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2013年全国初中数学竞赛九年级复赛试题及答案

发布时间:2013-12-09 14:33:51  

中国教育学会中学数学数学专业委员会 2013年全国初中数学竞赛九年级复赛试题及答案

答题时注意:

1.用圆珠笔或钢笔作答;

2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交。

一.选择题(共5小题,每小题7分,共35分,每道小题均给出了代号为A,B,C,D

的四个选项其中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分) 1.对正整数n,记n!=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( ). A.0 B.1 C.3 D.5

【分析】n?5时,n!的个位数均为0,只考虑前4个数的个位数之和即可,1+2+6+4=13,故式子的个位数是3. 本题选C.

?2x?5

?x??5??3

2.已知关于x的不等式组?x?3恰好有5个整数解,则t的取值范围是( ).

??t?x??2

A.?6?t??

11111111

B.?6?t?? C.?6?t?? D.?6?t?? 2222

?2x?5

?x??5??3

【分析】??3?2t?x?20,则5个整数解是x?19,18,17,16,15.

?x?3?t?x??2

注意到x?15时,只有4个整数解.所以

14?3?2t?15??6?t??

11

2,本题选C

3.已知关于x的方程xx?2a?2x恰好有一个实根,则实数a的值有( )个. ??2x?2xx?2x

A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】xx?2a?2x??2?a?2x2?2x?4,下面先考虑增根: x?2xx?2x

2ⅰ)令x?0,则a?4,当a?4时,2x?2x?0,x1?1,x2?0(舍);

ⅱ)令x?2,则a?8,当a?8时,2x?2x?4?0,x1??1,x2?2(舍);

再考虑等根:

ⅲ)对2x?2x?4?a?0,??4?8(4?a)?0?a?

故a?4,8,22771,当a?,x1,2?. 22271,x?1,?1,共3个.本题选C. 22

4.如图,已知△ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC的延

长线上,且BC=4CF,DCFE是平行四边形,则图中阴影部分的面积为( ).

A.3 B.4 C.5 D.6

【分析】设?ABC底边BC上的高为h,则

h?48481212???BC4CFCFDE,

111S?ADE?S?BDE??DE?h1??DE?h2??DE?(h1?h2)222

1112??DE?h??DE??622DE本题选D.

5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中,随机取出两个球,记下它们的标号,则较大标号被较小标号整除的概率是( ).

5127A. B. C. D. 184936

11C4?C2?1?182?? 本题选B. 【分析】P?2C9369

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

2(b?2)3的值为. 6.设a?,b是a的小数部分,则

222???27?3,b?9?2,b?2?9 【分析】考虑到a?,则a?3?9,

(b?2)?(39)?9 则

7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6.掷这个正方体三次,则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是 .

【分析】对第一次向上面为1时,后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111,114,123,126,132,135,141,144,153,156,162,165共12种;对于首次掷得向上的面是2,3,4,5,6的,后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的,故和为3的倍数共有12?6,而总次数是6?6?6次,则其概率为33P?12?61?.

6?6?63

8.已知正整数a、b、c满足a+b-2c-2=0,3a-8b+c=0,则abc的最大值为 .

【分析】先消去c,再配方估算.6a2?a?b2?16b?2?6(a?22121)?(b?8)2?66? 1224

观察易知上式中a?3,故a?1,2,3,经试算,a?1,2时,b均不是整数;当a?3时,b?5,11,于是有(a,b,c)?(3,5,13),(3,11,61),故abcmax?3?11?61?2013.

9. 实数a、b、c、d满足:一元二次方程x+cx+d=0的两根为a、b,一元二次方程x+ax+b=0的两根为c、d,则所有满足条件的数组(a、b、c、d)为 .

【分析】由根与系数关系知a?b?c?c?d?a?0?b?d,ab?d,cd?b,然后可得

(a、b、c、d)=(1,-2,1,-2)

本题在化简过程中,总感觉还有,此处仅给出一组,好像不严谨,期待官方答案.

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,园珠笔每支售7元,开始时他有铅笔和圆珠笔共350支,当天虽然没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2013元,则他至少卖出了 支圆珠笔.

【分析】设4元的卖x支,7元的卖y支,则4x?7y?2013,x?y?350 22

4x?7y?2013?4x?2012?8y?y?1?x?503?2y?

令y?14 y?1?k?y?4k?1,则x?503?2(4k?1)?k?505?7k,又x?y?350,4

1k?N即505?7k?4k?1?350?k?51????k?52,3

y?4k?1?4?52?1?207

即他至少卖了207支圆珠笔.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.如图,抛物线y=ax+bx-3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴

交于点C,且OB=OC=3OA.直线y??

221x?1与y轴交于点D,求∠DBC-∠CBE. 32【分析】易知y?x?2x?3?(x?1)?4,

A(?1,0),B(3,0),C(0,?3),D(1,?4),作EF⊥CO于F,连CE,易知△OBC、△CEF

都是等腰直角三角形,则△CBE是直角三角形.分别在Rt△OBD、Rt△BCE中运用正切定义,即有tan??OD1CE21?,tan????,则??? OB3BC323

从而可得∠DBC-∠CBE=45o.

12.如图,已知AB为圆O的直径,C为圆周上一点,D为线段OB内一点(不是端

点),满足CD⊥AB,DE⊥CO,E为垂足,若CE=10,且AD与DB的长均为正整数,

求线段AD的长.

【分析】设圆O半径为r,则由相似或三角函数或射影定理可知,

DE2?CE?OE?DE2?10(r?10),又CD2?CE2?DE2?102?10(r?10)?10r

由相交弦定理(考虑垂径时)或连AC、BC用相似或三角函数,易知

AD?BD?CD2?10r①,而AD?BD?2r②

令AD?x,BD?y,①/②即yxy10ryy??5???1,显然有0?y?x,则0??1,即xx?y2rx5

y故y?6,7,8,9,又x也为正整数,经逐一试算,仅当y?6,x?30?1?1?5?y?10,y为正整数,5

这一组是正整数,故AD?30. 0?

13.设a、b、c是素数,记x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,当z?y,x?

能否构成三角形的三边长?证明你的结论. 2y?2时,a、b、c

?y?c?a?b?1??8az2?y?y?z?2a?????z2?z?2a?0?z?【分析】? z?a?b?c2?

a、b、c是素数,则a?b?c?z为整数,则?8a?2k?1,k为正整数.化简整理后,有

?k?1,k?1?2a?1?1?2?a?1(非质数)?1??8aa?3?z?????z??3,2 k(k?1)?2a?k?2,k?1?a?2?1?32?

ⅰ)z?3,y?9,x??2?x?25,x?z?2b?b?11,b?17,a?b?3?17?20?17?c不能围成三角形;

ⅱ)z?2,y?4,x?16,b?9是合数

综上所述,以a、b、c不能围成三角形.

14.如果将正整数M放在正整数m左侧,所得到的新数可被7整除,那么称M为m的“魔术数”(例如,把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数) .求正整数n的最小值,使得存在互不相同的正整数a1,a2,...,an,满足对任意一个正整数m,在a1,a2,...,an中都至少有一个为m的“魔术数”.

【分析】考虑到魔术数均为7的倍数,又a1,a2,...,an互不相等,不妨设a1?a2?...?an,余数必为1、2、3、4、5、6,0,设ai?7ki?t,(i?1,2,.,.3.,

k,至少有一个为m的“魔术数”.因n;t?0,1,2,3,4,5,6)k为ai?10?m(k是m的位数),是7的倍数,当i?6时,而ai?10除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6中的6个;当i?7时,而ai?10除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6这7个数字循环出现,当i?7时,依抽屉原理,ai?10与m二者余数的和至少有一个是7,此时ai?10?m被7整除,即n=7. kkk

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