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备战2014年数学中考————第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛__初二__第2试

发布时间:2013-12-10 09:03:06  

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初二 第2试

2011年4月10日 上午9:00至11:00

一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正 确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.

1. Given A:B=32:,A=2,C=

29

. The size relationship between B and C is 10

(A) B>C (B) B=C (C) B<C (D) uncertain

1a2?4a?1

2. 已知a?a=7,则代数式.2?2的值是

a?2a?2a?1a?1

2

(A) 3 (B)

7

(C) 4 (D) 5 2

3. 一个凸四边形的四个内角可以

(A) 都是锐角 (B) 都是直角 (C) 都是钝角 (D) 有三个是直角,另一个是锐角或钝角 . 4. 如果直线y=2x?m与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积等于4,则m的值是 (A) ?3 (B) 3 (C) ?4 (D) 4

5. 若n?1=20102?20112,则2n?1= (A) 2011 (B) 2010 (C) 4022 (D) 4021 6. 有四个命题:

? 若两个等腰三角形的腰相等,腰上的高也相等,则这两个等腰三角形全等 ? 有一条边相等的两个等腰直角三角形全等

? 有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 ? 两边以及另一边上的高对应相等的两个三角形全等 其中,正确的命题有

(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个

7. 如图1,Rt△ABC两直角边上的中线分别为AE和BD, 则AE2?BD2与AB2的比值为

B

图1

353 (A) (B) 1 (C) (D)

442

8. As shown in figure 2, ABCD is a rectangle and AD=12, AB=5,

D

P is any point on AD and PE?BD at point E, PF?AC at point F.

figure 2

C

Then PE?PF has a total length of (A)

486070 (B) (C) 5 (D) 131313

9. 如图3,正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上,C(2,1),D(1,1). k

反比例函数y=的图像与边BC交于点E,与边CD交于点F.已知

x

BE:CE=3:1,则DF:FC等于

(A) 4:1 (B) 3:1 (C) 2:1 (D) 1:1

10. 如图4,a,b,c,d,e分别代表1,2,3,4,5中的一个数. 若b?a?c及d?a?e除以3都余1,则不同的填数方法有 (A) 2种 (B) 4种 (C) 8种 (D) 16种 .

图3

b d

a c

e

二、填空题 (每小题4分,共40分)

11. 右表为甲、乙两人比赛投篮球的记录, 以命中率(投进球数与投球次数的比值) 来比较投球成绩的好坏,若他们的成绩 一样好.现有以下关系式:

? a?b=5; ? a?b=18; ? a:b=2:1; ? a:18=2:3; 其中正确的是(只填序号).

图4

?2x?y?4?x?mk

12. 已知方程组?的解为?,又知点A(m,n)在反比例函数y=的图像上,则k的值

x?x?y?5?y?n

是.

13. 等腰三角形的两个内角的度数之比为a:b (a<b),若这个三角形是钝角三角形,则 范围是14. 定义f (x)=

b

的取值 a

1

(x?1),那么f(f(f(?f(2011)?))).

???????1?x

2011個f

2

15. 函数y=ax与函数y=x?b的图像如图5所示,则关于x,y的

3?ax?y?0

方程组?的解是 .

3y?2x?3b?

16. 若a,b是自然数,且a>b,2011=a(a?1)?b.那么ab

17. 一个骰子,六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.两次掷这个骰子,朝上一面的数依

?mx?ny?1 次记为m,n.则关于x,y的方程组?,有解的概率为 . 2x?y?3?

18. 如图6边长为2?的正方形ABCD内有一点P,且?PAB=30?,PA=2,

在正方形ABCD的边上有一点Q,且△PAQ为等腰三角形,则符合条件

的点Q有个.

19. 已知a,b,c为实数,并且对于任意实数x,恒有 | x?a |?| 2x?b |=| 3x?c |,

则a:b:c. 图6 20. 一个自行车轮胎,若安装在前轮,则行驶5000千米后报废;若安装在后轮,则行驶3000

千米后报废.现有一辆新自行车,在行驶一定路程后,交换前后两轮的轮胎,再继续行驶,

使得两个轮胎同时报废,那么该车最多行驶.

三、解答题 每题都要写出推算过程.

21. (本题满分10分)

平面直角坐标系中,正方形ABCD四个顶点的坐标分别为(?1,?1),(1,?1),(1,1),(?1,1).设正方形ABCD在y=| x?a |?a的图像以上部份的面积为S,试求S关于a的函数关系式,并写出S的最大值.

22. (本题满分15分)

若直线l:y=x?3交x轴于点A,交y轴于点B.坐标原点O关于直线l的对称点O’在反比例函数y=上.

(1) 求反比例函数y=k的图像xk的解析式; x

(2) 将直线l绕点A逆时针旋转角? (0?<? <45?),得到直线l’,l’交y轴于点P,过点P作x轴的并行线,与上述反比例函数y=k3的图像交于点Q,当四边形APQO’的面积为9?时,求? 的值. 2x

23. (本题满分15分)

给定m (m?3)个数字组成的一列数a1,a2,…,am,其中每一个数ai (i=1,2,…,m)只能是1或0.在这一列数中,如果存在连续的k个数和另一组连续的k个数恰好按次序对应相等,则称这一列数是“k阶可重复的”.例如由7个数组成一列数:0,1,1,0,1,1,0,因为a1,a2,a3,a4与a4,a5,a6,a7按次序对应相等,所以称这列数为“4阶可重复的”.

(1) 分别判断下面的两列数是否是“5阶可重复的”?如果是,请写出重复的这5个数;

? 0,0,0,1,1,0,0,1,1,0; ? 1,1,1,1,1,0,1,1,1,1.

(2) 如果一列数a1,a2,…,am一定是“3阶可重复的”,求m的最小值.

(3) 假设一列数不是“5阶可重复的”且第4个数是1,但若在这列数最后一个数再添加一个0或

1,均可使新的一列数是“5阶可重复的”,那么原来的数列中的最后一个数是什么?说明理

由.

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初二 第2试简答

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