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2013年江苏省初中数学应用邀请赛模拟试题3(含解答)

发布时间:2013-12-09 10:27:48  

2013年江苏省初中数学应用邀请赛模拟试题3

姓名 得分

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分、)

1.已知非零实数a,b 满足

2a?4?b?2?4?2a,则a?b等于( ).

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 【答】C.

解:由题设知a≥3

,所以,题设的等式为b?2??0,于是a?3,b??2,从而a?b=1.

2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,

OB=OC=OD=1,则a等于( ).

(A

)11 (B

) (C)1 (D)2 【答】A. 22

解:因为△BOC ∽ △ABC,所以BOBC,即 ?ABAC 11a2,所以, a?a?1?0.由a?

0,解得a?. ?2aa?1

3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先

?ax?by?3,后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于x,y的方程组? 只x?2y?2?

有正数解的概率为( ).

(A)12513 (B) (C) (D) 【答】D. 1291836

6?2b?x?,??2a?b解:当2a?b?0时,方程组无解.当2a?b?0时,方程组的解为? 2a?3?y?.?2a?b?

?2a?b?0,?2a?b?0,?6?2b?0,???33?2a?b??由已知,得?即?a?,或?a?,由a,b的实际意义为1,2,3,4,5,6,可2a?322???0,?????2a?b?b?3,?b?3.

得 ?3,4,5,6,?a?2,?a?1,共有 5×2=10种情况;或?共3种情况. 2,5,6,?b?1,?b?4,

又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为13. 36

4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,?B?90?. 动点P从点

B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. 把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为( ).

(A)10 (B)16 (C)18 (D)32

【答】B.

(第4解:根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故

S△ABC=

2

1

×8×4=16. 2

2

5.关于x,y的方程x?xy?2y?29的整数解(x,y)的组数为( ). (A)2组 (B)3组 (C)4组 (D)无穷多组 【答】C.

解:可将原方程视为关于x的二次方程,将其变形为 x?yx?(2y?29)?0.

由于该方程有整数根,则判别式?≥0,且是完全平方数. 由 ??y?4(2y?29)??7y?116≥0, 解得 y≤

2

2

2

2

2

2

116

?16.57

.于是 2

显然,只有y?16时,??4是完全平方数,符合要求.

2

当y?4时,原方程为x?4x?3?0,此时x1??1,x2??3; 2

当y=-4时,原方程为x?4x?3?0,此时x3?1,x4?3.

所以,原方程的整数解为

?x1??1,

?

y?4;?1?x2??3,

?

y?4;?2?x3?

1,

?

y??4;?3

2

?x4

?3,

?

y??4.?4

二、填空题(共5

小题,每小题7分,共35分)

6.已知t

是实数,若a,b是关于x的一元二次方程x?2x

?t?

1?0

的两个非负实根,则(a?1)(b?1)的最小值是____________ 7. 已知a为实数,且a?

2

2

1

?都是整数,则a的值是__。 5?或?5? a

8.已知a1,a2,a3,a4,a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个不同的整数,若b是关于x的方程?x?a1??x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009的整数根,则b的值为 【答】 10.

a2,a3,a4a,解:因为?b?a1??b?a2??b?a3??b?a4??b?a5??2009,且a1,5

所有b?a1,b?a2,b?a3,b?a4,b?a5也是五个不同的整数.

是五个不同的整数,

?b?a?又因为2009?1???1??7???7??41,所以 b?a1?b?a2?b?a34b?a?541.

由a1?a2?a3?a4?a5?9,可得b?10.

9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为?ACB的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于 .

【答】

. 7

解:如图,由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25 . 故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且?ACB?90?. 作EF⊥BC,垂足为F.设EF=x,由?ECF?EF∥AC,所以

1

?ACB?45?,得CF=x,于是BF=20-x.由于2

EFBF

, ?

ACBCx20?x

即 , ?

1520

60

解得x?

.所以CE??.

77

10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:每个人心里都想好一个

数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是 . 【答】?2.

解:设报3的人心里想的数是x,则报5的人心里想的数应是8?x.

于是报7的人心里想的数是 12?(8?x)?4?x,报9

16?(4?x)?12

?x,报1的人心里想的数是 20?(12?x)?人心里想的数是4?(8?x)??4?x.所以 x??4?x, 解得x??2.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高,I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心,AC=3,BC=4,求I1I2.

解 作I1E⊥AB于E,I2F⊥AB于F.

在直角三角形ABC中,AC=3,BC=4

AB=?5. AC29又CD⊥AB,由射影定理可得AD=?,故AB5C

BD=AB?AD?

1612,CD=?. 55

13(AD?CD?AC)?. 25因为I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径,所以I1E=

连接DI1、DI2,则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线,所以∠I1DC=∠I1DA=∠I2DC

3

I1E=∠I2DB=45°,故∠I1DI2=90°,所以I1D⊥I2D

,DI1?. ??sin?ADI1sin45?5

同理,可求得I2F?

4,DI2?. 所以I1I

2?. 55

312.已知正整数a满足192a?191,且a?2009,求满足条件的所有可能的正整数a的和.

6解:由192a?191可得192a?1.192?3?2,且 33

a3?1??a?1??a(a?1)?1??(a?1)a(a?1)?(a?1). ………5分

636因为a?a?1??1是奇数,所以2a?1等价于2a?1,又因为3(a?1)a(a?1),所以3a?1等价3

于3a?1.因此有192a?1,于是可得a?192k?1.……………15分

又0?a?2009,所以k?01,,?,10.因此,满足条件的所有可能的正整数a的和为

11+192(1+2+…+10)=10571. ………………2

13.已知a,b,c为正数,满足如下两个条件:

a?b?c?32 ①

b?c?ac?a?ba?b?c1??? ②

bccaab4

.

证法1 将①②两式相乘,得(b?c?ac?a?ba?b?c??)(a?b?c)?8, bccaab

(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

???8,

即bccaab

(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

即?4??4??0, bccaab

(b?c)2?a2(c?a)2?b2(a?b)2?c2

即???0, bccaab

(b?c?a)(b?c?a)(c?a?b)(c?a?b)(a?b?c)(a?b?c)???0, bccaab

(b?c?a)即[a(b?c?a)?b(c?a?b)?c(a?b?c)]?0, abc

(b?c?a)(b?c?a)2即[2ab?a2?b2?c2]?0,即[c?(a?b)2]?0, abcabc

(b?c?a)即(c?a?b)(c?a?b)?0, abc

所以b?c?a?0或c?a?b?0或c?a?b?0,即b?a?c或c?a?b或c?b?a.

即.

32?2a32?2b32?2c1???, bccaab4

1222变形,得1024?2(a?b?c)?abc ③ 4证法2 结合①式,由②式可得

又由①式得(a?b?c)?1024,即a?b?c?1024?2(ab?bc?ca), 代入③式,得1024?2[1024?2(ab?bc?ca)]?22221abc,即abc?16(ab?bc?ca)?4096. 4

(a?16)(b?16)(c?16)?abc?16(ab?bc?ca)?256(a?b?c)?163

??4096?256?32?163?0,

所以a?16或b?16或c?16.

结合①式可得b?a?c或c?a?b或c?b?a.

.

?,an满足如下条件:1?a1?a2???an?2009; 14.n个正整数a1,a2,

?,an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值. 且a1,a2,

?,an中去掉ai后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数bi,i?1解:设a1,a2,,2,?,n.即

bi?aj?ai(a1?a2???an)?ai.于是,对于任意的1≤i?j≤n,都有bi?bj?, n?1n?1

从而 n?1(aj?ai). ………5分

由于 b1?bn?an?a12008是正整数,故 ?n?1n?1

3 n?12?251. ………………10分

由于 an?1??an?an?1???an?1?an?2?????a2?a1?

≥?n?1???n?1?????n?1??(n?1), 2

所以,(n?1)≤2008,于是n ≤45.

结合n?12?251,所以,n ≤9. ………………15分

另一方面,令a1?8?0?1,a2?8?1?1,a3?8?2?1,…,a8?8?7?1, 32a9?8?251?1,则这9个数满足题设要求.

综上所述,n的最大值为9. ………………20分

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