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备战2014年数学中考————初中数学竞赛专项训练(6)及答案

发布时间:2013-12-10 09:02:57  

初中数学竞赛专项训练(6)

(函 数)

一、选择题:

1、如果一条直线L经过不同的三点A(a,b),B(b,a),C(a-b,b-a),那么直线L经过 ( ) A. 二、四象限 B. 一、二、三象限 C. 二、三、四象限 C. 一、三、四象限 2、当|x|?4时,函数y?|x?1|?|x?2|?|x?3|的最大值与最小值之差是( ) A. 4

2

2

B. 6 C. 16 D. 20

( )

3、对ab?0,a?b,二次函数y?(x?a)(x?b)的最小值为 A. (

a?b2

) 2

B. ?(

a?b2

) 2

C. (

a?b2

) 2

D. ?(

a?b2

) 2

2

4、若直线y?ax?b(ab?0)不经过第三象限,那么抛物线y?ax?bx的顶点在

A. 第一象限

2

( ) B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

( )

5、二次函数y?ax?bx?c的图象一部分如图6-1,则a的取值范围是 A. ?1?a?0 C. -1<a<0

B. a>-1 D. a≤-1

图6-1

122

6、若函数y?(x?100x?196?|x?100x?196|),

2

则当自变量x取1,2,3,……,100这100个自然数时,函数值的和是 ( ) A. 540 B. 390 C. 194 D. 197

7、已知函数f(x)?|8?2x?x|和y?kx?k(k为常数),则不论k为何常数,这两个函数图象只有( )个交点 A. 1

2

B. 2 C. 3 D. 4

2

2

8、二次函数y??x?6x?7,当x取值为t?x?t?2时,y最大值??(t?3)?2,则t的取值范围是

A. t=0

2

B. 0≤t≤3

2

2

C. t≥3

2

D. 以上都不对

( )

9、两抛物线y?x?2ax?b和y?x?2cx?b与x轴交于同一点(非原点),且a、b、c为正数,a≠c,则以a、b、c为边的三角形一定是

A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形

( ) D. 等腰或直角三角形

2

2

10、当n=1,2,3,……,2003,2004时,二次函数y?(n?n)x?(2n?1)x?1的图象与x轴所截得的线段长度之和为 A.

( )

2002

2003

B.

2003

2004

C.

2004

2005

D.

2005

2006

二、填空

1、已知二次函数y?ax?bx?c图象如图6-2所示,则下列式子:

ab,ac,a+b+c,a-b+c,2a+b,2a-b中,其值为正的式子共有__个。

2、已知函数y?2图6-2 1213x?在0?a?x?b时,有2a?y?2b,则(a,b

22

23、若第一象限内的整点(a,b)位于抛物线y?19x?98x上, 则m+n的最小值为_____

4、如果当m取不等于0和1的任意实数时,抛物线y?m?122m?3在平面直角坐标系上都过x?x?mmm

两个定点,那么这两个定点间的距离为_______

5、已知抛物线y?x?(k?1)x?1与x轴两个交点A、B不全在原点的左侧,抛物线顶点为C,要使△

ABC恰为等边三角形,那么k的值为_______

6、已知f(x)?x?(m?1)x?(2m?1)(m?

号为_______

23x?6x?5的最小值是______ 7、设x为实数,则函数y?12x?x?12221m?1)在x轴上的两截距都大于2,则函数值f()的符24m?2

8、已知函数f(x)?1

,则f(1)?f(3)?...f(2k?1)?...?f(999)x?2x?1?2x?1?2x?2x?12

的值为________

9、函数y?(cos?)x?4(sin?)x?6对任意实数x都有y?0,且θ是三角形的内角,则θ的取值范围

是_________ 2

三、解答题

1、已知x,y,z为三个非负有理数,且满足3x?2y?z?5,x?y?z?2,若s?2x?y?z,求s的

最大值与最小值的和。

2、设a、b、c是三角形的三边长,二次函数y?(a?b)x?2cx?(a?b)在x??21a时,取得最小值?,

求这个三角形三个内角的度数。

3、二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图6-3所示:

①判断a、b、c及b2?4ac的符号

②若|OA|?|OB|,求证ac

?b?1?0

22图6-3

4、设二次函数y?x?px?q 的图象经过点(2,-1), 且与x轴交于不同的两点 A(x1,0) B

(x2,0),M为二次函数图象的顶点,求使△AMB面积最小时的二次函数的解析式。

5、已知二次函数y?4x?(3k?8)x?6(k?1)的图象与x轴交于A、B两点(A在B左边),且点A、B

到原点距离之比为3∶2。

①求k值。

②若点P在y轴上,∠PAB=α,∠PBA=β。求证:α<β222

参考答案

一、选择题

1、A。设L的方程为y?kx?t,则有:

?b?ka?t       ①? ?a?kb?t       ② ①-②得(b?a)?k(a?b)

?b?a?k(a?b)?t   ③?

?a?b  ?k??1,代入③得t?0

?L方程为y??x,经过二、四象限

(?4?x?1)?6?3x  

?4?x  (1?x?2)?2、C。因为?4?x?4,所以y?? x  (2?x?3)??(3?x?4)?3x?6  

所以当x??4时,y取最大值18,当x?2时,y取最小值2。

3、D。 ?y?x2?(a?b)x?ab?(x?a?b2a?b2)?ab?()22

a?b2a?b2   ?(x?)?()22

a?ba?b2?当x?时,ymin??()22

4、A。∵直线y?ax?b(ab?0)不经过第三象限,∴a?0,b?0。

∴抛物线4ac?b2在第一象限。 y?ax2?bx的顶点(?b)2a4a

5、C。显然a?0,因为二次函数图象过点(1,0)和(0,1),且当x??1时,y?0,所以可设

y?a(x?1)(x?k)(k?0),将(0,1)坐标代入,得ak??1,所以y?ax2?(a?1)x?1,将x??1代入,可知a?(1?a)?1?0,解得a??1,故-1<a<0。

6、B。?x?100x?196?(x?2)(x?98) 2

|x?100x?196|??(x?100x?196),当自变量x取2,2,…,98时函数 ?当2?x?98时,

值为0,而当x取1,99,100时, |x?100x?196|?x?100x?196,所以,所求和为(1-2)(1-98)+(99-2)(99-98)+(100-2)(100-98)=97+97+196=390。

7、B。由于y?k(x?1)图点恒过点(-1,0),所以不论k为何常数,这两个函数图象有两个交点。

数学竞赛专项训练参考答案(6)-5 2222

228、C。y??x?6x?7??(x?3)?2,当t?3?t?2时,即1?t?3时,y最大值?f(3)?2,与

y最大值??(t?3)2?2矛盾。当3?t?2时,即t?1时,

y最大值?f(t?2)??(t?1)2?2,与y最大值??(t?3)2?2矛盾。当3?t,即t?3时,

y最大值?f(t)??(t?3)2?2与题设相等,故t的取值范围t≥3。

9、B。设两抛物线交于x轴(x0,0)(x0≠0),则有:

22??x0?2ax0?b?0  ①2 ?,①+②得2x0?2(a?c)x0?0,∵x0?0, ∴x0??(a?c)。22??x0?2cx0?b?0  ②

①-②得2(a?c)x0?2b?0, 2

b2b2

∴x0? ∴??(a?c),b2?a2?c2,即a2?b2?c2,所以为直角三角形。 c?ac?a

10、C。解方程(n?n)x?(2n?1)x?1?0,得x1?

∴dn?|x1?x2|?2211,x2?, n?1n11 ?nn?1

1111112004∴d1?d2?...?d2004?(1?)?(?)?...?( ?)?1??2232004200520052005

二、填空题

1、2个。显然a?0,c?0,b?0,a?b?c?0,?b?1, 2a

所以ab?0,ac?0,a?b?c?0,2a?b?0,2a?b?0

1213?2a??b???a?1?222、(1,3)。若b?0,则有?,解得?,若b?0与题设矛盾。 b?3113??2b??a2??22?

3、102。由m?(19n?98)n知,存在整数k,使k?19n?98,取n?6,7,?可知当n取最小值6时,k

取最小正整数16,故m?n?nk?n?6?17?102。

4、4。取m?

取m?12,得抛物线y??x?4x?5 ①; 212,得抛物线y??3x?8x?11 ②, 4

2,x2?3,相应地,得y1?0,y2?8,即两个定点的坐标联立①②,得x?2x?3?0,求出x1?1

数学竞赛专项训练参考答案(6)-6

分别为M(?1,从而两定点M1N之间的距离为MN?,0)N(3,8)

5、-5。由题意A、B在原点的右侧,且|x1?x2|?

6、f((3?1)2?(8?0)2?4。 (x1?x2)2?4x1x2?(k?1)2?4 3k?12(k?1)2?4?|1?()|,解得k??5。 22m?1)?0。设x2?(m?1)x?(2m?1)?0,两根为x1,x2,则x1>2,x2>2, 4m?2

∵x1?x2?m?1,x1?x2?2m?1, ∴x?x211m?111?1?(?)??2 4m?22x1x22x1x22

∴f(m?1)?0 4m?2

3x2?6x?527、4。设y?,去分母,整理得(y?6)x?(2y?12)x?2y?10?0,当y?6?0时,由12x?x?12

22得??(2y?12)?4(y?6)(2y?10)?0,即y?10y?24?0,解得4?y?6(y?6),x为实数,

而x??1时,y?4,故分式的最小值为4。

x?1?x?11?(x?1?x?1) 8、5。∵f(x)?(x?1)?(x?1)21?f(1)?f(3)?...?f(999)?[(2?0)?(4?2)?...?(?998)]2 1??10?52

?cos??09、0????60?。由题意得? 2???16sin??24cos??0

?cos??01即? 解得,又因为0????180? cos??222(1?cos?)?3cos??0?

所以0????60?

??3x?2y?z?5?x?s?2??三、1、∵?x?y?z?2 ∴?15?4s y???2x?y?z?s3??3?s?z??3?

数学竞赛专项训练参考答案(6)-7

??s?2?0

又x、y、z是非负数,∴? 解得2?s?3,故s的最大值为3,最小值为2,最大值与?15?4s?0??3

?3?s?0??3

最小值和为5。

1?c?        ①??a?b22、由题意得? 由①得a?b?2c,代入②得a?2b?c?0,所以2?(a?b)(a?b)?ca??? ②?a?b2?

a?b?c,故三个内角度数均为60°。

3、①a?0,b?0,c?0,b?4ac?0

②因为|OA|?|OB|,且|OB|?|c|??c,所以ax?bx?c?0有一根x?c,从而ac?bc?c?0,

又因为c?0,所以ac?b?1?0。

4、∵?1?2?2p?q ∴2p?q??5

∵x1,x2为x?px?q?0两根,∴x1?x2??p

∴|AB|?|x1?x2|?22222x1x2?q, (x1?x2)?4x1x2?2p4q?p2

p?4q,又M(?) 242

∴S?AMB

214q?p214q?p212?|AB|?||?|x1?x2|?||?(p?4q)2,要使S?AMB为最小,只需24248p2?4q?p2?8p?20?(p?4)2?4

23使p?4q最小。∵2 ∵当p??4时,p?4q取最小值4,此时q?3,故所求的二次函数为y?x?4x?3。

2k?8??3t?2t??45、设A(-3t,0),B(2t,0),则有?解得k?2或k?8,经检验k?2符合?2??3t?2t??6(k?1)(t?0)?4?

题意。http://www.czsx.com.cn

②∵tan?PAB?POPO,tan?PBA?,AO>BO AOBO

∴tan?PAB?tan?PBA

∴?PAB??PBA,即α<β。

数学竞赛专项训练参考答案(6)-8

数学竞赛专项训练参考答案(1)-9

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