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2013年浙江省嵊州市“天乐杯”九年级数学竞赛试题

发布时间:2013-12-09 15:31:32  

2013年嵊州市“天乐杯”初中生数学思维风暴活动

九年级试题

(2013年12月7日 上午8:00—9:30)

一、选择题(每小题5分,共40分)

1、一同学①2?x?2?x?0?的值随着x的增大越来越小; ②2??x?0?的值有可能等于1; xx

x?2x?2③2?④2? ?x?0?的值随着x的增大越来越接近于1;?x?0?的值最大值是3.xx

则推测正确的有( )

A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个

2、如图,西安路与南京路平行,并且与八一街垂直,曙光路

与环城路垂直。如果小明站在南京路与八一街的交叉口,准

备去书店,按图中的街道行走,最近的路程约为( )

A 500m B 525 m C 575 m D 625 m

??DA???AB,给出下列三个结论:3、如图,在⊙O中,CD

(1)DC=AB;(2)AO⊥BD;(3)当∠BDC=30°时,∠

DAB=80°.其中正确的个数是( )

A 0 B 1

C 2

D 3

4、已知非零实数a,b 满足 a?2?b?1?a?3?a?2,则第3题图 第4题图 a?b等于( ) A -1 B 0 C 1 D 25、已知二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示,有以下结论:①a?b?c?0;②a?b?c?1;③abc?0;④4a?2b?c?0;⑤c?a?1其中所有正确结论的序号是( )

A.①② B. ①③④ C.①②③⑤ D.①②③④⑤

6、如图所示,一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的,矩形ABCD沿EF对折后,再把矩形EFCD沿MN对开,依此类推,若各种开本的矩形都相似,那么

AD

?( ) AB

A

2

B 2 C D 2 2

D

A A1

第7题

B

(第10题)

B1

C1

C

第6题

2

?x?1?1?x≤3????

7、已知函数y??,则使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为( )

2

???x?5??1?x>3?

A.0 B.1 C.2 D.3

8、如图,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,黑、白两个甲壳虫同时从A点出发,以相

同的速度分别沿棱向前爬行,黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→??,白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→??,并且都遵循如下规则:所爬行的第n?2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交(其中n是正整数).那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止在所到的正方体顶点处时,它们之间的距离是( )

A 0 B 1 C

2 D

二、填空题(每小题5分,共40分) 9、若关于x,y的二元一次方程组?______. 10、设a?

?3x?y?1?a

的解满足x?y<2,则a的取值范围为

x?3y?3?

5?1,则代数式a3?3a2?2a?14的值为

11、读一读:式子“1+2+3+4+??+100”表示从1开始的100个连续自然数的和,由于式子比较长,书写不方便,为了简便起见,我们将其表示为

?n,这里“?

n?1

100

”是求和符号,

2012

通过以上材料的阅读,计算

?n(n?1) .

n?1

1

12、在直角坐标系中,点A是抛物线y=x2在第二象限上的点,连接OA,过点O作OB⊥OA,交抛物线于点B,以OA、OB为边构造矩形AOBC。如图,当点A的横坐标为?则点B的坐标为 ;

1

时,2

?是以点A为圆心2为半径的13、如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,AM=1,DE

1

圆弧,4

?是以点M为圆心2为半径的1圆弧,则图中两段弧之间的阴影部分的面积NB

4

为 .

AN的中14、如图,MN是?O的直径,MN?2,点A在?O上,∠AMN?30,B为?

?

点,P是直径MN上一动点,则PA?PB的最小值为 。

第14题

N

第12题

第13题

15、如图,已知动点A在函数y?

4

(x?0)的图象上,AB?x轴于点B,AC?y轴于点x

C,延长CA至点D,使AD=AB,延长BA至点E,使AE=AC。直线DE分别交x轴

于点P,Q。当QE:DP?4:9时,图中阴影部分的面积等于_______

16、在△ABC中,BC=6,S?ABC?12,B1C1所在四边形是△ABC的内接正方形,B2C2所在四边形是△AB1C1的内接正方形,B3C3所在四边形是△AB2C2的内接正方形,依此类推,则

BnCn的长为

ABBB321

B

第19题

三、解答题:(共70分)

第20题

C

17、(10分)如图,有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m),围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃.设花圃的一边AB为xm,面积为Sm. (1)求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围; (2)要围成面积为45 m的花圃,AB的长是多少米?

2

2

(3)能围成面积比45 m2

更大的花圃吗?如果

能,请求出最大面积,并说明围法;如不能,请说明理由。

18、(12分)某人在电车路轨旁与路轨平行的路上骑车行走,他留意到每隔6分钟有一部电车从他后面驶向前面,每隔2分钟有一部电车从对面驶向后面。假设电车和此人行驶的速度都不变(分别为v1,v2表示),请你根据下面的示意图,求电车每隔几分钟(用t表示)从车站开出一部?

19、(本题12分)阅读理解:对于任意正实数a、b,

∵2≥0,

∴a?b≥0,∴a?

b≥只有当a=b时,a?

b= 根据上述内容,回答下列问题:

1有最小值 m

(2)探索应用:已知,点Q(-3,-4)是反比例函数图象(1)若m>0,只有当m= 时,m?

k的一点,过点Q作QA⊥x轴于点A,作QB⊥yx

k轴于点B, 点P为反比例函数图象y?(x>0)上的xy?

任意一点,连接PA、PB,求四边形AQBP面积的最小值,

(3)已知(x>0),则自变量x为何值时,函数

y?

x取到最大值,最大值为多少? x2?2x?25

20、(12分)如图,AB是半⊙O的直径,点C是半圆弧的中点,点D是弧AC的中点,连结BD交AC、OC于点E、F。

(1)在图中与△BOF相似的三角形有 个;

(2)求证:BE=2AD;

(3)求

21、(12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为C(1,4),交x轴于A、B两点,

交y轴于点D,其中点B的坐标为(3,0)。

(1)求抛物线的解析式;

(2)过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,在x轴上找一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。求出这个最小值及点G、H的坐标。

DE的值。 BE

?上一动点, 22、(12分)如图,扇形OMN的半径为1,圆心角是90°.点B是MN

BA⊥OM于点A,BC⊥ON于点C,点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点,GF与CE相交于点P,DE与AG相交于点Q.

(1)求证:四边形EPGQ是平行四边形;

(2)探索当OA的长为何值时,四边形EPGQ是矩形;

(3)连结PQ,求3PQ2?OA2的值.

嵊州市“天乐杯”初中生数学思维风暴活动

九年级试题

参考答案与评分标准

一、选择题:

1、 B 2、 C 3、D 4、 D 5、C 6、 B 7、 D 8、 A 二、填空题:

9、a<4 10、2012 11、

n

2012

12、 2013

13?317?

13、2 14、 15、 2,??

3?24?

12?2?2?

16、6???或

5n?5?

n?1

三、解答题:

17、(10分)解:(1)∵BC=24?3x,

∴ S?x?24?3x???3x?24x,由0<24?3x≤10,得

2

14

?x<8。----(3分) 3

(2)由s?45,得x?8x?15?0,∴x1?3(舍去),x2?5, ∴AB=5。------------------(3分)

2

14

?x<8, 3

142∴x?时,s有最大值是46。----------------------(4分)

33

142

故能围成面积比45 m更大的花圃,围法是花圃的长为10m,宽为m。

3

(3)S??3?x?4??48,∵

2

18、(12分)解:根据题意得:

?6(u1?u2)?u1t

-------------(5分),解得u1?2u2.------------------(3) ?

?2(u1?u2)?u1t

∴t?3(分钟)------------------(3分)

答:电车每隔3分钟从车站开出一部.-----------(1分) 19、(12分)(1) 1, 2.-------------- (4分) (2)解:由题意得,SAQBO?3?4?12,反比例函数解析式为y?连接PO,过点P作PM⊥x轴于点M,作PN⊥y轴于点N,设点

12

,----(1分) x

12

P的坐标为(x)

x111218

∴S△AOP??AO?PM??3??,

22xx

S△BOP?

11

?BO?PN??4?x?2x 22

SAQBP?SAQBO?S△AOP?S△BOP?2x?

当2x?

18

?12 x

18

,时SAQBP的面积最小,解得x1?3,x2??3(舍去) x

18

∴当x=3时,SAQBP?2?3??12?24

3

∴四边形AQBP面积的最小值为24。 ------------ (3分)

x2?2x?2525

(3)设y?? (2分) ?x?2?

xx

当x?

251?,∴当x=5时,y最小?=8 ∴当x=5时,y最大? ( 2分) 时y最小

8x

20、(12分)解:(1)△BAD;△EAD;△BEC。--------------(3分)

(2)延长AD与BC相交于G,∵点C是半圆弧的中点,点D是弧AC的中点,∴∠CBE=∠GAC, ∠BCE=∠ACG=90°, AC=BC,则△ACG≌△BCE

∴BE=AG,而AG=2AD,∴BE=2AD。----------(5分) (3)连结OD交AC于点H,则OD⊥AC,∴DH∥BC, ∴△DHE≌△BCE,∴

DEDH

= BEBC

设BC=2,则OD=OB=2,∴OH=1,DH=2?1,

2?1DE=。---------(4分)

2BE

2

21、(12分)解:(1)设y=a(x-1)+4,将点B(3,0)代入解得:a=-1 ∴所求抛物线的解析式为:y=-(x-1)+4 ------------------------(4分) (2)如图,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F与点I关于x轴对称, 在x轴上取一点H,连接HF、HI、HG、GD、GE,则HF=HI -----------① 设过A、E两点的一次函数解析式为:y=kx+b(k≠0),

∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2,将x=2代入抛物线y=-(x-1)+4,得

2

2

y=-(2-1)2+4=3 ∴点E坐标为(2,3)

又∵抛物线y=-(x-1)+4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D ∴当y=0时,-(x-1)+4=0,∴ x=-1或x=3 当x=0时,y=-1+4=3,

∴点A(-1,0),点B(3,0),点D(0,3)---------(2分) 又∵抛物线的对称轴为:直线x=1,

∴点D与点E关于PQ对称,GD=GE ---------------②

22

图6

分别将点A(-1,0)、点E(2,3)代入y=kx+b,得:

?k?1??k?b?0

? 解得:?

b?1??2k?b?3

过A、E两点的一次函数解析式为:y=x+1 --------------(2分) ∴当x=0时,y=1 ∴点F坐标为(0,1)

∴DF?2----------------③, 又∵点F与点I关于x轴对称,

∴点I坐标为(0,-1

),∴EI??------------④ 又∵要使四边形DFHG的周长最小,由于DF是一个定值,∴只要使DG+GH+HI最小即可 由图形的对称性和①、②、③,可知,DG+GH+HF=EG+GH+HI, 只有当EI为一条直线时,EG+GH+HI最小

设过E(2,3)、I(0,-1)两点的函数解析式为:y=k1x+b1(k1≠0), 分别将点E(2,3)、点I(0,-1)代入y=k1x+b1,得:

?2k?b?3?k?2

?11 解得:?1

b??1b??1?1?1

过I、E两点的一次函数解析式为:y=2x-1 ∴当x=1时,y=1;当y=0时,x=

1

; 21

,0) 2

∴点G坐标为(1,1),点H坐标为(

∴四边形DFHG的周长最小为:DF+DG+GH+HF=DF+EI 由③和④,可知: DF+EI

=2?∴四边形DFHG

的周长最小为2?-----------(4分) 22、(12分)解:(1)证明:如图①, ∵∠AOC=90°,BA⊥OM,BC⊥ON, ∴四边形OABC是矩形. ∴AB//OC,AB?OC. ∵E、G分别是AB、CO的中点, ∴AE//GC,AE?GC.

C

P

G

D

图①

E A M

B

N

图7

∴四边形AECG为平行四边形.

∴CE//AG. ???????????4分 O 连接OB,

∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点, ∴ GF∥OB,DE∥OB, ∴ PG∥EQ,

∴四边形EPGQ是平行四边形;--------------------------(4分)

(2)如图②,当∠CED=90°时,□EPGQ是矩形. 此时 ∠AED+∠CEB =90°. 又∵∠DAE=∠EBC =90°,∴∠AED=∠BCE.

∴△AED∽△BCE.????????????8分 ∴

N C

P G

O

D A 图②

M

E ADAE

. ?

BEBC

xyy

设OA=x,AB=y,则∶=∶x,得y2?2x2.?10分

222

又 OA2?AB2?OB2,即x2?y2?12. ∴x2?2x2?

1,解得x?

∴当OA

EPGQ是矩形.--------------------(4分) (3)如图③,连结GE交PQ于O?,则O?P?O?Q,O?G?O?E..过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B?、A?.

PGPEGE2

由△PCF∽△PEG得,???,

PFPCFC1

2111

∴ PA?=A?B?=AB, GA?=GE=OA,

333311

∴ A?O??GE?GA??OA.

26

在Rt△PA?O?中,PO?2?PA?2?A?O?2,

NCG

B'FD

A

MEPQ2AB2OA2

O即 , 又 AB2?OA2?1, ??

4936

1

∴ 3PQ2?AB2?,

3

14

∴ OA2?3PQ2?OA2?(AB2?)?.---------------------(4分)

33

图③

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