27?16?b?1??11, 22

于是b??1时,u的最小值为11,此时a??3,b??1. …………(18分)

综上可知,u的最小值为?34. …………(20分)

(13)如图(1)至图(3),C为定线段AB外一动点,以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF和正方形CBEG,分别作DD1?AB、EE1?AB,垂足分别为D1、E1.当C的位置在直线AB的同侧变化过程中,

(1)如图(1),当∠ACB=90°,AC=4,BC=3时,求DD1?EE1的值;

(2)求证:不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化,DD1?EE1的值为定值;

(3)求证:不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化,线段DE的中点M为定点.

11

1图(2) 图(1)

1图(3) 1

DD1416?,所以DD1?; 455

EE13925从?EE1B∽?BCA,得?,所以EE1?;所以DD1?EE1??5;???(63555(1)从?DD1A∽?ACB,得

分)

(2)提示:定线段AB长为定值;猜想DD1?EE1?AB;过点C作CH?AB,垂足为H;

再通过两对全等三角形来证明DD1?EE1?AB;??????(12分)

(3)提示:利用“梯形的中位线长等于两底和的一半”,设M为DE的中点,Q为D1E1的中点,则:MQ?11(DD1?EE1)?AB且MQ?AB,特殊地,当四边形DD1E1E为矩22

形时,以上结论仍然成立.又因为可证明D1A?E1B,所以D1E1的中点就是AB的中点. 所以,不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化,

线段DE的中点M为定点,

此定点M恒在“点C的同侧,

与AB的中点Q距离为

1.??????????(20分) AB长的点上”211

, 2, , ?2011且a1?a2???a201(14)已知ai?0,i?1,,证明:

(,使得aj?ai?a1,a2,?,a2011中一定存在两个数ai,aji?j)证明:令xi?(1?ai)(1?aj)2010. 2010, i?1,, 2 ? , 2011, ??????????????5分 1?ai

则0?x2011?x2010???x1?2010. ?????????????10分 故一定存在1≤k≤2010, 使得xk?xk?1?1,从而20102010??1. ?????????????15分 1?ak1?ak?1

即 ak?1?ak?

(1?ak)(1?ak?1). ????????????????20分 2010

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