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第五届全国中学生数理化学科能力展示活动八年级数学解题技能展示试题及解答

发布时间:2013-12-09 14:33:52  

第五届全国中学生数理化学科能力展示活动 八年级数学解题技能展示试题解答 试卷说明:1、本试卷共计15题,满分为120分 2、考试时间为120分钟 一、选择题(共6小题,每题6分,共36分) 1、已知a=2010x+2011,b=2010x+2012,c=2010x+2013,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为 D . A. 0; B. 1; C. 2; D. 3 解:a2+b2+c2-ab-bc-ca=12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] =12×6=3 2、直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,D为AB延长线上一点,点E在边BC上,且BE=BD,则∠BCD与∠CAE的度数和为 B A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

解: 因为, △ABE≌△CBD,所以∠BCD=∠BAE .

∠BCD+∠CAE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=45°.

3、In the United States,have the following

thicknesses:penny,1.55mm;nickel,1.95mm;dime,1.35mm;

quarter,1.75mm.If a stack of these coins is exactly 14 mm higt,how many coins are in the stack?(B)

A. 7; B. 8; C.9; D. 10. 解:译文:在美国,有以下厚度的硬币:1美分,1.55mm; 5美分,1.95mm;1角硬币1.35m; 四分之一美元,1.75mm. 如果一堆这些硬币正是14毫米, 有多少硬币堆在一起? 设4种硬币的数量分别为a、b、c、d.

则1.55a+1.95b+1.35c+1.75d=14,

155a+195b+135c+175d=1400,

31a+39b+27c+35d=280,

3a+11b-c+7d+28(a+b+c+d )=280,

3a+11b-c+7d=28[10-(a+b+c+d)]

∴a+b+c+d≦10.

当a+b+c+d=10(1)时,

3a+11b-c+7d=0(2)

(1)+(2)得:4a+12b+8d=10,2a+6b+4d=5(左偶右奇,不合题意) 同理当a+b+c+d=9时,4a+12b+8d=37(左偶右奇,不合题意

)

当a+b+c+d=7时,4a+12b+8d=7+3×28(左偶右奇,不合题意)

只有a+b+c+d=8符合。

1

4、有一种微生物的生殖方式为分裂生殖,1个该生物每次裂变为5个,这5个微生物中

的每一个又可依次裂变为5个微生物,依次类推。那么在一定时间内,1个微生物可以裂

变为( B )个快乐细胞。

A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015

解: 因为, 625=5 < (2012~2015) < 5=3075

所以625个快乐细胞未完全裂变,设其中有x个已裂变,则裂变总数为

(625-x)+5x=625+4x=4(156+x)+1,被4除余1

符合条件的只有(B)

5、规定:正整数n的“H运算”是:⑴当n为奇数时,H=3n+13;⑵当n为偶数时,H=n÷2,

其中H为奇数,k为正整数.如12经过1次“H运算”的结果是3,经过2次“H运算”的结果是

22,经过3次“H运算”的结果是11,那么数34经过34次“H运算”的结果为( B )

A. 1; B. 16; C. 17; D. 34

解:(1)H= n÷2 =34÷2=17

(2) H=3×17+13=64

(3)H=64÷2 =1

(4)H=3×1+13=16

(5)H=16÷2=1

(6)H=3×1+13=16,???

所以(34)H=16 (B)

6、若规定,如果A的身高或体重至少有一项比B大,则称A不亚于B.在100个小伙子中。

如果某人不亚于其他99人,就称他是棒小伙.那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有 ( D )个.

A. 1 B. 2 C. 50 D. 100

解答:将身高和体重按从小到大排列,分别编号为1、2、3?、100;用格式(身高,体

重)表示为坐标形式。

假如这100个小伙子的情况为(1,100)、(2,99),(3,97)?(100,1);

任取其中一个,则其身高都比其前面的人高,体重都比后面的重,所以这100人都可以

是棒小伙。

二、填空题(每题8分,共48分)

7、在一个圆形时钟的表面,OA表示秒针,OB表示分针(O为两针的旋转中心),若现在

时间恰好是12点整,则经过( )秒钟后,三角形OAB的面积第一次达到最大。

解:当∠AOB=90°时,△AOB的面积最大。(△AOB的面积=kkkkk4 5 1OA·OBsin∠AOB) 2

秒针转速:360°÷60=6°/秒,分钟转速360°÷(60×60)=0.1°/秒,

15 59

8、山西省某乡镇学校对其义务教育阶段贫困学生实行减免教材费和杂费,其中

小学生每人每学期减免33元,中小学每人每学期减免67元.本学期该学校共减

免6635元,其中有不到100名小学生享受到了这种减免,则享受到这种减免的

中学生有__68____人?

解:设有x名小学生享受到了这种减免,有y名中学生享受到这种减免,则

33x+67y=6635 90÷(6-0.1)=90/5.9=900/59=15

2

6635-67y=33x﹤33×100=3300,67y﹥3335,y≧49,

x=(6635-67y)÷33=(199-2y)+(68-y)÷33,

52000×109kJ/s+81000×109kJ/s+40000×109kJ/s+370×9kJ/s+40×109kJ/s

×100%≈23.3%

(2)每年通过光合作用转化为化学能的太阳能为

40×109kJ/s×31536000s=1.26144×1018kJ

10、如图,在一个面积为1的正方形草地中先把各边分成n等分,然后按如图所示将各边第一个等分点与另一边的第(n-1)个等分点连结起来,发现正中央所形成的四边形的面积恰好为1/3362.则n 的值为_____。

3

1解:发现正中央所形成的四边形的为正方形,其边长为n ×2,面积为

2÷n2

所以:2÷n2=1/3362

n2=3362×2=82, n=82 2

11、二十世纪著名的数学家诺伯特?维纳,从小聪颖过人,3岁时就能读写,14岁时就大学毕业。几年后,他又通过了博士论文答辩成为了美国哈佛大学的科学博士。

在博士学位的授予仪式上,执行主席看到一脸稚气的维纳,很是惊讶,于是就询问他的年龄,维纳的回答十分巧妙:“我今年的岁数与岁数的平方的乘积是一个四位数,岁数的平方的平方是个六位数,这两个数刚好把10个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上,不重不漏,这意味着全体数字都像我称臣,预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。”

维纳此言一出,四座皆惊,大家都被他的这道妙题深深地吸引住了,整个会场都在讨论他的年龄。维纳的年龄是______.

解:18*18*18=5832,18*18*18*18=104976 我们先来研究维纳年龄可能的“上限”: 不难发现,21的立方是四位数,而22的立方已经是五位数了,所以维纳的年龄最多是21岁; 再来研究维纳年龄可能的“下限”:18的四次方是六位数,而17的四次方则是五位数了,所以维纳的年龄至少是18岁。 这样,维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个。 剩下的工作就是一一筛选了。 20的立方是8000,有3个重复数字0,不合题意。 同理,19的四次方等于130321,21的四次方等于194481,都不合题意。 最后只剩下一个18,是不是正确答案呢?验算一下,18的立方等于5832,四次方等于104976,恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字,多么完美的组合!

12、近年来我国网球运动得到了极大的发展,特别是女子网球,在过去的两年中,李娜、彭帅、郑洁等中国选手在代表国际网球最高水平的四大满贯赛事中取得了不俗的成绩,让国人倍感骄傲.网球大满贯赛事共有128名选手参加,现行规则是淘汰制(即全部选手抽签进行比赛,胜方进入下一轮比赛,败方则淘汰出局,经过若干轮比赛后决出冠军),则共有N场比赛.如果实行单循环赛(任意的两人都会打一场,最后统计胜利场数,最多胜利场数则为冠军,如果分数相同,则名次并列,不再追加场数)则共有M场比赛,问N:M=_____. 解:128=2,N=1+2+4+8+16+32+64=2-1=127;

M=128×(128-1)÷2=64×127;N:M=1:64. 77

4

一般地,若共有n=2名选手参赛,则N=1+2+4+8+?+2=2 -1=n-1;

M=n×(n-1)÷2;N:M=2:n. tt-1t

三、解答题(每题12分,共计36分)

13、如图,已知一次函数y=kx+b的图像经过点A(1,0),与反比例函数的图像y=2/x(x>0)有交点

(1)求的取值范围.

(2)如果上述两函数的图像交于点B,且三角形OAB的面积为1,求一次函数y=kx+b的解析式.

解:(1)因为一次函数y=kx+b的图像经过点A(1,0),所以0=k+b,b=-k,

2/x=kx-k,kx-kx-2=0,

△ =k+8k≥0,k≥0或k≤-8.

(2)三角形OAB的面积=22 1×OA×yB 2

所以yB =2,所以B(1,2),AB垂直于x轴,

一次函数为x=1.( 注此题可能出错,三角形OAB的面积不应是1)

14、8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘4人(不含司机),其中一辆小汽车在距离火车站15km的地方出现故障,此时距停止检票的时间还有42分钟,这时唯一可利用的交通工具是另外一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘5人,且这辆车的平均速度是60km/h,人步行的平均速度是5km/h.试设计两种方案,通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。

解:方案一:4人下车步行,另4人乘小汽车送到火车站,立即返回,与步行4人相遇 ,此时用时为:(15×2)÷(60+5)=6/13(h);

小汽车再将步行4人送到火车站,再用时:(15-5×6/13)÷60=11/52(h);

合计用时:6/13+11/52=35/52(h)=40.4(分钟).

方案二:4人下车步行,将另4人乘小汽车送到距离火车站2km处,这4人步行去火车

5

站,小汽车立即返回,与先行步行4人相遇{此时用时(13×2)÷(60+5)=2/5(h)}

,小汽车再将步行4人送到火车站。

前4人用时:13/60+2/5=37/60(h)=37分钟。

后4人用时:2/5+(15-5×2/5)÷60=37分钟。

15、如图,有一种新型台球桌,桌面为等边三角形,顶点处各有一个球袋.从A点向BC的三等分点D打出一个球,经过多次反弹后落袋.

(1)球落到A、B、C哪个袋中?请画出球的运动轨迹.(2)证明你的结论.

B

解:(1)球落到B袋中.轨迹如图.

(2)在△BDE和△CDA中,

∠B=∠C=60°,∠BDE=∠CDA,∴△BDE∽△CDA

BE:CA=BD:CD=1:2

BE=11

2CA=2AB=AE,即E为AB中点.

在△BDE和△AFE中,

∠B=∠A=60°,∠BED=∠AEF,BE=AE∴△BDE≌△AEF

∴AF=BD,CD=CF,从而△CDA≌△CFB

∴ ∠CFB=∠CDA=∠BDE=∠AFE.

济宁市任城区济东中学数学组供稿

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