haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

2013年上海初中数学竞赛(新知杯)试题及解答

发布时间:2013-12-09 13:29:37  

2013年上海市初中数学竞赛(新知杯)试题及解答

?

考试时间: 2013年12月8日 9:00-11:00

一、填空题:(每题10分)?1.

已知a=

b=

a3?a+b3?b=。?

4164

分析:a+b=?,ab=?;a3?a+b3?b=(a+b)3?3ab(a+b)?(a+b)=(a+b)3=?。?

3327

?

2. 已知l1//l2//l3//l4,m1//m2//m3//m4,SABCD=100,SILKJ=20,则SEFGH=。?

分析:SΔAFE=SΔJFE,SΔBEH=SΔIEH,SΔCHG=SΔLHG,SΔDFG=SΔKFG?2SEFGH=SABCD+SILKJ=120?SEFGH=60?

D

?

3. 已知∠A=90??,AB=6,AC=8,E,F在AB上且AE=2,BF=3,过E作AC的平行线交BC于D,FD的延长

线交AC的延长线于G,则GF=。?

DEBE42DEFE1

分析:DE//

AC?===;DE/

/AG?==。所以AG=2AC=16?

ACAB63AGFA3故FG===B

?

?

??

1

? ? 。? 分析:由 ∠P = ∠DBE ? ΔADP ∽ ΔEDB ?
DE AD AD i BD CD 2 9 = ? DE = = = ?? BD PD PD PD 5
A

D

F E B C

P

? 二、解答题: (第 9 题、第 10 题 15 分,第 11 题、第 12 题 20 分)? 1 1 1 + + 9. 已知 ∠BAC = 90 ,四边形 ADEF 是正方形且边长为 1 ,求 的最大值;? AB AC BC 1 1 1 EF DE 1 CE BE 1 1 分析: + + = + + = + + = 1+ ? AB AC BC AB AC BC BC AC BC BC BD EF = ? BDiCF = 1 ? 故只需要求 BC 的最小值即可;由 ΔBDE ∽ ΔEFC ? DE FC 所以 BC 2 = AB 2 + AC 2 = (1 + BD) 2 + (1 + CF ) 2 = 2 + BD 2 + CF 2 + 2( BD + CF ) ?

≥ 2 + 2 BDiCF + 4 BDiCF = 8 ;故 BC ≥ 2 2 .?
当且仅当 BD = CF 时等号成立此时

1 1 1 1 2 ? + + ≤ 1+ =1+ AB AC BC 4 2 2
B

E D

A F

C

?

3

? 10. 已知 a 是不为 0 的实数,求解方程组:?

? ? xy ? ? ? ? xy ? ? ?

x =a y ? y 1 = x a

1 1 1 分析: ( xy ? a )( xy ? ) = 1 ? x 2 y 2 ? (a + ) xy + 1 = 1( xy ≠ 0) ? xy = a + ? a a a
代回得到
a2 + 1 a2 + 1 a2 + 1 x 1 或者 ? ? = ;所以 x 2 = 2 ? x = a a a y a

当x=

a2 + 1 a2 + 1 时, y = a 2 + 1 ;当 x = ? 时, y = ? a 2 + 1 ? a a

经检验,以上两组均为原方程的解? ? 11. 已知 n > 1 , a1 , a2 ,...an 为整数且 a1 + a2 + ... + an = a1a2 ...an = 2013 ,求 n 的最小值。? 分析:当 n = 5 时,取 a1 = a2 = ?1, a3 = a4 = 1, a5 = 2013 可知满足要求。? 下证当 n ≤ 4 时不行;不妨设 a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ? (1) a1 , a2 ,...an 均为正整数,则 a1 , a2 ,...an 均为 2013 的正约数且都小于 2013 ,那么由于 2013 = 3 × 11 × 61 ? 可知若要满足 a1 + a2 + ... + an = 2013 且 n ≤ 4 ,故 an ≥ 671 ,故 an ?1 ≤ 3 ;无论 n = 2,3, 4 均不可能? (2) a1 , a2 ,...an 中有负整数,则由于 a1a2 ...an = 2013 且 n ≤ 4 ,故有且只有两个为负数,即 a1 ≤ a2 < 0 ;? 若 n = 4 , a4 = 2013 , 且 则不存在 a3 满足要求; n = 4 , a4 < 2013 , a4 ≤ 671 无法保证 a1 + a2 + a3 + a4 = 2013 ? 若 且 则 若 n = 3 ,那么 a1 ≤ a2 < 0 ,则 a3 ≥ 2013 ,也不可能;? 综上可知: n 的最小值为 5 ? ? 12. 已知正整数 a, b, c, d 满足 a 2 = c(d + 13), b 2 = c(d ? 13) ,求所有满足条件的 d 的值。? 分析:设 (a, b) = w , a = wim, b = win ? (m, n) = 1 ;由题:
a 2 d + 13 m 2 d + 13 = ? 2 = 。? b 2 d ? 13 n d ? 13

再设 d + 13 = k im 2 , d ? 13 = k in 2 ? 26 = k (m 2 ? n 2 ) = k (m + n)(m ? n) ? 由于? m + n, m ? n 同奇偶,故 m + n, m ? n 均为奇数且 k = 2 ? 所以得到 (m + n)(m ? n) = 13 ? m = 7, n = 6 ;代入得到 d = 98 ? 13 = 85 ;故 d = 85 为唯一解。?

4


?

8. 直角三角形斜边AB上的高CD=3,延长DC到P使得CP=2,过B作BF⊥AP交CD于E,交AP于F,则?

DE=?DEADADiBDCD29分析:由∠P=∠DBE?ΔADP∽ΔEDB?=?DE===??

BDPDPDPD5

A

BP?

二、解答题:(第9题、第10题15分,第11题、第12题20分)?

111++9. 已知∠BAC=90??,四边形ADEF是正方形且边长为1,求的最大值;?ABACBC

111EFDE1CEBE11分析:++=++=++=1+?ABACBCABACBCBCACBCBC

BDEF=?BDiCF=1?故只需要求BC的最小值即可;由ΔBDE∽ΔEFC?DEFC

所以BC2=AB

2+AC2=(1+BD)2+(1+CF)2=2+BD2+CF2+2(BD+

CF)?≥2+2BDiCF+=

8;

故BC≥?

当且仅当BD=CF时等号成立此时111++≤1+=1

ABACBCD

A

FC?

3

?

10. 已知a是不为0的实数,求解方程组:?

?xy?????xy???x

=ay

?y1=xa

111

分析:(xy?a)(xy?=1?x2y2?(a+xy+1=1(xy≠0)?xy=a+?

aaaa2+1x12

代回得到=

;所以x=2?x=

?

aya当x

时,y=

;当x=

时,y=经检验,以上两组均为原方程的解?

?

11. 已知n>1,a1,a2,...an为整数且a1+a2+...+an=a1a2...an=2013,求n的最小值。?

分析:当n=5时,取a1=a2=?1,a3=a4=1,a5=2013可知满足要求。?下证当n≤4时不行;不妨设a1≤a2≤...≤an?

(1)a1,a2,...an均为正整数,则a1,a2,...an均为2013的正约数且都小于2013,那么由于2013=3×11×61?可知若要满足a1+a2+...+an=2013且n≤4,故an≥671,故an?1≤3;无论n=2,3,4均不可能?(2)a1,a2,...an中有负整数,则由于a1a2...an=2013且n≤4,故有且只有两个为负数,即a1≤a2<0;?若n=4,且a4=2013,则不存在a3满足要求;若n=4,且a4<2013,则a4≤671无法保证a1+a2+a3+a4=2013?若n=3,那么a1≤a2<0,则a3≥2013,也不可能;?综上可知:n的最小值为5?

?

12. 已知正整数a,b,c,d满足a2=c(d+13),b2=c(d?13),求所有满足条件的d的值。?

a2d+13m2d+13

?2=分析:设(a,b)=w,a=wim,b=win?(m,n)=1;由题:2=。?

bd?13nd?13

再设d+13=kim2,d?13=kin2?26=k(m2?n2)=k(m+n)(m?n)?由于?m+n,m?n同奇偶,故m+n,m?n均为奇数且k=2?

所以得到(m+n)(m?n)=13?m=7,n=6;代入得到d=98?13=85;故d=85为唯一解。?

4

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com