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2013年全国初中数学竞赛预赛试题及参考案

发布时间:2013-12-09 14:33:48  

2013年全国初中数学竞赛预赛

试题及参考答案

一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分) 以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.若有理数a

、b 满足 (a?1)a?b)?0,则ab等于【 】

(A)?1 (B)1 (C)0 (D)无法确定 【答】A. 解:因为

a、b都是有理数,且(a?1)a?b)?0,所以a?1?0,且a?b?0,得

a??1,b?1,所以ab??1.

2. 如图,由7个小正方形组成的平面图形折叠(相邻的 两个面垂直)成正方体后,重叠的两个面所标数字是【 】

(A)1和7 (B)1和6 (C)2和7 (D)2和6 【答】B.

解:若将图中标有1的面去掉,则标有2、3、4、5、6、7的六个面恰好是正方体的一种展开图,其中标有3和6的面是对面;只看题图最下面一行,标有3和1的面应是对面,所以重叠的两个面是标有1和6的面,应选B.

3. 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC, BD平分∠ABC交AC于点O,AE平分∠CAD交BD于点E,∠ABC=?,∠ACB=?,给出下列结论:

1ADAO1

?①∠DAE=?;②;③∠AEB=(???);

2CBCO2④∠ACD=180??(???).其中一定正确的有【 】

D

第2题图

B(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个 第3题图 【答】B.

111

解:(1)∵AD∥BC,∴∠DAE=?DAC??ACB??,∴①正确;

222

ADAO

?(2)∵AD∥BC,∴△AOD∽△COB,∴,∴②正确; CBCO

1

(3)∠AEB=∠DAE+∠ADB=∠DAE +∠CBD=(???),∴③正确;

2

(4)∵∠BAC=180??(???),只有当AB∥DC时,∠ACD=180??(???)才能成立.∴④不正确.

综上,应选B.

4.如图,直线l1、l2相交于点A(3,2), l1、l2 与x轴分别交于点B(1,0)和C(?2,0),则当y2?y1?0时,自变量x的取值范围是【 】

(A)x??2 (B)x?1

y第4题图

(C)1?x?3 (D)?2?x?3 【答】C.

解:由图象可知当y2?y1时,x?3,当y1?0时,x?1,所以当y2?y1?0时, 1?x?3. 故应选C.

5.关于x的不等式ax?3a?3?x的解集为x??3,则a应满足【 】 (A)a?1 (B)a?1 (C)a≥1 (D)a≤1 【答】B.

解:由ax?3a?3?x,得(a?1)(x?3)?0,由不等式的解集为x??3,知x?3?0,所以

a?1?0,得a?1.故应选B.

6.如图的象棋盘中,“卒”从A点走到B点,最短路 径共有【 】

(A)14条 (B)15条 (C)20条 (D)35条 【答】D.

解:如右图,从点A出发,每次向上或向右走一 步,到达每一点的最短路径条数如图中所标数字,如:

到达点P、Q的最短路径条数分别为2和3. 以此类推, 到达点B的最短路径条数为35条. 选D.

二、填空题(共6小题,每小题6分,共36分)

第6题图

35

7

?

【答】1?.

?1 解:原式ykk

8.如图是三个反比例函数y?1,y?2,

xx

k

y?3在x轴上方的图象,则k1、k2、k3的大小关系为

x

【答】k3?k2?k1.

解:由图象可知k1为负数,k2、k3为正数,不妨取x=1,代入解析式,显然点A(1,k2)在点B(1,k3)的正下方,所以k3?k2?0,又k1为负数,所以k3?k2?k1.

9.有6个小球,其中黑色、红色、绿色各2个,它们除颜色外其它都一样,将它们放入一个不透明的袋子中,充分摇匀后,从中随机摸出

2个球,摸出的球颜色一样的概率是 .

1

【答】.

5

211

解:摸出的2个球都是黑球的概率是??,所以摸出的球颜色一样的概率是

6515

11?3?. 155

10.如图,点C是线段AB上一个动点,∠A=∠B=30°,

∠ADC=∠BEC=90°,若AB=8cm,则CD+CE=

cm.

【答】4.

1解:在Rt△ADC中,∠A=30°,得DC?AC,同理2

1111EC?BC,所以DC?EC?AC?BC?AB?4( cm). 2222

11.关于x的方程x2?(1?m)x?m?2?0的两实数根之积等于m2?7m?

2的值是 .

【答】4.

解:由题意得m?2?m2?7m?2,解得m1?0,m2?8,当m1?0时,原方程无实数根,当m2?

8??4.

?12.计算:????????1

?415161??1111??1111??11 ??????????????????????671??345670??345671??45 11?????????. 6670?

【答】1. 2013

111

456解:令???????1??11????11??a??a×a ?a,则原式=?a??????670671??3671???3?111111?a?a?a2?a==a?a2?. 2013320136713671

三、解答题(第13题14分,第14题16分,第15题18分,共48分)

13.某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行列队,已知6人一列少2人,5人一列多2人,4人一列不多不少,请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有几人?

【答案】设这个单位参加健身操比赛的职工有y人,6人、5人、4人一列分别可以整排a、b、c列,则y?6a?2?5b?2?4c.(a、b、c是正整数)

∴ ?5??6a?2?b

4.?6a?2?c2,①② ································································ 4分

由②,得 c?6a?23a?1a2?a(?1). 422

因为c为正整数,可令a?1?2m, 所以a?2m?1,(m是正整数) ③

将③代入①,得6(2m?1)?2?5b?2.

∴ b?12m?21m0?m2?(1)································································ 7分 ?. ·55

因为b为正整数,可令m?1?5n, 所以m?5n?1,(n是正整数) ④

将④代入③,得 a?2(5n?1)?1?10n?1. ················································ 11分

)?2n6 0?(n是正整数). ∴ y?6a?2?6(1n0?1?

当n=1时,y有最小值52. 即参加比赛列队的至少有52人. ··········· 14分

14.如图,在边长为1的正方形ABCD的边AB上任取一点E(A、B两点除外),过E、

B、C三点的圆与BD相交于点H,与正方形ABCD的外角平分线相交于点F,与CD相交于点G.

(1)求证:四边形EFCH是正方形;

(2)设BE=x,△CGH的面积是y,

求y与x的函数解析式,并求y的最大值.

【答案】(1)∵ E、B、C、H、F在同

一圆上,且∠EBC=90°, ∴ ∠EHC=90°,∠EFC=90°. ······························································· 2分

又 ∠FBC=∠HBC=45°,∴ CF= CH. ················································· 4分

∵ ∠HBF +∠HCF=180°,∴∠HCF=90°. ········································ 6分

∴ 四边形EFCH是正方形. ·································································· 8分

(2)∵ ∠GHB +∠GCB=180°,

∴ ∠GHB=90°,由(1)知∠CHE=90°,

∴ ∠CHG +∠CHB=∠EHB+∠CHB.

∴ ∠CHG =∠EHB.

∴ CG=BE=x, ∴DG=DC?CG?1?x. ········································ 12分

11∴ △CGH 中,CG边上是高为DG?(1?x). 22

111?1?1∴ y?x?(1?x)???x???. ················································ 15分 224?2?16

11时,y有最大值. ································································· 16分 216

15. 数学活动课上,李老师出示了问题:已知,如图①,在△ABC中,∠BAC=45°,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,设BD=a,用含有a的式子表示AD的长. 2当x=

图①

C图②

E

经过思考和探讨,小明展示了一种解题思路:如图②,作∠DAE=45°,AE和BC的延长

线相交于点E,过点C作CF⊥AE于点F.通过证明△ABD≌△ACF,得到CF=

a,进而推出CE,所以AD=DE=

CD+CE

=

a?(1?a.

在此基础上,李老师又提出了如下问题: 已知△ABC中,∠BAC=45°,AB>AC,AD是BC边上的高,设BD=a,CD=b,求AD的长.

请你画图并解答这个问题. 【答案】(1)当∠ACB为直角时,△ABC为直角三角形,b=0,AD=AC=BD=a. 2分 (2)当∠ACB为锐角时,如图③,作∠DAE=45°,AE和BC的延长线相交于点E,过点C作CF⊥AE于点F.则△CEF和△ADE都是等腰直角三角形.

设AD?DE?x,CF?EF?m

. 则AE?

. ∴AF?m. ·· 4分 ∵ ∠FAC+∠CAD =45°,∠DAB+∠CAD =45°, ∴ ∠FAC =∠DAB. 又 ∵∠AFC =∠ADB=90°,

∴△FAC∽△DAB. ……………………6分

FAFC?mm

?

. 即∴?.

DADBxa

图③

E

解得m?

2ax

. ···························· 8分

∴CE???

x?a

2ax

?b?x. ···································· 10分 x?a

∵CE?CD?DE?AD, ∴整理得 x2?(a?b)x?

ab?0.

x2?解得x1?(舍去). 12分

(3)当∠ACB为钝角时,如图④,作∠DAE=45°,AE和BC的延长线相交于点E,过点

CF?EF?m

,F??C作CF⊥AE于点F.与(1)中的求法类似,可设AD?DE?x,则A

.

同(1)中的理由,得△FAC∽△DAB ,CE?

∵AD?DE?CE?CD, ∴x?

2ax

. x?a

2ax

?b. ·········································· 16分 x?aE

整理,得 x2?(a?b, )x?

ab?0

a?b?…17分 解得x?

2综上,AD

的长为

图④

a 或或或

a?b. ·················································································· 18分 2

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